Что такое пропорция в математике?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Математика учит нас равенству отношений. Пропорции — тема несложная, но важная. Давайте разберемся, что такое пропорция и как с ней обращаться.

Что такое пропорция

Определение пропорции: 

Пропорция — это равенство двух отношения.

Пропорциональный — это такой, который находится в определенном отношении к какой-либо величине.

Пропорция всегда содержит равные коэффициенты. 

Если выразить определение формулой, то выглядеть оно будет так:

• a : b = c : d

Или вот так:

a и d — крайние члены пропорции, b и с — средние члены пропорции.

Читается это выражение так: a так относится к b, как c относится к d

Например:

15 : 5 = 3
 

9 : 3 = 3

Это равенство двух отношений: 15 так относится к 5, как 9 относится к 3. 

15 и 3 — крайние члены пропорции.

5 и 9 — средние члены пропорции.

Наглядный пример для понимания:

У нас есть восемь кусочков аппетитной пиццы и, предположим, четыре голодных друга.

• Запишем эту непростую ситуацию в виде отношения 8 кусочков к 4 голодным друзьям: 8 : 4 
• Далее преобразовываем это отношение в дробь: 8/4
• Выполняем деление: 8/4 = 2

Это значит, что 8 аппетитных кусочков пиццы будут так относиться к 4 голодным друзьям, что каждому голодающему достанется по 2 кусочка. Прекрасно!

А теперь представим, ситуацию, в которой есть только половина аппетитной пиццы, но при этом и голодных друга — всего два.

Что мы имеем: 4 кусочка и 2 друга, претендующих на них.

• Запишем в виде отношения: 4 : 2
• Преобразовываем получившееся отношение в дробь: 4/2
• Выполняем деление: 4/2 = 2

Это значит, что 4 аппетитных кусочка будут так относиться к 2 голодным друзьям, что каждому из них достанется по 2 кусочка. 

Оценив обе ситуации, делаем вывод, что отношение 8/4 пропорционально отношению 4/2. Отношения в пропорции — равные. 

Вывод: знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Быстренько прикидываем отношение количества человек, претендующих на пиццу, и число кусочков — и сразу заказываем побольше пиццы, чтобы никто не остался голодным😉

 

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Основное свойство пропорции

Запомните основное свойство пропорции:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.

В виде формулы свойство выглядит так:

a : b = c : d
a * d = b * c

Мы знаем, что a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние. 

Это свойство следует применять, чтобы проверить пропорцию. Если все сходится согласно формулировке — пропорция составлена верно, и отношения в пропорции являются равными друг другу. 

Давайте проверим несколько пропорций.

Пример 1. Дана пропорция:6/2 = 12/4

• Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, перемножаем ее крайние члены: 6 * 4 = 24.
• Далее перемножаем средние члены пропорции: 2 * 12 = 24
   
• Произведение крайних членов пропорции равно 24, произведение средних членов пропорции также равно 24.
   
• 6 * 4 = 2 * 12
  24 = 24

Делаем вывод, что пропорция 6/2 = 12/4 составлена верно.  

Пример 2. Дана пропорция: 10/2 = 16/4

• Перемножаем крайние члены пропорции: 10 * 4 = 40.
• Перемножаем средние члены: 16 * 2 = 32.
• Произведение крайних членов пропорции равно 40. Произведение средних членов пропорции равно 32. 
• 10 * 4 ≠ 16 * 2
  40 ≠ 32

Отсюда делаем вывод, что  отношения в пропорции 10/2 ≠ 16/4 не являются равными. 

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Примеры решения задач с пропорцией

Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек. 

Задачка 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = x/4

Найдите x.

Как решаем:

 

1. По основному свойству пропорции перемножаем множители:
   15 * 4 = 3x


2. Получаем уравнение: 60 = 3x


3. 60/3 = x
   x = 20.

Ответ: в пропорции 15/3 = x/4, x = 20

Задачка 2. Найдите четвертый член пропорции: 18, 9 и 24.

Как решаем:

 

1. Записываем чиcла в виде дробей: 18/9 = 24/x
   Где x — четвертый член пропорции.


2. По основному свойству пропорции, перемножаем средние члены: 9 * 24 = 216


3. Выводим уравнение 18x = 216


4. Находим x:
   x = 216 : 18
   x = 12


5. Проверяем: 9 * 24 = 216, 18 * 12 = 216.
   Пропорция составлена верно.

Ответ: четвертый член пропорции — 12.

Задачка 3. 18 человек могут съесть пять килограммов суши за 8 часов, сколько часов понадобится 9 людям?

Как решаем:

 

1. Записываем числа в виде обратной пропорции: 18/9 = x/8


2. Перемножаем множители по основному свойству пропорции: 18 * 8 = 9x


3. Находим х:
   144 = 9x
   144 : 9 = 16

Ответ: 16 часов понадобится 9 людям, чтобы съесть все суши.  

Задачка 4. Дана пропорция: 20/2 = y/4

Найдите y.

Как решаем:

 

1. По основному свойству пропорции перемножаем множители:
   20 * 4 = 2y


2. Получаем уравнение: 80 = 2y


3. Находим у:
   80/2 = y
   x = 40.


4. Проверяем пропорцию: 20 * 4 = 80, 40 * 2 = 80.

Ответ: в пропорции 20/2 = y/4, y = 40

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Анастасия Белова

К предыдущей статье

212.2K

Сравнение дробей: как правильно

К следующей статье

265.8K

Что такое квадратный корень

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Задачи на пропорции по математике — примеры с ответами

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

153. 5K

Пропорции 90‑60-90 уже давно не в тренде. Но вот, что вечно всегда — так это математические пропорции на уроках алгебры. Давайте практиковаться и вместе решать задачи.

Понятие пропорции

Чтобы решать задачи на тему пропорции, вспомним главное определение.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин.

