На что влияет размер матрицы в смартфоне: Камера смартфона для «чайников» №2. Фокусное расстояние. Ох уж эти миллиметры…

Содержание

Камера смартфона для «чайников» №2. Фокусное расстояние. Ох уж эти миллиметры...

Оценка этой статьи по мнению читателей:

В первой части статьи мы с вами разобрались с тем, что такое диафрагма камеры смартфона. Другими словами, мы научились понимать такие цифры, как f/1.8 или f/2.2, указываемые в характеристиках любого телефона. Также мы подробно проследили за тем, как картинка «попадает» в объектив камеры и каким образом свет вообще «переносит» изображение из одной точки в другую.

Но в конце первой части мы столкнулись с одной серьезной проблемой. Оказалось, само по себе значение диафрагмы ничего не говорит о том, сколько света в реальности пропускает объектив смартфона и как сильно он может размыть фон при помощи оптики, а не алгоритмов.

Более того, все эти f/1.5, f/1.8, … только сбивают с толку людей, которые хоть немного разбираются в фотографии. Ведь они-то знают, что «настоящий» объектив с диафрагмой f/1.8 будет делать очень чистые (без шума) снимки с красивым размытием фона. А смартфон с такой же диафрагмой, почему-то, совершенно не размывает фон. В чем же дело?

Как мы уже выяснили, всё дело в том, что значение диафрагмы (f/1.8) является лишь

относительным числом и не показывает реальный физический диаметр отверстия, через которое свет попадает в камеру. А именно диаметр отверстия влияет на глубину резкости и светосилу объектива.

У двух разных объективов с одинаковой диафрагмой f/1.8 могут быть совершенно разные по размеру отверстия, что хорошо видно на этой иллюстрации:

Но как же нам узнать реальный диаметр входного зрачка? Для этого нужно разобраться со вторым ключевым параметром — фокусным расстоянием объектива.

Напомню, вначале первой части статьи я приводил типичные характеристики любой камеры современного смартфона. Выглядят они примерно так:

  • Основная камера: 108 Мп, 1/1.33″, f/1.8, 26 мм, 0.8 мкм, PDAF
  • Телеобъектив: 12 Мп, 1/3.4″, f/2.0, 52 мм, 1.0 мкм, PDAF, OIS

Мы уже знаем, что значат f/1.8 или f/2.0, а сегодня научимся понимать значения 26 мм и 52 мм, выделенные жирным шрифтом выше. Это и есть фокусное расстояние.

Что такое фокусное расстояние?

Фокусное расстояние позволяет нам, не видя ни единого снимка, примерно понимать, как будут выглядеть фотографии в плане композиции, то есть, какой угол обзора будет в кадре.

Более того, зная только этот набор значений (например, 26 и 52 мм), можно с точностью сказать, во сколько раз смартфон с двумя камерами приближает картинку, то есть, какой у него оптический зум. В этом особенно полезно разбираться сегодня, когда производители подменяют понятия и вместо оптики указывают значения гибридного или цифрового зума.

Так что же такое фокусное расстояние и где в крошечной камере смартфона прячутся эти 26 или 52 миллиметра?

Итак, представьте, что какой-то объект находится бесконечно далеко от вас и все лучи света, отраженные от него, идут параллельно и попадают на линзу:

Линза сделана таким образом, чтобы все параллельные лучи света, проходя через нее и преломляясь, сходились в одной точке. Так вот, расстояние от центра линзы до точки, в которой все лучи пересекаются (сходятся) и называется фокусным расстоянием линзы:

Конечно, в случае со смартфоном всё сложнее, так как внутри его камеры находится не одна линза, а несколько (6 и более). И фокусное расстояние объектива высчитывается немножко по-другому, а именно, от его оптического центра до матрицы, на которой все лучи и фокусируются. Но я не буду подробно на этом останавливаться и объяснять, что такое оптический центр объектива, так как всё это не имеет принципиального значения. Для простоты понимания ограничимся только одной линзой, сути это не меняет.

Кто-то может спросить, а зачем вообще использовать так много линз в камере смартфона? Неужели одной будет недостаточно?

Дело в том, что одна линза дает слишком большие искажения. Это и потеря резкости (сферические аберрации), возникающая из-за того, что не все лучи идеально сходятся в одной точке. То есть, вместо картинки, которую я показал чуть выше, в реальности мы имеем что-то вроде этого:

Кроме того, показатель преломления света (как сильно луч меняет свое направление, проходя через линзу) зависит от длины волны. Чем короче волна, тем больше ее коэффициент преломления. Получается, синий свет (короткие волны) преломляется под бóльшим углом, чем красный (длинные волны). И вместо идеальной картинки мы снова получаем проблемы — хроматические аберрации (несуществующие цветные контуры различных объектов на фотографиях):

Для того, чтобы всё это исправить и сделать фотографию максимально качественной, используют множество линз специальной формы и с различным покрытием. Поэтому, зачастую, чем больше линз в камере смартфона, тем выше качество картинки.

Но вернемся к фокусному расстоянию. Так каким же образом расстояние от центра линзы до точки, в которой сходятся все лучи, влияет на угол обзора камеры и на ее оптическое приближение? На самом деле, все очень просто и интуитивно понятно.

Давайте сделаем снимок на смартфон, камера которого имеет фокусное расстояние 26 мм (это типичное фокусное расстояние для основной камеры любого смартфона):

Сейчас не пытайтесь понять, как производитель умудрился в корпусе толщиной 8 мм разместить камеру, у которой расстояние от линзы до матрицы составляет 26 миллиметров (а в Galaxy Note 20 Ultra и вовсе 130 мм). С этим мы разберемся чуточку позже.

На схеме выше показана ситуация, когда все лучи света параллельны друг другу. Это может быть только в том случае, если объект находится бесконечно далеко. Но в реальной жизни лучи отражаются от объектов под разными углами.

Нам важно знать лишь одну простую вещь — луч, прошедший через центр линзы, никак не преломляется. По сути, эти лучи и будут определять угол обзора (сколько объектов сможет захватить камера):

Когда мы сделаем снимок на такой смартфон, то получим следующий результат:

Снимок на 26-мм объектив

Что же произойдет, если мы увеличим фокусное расстояние объектива (расстояние от «линзы» до матрицы)? Лучи света, проходящие через центр линзы, будут пересекаться уже под другим углом и, соответственно, такая камера захватит гораздо меньше объектов в кадре:

Но так как размер снимка (матрицы камеры) остался прежним, то все эти объекты будут выглядеть крупнее:

Снимок на 52-мм объектив

На этом моменте я бы хотел немножко отойти в сторону и затронуть некоторые явления и заблуждения, связанные с фокусным расстоянием объектива.

Сжатие перспективы. Или почему широкоугольная камера так искажает лица!?

Используя пример с лучами, давайте рассмотрим такое явление, как сжатие перспективы. Для тех, кто не знаком с этим понятием, вкратце объясню. Когда вы снимаете что-то на объектив с длинным фокусным расстоянием, все объекты на фоне получаются более крупными, чем если бы вы снимали ту же сцену на объектив с коротким фокусным расстоянием.

К примеру, на следующих снимках расстояние между эльфом и домом одинаковое, но при съемке на объектив с длинным фокусным расстоянием, дом кажется гораздо ближе и крупнее:

Почему так происходит? «Очевидно же», что на фото слева дом гораздо дальше от эльфа! На самом деле, всё очень просто. Достаточно посмотреть, какой процент от общей высоты кадра будут занимать эльф и дом, если снимать их длиннофокусным объективом:

Выходит, высота эльфа составляет около 63% от высоты кадра, а высота дома — 72%. То есть разница между ними небольшая и на снимке кажется, будто эльф находится прямо возле дома.

Если сделать тот же снимок на объектив с коротким фокусным расстоянием, в кадр попадет гораздо больше объектов, так как угол обзора будет гораздо шире. Объектив с длинным фокусным расстоянием очень приближал картинку и мы видели в кадре только эльфа и дом.

Чтобы это исправить, то есть, чтобы получить ровно такую же композицию, нам нужно подойди к эльфу намного ближе. Но теперь и размеры объектов будут другими:

Эльф занимает те же 63% высоты кадра, что и раньше, но так как угол обзора объектива с коротким фокусным расстоянием намного шире, дом позади эльфа уже занимает всего 41% от общей высоты кадра. Теперь эльф на фото будет крупнее дома. Вот и весь секрет сжатия перспективы!

Получается, в реальности не фокусное расстояние влияет на перспективу, а расстояние от камеры до объекта съемки. Если бы мы стояли на одном месте и переключали камеры, то соотношение размеров эльфа и дома никак не менялось бы.

И здесь еще уместно вспомнить о проблемах при съемке портретов. Даже многие профессиональные фотографы ошибочно полагают, будто фокусное расстояние объектива как-то влияет на пропорции портрета. Хотя в действительности влияет только расстояние от камеры до объекта съемки.

Если мы снимаем портрет на объектив с длинным фокусным расстоянием (80 мм), то нам нужно отойти подальше и тогда все части лица (глаза, нос, уши) имеют правильные пропорции. Если же мы берем ультраширокоугольный объектив с фокусным расстоянием 13 мм, нам нужно подойти вплотную к человеку, чтобы сохранить композицию, то есть, чтобы лицо занимало ту же часть кадра, что и раньше.

Но в этом случае повторится ситуация с эльфом. Так как нос окажется ближе к объективу, он получится крупнее, и все пропорции «поплывут». Но, повторюсь, произойдет это только от того, что мы приблизили камеру к объекту, а не из-за каких-то мифических искажений, создаваемых объективом.

Оптическое приближение камеры смартфона

Как мы уже разобрали, чем длиннее фокусное расстояние объектива, тем меньше угол обзора камеры и тем сильнее она «приближает» все объекты. Соответственно, чем короче фокусное расстояние, тем шире угол обзора камеры и в кадр попадает больше объектов, но все они будут меньшего размера.

Чтобы определить, во сколько раз смартфон может приблизить картинку, достаточно разделить более длинное фокусное расстояние на более короткое. К примеру, если на смартфоне есть две камеры с объективами 26 и 52 мм, тогда он имеет 2-кратное оптическое приближение (52/26=2). Всё остальное — это алгоритмы или маркетинговая ерунда.

