что это такое, свойства перпендикуляров и теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Понятие перпендикулярных прямых

Углы бывают острые, прямые и тупые. 

‍Виды углов
‍

Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым. 

Два угла с одной общей стороной называются смежными.  

На рисунке луч ОС делит развёрнутый ∡AOB =180° на две части, образуя тупой ∡1 и острый ∡2.

∡1 + ∡2 = 180° 

Сумма смежных углов составляет 180°. 

<<Форма демодоступа>>

Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:

Обе стороны ∡1 также являются сторонами ∡3, а стороны ∡2 продолжают стороны ∡4. Такие углы называют вертикальными.  

∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4

То же справедливо и для ∡1 и ∡3.

Вертикальные углы равны.  

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются

перпендикулярными.‍Две перпендикулярные прямые
‍

∡1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.

Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда»! По промокоду

GEOM72021 вы получите неделю бесплатного доступа к курсу геометрии 7 класса, в котором изучаются перпендикулярные прямые!  

Теорема о перпендикулярных прямых

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну. 

Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых «от противного», то есть для начала предположим, что утверждение неверно.  

Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а. 

Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и  ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.

Свойство перпендикулярных прямых

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.

Перпендикулярные прямые — определение, признаки, доказательства

Скорее всего, вы смогли бы отыскать три варианта:

1. Прямые параллельны друг другу;

2. Прямые совпадают, накладываются друг на друга;

3. Прямые пересекаются.

И были бы абсолютно правы! Интересно, что в пункте № 3 скрывается один интересный случай, который мы рассмотрим подробнее сегодня, а именно: прямые могут быть перпендикулярны друг другу.

Что это означает? Рассмотрим определение перпендикулярных прямых.

Основные определения

Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются друг с другом под углом 90 градусов. Обозначение перпендикулярных прямых:

а ┴ b.

Угол, равный 90 градусам, в математике называют прямым и помечают на чертеже квадратиком.

Еще один интересный факт из мира геометрии: если при пересечении двух прямых один из образовавшихся углов равен 90°, то и все остальные углы — прямые, а их сумма будет равна 360°.

Перпендикулярные отрезки — это отрезки, лежащие на перпендикулярных прямых.

Чтобы называться перпендикулярными, отрезкам не обязательно пересекаться самим. Достаточно, чтобы угол между прямыми, на которых они лежат, был равен 90°.

В качестве задачки со звездочкой давайте вспомним, в каких фигурах могут встречаться перпендикулярные отрезки (стороны)? Наверняка вы сразу назовете квадрат и прямоугольник, но также подходит прямоугольный треугольник и даже прямоугольная трапеция — с ней вы познакомитесь на уроках геометрии в 8-м классе.

Также перпендикулярно к стороне могут располагаться различные элементы внутри фигуры. Попробуйте расположить перпендикулярно друг другу диаметр и радиус окружности, две хорды, биссектрису угла треугольника (кстати, последнее задание получится выполнить только в случае, если проводить биссектрису угла к основанию равнобедренного треугольника).

Как мы видим, прямые очень часто пересекаются под углом 90 градусов. Можно сказать, это своего рода обычное, будничное поведение прямых. Прямые углы окружают нас повсюду: в комнате, на оживленных улицах города, в бассейне и даже в любимой книге.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Способы построения перпендикулярных прямых

Но как можно построить перпендикулярные прямые? Что для этого может понадобиться? Давайте разберем все доступные нам способы.

Самый легкий — воспользоваться транспортиром. Построим прямую а и точку А, не лежащую на этой прямой. Совместим значение 90 градусов с точкой таким образом, чтобы нижняя часть транспортира в виде линейки полностью совпала с прямой, и сделаем засечку в отверстии транспортира. Соединим точку А с поставленной засечкой до пересечения с прямой.

Но что делать, если транспортир благополучно забыт дома и у нас есть только линейка и угольник? Внимательно рассмотрите рисунок и попрактикуйтесь в построении дома.

Теорема о перпендикулярных прямых и ее доказательство

Теорема о перпендикулярных прямых

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.

«Кто это вообще придумал?», — можете возразить вы. «Почему мы должны этому верить? Вдруг все иначе, а нас обманывают». Если это так, то ваши опасения — показатель пытливости ума!

Что такое теорема? Это утверждение, нуждающееся в доказательстве. Это означает, что его не принимает на веру никто: ни вы, ни учитель, ни самый великий ученый. Есть много способов доказательства теорем, один из которых — метод от противного. Используя его, мы будто соглашаемся с противоположным заявлением и рассуждаем, что из этого последует.