Главное свойство пропорции: Произведение крайних членов равно произведению средних. a : b = c : d, где a, b, c, d — члены пропорции, a, d — крайние члены, b, c — средние члены.

Вывод из главного свойства пропорции:

• Крайний член равен произведению средних, которые разделены на другой крайний. То есть для пропорции a/b = c/d:
  
  
• Средний член равен произведению крайних, которые разделены на другой средний. То есть для пропорции a/b = c/d:
  
  

Решить пропорцию — значит найти неизвестный член. Свойство пропорции — главный помощник в решении.

Запомним!

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Рассмотрим легкие и сложные задачи, которые можно решить с помощью пропорции. 5, 6, 7, 8 класс — неважно, всем школьникам полезно проанализировать занимательные задачки.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Задачи на пропорции с решением и ответами

Свойства пропорции придумали не просто так! С их помощью можно найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Решим 10 задач на пропорцию.

Задание 1. Найти неизвестный член пропорции: x/2 = 3/1

Как решаем:

В этом примере неизвестен крайний член, поэтому умножим средние члены и разделим полученный результат на известный крайний член:

x = (2 * 3)/1 = 6

Ответ: x = 6.

Задание 2. Найти неизвестный член: 1/3 = 5/y

Как решаем:

y = (3 * 5)/1 = 15

Ответ: y = 15.

Задача 3. Решить пропорцию: 30/x = 5/8

Как решаем:

x = (30 * 8)/5 = 48

Ответ: x = 48.

Задание 4. Решить: 7/5 = y/10

Как решаем:

y = (7 * 10)/5 = 14

Ответ: y = 14.

Задание 5. Известно, что 21x = 14y. Найти отношение x — к y

Как решаем:

• Сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7: 21x/7 = 14y/7.

  Получим: 3x = 2y.

• Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y: 3x/3y = 2y/3y.
• После сокращения отношений получилось: x/y = 2/3.

Ответ: 2 к 3.

На следующем примере мы узнаем как составить пропорцию по задаче💡

Задание 6. Из 300 подписчиков в инстаграм 108 человек — поставили лайк под постом. Какой процент всех подписчиков составляют те, кому понравился пост и они поставили лайк?

Как решаем:

• Примем всех подписчиков за 100% и запишем условие задачи кратко:

  300 — 100%

  108 — ?%

• Составим пропорцию: 300/108 = 100/x.
• Найдем х: (108 * 100) : 300 = 36.

Ответ: 36% всех подписчиков поставили лайк под постом.

Задание 7. Подруга Гарри Поттера при варке оборотного зелья использовала водоросли и пиявки в отношении 5 к 2. Сколько нужно водорослей, если есть только 450 грамм пиявок?

Как решаем:

• Составим пропорцию: 5/2 = x/450.
• Найдем х: (5 * 450) : 2 = 1125.

Ответ: на 450 грамм пиявок нужно взять 1125 гр водорослей.

Задание 8. Известно, что арбуз состоит на 98% из воды. Сколько воды в 5 кг арбуза?

Как решаем:

Вес арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода — 98% или х кг.

Составим пропорцию:

5 : 100 = х : 98

х = (5 * 98) : 100

х = 4,9

Ответ: в 5 кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Перейдем к примерам посложнее. Рассмотрим задачу на пропорции из учебника по алгебре за 8 класс.

Задание 9. Папин автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Как рассуждаем:

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Обозначим:

• v1 = 75 км/ч
• v2 = 52 км/ч
• t1 = 13 ч
• t2 = х

Как решаем:

1. Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.

   Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.



2. Подставим известные значения: 75/52 = t2/13

   t2 = (75 * 13)/52 = 75/4 = 18 3/4 = 18 ч 45 мин

Ответ: 18 часов 45 минут.

Задание 10. 24 человека за 5 дней раскрутили канал в телеграм. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

Как рассуждаем:

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Как решаем:

1. Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:

   30 : 24 = 5 : х



2. Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:

   х = 24 * 5 : 30

   х = 4



3. Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Свойства сложения и вычитания

К следующей статье

Зачем нужна математика

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Что такое переписка один на один? 9 упражнений для обучения

• Поделиться
• Электронная почта

Что такое индивидуальная переписка и почему она важна для развития ребенка?

Процесс восприятия чисел и развития чувства числа начинается у маленьких детей еще до того, как они смогут надежно считать.

Они могут сказать вам, сколько им лет, сколько пальцев у них на каждой руке или сколько свечек на торте на их день рождения.

Подражая взрослым и детям старшего возраста, они начинают изучать названия чисел и символы, хотя на этом этапе они еще не имеют для них большого значения.

Вскоре они начинают считать.

Все дети проходят два этапа счета – механический счет и рациональный счет (счет 1:1).

Что такое механический счет?

Ручной счет в основном означает счет как попугай. Это когда ребенок выучивает названия чисел и может произносить их дословно по порядку.

Механический счет важен, потому что детям необходимо запоминать названия чисел, чтобы они могли связать каждое имя с символом и выучить их в правильной последовательности.

В каком возрасте ребенок может считать до 10?

Дети в возрасте от 2 до 3 лет часто могут наизусть считать до 10. К тому времени, когда они пойдут в школу, они могут считать до гораздо большего числа.

Дети начинают с изучения названий чисел и могут путать последовательность чисел, но со временем и практикой они могут перечислять числа в правильном порядке.

Я говорю перечислять числа, а не считать, потому что счет на самом деле другой навык. Список чисел зависит от способности запоминать имена чисел в последовательности.

Ребенок, умеющий считать наизусть, не обязательно может сосчитать каждый предмет один раз или может сосчитать один и тот же предмет несколько раз.

Что такое рациональный счет?

Рациональный счет означает, что ребенок может присвоить правильное числовое имя каждому объекту по мере их подсчета.