Для примера рассмотрим набор камер Galaxy Note 20 Ultra (обзор этого смартфона доступен на нашем сайте), обратим внимание только на фокусное расстояние объективов:

  • Основная камера: 26 мм
  • Ультраширокоугольная камера: 13 мм
  • Телеобъектив: 130 мм

Основная камера имеет типичный для смартфона угол обзора, а вот фокусное расстояние ультраширокоугольной камеры (13 мм) в два раза короче. То есть, она имеет гораздо больший угол обзора. Телеобъектив же, напротив, имеет очень небольшой угол обзора, но приближает картинку относительно основной камеры в 5 раз (130/26=5). Но если оценивать оптический зум телеобъектива относительно ультраширокоугольной камеры, тогда получаем 10-кратное оптическое приближение (130/13=10).

Надеюсь, с этим вопросом всё понятно.

Выходит, теперь мы можем легко определить физический диаметр отверстия в объективе, просто разделив фокусное расстояние на диафрагму? А узнав это значение, мы сможем понять, в каком смартфоне установлена камера с более светосильным объективом.

К сожалению, в мире мобильных камер, помимо фокусного расстояния, существуют еще фокусы маркетологов, о чем и поговорим подробнее дальше.

Разоблачаем фокусы производителей смартфонов

Если мы разделим фокусное расстояние (130 мм) на диафрагму (f/3.0), то получится, что в телеобъективе Galaxy Note 20 Ultra не просто «отверстие», а огромная дыра диаметром >4 см. Вот как выглядел бы подобный смартфон, будь это правдой:

Да и каким чудом в аппарате, толщиной 8 мм и шириной 70 мм, могла уместиться камера, у которой расстояние от линзы до матрицы (фокусное расстояние) составляет 130 мм!? Здесь явно что-то не так!

На самом деле, никаких 130, 26 и даже 13 мм в объективах смартфонов нет. Но! Если вы возьмете профессиональный полнокадровый зеркальный фотоаппарат с объективом, фокусное расстояние которого действительно равняется 26 мм, и сделаете снимок, то обнаружите, что композиция кадра в точности соответствует тому, что выдаст смартфон со своим «фейковым» 26-мм фокусным расстоянием.

То есть, производитель смартфона не просто берет цифры из потолка, а указывает относительное фокусное расстояние объектива (относительно полнокадрового фотоаппарата). Благодаря этому можно объективно оценивать и сравнивать угол обзора (а также оптическое приближение) объектива любого смартфона и даже профессиональной камеры.

Если вы привыкли снимать портреты на большом фотоаппарате с объективом 80 мм, то, купив смартфон с камерой, у которой фокусное расстояние указано «80 мм», вы получите ровно ту же композицию (такое же приближение и угол обзора).

Относительное фокусное расстояние

Как же так получается? Каким образом камера смартфона так хорошо «имитирует» фокусное расстояние большой камеры, имея внутри корпуса всего несколько миллиметров свободного пространства?

Всё дело в размерах самой матрицы! Чтобы это наглядно показать, давайте посмотрим на угол обзора большого профессионального фотоаппарата с огромной матрицей и объективом, у которого фокусное расстояние на самом деле равняется 26 мм:

Как видите, в кадр попадают все объекты: дом, дерево и эльф. А теперь оставим всё как есть, только заменим большую матрицу зеркалки на крошечную матрицу смартфона и посмотрим, что произойдет:

Теперь лучи света будут пересекаться в центре под другим углом и у нас получится совершенно другая композиция — портрет эльфа.

Оставив реальное 26-миллиметровое фокусное расстояние, но заменив только матрицу, мы получили мощный телеобъектив, приближающий изображение в десятки раз. Теперь такой объектив ну никак нельзя сравнить с обычным 26-миллиметровым.

Чтобы это исправить, нужно значительно уменьшить реальное фокусное расстояние (расстояние от линзы до матрицы), сократив 26 мм до 3-4 мм. Тогда «восстановится» и первоначальный угол обзора:

Вот теперь крошечная матрица смартфона и 4-мм фокусное расстояние выдают в точности такое же изображение (по композиции), как и большая полнокадровая зеркалка с 26-миллиметровым объективом. Именно по этой причине производитель заявляет, что объектив смартфона имеет эквивалентное фокусное расстояние 26 миллиметров, хотя в действительности внутри корпуса нет и 6 мм.

Если же мы говорим об эквивалентном фокусном расстоянии в 130 мм (тот же телеобъектив Huawei P40 Pro, Vivo X50 Pro или Galaxy Note 20 Ultra), реальное фокусное расстояние будет составлять примерно 11-14 мм. В этом случае используется призма, преломляющая свет под углом 90 градусов, а сам объектив размещается не перпендикулярно корпусу, а вдоль него:

Но проблема с диафрагмой остается. Ведь, если производитель указывает эквивалентное фокусное расстояние, нужно указывать и такую же «эквивалентную» диафрагму, чтобы не вводить пользователей в заблуждение.

Согласитесь, одно дело увидеть объектив 80 мм f/1.8 (очень светосильный и дорогой объектив) и совсем другое — 80 мм f/22. Второй уже не кажется таким хорошим выбором, не так ли? В мире больших камер столь медленные объективы вообще не встречаются (медленные — потому, что они пропускают очень мало света и им нужно много времени, чтобы сделать хороший кадр при недостаточном освещении).

Если же производитель указывает диафрагму f/1.8, нужно указывать и реальное фокусное расстояние, например, 5 мм вместо эквивалентных 50 мм. Тогда любой пользователь легко определит диаметр отверстия объектива, разделив 5 на 1.8.

В общем, делается всё это умышленно, чтобы вызывать ложное ощущение очень светосильного объектива. Практически ни одна компания не указывает в характеристиках камеры смартфона реальное фокусное расстояние объектива, ограничиваясь лишь эквивалентными значениями.

Узнать реальное фокусное расстояние можно, разве что, посмотрев в Галерее смартфона сведения о сделанной фотографии (или поискав хорошенько в интернете):

Здесь мы видим диафрагму f/2.0 и фокусное расстояние 5.9 мм, то есть, реальный диаметр отверстия объектива этого смартфона составляет 2.95 мм (5.9/2).

Зная это значение, теперь можно корректно сравнивать светосилу этой камеры с любой другой.

Подводя итоги

И последнее, о чем хотелось бы напомнить. Ни фокусное расстояние, ни размер матрицы не имеют отношения к так называемому эффекту боке (размытие фона). Глубина резкости зависит исключительно от двух вещей: диафрагмы и расстояния от камеры до объекта съемки.

Поэтому знайте, когда кто-то заявляет, что более крупная матрица в смартфоне «размывает» фон сильнее — это заблуждение. Размер матрицы косвенно влияет на размытие, но совершенно не так, как полагают многие люди. Об этом подробнее мы поговорим в следующих частях.

Итак, позвольте еще раз привести характеристики камеры случайного смартфона:

  • Телеобъектив: 12 Мп, f/2.0, 52 мм, 1/3.4″, 1.0 мкм, PDAF, OIS

К этому моменту вы уже должны хорошо понимать, что означают цифры f/2.0 и 52 мм. Также вы можете легко определить реальное оптическое приближение этого объектива (во сколько раз он увеличивает картинку), если , скажем, фокусное расстояние основной камеры этого же смартфона равняется 26 мм.

О том, что такое PDAF я рассказывал в отдельной статье, посвященной фазовому автофокусу (PDAF). Выходит, нам лишь остается разобраться с тем, что такое 1/3.4″, 12 Мп и 1.0 мкм.

Эти три значения связаны между собой, так как все они описывают саму матрицу — аналог пленки в «доисторические» времена. Но об этом мы поговорим в третьей части!

Алексей, глав. редактор Deep-Review

 

P.S. Мы открыли Telegram-канал и сейчас готовим для публикации очень интересные материалы! Подписывайтесь в Telegram на первый научно-популярный сайт о смартфонах и технологиях, чтобы ничего не пропустить!

 

Понравилась статья? Поделитесь с другими:

Как бы вы оценили эту статью?

Нажмите на звездочку для оценки

Оценить!

Внизу страницы есть комментарии...

Напишите свое мнение там, чтобы его увидели все читатели!

Если Вы хотите только поставить оценку, укажите, что именно не так?

Отправить

Большое спасибо за отзыв!

AMOLED матрица в смартфоне: плюсы и минусы | Смартфоны | Блог

Еще недавно IPS матрицы считались эталоном качества и цвета. Теперь все шумят про крутость матриц OLED. Уже пора бежать менять смартфон на новый флагман со светодиодным дисплеем или не стоит?

Что такое OLED и в чем главное отличие от IPS?

OLED — это технология изготовления матрицы на органических светодиодах. Каждый пиксель в ней является обособленным — он светится и меняет цвет независимо от соседних пикселей. В то же время технология IPS подразумевает наличие двух отдельных слоев: жидких кристаллов и подсветки.

OLED (он же в данном случае AMOLED) можно встретить в разных формулировках. Например, Samsung в своих гаджетах использует Super AMOLED, Dynamic AMOLED, а Apple — Super Retina XDR. Но на самом деле это лишь разные маркетинговые названия одной технологии изготовления дисплеев под названием OLED.

Почему OLED лучше

В OLED матрицах подсветка неиспользуемых пикселей может полностью отключаться. В итоге автономность смартфона гораздо выше, он медленнее разряжается, особенно если в нем установлена темная тема. Эта особенность позволила создать функцию Always On Display, когда на выключенном дисплее постоянно отображается информация, но энергии потребляется совсем мало. В случае с IPS, энергопотребление дисплея будет зависеть только от его яркости. Темная тема на IPS полезна для ваших глаз, но на автономность гаджета особенно не влияет.

Ввиду отсутствия отдельного слоя с подсветкой, толщина OLED дисплея значительно меньше, чем IPS. Поэтому многие производители смартфонов стали внедрять сканер отпечатков пальцев прямо в экран. Некоторые бренды уже работают над созданием фронтальной камеры, также спрятанной под дисплеем. На IPS матрицах все это на данный момент невозможно.

Кроме того, OLED матрицы обладают высокой контрастностью. Как правило, цвета на них более яркие и насыщенные. Правда у цветопередачи таких матриц есть и обратная сторона — картинка хоть и сочная, но не всегда реалистичная.