Например, попробуем доказать утверждение «осенью грачи улетают на юг» методом от противного. Предположим, что грачи остаются зимовать в наших городах. Тогда мы должны видеть их осенью и зимой повсеместно, а в небе не должно быть видно признаков масштабного перелета. Так ли это на самом деле? Конечно же, нет.

Теперь с помощью этого метода попробуем доказать теорему о перпендикулярных прямых.

Предположим, что теорема ложна, а значит, через точку, лежащую на прямой, можно провести несколько перпендикулярных прямых.

Проверим гипотезу:

1. Возьмем линейку и проведем прямую а, отметив на ней точки С и D.

2. Далее построим перпендикулярную прямую из точки С. Угол КСD равен 90°.

3. Отрезок КС находится на прямой, перпендикулярной а.

4. Предположим, что есть еще одна прямая, перпендикулярная а. Проведем ее через точку С и отметим на ней точку L.

5. Тогда угол LCD равен 90° и угол КСD равен 90°.

6. Пункт номер 5 невозможен: от отрезка CD можно отложить только один прямой угол в данной плоскости.

7. А значит, через точку С можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой а.

Что и требовалось доказать: вы — молодцы!

Свойства перпендикулярных прямых

Перпендикулярные прямые обладают свойствами, которые можно использовать при решении геометрических задач. Давайте изучим их и приведем доказательство каждого.

Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются

Конечно же, это свойство хорошо просматривается при построении. Но как мы уже выяснили, математики — народ сомневающийся, поэтому попробуем обосновать, почему это так.

Предположим, что прямые АА₁ и ВВ₁ все же пересекутся в точке К. Что бы это значило? Что мы совершили невероятное и опровергли теорему о перпендикулярных прямых! Ведь тогда получается, что через точку К проходит несколько перпендикулярных прямых, которые в свою очередь пересекают прямую а под углом 90 градусов! Как было сказано выше, это невозможно, а значит и прямые

АА₁ и ВВ₁ не пересекаются.

Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, называется расстоянием от прямой до этой точки

Интересно, что такое расстояние является кратчайшим.

Представьте, что вам необходимо проложить путь от вас до огромного торгового центра, состоящего из множества магазинчиков. Вам не важно, в какой из них заглянуть, вы просто хотите потратить на дорогу как можно меньше времени. Какой путь вы выберете?

Конечно же, путь номер 2! Но есть ли этому научное объяснение?

Треугольник АВС прямоугольный, АВ и ВС— катеты, АС — гипотенуза. Согласно соответствию углов и сторон, в треугольнике наибольшая сторона лежит напротив наибольшего угла. Таким углом является прямой угол В, а наибольшая сторона — гипотенуза АС. Под каким бы углом мы ни расположили гипотенузу, она всегда будет больше остальных сторон.

В задачах по геометрии часто просят найти расстояние между различными элементами: между двумя точками, между точкой и прямой, между двумя прямыми. Теперь вы знаете, что под расстоянием подразумевают перпендикуляр! Благодаря этому знанию вы избежите множества ошибок, ведь между двумя элементами можно провести бесконечное множество прямых (и кривых), но только один вариант будет верным.

Кстати, перпендикуляр, проведенный из вершины угла фигуры на прямую, содержащую противоположную сторону, известен под именем высота. С высотами связано множество теорем и свойств, которые вы будете изучать немного позже. В качестве интриги оставим вам пример того, где находится точка пересечения высот в треугольниках разного типа. Заметили что-то необычное?

Применение знания о перпендикулярных прямых

Напоследок ответим на вопрос, который мог возникнуть у некоторых из вас: «А как в древности люди решали вопрос с построением перпендикулярных прямых, прямых углов в частности? Были ли у них приспособления для этого?»

Построение прямых углов было важным умением даже в древности, так как от этого зависела крепость и устойчивость возведенных стен зданий, мостов, механизмов для строительства.

Один лишний градус — и целый город мог оказаться в опасности из-за обрушившегося дворца или башни.

Древние зодчие поняли, что возлагать все надежды на четырехугольники не стоит, потому что квадраты и прямоугольники легко превращаются в параллелограммы, меняя величину углов и оставляя неизменными длины сторон. Стоит только немного потянуть за «ушки» квадрата, как он начинает беспощадно ломать прямые углы, а ведь в условиях строительства многое может пойти не так и искривить конструкцию: ветер, изменение температуры, неточность мастера.