Также есть понимание сколько объектов всего .

Разница между механическим счетом и рациональным счетом заключается в том, что первый представляет собой процесс последовательного запоминания названий чисел, а второй — процесс развития понимания значения чисел.

Что такое

Индивидуальная переписка

Индивидуальная переписка — это когда ребенок проходит механический счет и может считать рационально, присваивая каждому элементу одно число в правильной последовательности.

Это означает надежный подсчет объектов по одному и получение общего значения для ответа на вопрос «сколько?» Это можно назвать подсчетом один к одному.

Ребенок, умеющий рационально считать, не просто отбарабанивает список чисел по порядку. Скорее, она умеет пользоваться личным соответствием при счете.

Это означает, что она может сосчитать набор из 5 объектов, указывая на каждый объект и присваивая каждому объекту следующее числовое имя, пока каждый объект не будет сосчитан один раз.

Ребенок, у которого еще не выработалось однозначное соответствие, может пропускать предмет, считать предмет более одного раза или еще не видеть связи между названиями чисел и предметами.

Ребенок, понимающий соотношение 1:1, освоил четыре принципа счета :

1. Каждому объекту можно присвоить только одно числовое имя.
2. Имена чисел должны использоваться в фиксированном порядке (один, два, три, четыре и т. д.).
3. Неважно, в каком порядке подсчитываются объекты (начните с любого объекта и считайте их в любом порядке, и сумма всегда будет одинаковой).
4. Последнее используемое числовое имя дает общее количество объектов (сколько). Это называется кардинальным числом.

Позже ребенок научится считать в обратном порядке, пропускать счет (например, считать двойками, пятерками и т. д.) и, в конечном счете, узнавать значение группы предметов на вид (например, набор из 5 предметов).

Поэтому очень важно, когда ваш ребенок научится считать до разумного числа, сместить акцент с увеличения и увеличения этого числа на то, чтобы убедиться, что ваш ребенок может надежно сосчитать небольшое количество предметов.

Индивидуальная переписка гораздо лучше свидетельствует о понимании ребенком чисел, чем длинный список заученных чисел.

Как научить ребенка переписке «один к одному»

Точно так же, как вы учите своего малыша счету, вы можете вводить счет один к одному с раннего возраста.

На самом деле есть два способа, которыми дети овладевают этим навыком: случайно или путем прямого обучения переписке один на один.

Это означает, что дети естественным образом самостоятельно изучают это понятие в процессе игры, но вы также можете дать им возможность обучать этому во время игры.

Случайное обучение

В повседневной жизни дети, естественно, сталкиваются с возможностями, которые помогают им понять, что математика основана на сценариях реальной жизни.

Они будут испытывать взаимное соответствие во многих игровых и повседневных сценариях, например:

• В песочнице (например, при приготовлении пирожных и размещении «свечи» на каждом из них)
• Игра с чайным сервизом и чашкой, подходящей к блюдцу
• Надевание носков, обуви и перчаток (обучение стоимости пары)
• Восхождение по ступеням тренажерного зала в джунглях

Как родитель или учитель, вы можете моделировать индивидуальную переписку в своем повседневном общении со своими детьми, чтобы они учились, просто наблюдая за вами.

Например, когда вы считаете предметы, коснитесь каждого из них и отодвиньте их по одному. Когда вы читаете, указывайте на каждое слово по ходу.

Обучение в явном виде

• Предложите своим детям практические занятия по счету, используя различные предметы, такие как бусины, пуговицы, блоки, детали Lego, деревянные доски, строительные игрушки, продукты питания и т. д.

• Занятия должны быть веселыми и содержательными (например, подсчет количества стаканов, которые нам нужны для ужина), иначе дети потеряют интерес.

• Когда вы считаете вместе, убедитесь, что вы всегда используете настоящие, конкретные предметы. Позже вы можете считать изображения предметов по мере чтения («Сколько облаков вы видите на небе»). Дошкольники обычно слишком малы, чтобы считать абстрактные числа (например, 3 плюс 5).

• Дети изучают математические понятия через конкретно-живописный-абстрактный подход . Всегда начинайте с конкретного, вовремя вводите картинки и оставляйте абстрактное обучение формальному школьному обучению, когда ваш ребенок будет к этому готов.

Избегайте преподавания индивидуальной переписки с рабочими листами. Это бессмысленное обучение и не подходит для развития маленьких детей. Рабочие листы мало способствуют развитию дошкольников.

Индивидуальные занятия по переписке для дошкольников

Вот несколько замечательных индивидуальных занятий по переписке для дошкольников и детсадовцев, подходящих для дома или в классе.

1.

Подсчет частей тела

С малышами лучше всего начинать со счета частей тела, потому что дети познают мир через свое тело.

Начните с одного носа, одного рта, затем перейдите к двум глазам и ушам. Попросите детей также сосчитать ваши глаза и уши.

Скоро они смогут считать пальцы на одной руке, потом на другой, потом на обеих вместе. Пальцы тоже посчитайте.

Попросите детей протянуть одну руку и передать им одну чашку или протянуть две руки и передать две чашки.

Большая часть математического обучения основана на языке. Используйте любую возможность использовать язык во время выполнения этих действий.

2.

Подсчитайте предметы повседневного обихода

Возьмите за привычку считать предметы, с которыми вы сталкиваетесь в повседневной жизни.

Считайте свои шаги, когда вы идете с ребенком, считайте носки, когда вы их надеваете, считайте синие машины, которые вы проезжаете по дороге, и т. д.

Возможности есть везде — будьте готовы их заметить!

3. Повторяйте

Счетные стишки

Счетные стишки и игры пальцами отлично подходят для обучения маленьких детей счету. У них может еще не быть личной переписки, но это хорошее место для начала.

Сначала они будут запоминать только названия чисел, но с практикой они начнут соотносить правильное число с правильным пальцем или частью тела.