За что до сих пор любят IPS

Несмотря на то, что AMOLED матрицы добрались даже до средне-бюджетного сегмента смартфонов, их себестоимость по-прежнему намного выше IPS. Некоторые производители в погоне за трендами оснащают свои бюджетники AMOLED дисплеями, жертвуя, например, разрешением матрицы или железом — обращайте на это внимание при покупке бюджетного устройства.

Как мы помним, AMOLED матрицы являются более насыщенными. Но некоторые производители настраивают цветопередачу матриц по умолчанию так, чтобы картинка смотрелась даже слишком яркой, сочной и красочной. В итоге изображение кажется более привлекательным, но по факту цветопередача на нем менее естественная, и цвета могут попросту врать.

Возможность настроить цветовую схему AMOLED дисплея под себя есть в каждом современном смартфоне, но IPS матрицы «из коробки» предлагают более натуральные цвета.

IPS матрицы лишены какого-либо мерцания, из-за чего крайне редко доставляют дискомфорт зрению даже при длительном использовании. А вот OLED матрицы обладают более высоким показателем ШИМ, что может не понравиться некоторым пользователям.

ШИМ, или почему AMOLED не для всех

Уровень подсветки в OLED дисплеях остается неизменным всегда — таковы конструктивные особенности матриц. Но как же тогда затемняется матрица в смартфоне, когда мы понижаем яркость? Тут на помощь приходит ШИМ — широтно-импульсная модуляция. Уровень яркости AMOLED дисплея определяется не интенсивностью подсветки, а количеством выключений и включений матрицы за секунду. Человеческий глаз не способен заметить мерцания визуально, так как частота ШИМ в среднем составляет 200 колебаний в секунду.

С понижением яркости увеличивается скважность мерцаний за определенный промежуток времени. Стоит отметить, что многие производители смартфонов задействуют ШИМ в своих смартфонах не постоянно, а только ниже 50 % яркости — тут уже абсолютно каждый дисплей начинает мерцать.

У некоторых людей ШИМ вызывает дискофорт зрения: появляется сухость, резь и быстрая усталось глаз. Но важно понимать, что воздействию ШИМ подвержены отнюдь не все. И даже если вы входите в эту группу, то неприятные ощущения могут появиться только после нескольких суток. Но если вы все-таки чувствуете влияние ШИМ — на помощь приходит технология DC Dimming.

DC Dimming и другие способы защитить свое зрение

DC Dimming позволяет регулировать яркость дисплея при помощи изменения напряжения на всем промежутке, минимизируя ШИМ. Количество импульсов заметно сокращается, но и цветопередача матрицы несколько ухудшается. Органические светодиоды не могут работать идеально при низком напряжении.

Несмотря на заметные отклонения цветопередачи оттенков серого, результаты в обоих случаях можно считать нормальными. Некоторые пользователи и вовсе не заметят разницы при повседневном использовании.

Ниже приведен пример того, как наглядно может измениться изображение с использованием DC Dimming. Подобные искажения проявляются не всегда, а лишь в определенных оттенках на низкой яркости.

К сожалению, данная технология реализована не на каждом смартфоне с AMOLED матрицей. Проверить ее наличие в том или ином смартфоне можно на официальном сайте производителя.

Если же вы используете устройство без DC Dimming, но хотите обезопасить свое зрение — старайтесь использовать гаджет на яркости свыше 50 %. Однако данный совет актуален только при условии достаточной освещенности при использовании гаджета. Для комфортного использования устройства в темноте подойдут различные программы типа OLED Saver для ОС Android. Они накладывают черный фильтр поверх изображения, перед этим повысив яркость дисплея до максимума. В таком случае ШИМ действительно уменьшается, правда, вместе с ресурсом матрицы из-за максимальной яркости. Поэтому не рекомендуем использовать такие приложения на беспрерывной основе.

Гораздо проще с iPhone — у них изначально отсутствует функция DC Dimming, но для грамотного понижения яркости не нужно сторонее приложение, затемняющие фильтры есть прямо в настройках смартфонов.

Чтобы каждый раз не заходить в настройки, можно настроить активацию фильтра на тройное нажатие кнопки питания. Для этого в разделе Универсальный доступ перейдите в раздел Быстрая команда и выберите функцию Понижение точки белого.

Так будущее все-таки за AMOLED?

Да! Все-таки OLED имеет ряд серьезных преимуществ над IPS. Это и высокая контрастность, и натуральный черный цвет без засветов, и опция Always on Display. Особая «фишка» — возможность расположения датчиков, сканера и фронтальной камеры прямо в дисплее. Некоторое время назад говорили о выгорании светодиодов, об эффекте «памяти». Но сценарии, при которых это действительно может создать проблемы реальному пользователю маловерятны. Чтобы создать условия для серьезного выгорания диодов, нужно включить смартфон на максимум яркости, открыть одну единственную статичную картинку и оставить его в таком положении на десятки часов. В быту же гораздо быстрее смартфон устареет или сломается, чем выгорит OLED матрица.

На что влияет размер матрицы камеры смартфона?

Пока производители смартфонов устраивают гонку за мегапикселями, более важной характеристикой камеры продолжает оставаться размер матрицы. На что он влияет, а какие характеристики изображения не зависят от размера матрицы?

Матрица представляет собой микросхему со светочувствительными фотодиодами. Как известно, фотодиод под действием света формирует электрический сигнал, который впоследствии преобразуется в цифровой сигнал. Фактически матрица выполняет функцию пленки в традиционных фотоаппаратах. В дальнейшем информация об изображении поступает в процессор, который преобразует его и отправляет в хранилище смартфона. В среднем этот процесс длится 0,2-0,3 секунды.

Размер матрицы указывается в дюймах. В современных моделях используются матрицы со следующей диагональю: 

При этом качество картинки напрямую зависит от размера матрицы. Во-первых, чем больше сенсор, тем больше света улавливает матрица. Благодаря этому более крупные датчики способны размывать фон с малой глубиной резкости, демонстрировать меньший шум в условиях низкой освещенности и захватывать более широкий динамический диапазон между самыми яркими и самыми темными областями изображения.

Во-вторых, большой сенсор может вместить больше мегапикселей. Чем больше мегапикселей у камеры смартфона, тем выше будет разрешение снимков. К сожалению, невозможно поместить много больших пикселей на сенсор, по крайней мере, в камере смартфона из-за физического размера матрицы. Так что чем больше пикселей у камеры, тем они меньше — на это тоже нужно обращать внимание.

А вот одно из популярных заблуждений — якобы от размера матрицы зависит красивое размытие фона и придание объектам на снимке объема. На самом деле эти моменты зависят от других характеристик, в частности, от работы программных алгоритмов в смартфоне.

Источник: //zoom.cnews.ru/b/post/tehnoblog/75657


Данный материал является частной записью члена сообщества Club.CNews.
Редакция CNews не несет ответственности за его содержание.

[Перевод] Вся правда о камерах в смартфонах

1 Просмотров 19073 Главное

Adam Koueider (Адам Коуйедер) с ресурса Android Authority решил расставить все точки над i и рассказать все о камерах в смартфонах. В свете недавних анонсов камерофонов Samsung Galaxy S 4 Zoom и Nokia Lumia 1020, мы спешим познакомить вас с переводом его замечательной статьи.


У многих сложилось совершенно неправильное представление о камерах в мобильных устройствах. Большое количество людей обвели вокруг пальца, заставив думать, что большее количество мегапикселей способствует лучшей съемке, но на деле качество картинки зависит от множества самых разных факторов. Давайте развеем поднадоевший миф.

Мегапиксели не играют ключевой роли

Производители заставили думать потребителей, что количество мегапикселей напрямую влияет на качество снимков, но все это лишь маркетинговое заигрывание. Правда в том, что большое количество мегапикселей не всегда приводит к хорошему качеству изображения, а иногда даже портит его.

Так на что же именно влияют мегапиксели в вашем смартфоне? А влияют они всего на одну вещь — детализацию. Чем больше мегапикселей мы имеем, тем детализированней получится изображение. Такое изображения идеально подойдет для обрезки и масштабирования. Также, если вы распечатываете огромные фотографии и вешаете их на стены, то для вас это тоже играет большую роль.

Большинство флагманов оснащаются камерой с разрешением 13 мегапикселей, но нужны ли они, если вы просто публикуете фотографии в своих любимых социальных сетях? Вопрос весьма спорный.

Размеры матрицы и диафрагмы

Из-за тотальной моды на уменьшение толщины смартфонов, пришлось в срочном порядке уменьшать и размеры матриц. Если взглянуть на DSLR, то вы заметите, что матрица довольно массивная. Однако в смартфон с толщиной менее 10 мм подобную матрицу установить невозможно, поэтому производители используют матрицы по-меньше.

От размера матрицы напрямую зависит количество пропускаемого света, что в свою очередь влияет на качество картинки. Чем больше света может пропустить через себя матрица, тем лучше будет снимок. Как правило, размер матрицы первым идет под нож, если производитель хочет уменьшить толщину девайса. Тем не менее, компания HTC не так давно начала с этим бороться, представив смартфон One, оснащенный камерой с ультрапикселями (подробнее об этом поговорим чуть позже).

Еще одним важным фактором является диафрагма — отверстие, через которое должен пройти свет, чтобы достичь матрицы. Если на вашем смартфоне стоит режим съемки «авто», то программное обеспечение само должно выбрать оптимальный размер диафрагмы (она может расширяться и сужаться).

На иллюстрации после буквы «f» стоит цифра, обозначающая размер диафрагмы. В Samsung Galaxy S 4, например, размер диафрагмы составляет f/2.2. Помните, что чем меньше число, тем больше сама диафрагма. Одно из самых больших преимуществ большой диафрагмы является возможность фокусироваться на определенных предметах и размывать фон.

Оптическая стабилизация (OIS) против цифровой стабилизации

Вы могли заметить, что в видеороликах, снятых на смартфон часто дрожит изображение, независимо от того, насколько сильно оператор старался не трясти руками. Так получается, потому что в смартфонах не было оптической или цифровой стабилизации.

Цифровая стабилизация за счет программного обеспечения противодействует тряске путем сдвига изображения от кадра к кадру на софтверном уровне. В свою очередь, оптическая стабилизация, используя встроенные гироскопы, перемещает линзы камеры в противоположную сторону от движения аппарата на аппаратном уровне. Из личного опыта скажу, что оптическая стабилизация показывает наилучший результат. Однако это не всегда так, потому что разные производители используют разные методы оптической стабилизации.