Хорошо, что есть более стабильная фигура — треугольник. Все дело в соотношении его сторон и углов, а еще в невозможности создать несколько треугольников из сторон заданной длины. Если у вас есть отрезки длиной 6, 8 и 10 сантиметров, из них можно составить только один треугольник. В случае, если одна сторона растянется под действием нагрузки или сожмется из-за понижения температуры — треугольник просто перестанет существовать.

С этой точки зрения прямоугольные треугольники — лучшие друзья архитекторов, которые хотят строить ровные и красивые здания. Зодчие Древнего Египта использовали шнур или веревку, на которых через равные расстояния были завязаны 12 узлов. Строители натягивали такой шнур, создавая прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц. Такой метод получения угла, равного 90 градусам, был сверхточным, а по сторонам-катетам-шнурам можно было выкладывать кирпичи или камни.

Удивлены? Еще больше поразительных фактов и, самое главное, помощь в понимании алгебры и геометрии вы получите на курсах профильной математики в онлайн-школе Skysmart. Секреты древних архитекторов, бытовые задачки и подготовка к экзаменам — все на удобной платформе с опытными учителями. Ждем вас!

Использование перпендикуляров в уличной фотографии — Дайан Вер Уличная фотография

Блог уличной фотографии

Самая трудная часть ведения блога об уличной фотографии — каждую неделю находить тему. Когда у меня появляется идея, я открываю новый документ и присваиваю ему рабочее название. Поскольку эта тема представляет для меня некоторый интерес, я обычно общаюсь с г-ном Google, чтобы узнать, может ли он добавить немного информации по этой теме. Часто я обнаруживаю, что информации достаточно, чтобы заполнить книгу. Но если вас интересуют причины и причины использования перпендикуляров на уличных фотографиях, что ж, тишина, как мы говорим, оглушает.

Мне нравится геометрия, когда она используется в уличных фотографиях. Линии, прямые или изогнутые, треугольники, реальные или подразумеваемые, круги, квадраты, что угодно, все это придает композиции важный интерес для меня. Нет недостатка в рекомендациях по использованию этих традиционных геометрических форм в фотографических композициях. Было легко представить, что будет также много комментариев о влиянии перпендикуляров на композицию. Вот оно: когда вы комбинируете горизонтальные и вертикальные линии, что и является определением перпендикуляра, получается очень устойчивая форма, которую невозможно опрокинуть. Идея стабильности может привести зрителя к выводу, что что-то надежно или постоянно. Вы, конечно, видите, как использование перпендикуляров в семейной фотографии может быть очень полезным.

Супруги перпендикулярны друг другу. Их ноги перпендикулярны. Ее рука находится в перпендикулярном положении. Они кажутся мне долгосрочной парой.

Поскольку я смог найти так мало об использовании перпендикуляров в композиции, я перешел к поиску того, что сообщается, когда мы используем перпендикуляры в языке тела. Излишне говорить, что это не всегда язык любви. Отворачивание от другого человека сигнализирует о том, что мы не заинтересованы в разговоре. Это способ, которым мы отделяем себя от других людей.

Изображение ниже было отправлено фотографом Стивеном Уолтерсом на мини-конкурс уличной фотографии #alone. Это был победитель цвета. Это пример использования композиционного контраста для создания рассказа. Есть три человека, которые счастливо и активно взаимодействуют, что резко контрастирует с одинокой женщиной. Этот момент подтверждается тем фактом, что она сидит перпендикулярно им и смотрит в сторону.

Фото Стивена Уолтерса. Используется с разрешения. Вы можете увидеть галерею Стивена на Facebook в разделе Фотография Стивена Уолтерса.

А теперь я сказал почти все, что знаю об использовании перпендикуляров на фотографиях. Я собираюсь позволить фотографиям в значительной степени говорить сами за себя.

 На изображении фотографа Моники Лорд ниже лица расположены перпендикулярно друг другу. Мне композиционно интересно, когда есть и профиль, и фронтальный вид лица.

Фотографии Моники Лорд. Используется с разрешения. Вы можете увидеть галерею Моники в Instagram на @almostgreennyc.

На этом изображении есть повторяющиеся перпендикуляры или, по крайней мере, близкие к ним. Они определенно способствуют моему ощущению статической ситуации.

Эти два изображения очень похожи, за исключением того, что на первом рука певца согнута приблизительно перпендикулярно, а на втором рука певца направлена ​​по диагонали. {\circ}$ или под прямым углом, называются перпендикулярными прямыми. 9{\circ})$. Термин «перпендикуляр» произошел от латинского слова «perpendicularis», что означает отвес.