Вот пример основной рифмы для пальцев, чтобы научить значению числа два:

Две птички-манишки
Две птички-манишки
Сидящие на стене
Одного зовут Питер
Одного зовут Пол
Улетай, Питер
Лети далеко, Пол
Вернись, Питер
Вернись, Пол

Вот пример стихотворения, которое ваши дети могут произнести, вытягивая по одному пальцу, чтобы узнать значение числа десять:

Один, Два, Три, Четыре, Пять
Раз, два, три, четыре, пять,
Однажды я поймал живую рыбу,
Шесть, семь, восемь, девять, десять,
Потом снова отпустил.
Почему ты отпустил его?
Потому что он так укусил меня за палец.
Какой палец он укусил?
Этот мизинец справа от меня.

4. Играть

В ванне

Купание — отличное время для обучения счету.

Предлагайте маленьким детям такие игрушки, как уточки, говоря: «Я даю тебе двух уточек», «Вот еще одна уточка. А теперь давайте посчитаем, сколько у вас есть». Коснитесь или поднимите каждую утку, медленно произнося название каждой цифры.

Когда они подрастут, предложите им в ванне больше игрушек. Налейте какую-нибудь емкость и посчитайте, сколько чашек воды вам нужно, чтобы наполнить кувшин.

Это упражнение можно легко воспроизвести на уровне грунтовых вод в школе.

5. Игра

В песочнице

Песочница — еще одно место, где дети учатся многим математическим навыкам.

Сделайте пироги или кексы из глины и попросите ребенка сделать достаточно для каждого члена семьи или каждого учителя. Составьте ряд получившихся фигур и сосчитайте их.

Научите математический язык, попросив детей сделать на один торт больше или на один меньше.

6. Проводите время

На кухне

Привлекайте детей к обучению, пока вы вместе готовите.

Попросите ребенка принести вам 3 помидора для вашего салата или посчитайте, сколько там булочек.

Попросите ребенка постарше принести по картофелине на каждого члена семьи. Если это слишком сложно, сначала посчитайте по пальцам, сколько членов семьи, а затем запросите это количество картошки.

Этот пост содержит партнерские ссылки на образовательные продукты, которые я лично рекомендую. Если вы покупаете через один из них, я получаю комиссию без каких-либо дополнительных затрат для вас. Прочтите условия для более подробной информации.

7. Играйте с игрушками

Пусть ваши дети регулярно играют с кубиками (это хороший деревянный набор), конструкторами, конструкторами Lego, шариками и т. д.

Игра с такими игрушками дает возможность учиться кстати.

Узнайте больше о преимуществах игры в кубики.

8. Играйте в числовые игры

Держите под рукой несколько числовых игр и играйте в них вместе с детьми. Настольные игры также отлично развивают чувство числа.

Вот несколько идей для игр:

• Домино
• Змеи и лестницы
• Головоломки с числами
• Matching Cards (скачать бесплатно)

9.

Играть в классики

Эта замечательная традиционная игра научит детей числам, а также их возрастанию и убыванию. Дети могут использовать все свое тело во время этой игры, что делает ее конкретным обучающим опытом.

Вот правила игры в классики .

Надеюсь, вам понравилось читать о том, как дети учатся считать. Вот несколько забавных игр n распознавание умбры, в которые можно играть .

Получите БЕСПЛАТНЫЙ доступ к печатным головоломкам, историям, наборам заданий и многому другому!

Присоединяйтесь к программе Empowered Parents +, и вы получите загружаемый набор из печатных головоломок, игр и рассказов , а также набор «Обучение через игру» , который включает целый год занятий для детей от 3 до 6 лет. старые
Бесплатный доступ навсегда.

Регистрация бесплатной учетной записи Grow выполняется быстро и легко. Она позволит вам добавлять в закладки статьи для последующего чтения на этом веб-сайте, а также на многих веб-сайтах по всему миру, использующих Grow .

• Поделиться
• Электронная почта

Как научить вашего ребенка дробям дома

Когда дело доходит до обучения математике дома, ваши дети и вы, скорее всего, будете сталкиваться с дробями. С такими словами, как числитель, неправильный, винкулум и другими, попадающими в домашние задания и школьные отчеты, иногда даже количество терминов, относящихся к дробям для детей, может показаться немного подавляющим для родителей.

Знать, как научить вашего ребенка дробям дома, может быть сложно. Но, обучая в школах и на дому, мы были там и сделали это, и теперь можем заверить вас — путь есть, вам просто нужно идти по нему шаг за шагом.

 

Перейти к дроби для помощи детям, которая вам нужна

Дроби в двух словах – то, что вы, возможно, забыли со школы!

Мы понимаем, что дроби могут разочаровать и вас, и вашего ребенка, поэтому вот все, что вам нужно знать о них вкратце!

Что такое дробь?

Дроби используются для представления меньших частей (или частей) целого.

Части могут составлять одну или несколько вещей. В любом случае, вместе они составляют так называемое целое .

Важно отметить, что целое может означать несколько вещей. Полезно думать о магазине сладостей как об аналогии. Чтобы поделиться единой целой суммой, вы можете подумать о плитке шоколада, плитке пирожных или булочке. Для группировки суммы на дробные части можно представить пакет конфет — в пакете много конфет, но вам нужно, чтобы они все составили целый мешок .

Какое определение дроби подходит для детей?

Простое определение дроби для детей:

Дробь – это любая часть группы, числа или целого числа.

Из каких частей состоит дробь?

Дробь состоит из трех частей. Вот они:

Числитель — число над чертой.

Знаменатель , число под чертой.

Винкулум — черта, разделяющая два числа.

Что такое дробь единицы?

Единичная дробь с 1 в числителе (верхнее число) и целое число в знаменателе (нижнее число).

Подробнее: Что такое дробная единица

Что такое неединичная дробь?