Из современных известных смартфонов стоит выделить Nokia Lumia 920, Nokia Lumia 925, Nokia Lumia 1020 и HTC One. Все они прибегают к оптической стабилизации, в то время, как другие смартфоны используют цифровую.

Ультрапиксели

HTC One оснащается 4-ультрапиксельной камерой, что гораздо меньше, чем у конкурентов. Большинство производителей наращивают пиксели без увеличения самой матрицы, а это значит, что каждый отдельный пиксель получает меньше света.

Ультрапиксели больше, чем регулярные пиксели и теоретически такая камера должна работать лучше при условии недостаточной освещенности. И это действительно так, но многие рецензенты жалуются, что при хорошем освещении ультрапиксели не делают погоды. В связи с большим размером самих пикселей, их количество меньше, чем в других флагманах, а это означает, что и деталей такая камера уловит меньше при хорошем освещении.

Программное обеспечение имеет значение

Аппаратная часть, конечно же, играет ключевую роль при съемке, однако и софтверная часть тоже влияет на многое. Программное обеспечение в смартфоне постоянно анализирует поле зрения камеры и подбирает необходимые настройки для оптимальной съемки.

Не стоит забывать и при альтернативные режимы съемки, специфичные для определенной ситуации. Это также позволит улучшить качество конечного снимка. Ниже приведен пример фотографии, сделанной в условиях недостаточной освещенности в режиме слабой освещенности (слева) и в автоматическом режиме (справа) на смартфон Galaxy S 3.

Также желательно пользоваться режимом HDR, благо большинство современных устройств на базе Android позволяют это делать. Часто этот режим позволяет добиться хорошего изображения при плохом освещение или, наоборот, при слишком ярком.

Соберем все детали воедино

Мы объяснили все основные факторы, влияющие на качество снимков. Однако, чтобы сложить всю картину воедино, мы провели небольшой тест камер трех смартфонов: Galaxy S 3, Galaxy S 2 и Nexus 4.

Представленные фотографии были сделаны при дневном свете в пасмурную погоду (авто):

Представленные снимки сделаны в средне освещенном помещении без использования вспышки (авто):

Представленные снимки сделаны в помещении с плохим освещением и с выключенной вспышкой (авто):

Представленные снимки сделаны в помещении с плохим освещением и с включенной вспышкой (авто):

Представленные снимки сделаны в помещении с нормальным освещением и с выключенной вспышкой (авто):

Результаты

Мегапиксели: все смартфоны были оснащены камерой с разрешением 8 мегапикселей, однако результаты были не равны.

Диафрагма и размер матрицы: у Nexus 4 была самая маленькая матрица, но крупная диафрагма. Это позволило достичь лучшей глубины резкости в фотографии с цветком. Также камера неплохо себя показала в условиях недостаточной освещенности. Galaxy S 3 и Galaxy S 2 имеют одинаковый размер матрицы, но у старшей модели немного более крупная диафрагма, следовательно, снимки получились с несколько лучшей глубиной резкости и в условиях плохой освещенности также снимки получились лучше.

Программное обеспечение: все смартфоны использовали одинаковую вспышку и цифровую стабилизацию, но у всех было разное программное обеспечение. Galaxy S 3 использовал приложение камеры в TouchWiz Nature UX 1.0, Galaxy S 2 — TouchWiz 4.0, Nexus 4 — стоковый Android 4.2.2. Jelly Bean.

Программное обеспечение в каждом смартфоне имело свои преимущества и недостатки. Например, Galaxy S 3 сильно проиграл в снимке люстры в условиях средней освещенности, а Nexus 4 переусердствовал в снимке со вспышкой. Камера в Galaxy S 3 предлагала наиболее богатые настройки для съемки, чтобы можно было подстроиться под любые условия и его HDR режим лучше, чем у Galaxy S 2 и Nexus 4.


Как я уже говорил, производительность камеры в смартфоне зависит от множества самых разных факторов и мы разобрали лишь основные из них и этого вполне достаточно, чтобы понять: количество мегапикселей — не главное.

Гаджеты. Как выбрать смартфон с лучшей камерой | ОБЩЕСТВО

Самым значимым параметром в современных смартфонах давно уже не является качество сотовой голосовой связи. На первый план выходят такие характеристики как скорость и стабильность мобильного интернета, качество изображения экрана, его (экрана) размер и пропорции, качество фото- и видеосъёмки. Именно о том, как выбрать смартфон с хорошей камерой, мы и поговорим.

Мегапиксели

Первое, на что принято обращать внимание, и это один из самых обманчивых параметров. Если предельно кратко — гонка за числом мегапикселей имеет смысл только при большом сенсоре (матрице). Нередко производители недорогих смартфонов даже не афишируют размер сенсора именно их этих соображений.

В современных смартфонах по состоянию на май 2020 года вполне приемлемым значением разрешения является 12Мпикс с разными вариациями в ту или иную сторону. Если значение значительно меньше, камера выпадает за рамки нашего обзора. Если больше, нужно смотреть на сенсор (который, напоминаем, не всегда афишируется, особенно «бюджетными» производителями).

Запредельное число мегапикселей на фоне крохотного сенсора сработает скорее во вред качеству изображения, дав потери в чёткости.

Общее краткое правило для ориентировки: лучше меньше больших пикселей, чем много мелких.

Фото: pixabay.com

Размер матрицы (сенсора)

Размер матрицы в таких устройствах измеряется не в привычных нам дюймах, а в видиконовых, размер которых составляет 17мм. Размеры матриц в смартфонах слишком мелкие, чтобы их размеры обозначались хотя бы единичными целыми числами, поэтому используют дробные.

Если предельно кратко, в таком показателе (например, 1/2.9” или 1/2.8” — это характеристики очень неплохих девайсов, ближе к хорошим) второе число после косой черты отображает размер. Чем она меньше, тем матрица больше, а камера должна быть мощнее.

Для недорогого смартфона нормально будет иметь матрицу размером 1/3" в сочетании с разрешением не более 12Мпикс. Больше мегапикселей — хуже качество, меньше — на больших мониторах и телевизоров будет заметна пикселизация и общая «рыхлость» картинки.

Для флагманов нормально, если матрица размером около 1/2.8”, или чуть больше — до 1/2.5”.

Фото: pixabay.com

Другие параметры

Тоже важными, но не первоочередными характеристики камеры в смартфоне будут число и назначение самих камер — в 2020 году уже есть понятие «камероблок», под которым имеют в виду набор камер; а также наличие оптической стабилизации, тип автофокуса и прочее.

Размер пикселя

Этот параметр переживал свою «моду» и «тренды». Сейчас, в 2020 году, когда страсти подуспокоились и появилась спокойная объективность, рынок пришёл к разумному согласию по таким параметрам.

Для «бюджетника» нормой считается размер пикселя не менее 1.22мкм. Флагманы считают хорошим тоном этот показатель на уровне не менее 1.25, а лучше 1.4 или 1.5мкм. В целом, чем больше, тем лучше. Как легко выбрать смартфон с лучшей камерой, предлагает RankQuality. Новый российский онланй-сервис объективной оценки качества предоставляет простой и наглядный инструментарий для проведения самостоятельной оценки и сравнительной характеристики любых видов электроники или почти любых других товаров.

Экраны и типы матриц современных смартфонов и планшетов: какой выбрать? – MediaPure.Ru

В году так 2007, покупая очередной мобильный телефон, мы оценивали его дизайн, редко обращая внимание на функциональные возможности и тем более экран – цветной, не слишком маленький, ну и здорово. Сегодня мобильные устройства едва можно отличить от друг от друга, но самой важной характеристикой для многих остается экран и не только его размер диагонали, но и тип матрицы. Давайте посмотрим, что скрывается за терминами TFT, TN, IPS, PLS, и как выбрать экран смартфона с необходимыми характеристиками.

Типы матриц

Популярные типы матриц

В настоящее время в современных мобильных устройствах применяют три технологии производства матриц основанных:

  • на жидких кристаллах (LCD): TN+film и IPS;
  • на органических светодиодах (OLED) – AMOLED.

Начнем с TFT (thin-film transistor), которая представляет собой тонкоплёночные транзисторы, использующиеся для управления работой каждого субпикселя. Данная технология применяется во всех указанных выше типах экранов, включая AMOLED, поэтому сравнивать TFT и IPS не всегда правильно. В подавляющем большинстве TFT-матриц применяется аморфный кремний, но также стали появляться TFT на поликристаллическом кремнии (LTPS-TFT), преимущество которой заключается в уменьшенном энергопотреблении и большей плотности пикселей (более 500 ppi).

TN+film (TN) – наиболее простая и дешевая матрица, используемая в мобильных устройствах c малыми углами обзора, слабой контрастностью и низкой точностью цветопередачи. Данный тип матриц устанавливается в самые дешёвые смартфоны.

IPS (или SFT) – самый распространенный тип матрицы в современных мобильных гаджетах, обладающий широкими углами обзора (до 180 градусов), реалистичной цветопередачей и обеспечивают возможность создания дисплеев с высокой плотностью пикселей. У данного вида матриц несколько видов, рассмотрим самые востребованные:

  • AH-IPS – от компании LG;
  • PLS – от компании Samsung.

Говорить о преимуществах относительно друг друга бессмысленно, так как матрицы идентичны по свойствам и характеристикам. Отличить дешёвую IPS-матрицу можно на глаз по характерным свойствам:

  • выцветание картинки при наклонах экрана;
  • низкая точность ц

Популярность iPhone способствует его долговечности и устойчивости - ScienceDaily

В последние годы многие критики осуждали производителей смартфонов за производство устройств, которые быстро устаревают, вызывая «запланированное устаревание», которое дорого обходится потребителям и глобальной окружающей среде.

Тем не менее, в то время как многие потребители требуют повышенной «ремонтопригодности» - и, следовательно, увеличения срока службы - этих устройств, новое исследование, проведенное Йельским университетом, показало, что существует более важный фактор, определяющий, как долго смартфоны остаются в использовании: кэш бренда.

При анализе примерно 500 000 списков подержанных телефонов Apple и Samsung, продаваемых на eBay, исследователи обнаружили, что бренд, нематериальная собственность, более важен, чем ремонтопригодность или объем памяти для продления срока службы продукта.