Если две прямые AB и CD перпендикулярны, то их можно записать как AB $\bot$ CD. Символ $\bot$ используется для обозначения того, что линии перпендикулярны.

Некоторые примеры: стороны квадрата, стрелки часов, углы доски, окна и символ Красного Креста.

Перпендикулярные линии представлены символом ‘$\bot$’. Предположим, m и n две прямые, пересекающиеся под углом 90 градусов, тогда они перпендикулярны друг другу и представляются как m $\bot$ n . Точка пересечения перпендикулярных прямых называется основанием перпендикуляра.

Шаг 2: Поместите транспортир на линию м так, чтобы его базовая линия совпадала с м , а его центр приходился на точку A. радиус и нарисуйте дугу по обе стороны от данной точки.

Шаг 2: Растяните компас шире. Поместите кончик компаса на новые точки и сделайте небольшую дугу над заданной линией. Две новые дуги пересекутся.

Шаг 3: С помощью линейки соедините заданную точку A и точку B, где пересекаются дуги.

Дайте детям возможность наблюдать перпендикулярные линии в объектах или местах вокруг них, например, высокое дерево на земле, электрический столб на тротуаре, железнодорожный перекресток, угол двух соседних стен и высокие здания.

Пример 2: Напишите отношение между сегментами линии, обозначенными стрелкой в ​​каждой фигуре.

Пример 3: Диагонали ромба перпендикулярны друг другу. Сколько прямых углов образовано при пересечении?

Поскольку прямые AC и BD пересекают друг друга под углом 90 градусов, в точке пересечения имеется 4 прямых угла.

$\angle \text{AED} = \angle \text{DEC} = \angle \text{CEB} = \angle \text{BEA} = 90$ градусов

Пример 5: Если AB $\left|\right|$ CD и CD $\left|\right|$ EF. Что вы можете сказать об AB и EF?

Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то эти две прямые параллельны друг другу.

Нет, эти линии не перпендикулярны, потому что они не пересекаются под прямым углом.

Практические задачи

1

Определите пару перпендикулярных отрезков заданной формы.

АГ и АВ

FE и ED

FE и CD

CB и AB

Правильный ответ: FE и ED
FE и ED являются перпендикулярными отрезками.

2

Каждый объект имеет выделенную пару линий. Какой из выделенных парой линий этого объекта не показывает перпендикулярных линий?

A

B

C

D

Правильный ответ: A
Свеча. Его выделенная пара линий показывает параллельные линии.

3

В какой момент стрелки часов будут перпендикулярны друг другу?

12 часов

6 часов

3 часа

5 часов

Правильный ответ: 3 часа
В 3 часа стрелки часов находятся под углом 90 градусов к друг друга. Значит, они перпендикулярны друг другу.

4

Сколько прямых перпендикулярно прямой CD на данном рисунке?

1

2

3

4

Правильный ответ: 3
Линия PQ, линия RS и линия TU перпендикулярны CD. Итак, на данном рисунке перпендикулярны прямой CD 3 прямые.

5

В какое время стрелки часов будут перпендикулярны?

15:40

16:00

09:00

10:10

Правильный ответ: 09:00
Стрелки часов пересекаются под прямым углом, когда время равно 9: 00 утра.

6

Перпендикулярные прямые пересекаются друг с другом под углом _____. 9{\circ}$ углы известны как прямые углы.

7

В каком из следующих объектов мы можем найти перпендикулярные линии?

Мяч

Шляпа на день рождения

Банан

Ноутбук

Правильный ответ: Ноутбук
Края ноутбука пересекаются под прямым углом. Все остальные изображения не имеют линий, пересекающихся под прямым углом.

Часто задаваемые вопросы

Что такое перпендикулярные линии?

Мы можем определить 9{\circ}$ угол друг с другом. Перпендикулярные прямые – это те прямые, которые пересекают друг друга под углом 90 градусов.

Должны ли пересекаться перпендикулярные линии?

Эти линии всегда пересекаются под прямым углом.

Что такое перпендикулярный символ?

Перпендикулярный символ $\left|\right|$. Он используется между двумя линиями, чтобы показать, что они перпендикулярны друг другу.

В чем разница между перпендикулярными линиями и параллельными линиями? 9{\circ}$ .

Все ли пересекающиеся прямые всегда перпендикулярны?

Нет, не все пересекающиеся прямые перпендикулярны друг другу. Они могут пересекаться под разными углами, кроме 90 градусов.

Возможно ли иметь две прямые, параллельные и перпендикулярные друг другу?

Параллельные линии никогда не касаются друг друга, в то время как перпендикулярные линии встречаются в точке пересечения.