Неединичная дробь — это дробь, у которой число больше единицы в числителе (верхнее число) и целое число в знаменателе (нижнее число).

Использование предметов для визуализации дробей

Когда вы начинаете учить детей дробям, предметы или изображения предметов — отличный способ понять, как они работают.

Начните с конкретных предметов, таких как еда или прилавки — вместо прилавков вы можете использовать кусочки макарон или сушеные бобы — затем нарисуйте их в виде картинок.

Как только вы это сделаете, вы можете перейти к использованию рациональных чисел (причудливое название дробей) для их представления. Заучивание дробей в таком порядке облегчает впоследствии вычисление дробей натуральных чисел.

Самое важное, что нужно помнить, когда имеешь дело с дробями, — не торопиться.

Столько информации для обработки! Даже если что-то кажется простым, найдите дополнительное время, чтобы действительно понять основные понятия, лежащие в основе дробей. Это значительно облегчит вам жизнь, когда вы столкнетесь с более сложными задачами, связанными с преобразованием между дробями, десятичными числами и процентами.

Узнайте больше о том, почему мы используем конкретные ресурсы в математике.

Понимание и сравнение дробей Рабочие листы

Загрузите эти БЕСПЛАТНЫЕ рабочие листы для понимания и сравнения дробей для учащихся 3-х классов, предназначенные для того, чтобы помочь ученикам самостоятельно практиковать то, что они изучают.

Примеры использования дробей в повседневной жизни

Вы можете даже не замечать, но дроби окружают нас повсюду! Вот некоторые примеры ежедневных дробей:

• Разделение счета в ресторане на половинки, трети или четверти
• Сравнение цен в супермаркете, когда что-то стоит вдвое дешевле
• Вычисление количества на кухне, например, рецепт может обслужить 10 человек, но есть только 4, и это означает, что вам понадобятся дроби, чтобы вычислить правильное количество
• Суммирование денежных сумм
• Глядя на время! Полчаса и четверть прошедшего — обычное дело, когда речь идет о времени!

Почему дроби в начальной школе такие сложные?

В первые годы обучения в школе вы узнаете, как работают числа. Вы узнаете, как считать, и что число 1 равно одному предмету, 2 равно двум предметам и так далее.

Вы узнаете, что когда вы считаете, числа имеют большее значение. И затем, когда вы думаете, что разобрались с числами, вы узнаете, что существуют и другие типы чисел, например дроби .

Будучи ребенком, вы все еще осмысливаете мир. Поэтому, когда вы изучаете набор правил (например, как считать с положительными целыми числами), вы придерживаетесь их. Проблема? Когда вы сталкиваетесь с вещами, которые не соответствуют правилам, понять их гораздо труднее.

Положительные целые числа (например, 1, 2 или 65) являются простыми. Они приобретают большую ценность по мере роста и всегда означают одно и то же (1 всегда означает 1, а 2 всегда означает 2). Они также известны как натуральных числа . Дроби известны как рациональных чисел , и они подчиняются другим правилам.

Короче говоря, понимание того, как делать дроби, может быть сложным для детей младшего школьного возраста.

Дроби не всегда означают одно и то же. ½ торта — это не то же самое, что ½ из трех тортов или ½ пакета из 12 конфет! Это первое препятствие — значение дроби меняется в зависимости от размера 9.0352 числитель (верхнее число) есть. Во-вторых, если нижнее число (знаменатель) дроби становится больше, значение уменьшается на . Вдобавок ко всему, названия дробей не всегда звучат как число, которое они представляют, например, восьмая вместо ⅛ или четверть вместо ¼.

Что мой ребенок должен знать о дробях в KS1 и KS2?

Поскольку дроби для детей меняются из года в год в начальной школе, в блоге есть что рассказать, но чтобы помочь вам, мы разбили его по годам.

Как помочь научить вашего ребенка дробям в KS 1

В KS1 едва ли не самое важное, чем вы можете помочь своему ребенку, это понять, что дробь является частью целого. А единичная дробь — это равная часть целого. Если они смогут понять это, они смогут двигаться вперед.

Как научить ребенка дробям в 1-м классе

Когда дело доходит до дробей, в 1-м классе нужно освоить основы.

Дроби для детей 5 или 6 лет о том, как использовать предметы для нахождения простых дробей, таких как ½ и ¼. Хорошая новость заключается в том, что в этом возрасте вы можете получать массу удовольствия от дробей!

Проявите творческий подход, помогая им решать дроби

При демонстрации деления на половинки или четверти жизненно важно показать, что что-то делится на равные части. Делая это, ваш ребенок сможет визуализировать то, что происходит, когда вы создаете дробь, и это поможет ему понять.

Пластилин — отличное средство, с которого можно начать помогать ребенку в изучении дробей в раннем возрасте, поскольку оно податливо и легко адаптируется к различным дробям.

Тем не менее, фаворитом в начальных классах является использование еды для представления дробей, и это то, что вы можете делать со своим ребенком во время обеда, если в меню есть пицца!

Не забудьте подчеркнуть важность того, чтобы каждый кусок пиццы был одинакового размера.

Это простое визуальное представление дроби, и вы можете адаптировать его, чтобы попробовать и с ¼.

Вы можете использовать любую пищу, которую легко разделить, но при этом обязательно используйте язык дробей ( половинки, четвертинки и делят ).

Числа, с которыми ваш ребенок будет работать в дробях 1-го года

В 1-м классе ваш ребенок будет в основном сосредоточен на числах от 0 до 20, но он также может работать с некоторыми более крупными числами, с которыми легко справиться в этот возраст. Например, они могут сказать вам, что половина от 100 — это 50, или что одна четверть от 100 — это 25.0010 Во 2-м классе основное внимание уделяется нахождению частей длины, формы и набора объектов.