В статье Journal of Industrial Ecology они приходят к выводу, что iPhone в среднем имеют дополнительный год использования, хотя эти два бренда сопоставимы по качеству и технологическим инновациям.

«Я знаю, что люди ругают телефонные компании за« плановое устаревание »их продуктов, но в большинстве случаев телефоны заменяют, когда они все еще работают нормально, поэтому улучшение ремонтопригодности не обязательно сильно поможет."- сказала Тамар Маков, докторант Йельской школы лесоводства и экологических исследований (F&ES). - Возможно, нам следует сосредоточиться на том, что действительно заставляет нас так быстро менять телефоны, или мы должны сердиться на производителей за то, что они делают действительно хорошую рекламу. Но скорее всего проблема не в оборудовании ».

Результаты, по ее словам, иллюстрируют потенциал использования таких нематериальных свойств для содействия устойчивому потреблению этих и других популярных потребительских товаров.

Соавторами статьи являются Мэриан Чертов, адъюнкт-профессор управления промышленной окружающей средой в F&ES, Томер Фишман, научный сотрудник F&ES, и Веред Бласс из Тель-Авивского университета.

При уровне проникновения почти 90 процентов в развитых странах мира мобильные телефоны представляют собой серьезную проблему с точки зрения экологической устойчивости. Смартфоны могут содержать до 50 различных элементов, в том числе минералы, связанные с гражданскими беспорядками, редкоземельные металлы, доступность которых сокращается, и различные токсичные материалы, которые могут разрушить мир природы и угрожать здоровью населения.

Эти экологические издержки усугубляются относительно коротким сроком службы большинства смартфонов. По последним оценкам, средний срок использования телефона составляет менее двух лет.

В последние годы растущий рынок подержанных смартфонов увеличил средний срок службы этих устройств. Но как долго, говорят исследователи, зависит от имени на телефоне.

В рамках своего исследования они изучили показатели перепродажи двух крупнейших производителей смартфонов в США.С. - Apple и Samsung, которые в совокупности контролируют около 70 процентов рынка смартфонов. Каждая из них производит обе модели телефонов, которые относительно легко ремонтировать и труднее ремонтировать. И хотя продукты достаточно похожи, чтобы два производителя участвовали в продолжающемся судебном процессе о нарушении патентных прав, Apple занимает более высокое место с точки зрения капитала бренда. В то время как Apple обычно входит в число самых дорогих мировых брендов, Samsung обычно опускается ниже 10 лучших.

Для сравнения они извлекли цены перепродажи и подробную информацию об устройствах почти для полумиллиона телефонов Apple и Samsung, представленных на eBay, а затем вычислили процент общей стоимости, потерянной каждым устройством к моменту перепродажи, исходя из первоначальной розничной продажи. цена.

После оценки нормы амортизации на основе ряда переменных, включая ремонтопригодность, размер батареи, емкость данных и размер экрана, они обнаружили, что смартфоны Samsung теряли свою ценность быстрее и достигли конца своего «экономического» срока службы через 54 с половиной месяца. , в то время как телефоны Apple достигают этого уровня примерно через 67 месяцев, то есть разница составляет около года.

Другими словами, телефоны Apple имели более длительный срок службы, даже если они были того же возраста, размера и функциональных возможностей.

«Дело не в том, что технические характеристики не имеют значения, - сказал Маков.«Но независимо от того, какое сочетание характеристик было включено в наш анализ, название бренда имело существенное влияние».

«Некоторые телефоны служат дольше, и не только потому, что они подлежат ремонту или более функционально долговечны», - добавила она. «Это также психологические аспекты, которые делают их более прочными. Это важно помнить».

Исследования, посвященные влиянию видеоигр на мозг, показали, что они могут вызывать изменения во многих областях мозга - ScienceDaily

Ученые собрали и обобщили исследования, посвященные тому, как видеоигры могут формировать наш мозг и поведение.На сегодняшний день исследования показывают, что видеоигры могут изменить области мозга, отвечающие за внимание и зрительно-пространственные навыки, и сделать их более эффективными. Исследователи также изучили исследования, изучающие области мозга, связанные с системой вознаграждения, и то, как они связаны с зависимостью от видеоигр.

Вы играете в видеоигры? Если так, то вы не одиноки. Видеоигры становятся все более распространенными, и взрослые все чаще пользуются ими. Средний возраст игроков растет и в 2016 году оценивался в 35 лет.Изменение технологий также означает, что все больше людей знакомятся с видеоиграми. Многие преданные геймеры играют на настольных компьютерах или консолях, но появилось новое поколение казуальных геймеров, которые играют на смартфонах и планшетах в свободное время в течение дня, например, когда едут на работу утром. Итак, мы знаем, что видеоигры становятся все более распространенной формой развлечения, но влияют ли они на наш мозг и поведение?

На протяжении многих лет в средствах массовой информации появлялись различные сенсационные заявления о видеоиграх и их влиянии на наше здоровье и счастье.«Игры иногда хвалят или демонизируют, часто без реальных данных, подтверждающих эти утверждения. Более того, игры - популярное занятие, поэтому все, кажется, имеют твердое мнение по этой теме», - говорит Марк Палаус, первый автор недавно опубликованного обзора. в Frontiers in Human Neuroscience .

Палаус и его коллеги хотели узнать, выявились ли какие-либо тенденции в результате проведенных на сегодняшний день исследований, касающихся того, как видеоигры влияют на структуру и деятельность нашего мозга. Они собрали результаты 116 научных исследований, 22 из которых были посвящены структурным изменениям в головном мозге, а 100 - изменениям в функциях и / или поведении мозга.

Исследования показывают, что видеоигры могут изменить работу нашего мозга и даже его структуру. Например, игра в видеоигры влияет на наше внимание, и некоторые исследования показали, что геймеры демонстрируют улучшения в нескольких типах внимания, таких как постоянное внимание или избирательное внимание. Участки мозга, отвечающие за внимание, также более эффективны у геймеров и требуют меньшей активации для поддержания внимания при выполнении сложных задач.

Есть также свидетельства того, что видеоигры могут увеличить размер и эффективность областей мозга, связанных с зрительно-пространственными навыками.Например, правый гиппокамп был увеличен как у тех, кто долгое время играл, так и у добровольцев после программы обучения видеоиграм.

Видеоигры также могут вызывать привыкание, и этот вид зависимости называется «расстройством интернет-игр». Исследователи обнаружили функциональные и структурные изменения в нейронной системе вознаграждения у игровых наркоманов, отчасти за счет воздействия на них игровых сигналов, вызывающих тягу, и отслеживания их нейронных реакций. Эти нервные изменения в основном такие же, как и при других аддиктивных расстройствах.

Итак, что означают все эти изменения мозга? «Мы сосредоточились на том, как мозг реагирует на воздействие видеоигр, но эти эффекты не всегда отражаются на реальных изменениях», - говорит Палаус. Поскольку видеоигры все еще довольно молоды, исследования их эффектов все еще находятся в зачаточном состоянии. Например, мы все еще работаем над тем, какие аспекты игр влияют на какие области мозга и как. «Вероятно, что у видеоигр есть как положительные (внимание, зрительные и моторные навыки), так и отрицательные аспекты (риск зависимости), и нам очень важно принять эту сложность», - объясняет Палаус.

История Источник:

Материалы предоставлены Frontiers . Примечание. Содержимое можно редактировать по стилю и длине.

Какие функции смартфона действительно важны для потребителей?

Поскольку выставка CES 2019 идет полным ходом, мы можем ожидать, что некоторые из ведущих брендов смартфонов дадут нам представление о функциях телефонов следующего поколения.

В этом году среди самых обсуждаемых новых функций, которые будут раскрыты, являются складные устройства, телефоны с поддержкой 5G, большее количество встроенных камер, а также голографические проекции экрана и больший фокус на искусственном интеллекте.

Используя наши недавние исследования в Великобритании и США, мы исследуем, какие функции, по мнению этих потребителей, имеют для них наибольшее значение, и получаем представление о том, что расстраивает потребителей в их нынешних телефонах.

Улучшение основных функций имеет решающее значение для телефонов среднего класса.

Необычные новые функции могут вызвать большой ажиотаж, но улучшения основных функций телефона на самом деле, вероятно, приведут к увеличению продаж.

Что больше всего расстраивает потребителей в Великобритании и США в их нынешних мобильных телефонах, так это плохое время автономной работы, которое значительно превосходит все другие разочарования.

Это недовольство особенно остро стоит среди владельцев смартфонов среднего класса, которые составляют около трех четвертей тех, кто планирует обновить свой телефон в ближайшие 12 месяцев.

Другие факторы, такие как объем памяти, низкая производительность и низкое качество камеры, также играют важную роль, особенно среди разочарований владельцев смартфонов среднего уровня.

Ориентация на эти разочарования может принести большие выгоды на рынке среднего класса.

51% владельцев телефонов премиум-класса полностью согласны с тем, что они верны своему нынешнему бренду смартфонов.По сравнению с 31% владельцев телефонов среднего класса, которые полностью согласны с этим утверждением, очевидно, что на рынке среднего класса гораздо больше возможностей для новых возможностей привлечения клиентов.

Качество основных функций смартфона может способствовать или прервать продажи в этой высококонкурентной категории, и китайские бренды, такие как Huawei, Xiaomi и OnePlus, без колебаний воспользовались этими потребностями, чтобы выйти на рынок.

Эти традиционные операторы внедрили различные качества или функции, связанные с мобильными телефонами премиум-класса, в этот средний уровень мобильных телефонов, при этом сохраняя при этом скромную цену.

Около половины потребителей Великобритании и США считают, что китайские бренды смартфонов предлагают лучшее соотношение цены и качества по сравнению с другими мировыми брендами или что китайские бренды имеют новейшие функции смартфонов и сопоставимы с другими мировыми брендами.

Это возложило на глобальные бренды, такие как Sony, LG и Samsung, ответственность за максимизацию своих предложений среднего ценового диапазона, чтобы не оказаться вне конкуренции со стороны более дешевых, но грозных конкурентов.

Однако максимальное использование одной функции в телефоне среднего класса часто достигается за счет другой функции, что означает, что разные телефоны нацелены на разные группы потребителей в зависимости от их наиболее характерных особенностей.

Samsung использует свои новые модели A7 и A9 для выхода на рынок миллениалов, уделяя особое внимание качеству камеры и размеру экрана, чтобы удовлетворить желание этой группы потребителей публиковать высококачественные фотографии и видео в социальных сетях.