Дроби для детей 6 или 7 лет включают в себя постоянное использование физических предметов, помогающих им визуализировать дроби, так что теперь есть хороший шанс разбить счетчики (или подходящую замену) для легкой практики!

Они также узнают, что некоторые дроби эквивалентны, например, ² / ₄ равно ½ или ² / ₆ равно ⅓.

Вот как это объяснить, просто используя счетчики (макароны или сушеные бобы — подходящая замена из шкафа).

Чтобы помочь вашему ребенку полностью понять эквивалентные дроби, указывайте на них везде, где можете (особенно на этом этапе ½ и ² / ₄ ), так как это постоянное повторение поможет им практиковаться, пока они не усовершенствуют свои знания.

Еще один простой способ попрактиковаться — заштриховать различные части фигур, например:

Этот простой, но наглядный метод — отличный способ для вашего ребенка работать над своими дробями во 2-м классе.

 

Как помочь научить вашего ребенка дробям в KS2

KS2 — это время, когда дроби могут стать немного сложнее для вашего ребенка, но со всей помощью, предлагаемой ниже, у вас не возникнет проблем с обучением. узнайте все о дробях дома!

 

Как научить вашего ребенка дробям в 3-м классе

Дроби для 7-8-летних детей в 3-м классе предполагает, что они начинают отходить от использования предметов для понимания дробей.

Они по-прежнему будут использовать некоторые наглядные пособия при работе с дробями, но больше внимания будет уделяться пониманию того, как записывать дроби в виде рациональных чисел (в той форме, в которой вы привыкли их видеть).

Примечание… символ деления выглядит так ➗, что он показывает черту дроби (или – ее собственное название – винкулум) с точками над и под ней; верхняя точка означает отсутствие числителя, а нижняя точка означает отсутствие знаменателя. Сам символ деления является постоянным напоминанием о связи между дробями и делением!

Равнозначные дроби в 3-м классе

В этом возрасте дети также должны знать несколько эквивалентных дробей с малыми знаменателями и уметь раскладывать их по порядку.

Равные дроби – это настоящий скачок для многих детей, и большинство учителей считают его настоящим камнем преткновения для многих детей в своих классах.

Однако есть три верных способа помочь вашему ребенку понять, как составлять эквивалентные дроби в 3-м классе, и вы можете увидеть их ниже!

Пластилин с эквивалентными дробями

Это простое, но очень эффективное упражнение поможет вашему ребенку визуализировать эквивалентные дроби таким образом, чтобы он понял.

Как проводить задание

1. Дайте ребенку три одинаковых по размеру шарика пластилина.
2. Попросите их разбить один шар на половинки, другой на четвертинки и третий на восемь частей одинакового размера.
3. Теперь используйте шкалу — желательно балансовую шкалу — чтобы показать, что половина равна двум четвертям и четырем восьмым. (Кроме того, что четверть равна двум восьмым, а три четверти равны шести восьмым.)
4. Вы можете заставить их преобразовать три оригинальных шарика пластилина, разбив их на три, шесть и девять равных частей. Опять же, вы можете показать, что треть равна двум шестым и трем девятым, а две трети равны четырем шестым и шести девятым.

Бумажные полоски эквивалентной дроби

Все, что вам нужно для этого занятия, это лист бумаги, ножницы и немного терпения, когда дело доходит до вырезания полосок!

Как выполнить задание

1. Сначала нарежьте несколько полосок бумаги. Это должны быть бумажные полоски одинаковой длины.
2. Сложите первую полоску пополам.
   Сложите вторую полоску вчетверо.
   Сложите третью полоску на шесть равных частей или шестых.
   Четвертую полоску сложите на восемь равных частей или восьмерок.
   Наконец, сложите полоску в двенадцать раз.
3. Затем поработайте с ребенком, чтобы подписать полоски так, чтобы на каждой части первой полоски было написано ½, на второй полоске было написано ¼s и так далее. Теперь вы/они можете показать, что половина равна двум четвертям, трем шестым, четырем восьмым и шести двенадцатым.

Затем вы можете показать, что четверть равна двум восьмым и трем двенадцатым.

Вы можете повторить процесс еще раз, сложив полоски бумаги одинаковой длины в три, шесть, девять и двенадцать частей, показав, что две шестых, три девятых и четыре двенадцатых равны трети.

Используя полоски, которые вы сделали, вы можете сделать то же самое для ¾ и ⅔! Вы отправляетесь на гонки!

Сравнение, сложение и вычитание дробей в 3-м году

Конечно, значение дроби зависит от числителя (верхнее число) и знаменателя (нижнее число).

К счастью, в 3 классе вам нужно сравнивать только дроби с одинаковым знаменателем, что упрощает задачу.

Когда знаменатели отличаются, необходимо выполнить еще несколько шагов, которые мы объясним позже в этом блоге.

Вам будет приятно узнать, что складывать и вычитать дроби не так уж и страшно в третьем классе. / ₄ = ¾

Что можно снова показать с помощью бумажных полосок:

Принцип тот же, что и для вычитания в 3-м классе. больший знаменатель означает, что сама дробь больше.

Как помочь научить вашего ребенка дробям в 4-м классе

В 4-м классе ваш ребенок должен начать понимать основы того, как составлять дроби, и он будет уделять больше внимания использованию абстрактных дробей.

Скорее всего, они не будут использовать столько жетонов и других физических обучающих ресурсов, хотя по-прежнему важно вплести их в свое обучение, а это означает, что вы не должны прекращать практиковаться с ними дома!

Дроби для детей 8 и 9 лет помогут освоить основы до того, как в 5-м классе все станет намного сложнее.

К концу 4-го класса ваш ребенок должен знать, как: в десятых и сотых долях

Вычислить дроби сумм

Сложение и вычитание дробей (с одинаковым знаменателем)

Распознавать довольно много обычных эквивалентных дробей и десятичных знаков.