Наше исследование показывает, что молодые пользователи с гораздо большей вероятностью скажут, что качество камеры является наиболее важной функцией смартфона, и они также с гораздо большей вероятностью скажут, что они больше всего хотели бы видеть улучшения возможностей камеры в будущих моделях.

Несмотря на то, что время автономной работы и объем памяти являются самыми высокими для всех возрастных групп, потребители старшего возраста ценят эти характеристики больше всего.Мощность процессора, долговечность и размер экрана также имеют большее значение для этих пожилых потребителей, поэтому функциональность по-прежнему наиболее важна как для молодых, так и для пожилых потребителей.

Рыночные функции Premium становятся экспериментальными.

Последние поколения смартфонов премиум-класса внесли некоторые довольно серьезные изменения в дизайн и функциональность телефона, причем удаление разъемов для наушников является одним из самых спорных. Многие из этих изменений были реализованы ради улучшения внутренних аппаратных компонентов при сохранении элегантного дизайна.

Но предстоящие линейки смартфонов обещают вывести возможности смартфонов на новый уровень.

Складные устройства, сканирование 3D-объектов и проекции голографических экранов - это лишь некоторые возможности, которые еще недавно казались надуманными. И хотя потребители не обязательно знают, каковы преимущества или варианты использования этих функций, это не означает, что для них нет рынка.

Опять же, это обычные подозреваемые, которые входят в пятерку самых желаемых характеристик - хранение, время автономной работы, обработка, надежность и качество камеры.

Но почти четверть потребителей больше всего хотели бы видеть проекции на голографическом экране, а более пятой части хотели бы видеть сканирование трехмерных объектов и складные телефоны.

Конечно, как вы можете догадаться, именно молодые возрастные группы, скорее всего, будут стоять в очереди за этими характеристиками.

Например,

16–24 человека более чем в 3 раза чаще, чем люди 55–64, хотят иметь голографические проекции экрана. Кроме того, они более чем в два раза чаще, чем люди 55–64 лет, хотят сканировать трехмерные объекты и уделять больше внимания искусственному интеллекту в будущих моделях.

Потребители с энтузиазмом относятся к возможности подключения 5G.

Одно из наиболее ожидаемых потенциальных событий на выставке CES в этом году - мобильные телефоны с поддержкой 5G.

Возможность подключения

5G обещает произвести революцию не только в возможностях смартфона, но и в возможностях любого другого подключенного устройства, будь то часы, автомобиль или бытовая техника.

Для потребителей подключение 5G является очевидным преимуществом, особенно в отношении потребления мультимедиа на их смартфонах.

Пользователи смартфонов уже транслируют музыку, телешоу, фильмы и бесчисленные видеоролики в социальных сетях на свои устройства. Но поскольку 5G обещает скорость соединения до 20 раз выше, чем 4G, это повышает качество, скорость и предсказуемость их мобильных развлечений. Это также открывает возможности для других развивающихся отраслей развлечений, таких как потоковые онлайн-игры на мобильных устройствах.

Наши данные показывают, что большинство потребителей намерены переключиться на сеть 5G на своих смартфонах, причем большинство (37%) заявили, что переключатся, как только такая сеть станет доступной.

Уровень осведомленности потребителей о технологии 5G высокий, и только 7% заявили, что не знают, что это такое.

На фоне более длительных циклов обновления телефонов производителям смартфонов необходимо занять лидирующие позиции в отрасли, чтобы привлечь внимание потребителей и поддерживать имидж инноваций.

Демонстрация футуристических и захватывающих функций - один из наиболее очевидных способов достижения этой цели, и бренды, которые, как считается, задают повестку дня для следующего поколения функций, выиграют в долгосрочной перспективе.

Операции с матрицами

Что касается линейной алгебры, две наиболее важные операции с векторами - это сложение векторов [сложение двух (или более) векторов] и скалярное умножение (умножение вектора на скаляр). Аналогичные операции определены для матриц.

Сложение матрицы . Если A и B являются матрицами одного размера , то их можно складывать. (Это похоже на ограничение на добавление векторов, а именно, могут быть добавлены только векторы из того же пространства R n ; вы не можете добавить, например, 2-вектор к 3-вектору.) Если A = [ a ij ] и B = [ b ij ] являются обеими матрицами m x n , то их сумма, C = A + B , также является матрицей m x n , и ее элементы задаются формулой

Таким образом, чтобы найти записи A + B , просто добавьте соответствующие записи A и B .

Пример 1 : Рассмотрим следующие матрицы:

Какие два можно добавить? Какая у них сумма?

Так как могут быть добавлены только матрицы одного размера, определяется только сумма F + H ( G не может быть добавлено ни к F , ни к H ). Сумма F и H составляет

Поскольку сложение действительных чисел коммутативно, отсюда следует, что сложение матриц (если оно определено) также коммутативно; то есть для любых матриц A и B одинакового размера A + B всегда будет равно B + A .

Пример 2 : Если какая-либо матрица A добавляется к нулевой матрице того же размера, результат явно будет равен A :

Это матричный аналог утверждения a + 0 = 0 + a = a , который выражает тот факт, что число 0 является аддитивным тождеством в наборе действительных чисел.

Пример 3 : Найдите матрицу B такую, что A + B = C , где

Если

, тогда матричное уравнение A + B = C становится

Поскольку две матрицы равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы равны, из этого последнего уравнения следует

Следовательно,

Этот пример мотивирует определение вычитания матрицы : Если A и B являются матрицами одинакового размера, то записи A - B находятся путем простого вычитания записей B из соответствующие записи A .Поскольку уравнение A + B = C эквивалентно B = C - A , использование вычитания матрицы выше даст тот же результат:

Скалярное умножение . Матрицу можно умножить на скаляр следующим образом. Если A = [ a ij ] - матрица, а k - скаляр, то

То есть матрица kA получается умножением каждой записи A на k .

Пример 4 : Если

, то скалярное кратное 2 A получается путем умножения каждой записи A на 2:

Пример 5 : Если A и B представляют собой матрицы одного размера, то A - B = A + (- B ), где - B - скалярное кратное (-1) В . Если

, затем

Это определение вычитания матрицы согласуется с определением, проиллюстрированным в Примере 8.

Пример 6 : Если

, затем

Умножение матриц . Безусловно, наиболее важной операцией, связанной с матрицами, является умножение матриц , процесс умножения одной матрицы на другую. Первый шаг в определении умножения матриц - вспомнить определение скалярного произведения двух векторов. Пусть r и c будут двумя n ‐ векторами. Записывая r как матрицу строк 1 x n и c как матрицу столбца n x 1, скалярное произведение r и c равно

Обратите внимание, что для определения скалярного произведения r и c оба должны содержать одинаковое количество записей.Кроме того, здесь важен порядок, в котором эти матрицы записаны в этом продукте: вектор-строка идет первым, вектор-столбец - вторым.

Теперь последний шаг: как умножаются две общие матрицы? Во-первых, чтобы сформировать продукт AB, количество столбцов A должно соответствовать количеству строк B ; если это условие не выполняется, то продукт AB не определяется. Этот критерий следует из указанного выше ограничения на умножение матрицы строк r на матрицу столбцов c , а именно, что количество записей в r должно соответствовать количеству записей в c .Если A составляет м x n и B составляет n x p , то определяется продукт AB , а размер матрицы продуктов AB будет м x с. . Следующая диаграмма помогает определить, определен ли матричный продукт, и если да, то размеры продукта:

Представление матрицы m x n A как составной из векторов-строк r 1 , r 2 ,…, r m из R n и n x p матрица B , составленная из векторов-столбцов c 1 , c 2 ,…, c p из R n ,

и

правило вычисления элементов матричного произведения AB : r i · c j = ( AB ) ij , то есть

Пример 7 : Учитывая две матрицы

определяет, какой матричный продукт, AB или BA , определен, и оценивает его.

Поскольку A составляет 2 x 3, а B - 3 x 4, продукт AB в этом порядке определяется, и размер матрицы продуктов AB будет 2 x 4. Продукт BA - это , а не , так как первый фактор ( B ) имеет 4 столбца, а второй фактор ( A ) имеет только 2 строки. Количество столбцов первой матрицы должно соответствовать количеству строк второй матрицы, чтобы их произведение было определено.

Если взять скалярное произведение строки 1 в A и столбца 1 в B , получим запись (1, 1) в AB . С

запись (1, 1) в AB - это 1:

Скалярное произведение строки 1 в A и столбца 2 в B дает запись (1, 2) в AB ,

и скалярное произведение строки 1 в A и столбца 3 в B дает запись (1, 3) в AB :

Первая строка произведения завершается скалярным произведением строки 1 в A и столбца 4 в B , что дает запись (1, 4) в AB :

Теперь для второй строки AB : скалярное произведение строки 2 в A и столбца 1 в B дает запись (2, 1) в AB ,

и скалярное произведение строки 2 в A и столбца 2 в B дает запись (2, 2) в AB :

Наконец, взяв скалярное произведение строки 2 в A со столбцами 3 и 4 в B , получаем (соответственно) записи (2, 3) и (2, 4) в AB :

Следовательно,

Пример 8 : Если

и

вычисляет (3, 5) запись продукта CD .

Во-первых, обратите внимание, что, поскольку C составляет 4 x 5, а D составляет 5 x 6, продукт CD действительно определен, и его размер равен 4 x 6. Однако нет необходимости вычислять все двадцать‐ четыре записи CD , если требуется только одна конкретная запись. Запись (3, 5) в CD является скалярным произведением строки 3 в C и столбца 5 в D :

Пример 9 : Если

убедитесь, что

но

В частности, обратите внимание, что хотя оба продукта AB и BA определены, AB не равно BA ; действительно, они даже не одного размера!

Предыдущий пример дает одну иллюстрацию того, что, возможно, является наиболее важным различием между умножением скаляров и умножением матриц.Для действительных чисел a и b всегда выполняется уравнение ab = ba , то есть умножение действительных чисел коммутативно; порядок, в котором написаны коэффициенты, не имеет значения. Однако категорически неверно, что умножение матриц коммутативно. Для матриц A и B , приведенных в Примере 9, были определены оба продукта AB и BA , но они определенно не были идентичными. Фактически, матрица AB была 2 x 2, а матрица BA была 3 x 3.Вот еще одна иллюстрация некоммутативности умножения матриц: Рассмотрим матрицы

Поскольку C - 3 x 2, а D - 2 x 2, продукт CD определен, его размер 3 x 2, и

Продукт DC , однако, не определен, так как количество столбцов D (то есть 2) не равно количеству строк C (которое равно 3). Следовательно, CD ≠ DC , поскольку DC даже не существует.

Из-за чувствительности к порядку записи коэффициентов обычно не говорят просто: «Умножьте матрицы A и B ». Обычно важно указать, какая матрица идет первой, а какая - второй в продукте. По этой причине выражение «Умножить A справа на B » означает получить произведение AB , а «Умножить A слева на B » означает получить произведение BA .

Пример 10 : Если

и x - это вектор (−2, 3), покажите, как A можно умножить справа на x и вычислить произведение.

Поскольку A равно 2 x 2, чтобы умножить A справа на матрицу, эта матрица должна иметь 2 строки. Следовательно, если x записано как 2 x 1 столбец , матрица

, то можно вычислить произведение A x , и в результате получится еще одна матрица столбца 2 x 1:

Пример 11 : Рассмотрим матрицы

Если A умножить справа на B , получится

, но если A умножить слева на B , получится

Обратите внимание, что оба продукта определены и имеют одинаковый размер, но не равны.

Пример 12 : Если A и B представляют собой квадратные матрицы, такие, что AB = BA , то говорят, что A и B перемещаются по на . Покажите, что любые две квадратные диагональные матрицы порядка 2 коммутируют.

Пусть

- две произвольные диагональные матрицы 2 x 2. Тогда

и

Начиная с a 11 b 11 = b 11 a 11 и a 22 b 22 = b 6 22 a 22 , AB действительно равно BA , как и нужно.

Хотя матричное умножение обычно не коммутативно, оно , иногда , коммутативно; например, если

, затем

Несмотря на такие примеры, как эти, необходимо указать, что в целом умножение матриц не является коммутативным .

Есть еще одно различие между умножением скаляров и умножением матриц. Если a и b являются действительными числами, то уравнение ab = 0 означает, что a = 0 или b = 0.То есть, единственный способ, при котором произведение действительных чисел может быть равно 0, - это если хотя бы один из множителей сам равен 0. Аналогичное утверждение для матриц, однако, неверно. Например, если

, затем

Обратите внимание, что хотя ни G , ни H не являются нулевой матрицей, произведение GH является.

Еще одно различие между умножением скаляров и умножением матриц - это отсутствие общего закона сокращения для умножения матриц.Если a, b и c - действительные числа с a ≠ 0, то, отбрасывая множитель a , уравнение ab = ac подразумевает b = c . Для матричного умножения такого закона не существует; то есть утверждение AB = AC означает , а не , подразумевает B = C , даже если A не равно нулю. Например, если

, затем оба

и

Таким образом, даже если AB = AC и A не является нулевой матрицей, B не равно C .

Пример 13 : Хотя умножение матриц не всегда коммутативно, всегда ассоциативно . То есть, если A, B и C являются любыми тремя матрицами, такими, что определен продукт (AB) C , то продукт A (BC) также определен, и

То есть, пока порядок факторов не меняется, то, как они сгруппированы , не имеет значения.

Проверить ассоциативный закон для матриц

Первый, с

продукт (AB) C это

Сейчас, с

продукт A (BC) это

Следовательно, (AB) C = A (BC) , как и ожидалось.Обратите внимание, что ассоциативный закон подразумевает, что произведение A, B и C (в таком порядке) может быть записано просто как ABC ; круглые скобки не нужны для устранения двусмысленности, потому что нет двусмысленности.

Пример 14 : Для матриц

проверьте уравнение ( AB ) T = B T A T .

Первая,

означает

Сейчас, с

B T A T действительно равно ( AB ) T .Фактически, уравнение

справедливо для любых двух матриц, для которых определено произведение AB . Это говорит о том, что если продукт AB определен, то транспонирование продукта равно произведению перемещений в обратном порядке .

Матрицы идентичности . Нулевая матрица 0 m x n играет роль аддитивной идентичности в наборе матриц m x n точно так же, как число 0 в наборе действительных чисел (вспомните пример 7).То есть, если A является матрицей m x n и 0 = 0 m x n , то

Это матричный аналог утверждения, что для любого действительного числа a ,

Имея в руках аддитивную идентичность, вы можете спросить: «А как насчет мультипликативной идентичности ?» В наборе действительных чисел мультипликативным тождеством является число 1, так как

Есть ли матрица, которая играет эту роль ? Рассмотрим матрицы

и убедитесь, что

и

Таким образом, AI = IA = A .Фактически, легко показать, что для этой матрицы I оба продукта AI и IA будут равны A для любой матрицы 2 x 2 A . Следовательно,

- мультипликативная единица в наборе матриц 2 x 2. Аналогично матрица

- мультипликативная единица в наборе матриц 3 x 3 и так далее. (Обратите внимание, что I 3 - это матрица [δ ij ] 3 x 3 .В общем случае матрица I n - диагональная матрица nxn с каждым диагональным элементом, равным 1 - называется единичной матрицей порядка n и служит мультипликативной единицей в наборе всех Матрицы nxn .

Есть ли мультипликативная идентичность в наборе всех матриц m x n , если m ≠ n ? Для любой матрицы A в M mxn ( R ) матрица I m является левым тождеством ( I m A = A ) и I n - это правый идентификатор ( AI n = A ).Таким образом, в отличие от набора матриц n x n , набор неквадратных матриц m x n не обладает двухсторонней идентичностью qunique , потому что I m ≠ I n , если m ≠ n .

Пример 15 : Если A - квадратная матрица, то A 2 обозначает продукт AA, A 3 обозначает продукт AAA и т. Д. Если A - это матрица

показывают, что A 3 = - A .

Расчет

показывает, что A 2 = - I . Умножение обеих частей этого уравнения на A дает A 3 = - A , если требуется. [Техническое примечание: можно показать, что в определенном точном смысле набор матриц вида

, где a и b - действительные числа, структурно идентичен набору из комплексных чисел a + bi .Поскольку матрица A в этом примере имеет такую ​​форму (с a = 0 и b = 1), A соответствует комплексному числу 0 + 1 i = i , а аналог матричное уравнение A 2 = - I , полученное выше, равно i 2 = −1, уравнение, которое определяет мнимую единицу, i .]

Пример 16 : Найдите недиагональную матрицу, которая коммутирует с

Проблема состоит в том, чтобы получить недиагональную матрицу B , такую ​​что AB = BA .Как и A , матрица B должна быть 2 x 2. Один из способов создать такую ​​матрицу B - сформировать A 2 , так как если B = A 2 , ассоциативность подразумевает

(Это уравнение доказывает, что A 2 будет коммутировать с A для любой квадратной матрицы A ; кроме того, оно предлагает, как можно доказать, что каждые интегральной степени квадратной матрицы A будет добираться на работу с A .)

В данном случае

, который недиагонален. Эта матрица B действительно коммутирует с A , что подтверждается расчетами

.

и

Пример 17 : Если

доказывают, что

для каждого натурального числа n .

Несколько предварительных расчетов показывают, что данная формула действительно верна:

Однако, чтобы установить, что формула верна для всех натуральных чисел n , необходимо общее доказательство.Здесь это будет сделано с использованием принципа математической индукции , который читается следующим образом. Пусть P (n) обозначает предложение относительно положительного целого числа n . Если можно показать, что

и

, то оператор P (n) действителен для всех натуральных чисел n . В данном случае утверждение P (n) является утверждением

Поскольку A 1 = A , утверждение P (1) определенно верно, поскольку

Теперь, предполагая, что P (n) истинно, то есть предполагая, что

теперь необходимо установить срок действия выписки P ( n + 1), что составляет

Но это утверждение действительно верно, потому что

По принципу математической индукции доказательство завершено.

Инверсия матрицы . Пусть a будет заданным действительным числом. Поскольку 1 является мультипликативным тождеством в наборе действительных чисел, если существует число b такое, что

, то b называется , обратным или , обратным мультипликативным от a и обозначается a -1 (или 1/ a ). Аналог этого утверждения для квадратных матриц выглядит следующим образом. Пусть A будет заданной матрицей n x n .Поскольку I = I n является мультипликативным тождеством в наборе матриц n x n , если существует матрица B , такая что

, тогда B называется (мультипликативным) , обратным A и обозначается A -1 (читается « A обратный»).

Пример 18 : Если

, затем

с

и

Еще одно различие между умножением скаляров и умножением матриц заключается в существовании обратных.Хотя у каждого ненулевого действительного числа есть обратное , существуют ненулевые матрицы, у которых нет обратного .

Пример 19 : Показать, что ненулевая матрица

не имеет обратного.

Если бы эта матрица имела инверсию, то

для некоторых значений a, b, c и d . Однако, поскольку вторая строка A является нулевой строкой, вы можете видеть, что вторая строка продукта также должна быть нулевой строкой:

(Когда звездочка, * появляется в качестве записи в матрице, это означает, что фактическое значение этой записи не имеет отношения к настоящему обсуждению.) Поскольку (2, 2) элемент произведения не может равняться 1, произведение не может быть равным единичной матрице. Следовательно, невозможно построить матрицу, которая могла бы служить обратной для A .

Если матрица имеет инверсию, она называется обратимой . Матрица в примере 23 обратима, а матрица в примере 24 - нет. Позже вы узнаете различные критерии для определения обратимости данной квадратной матрицы.

Пример 20 : Пример 18 показал, что

Учитывая, что

проверьте уравнение ( AB ) −1 = B −1 A −1 .

Сначала вычислим AB :

Затем вычислим B −1 A −1 :

Теперь, поскольку произведение AB и B −1 A −1 равно I ,

B −1 A −1 действительно является инверсией AB . Фактически, уравнение

справедливо для любых обратимых квадратных матриц того же размера.Это говорит о том, что если A и B являются обратимыми матрицами одинакового размера, то их произведение AB также является обратимым, а обратное произведение равно произведению обратных в обратном порядке . (Сравните это уравнение с уравнением с транспонированием в примере 14 выше.) Этот результат можно в общем доказать, применяя ассоциативный закон для матричного умножения. С

и

следует, что ( AB ) -1 = B -1 A -1 , как и нужно.