Задания на дроби в 4-м классе

На этом этапе начальной школы задачи со словами становятся более распространенными, обычно с использованием единиц измерения, таких как мм, см, м, км, г и кг, и денег.

Вычислять доли сумм намного проще, если вы используете бара для представления различных частей.

Возьмем, к примеру, вопрос:

Что такое ¹ / ₆ 1200м?

Если вы хотите вычислить ² / ₆ из 1200 м, вы просто умножите ответ для ¹ / ₆ на 2. Для ³ / _{7 умножьте 6 это на 3.}

Бары очень хорошо подходят для учащихся, которым нравится видеть вещи визуально. Их можно использовать и в других областях математики — от деления, умножения, сложения и вычитания до соотношений и пропорций, а не только дробей!

Эквивалентные дроби в 4-м году

Слово эквивалентно просто означает то же, что и .

В 4 классе ваш ребенок должен знать десятичные дроби (числа с десятичными точками), которые соответствуют простым дробям.

Вы можете вычислить их вручную (разделив числитель на знаменатель), но рекомендуется запомнить наиболее распространенные, чтобы иметь к ним быстрый доступ.

Дробь	Десятичный
½	0,5 (или 0,50 – значение то же)
¼	0,25
¾	0,75

 

 

 

 

Как научить вашего ребенка дробям в 5 классе способ на 9объявление 10-летних, чтобы выучить свои дроби в этом году.

Но если вы действительно знаете концепцию дробей (что они являются частями целого и имеют другие правила, чем натуральные числа ), то все будет в порядке.

Причина, по которой 5-й год может быть сложным, заключается в том, что в нем очень мало конкретного представления, т. е. большинство изображений и предметов, используемых для представления дробей, теперь исчезли!

Ваш ребенок начнет складывать и вычитать дроби с различных знаменателей , что означает, что необходимо выполнить еще несколько шагов.

Используемый язык также может быть сложным.

Не забывайте часто использовать такие слова, как знаменатель, числитель, делить, сравнивать, упорядочивать, неправильную дробь и смешанное число , чтобы сохранить ключевую лексику в памяти вашего ребенка, так как это сослужит ему хорошую службу в работе, которую он выполняет. будет делать в течение 5-го года.

Сравнение и упорядочивание дробей в 5-м классе

Сравнивать и упорядочивать дроби с одинаковыми знаменателями относительно просто.

Однако в 5 классе вам необходимо научиться сравнивать и упорядочивать дроби с разными знаменателями.

Однако большинство школ не будут использовать стратегию калькулятора, поскольку калькуляторы не используются на SAT для 6-го года обучения (также известном как экзамены в конце KS2).

Если ваш ребенок изо всех сил пытается усвоить принцип сравнения дробей с разными знаменателями, калькулятор — хорошее место для начала.

Способ вычисления дробей без калькулятора

Процесс построения дробей без калькулятора может занять у вашего ребенка немного больше времени, но это то, что он должен знать в 5-м классе.

На изображении ниже показано, как вычислить порядковые дроби, если у вас нет калькулятора.

Заказать дроби можно гораздо быстрее, если вы знаете свои эквиваленты десятичных дробей и процентов.

Вот эквиваленты, которые вам необходимо знать в 5 классе.

Смешанные числа и неправильные дроби в 5-м классе

Если рядом стоят целое число и дробь, например 1 ½ , это называется смешанным числом . Вы можете преобразовать это в дробь, но числитель будет больше знаменателя. В данном случае ³ / ₂ . Это называется неправильной дробью (вы также можете услышать, что ее называют тяжелой дробью).

Понимание того, как составлять неправильные дроби, очень важно в 5-м классе, и вы можете помочь в этом своему ребенку.

Сложение и вычитание дробей в 5-м классе

Еще один навык, которому ваш ребенок овладеет в 5-м классе, — это сложение и вычитание дробей.

Складывать и вычитать дроби с одинаковым знаменателем очень просто, нужно только сложить числители, а знаменатели оставить одинаковыми.

⅛ + ⅜ = 48

Но когда у дробей разные знаменатели, их нужно сделать одинаковыми, прежде чем идти дальше.

5-й класс — хорошее время, чтобы привыкнуть к нахождению общих знаменателей (сделать нижнее число одинаковым), так как в 6-м классе большая часть работы с дробями, которую ваш ребенок будет выполнять, зависит от его способности это делать.

Умножение правильных дробей на дроби в 5-м классе

Узнав очень много о дробях уже к 5-му классу, знание того, как умножать (умножать) дроби, относительно просто по сравнению со всеми другими процессами, которые ваш ребенок изучил на этом этапе. .

Вы просто умножаете числители, а затем умножаете знаменатели, например:

² / ₄ x ³ / ₅ = ^{6 1} /

6 200345 Умножение дробей на целые числа в 5-м классе

Когда вас просят умножить целое число на дробь, это может показаться ребенку 5-го класса немного запутанным. Например:

3 x ³ / ₄

Чтобы решить эту пугающую проблему, вы можете начать с возвращения к бумажным полоскам, например:

Здесь важно помнить, что знаменатель остается прежним. Если это оказывается камнем преткновения, вы можете предложить лучшего друга каждого учителя математики: пиццу.

Но если запомнить один простой факт, все станет намного проще.

Любое целое число может быть превращено в фракцию, давая ему знаменатель 1.

3 = ³ / ₁

, что ³ / ₁ . , что равно 3.

Полученное уравнение решить намного проще. Просто умножьте числители вместе, а затем знаменатели вместе.

³ / ₁ x ³ / ₄ = ⁹ / ₄

Как научить вашего ребенка дробям в 6-м классе

К 6-му году ваш ребенок изучит большую часть материала по дробям, который ему понадобится математика начальной школы.

Несмотря на то, что есть один или два новых процесса, которые нужно изучить, важно пересмотреть основы в этом году к майским экзаменам KS2 — они всегда появляются намного быстрее, чем вы ожидаете!

Одна из самых важных вещей, с которой ваш ребенок должен быть уверен, — это сделать разные знаменатели одинаковыми, так как в этом случае он будет чувствовать себя намного более уверенным в своих силах в следующей главе работы с дробями.

В 6-м классе легко чувствовать себя разбитым из-за дробей, но вы все равно можете помочь своему ребенку преодолеть любое разочарование в дробях!

Как упростить дроби в 6-м классе

Новым требованием в 6-м классе является запись дробей в их простейшей форме .

Это просто означает, что мы используем наименьшие возможные числа, когда вычисляем наши дроби.

Мы делаем это для простоты — это не дает нам в конечном итоге получить дроби, состоящие из огромных чисел (что может сбивать с толку).

Упрощение дробей — еще одна область, которая подчеркивает важность овладения детьми таблицей умножения.

Например, хотя мы знаем, что ² / ₄ — вполне приемлемая дробь, мы упрощаем ее до ¹ / ₂ , чтобы упростить задачу (используя наши знания таблицы умножения на 2 и, следовательно, , вдвое).

Вы можете легко упростить дроби, потренировавшись в поиске наибольших общих делителей пар чисел.

Отличным методом поиска факторов являются факторные радуги, пример которых можно увидеть ниже.

Как

делить правильные дроби на целые числа в 6-м классе

Деление дробей — простой процесс, если вы помните, что, когда вы используете целые числа в задаче на дробь, вы можете положить это число больше 1, чтобы также сделайте дробь, например:

3 = ³ / ₁

Итак, если вы решаете задачу типа 3 ¾ , сначала превратите 3 в дробь.

³ / ₁ / ³ / ₄

Затем переверните вторую дробь (превратив ее в обратную) и измените операцию на умножение.

³ / ₁ x ⁴ / ₃

Теперь это простая задача на умножение, просто перемножьте числители и знаменатели, чтобы найти ответ.

³ / ₁ x ⁴ / ₃ = ¹² / ₃

Не забудьте упростить ответ! В этом случае ответ будет смешанным числом.

¹² / ₃ = 12 / 3 = 4

Дроби, десятичные дроби и проценты в 6-м году они тесно связаны.

Хорошо знать, как перейти от одного к другому, особенно когда вы заказываете или сравниваете суммы.

Ваш ребенок должен выучить наизусть наиболее распространенные эквиваленты (см. таблицу выше) и изучить стратегии нахождения общих процентов.

Например, чтобы найти 1%, нужно разделить сумму на 100 или разделить сумму на 10 и результат этого деления снова на 10.

Преобразование дробей для KS2 SAT в 6-м классе

К концу 6-го класса ваш ребенок должен знать, как преобразовывать дроби в десятичные и десятичные числа в проценты.

Преобразование дробей в десятичные

Разделить числитель на знаменатель.

Если они не знают своих эквивалентов или если это более неясная дробь (что маловероятно), они должны вернуться к использованию короткого деления (также известного как деление на автобусной остановке).

Преобразование десятичных дробей в проценты

Умножьте десятичную дробь на 100. Например, 0,79 станет 79%.

Преобразование процентов в десятичные дроби

Разделите процент на 100. Таким образом, 87% станет 0,87.

Преобразование процентов в дроби

Поставьте процентное значение больше 100 (например, 75% = 75/100), затем упростите его – в данном случае ¾ .

Несмотря на то, что существуют письменные методы обратного преобразования десятичных дробей в дроби, на данном этапе лучше всего сосредоточиться на том, что требуется для учебной программы по математике в начальной школе, и по большей части простые эквиваленты, такие как 0,25, равные ¼, будут всем, что требуется (знание восьмые тоже полезны, например, 0,375 совпадает с тремя восьмыми).

Также стоит прочитать эту статью о сравнении десятичных дробей и процентов.

Дроби в рассуждениях и решении задач в 6-м классе

В 6-м классе есть два задания (бумага 2 и 3), которые ваш ребенок должен будет сдать в рамках SAT.

Эти документы посвящены решению проблем и рассуждениям. Дроби также появятся в Документе 1 (арифметика), но они, как правило, немного сложнее, когда они находятся в контексте.

Попросите ребенка попробовать ответить на следующие вопросы SAT, чтобы понять, какие текстовые задачи возникают.

Выполните следующие действия, чтобы сделать их немного проще:

1. Прочитайте весь вопрос. Проверьте, сколько меток.
2. Прочитайте вопрос еще раз, обведя любую важную информацию (это могут быть слова, которые дают вам подсказку о необходимой операции, например, разделить пополам , разделить и т. д.).
3. Решите, какую операцию вам нужно использовать (сложение, вычитание, умножение или деление) и нужно ли вам выполнить более одного шага для ее решения.
4. Используйте выбранные вами операции и шаги.
5. Дважды проверьте ответ. Имеет ли это смысл в контексте вопроса?

Пример вопросов SAT о дробях для 6-го класса

Если вы изо всех сил пытаетесь помочь ребенку понять и изучить дроби дома, помощь всегда рядом. Мы можем предоставить доступное онлайн-обучение математике, идеально соответствующее индивидуальным потребностям вашего ребенка. Если фракции — это то, где им нужна помощь, мы можем потратить с ними время на это.

Индивидуальные онлайн-уроки по математике, которым доверяют школы и учителя
Каждую неделю репетиторы-специалисты по математике Third Space Learning помогают тысячам учеников в сотнях школ проводить еженедельные индивидуальные онлайн-уроки и математические мероприятия, предназначенные для заполнения пробелов и ускорить прогресс.

С 2013 года мы помогли более 80 000 учеников начальной и средней школы стать более уверенными в себе, способными математиками.

No related posts.