Пример 21 : Обратная матрица

это

Покажите, что обратное значение B T равно ( B −1 ) T .

Форма B T и ( B −1 ) T и умножьте:

Этот расчет показывает, что ( B −1 ) T является обратным B T .[Строго говоря, это показывает только то, что ( B −1 ) T - это правый обратный B T , то есть когда он умножает B T справа, продукт - это личность. Также верно, что ( B −1 ) T B T = I , что означает ( B −1 ) T - это левый обратный из . В Т .Однако нет необходимости явно проверять оба уравнения: если квадратная матрица имеет обратное, нет различия между левым обратным и правым обратным.] Таким образом,

уравнение, которое на самом деле справедливо для любой обратимой квадратной матрицы B . Это уравнение говорит, что если матрица обратима, то ее транспонирование также является обратимым, а обратное транспонирование - это транспонирование обратного.

Пример 22 : Используйте свойство распределения для матричного умножения, A ( B ± C ) = AB ± AC , чтобы ответить на этот вопрос: если матрица 2 x 2 D удовлетворяет уравнение D 2 - D - 6 I = 0 , какое выражение для D −1 ?

В соответствии с указанным выше распределительным свойством D 2 - D = D 2 - DI = D (D - I) .Следовательно, уравнение D 2 - D - 6 I = 0 подразумевает D (D - I) = 6 I . Умножение обеих частей этого уравнения на 1/6 дает

, что означает

В качестве иллюстрации этого результата матрица

удовлетворяет уравнению D 2 - D - 6 I = 0 , как вы можете убедиться.С

и

матрица 1/6 ( D − I ) действительно равна D −1 , как заявлено.

Пример 23 : Уравнение ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 является тождеством, если a и b настоящие числа. Однако покажите, что ( A + B ) 2 = A 2 + 2 AB + B 2 - это , а не , если A и B - это матрицы 2 x 2.[Примечание: законы распределения для матричного умножения: A ( B ± C ) = AB ± AC , приведенные в примере 22, и соответствующий закон ( A ± B ) C = AC ± BC .]

Из законов распределения для умножения матриц следует

Поскольку матричное умножение не коммутативно, BA обычно не равно AB , поэтому сумма BA + AB не может быть записана как 2 AB .В общем, тогда ( A + B ) 2 A 2 + 2 AB + B 2 . [Любые матрицы A и B , которые не коммутируются (например, матрицы в Примере 16 выше), предоставят конкретный контрпример к утверждению ( A + B ) 2 = A 2 + 2 AB + B 2 , что также установит, что это не личность.]

Пример 24 : Предположим, что B обратимый. Если A коммутирует с B , покажите, что A также коммутирует с B -1 .

Доказательство . Сказать « A следует с B » означает AB = BA . Умножьте это уравнение на B −1 слева и справа и используйте ассоциативность:

Пример 25 : Число 0 имеет только один квадратный корень: 0.Покажите, однако, что нулевая матрица (2 на 2) имеет бесконечно много квадратных корней, найдя все матрицы 2 x 2 A такие, что A 2 = 0 .

Точно так же, как число a называется квадратным корнем из b , если a 2 = b , матрица A называется квадратным корнем из B , если A 2 = B . Пусть

- произвольная матрица 2 x 2.Возводя его в квадрат и устанавливая результат равным 0 , получаем

Записи (1, 2) в последнем уравнении подразумевают b ( a + d ) = 0, что выполняется, если (Случай 1) b = 0 или (Случай 2) d = - а .

Случай 1. Если b = 0, то диагональные записи подразумевают a = 0 и d = 0, а записи (2, 1) означают, что c произвольно. Таким образом, для любого значения c каждая матрица вида

- это квадратный корень из 0 2x2 .

Случай 2. Если d = - a , то оба недиагональных входа будут равны 0, а диагональные записи будут равны a 2 + bc . Таким образом, если выбраны b и c , то bc = - a 2 , A 2 будет равно 0 .

Аналогичная цепочка рассуждений, начинающаяся с записей (2, 1), приводит либо к a = c = d = 0 (и b произвольно), либо к такому же выводу, что и раньше: до тех пор, пока b и c выбираются так, что bc = - a 2 , матрица A 2 будет равна 0 .

Все эти случаи можно резюмировать следующим образом. Любая матрица следующей формы будет обладать тем свойством, что ее квадрат представляет собой нулевую матрицу 2 на 2:

Поскольку существует бесконечно много значений a, b и c , таких что bc = - a 2 , нулевая матрица 0 2x2 имеет бесконечно много квадратных корней. Например, выбор a = 4, b = 2 и c = −8 дает ненулевую матрицу

.

чей квадрат

Определитель квадратной матрицы

6.4 - Определитель квадратной матрицы

Определитель - это действительное число, связанное с каждой квадратной матрицей. Я еще не нашел хорошего Английское определение детерминанта. Все, что я могу найти, определяет это с точки зрения математическая формула или предлагает некоторые из ее использования. Есть даже определение определитель, который определяет его в терминах самого себя.

Определитель квадратной матрицы A обозначается как «det A» или | А |, Теперь последний выглядит как абсолютное значение A, но вам придется применить контекст.Если вертикальные линии находятся вокруг матрица, значит определитель.

В строке ниже показаны два способа записи определителя.

3 1 = дет 3 1
5 2 5 2

Определитель матрицы 2 × 2

Определитель матрицы 2 × 2 находится во многом как операция поворота.Это произведение элементов на главной диагонали за вычетом произведение элементов по главной диагонали.

Свойства детерминантов

  • Определитель - действительное число, а не матрица.
  • Определитель может быть отрицательным числом.
  • Он вообще не связан с абсолютным значением, за исключением того, что они оба используют вертикальные линии.
  • Определитель существует только для квадратных матриц (2 × 2, 3 × 3, ... n × n). Определитель матрицы 1 × 1 - это единственное значение в определителе.
  • Обратная матрица будет существовать, только если определитель не равен нулю.

Расширение с использованием младших и сомножителей

Определение определителя, которое у нас есть до сих пор, относится только к матрице 2 × 2. Есть ярлык для матрица 3 × 3, но я твердо верю, что вам следует изучить способ, который будет работать для всех размеров, а не только для частный случай для матрицы 3 × 3.

Метод называется расширением с использованием миноров и сомножителей. Прежде чем мы сможем использовать их, нам нужно их определить.

Несовершеннолетние

Второстепенным для любого элемента является определитель, который получается, когда строка и столбец тот элементы удалены.

Обозначение M ij используется для обозначения минорной части элемента. в строке i и столбце j. Таким образом, M 21 будет означать минор для элемента в строке 2, столбце 1.

Рассмотрим определитель 3 × 3, показанный ниже. Я включил заголовки, чтобы вы можете держать строки и столбцы ровными, но обычно вы не включаете те.Мы собираемся найти несовершеннолетних.

С 1 С 2 С 3
р 1 1 3 2
р 2 4 1 3
р 3 2 5 2

Поиск второстепенного для R 2 C 1

Младший - это определитель, который остается при удалении строки и столбца. элемента, для которого вы пытаетесь найти второстепенное.Это означает, что мы должны удалить строка 2 и столбец 1, а затем найдите определитель.

С 2 С 3
р 1 3 2 = 3 (2) - 5 (2) = 6-10 = -4
р 3 5 2

Как видите, второстепенное значение для строки 2 и столбца 1 - M 21 = -4.

Попробуем еще.

Поиск второстепенного для R 3 C 2

На этот раз мы удалим строку 3 и столбец 2.

С 1 С 3
р 1 1 2 = 1 (3) - 4 (2) = 3-8 = -5
р 2 4 3

Таким образом, второстепенное значение для строки 3, столбца 2 - M 32 = -5.

Матрица несовершеннолетних

Когда вы просто пытаетесь найти определитель матрицы, это перебор. Но для этого есть одно чрезвычайно полезное приложение, которое даст нам практику. поиск несовершеннолетних.

Матрица миноров - это квадратная матрица, в которой каждый элемент является второстепенным. для номера в этой позиции.

Вот общая матрица миноров для определителя 3 × 3.

С 1 С 2 С 3
р 1 M 11 M 12 M 13
р 2 M 21 M 22 M 23
р 3 M 31 M 32 M 33

Найдем матрицу миноров для нашего исходного определителя.Здесь определитель.

С 1 С 2 С 3
р 1 1 3 2
р 2 4 1 3
р 3 2 5 2

Вот работа по поиску каждого минора в матрице миноров.

С 1 С 2 С 3
р 1
= 2-15 = -13

= 8–6 = 2

= 20 - 2 = 18
р 2
= 6-10 = -4

= 2 - 4 = -2

= 5-6 = -1
р 3
= 9 - 2 = 7

= 3–8 = -5

= 1–12 = -11

И, наконец, матрица миноров.Опять же, метки ставить не нужно для строки и столбцов, но это может вам помочь.

С 1 С 2 С 3
р 1 -13 2 18
р 2 -4 -2 –1
р 3 7 -5 -11

Кофакторы

Коэффициент для любого элемента является второстепенным или противоположным второстепенным, в зависимости от того, где находится элемент в исходном определителе.Если строка и столбец элемента суммируется, чтобы быть четным числом, тогда сомножитель является так же, как и несовершеннолетний. Если сумма строк и столбцов элемента получается нечетной число, то сомножитель - это противоположность несовершеннолетнему.

О, ты понял? Нечетное меняет знаки, четное - тот же знак. Дежавю. Мы говорим об этом с момента раздела 3.2 о полиномах.

Знаковая диаграмма

Вместо того, чтобы складывать строку и столбец элемента, чтобы проверить, нечетное или четное, многие люди предпочитают использовать знаковую таблицу.Знаковая карта - это либо a + или - для каждого элемента в матрице. Первый элемент (строка 1, столбец 1) всегда а + и чередуется оттуда.

Примечание. Знак «+» не означает положительный, а отрицательный - отрицательный. + Означает то же самое знак как несовершеннолетний и - означает противоположность несовершеннолетнему. Подумайте об этом дополнении и вычитание, а не положительное или отрицательное.

Вот знаковая диаграмма для определителя 2 × 2.

Вот знаковая диаграмма для определителя 3 × 3.

С 1 С 2 С 3
р 1 + +
р 2 +
р 3 + +

Матрица сомножителей

Опять же, если все, что вы пытаетесь сделать, это найти определитель, вам не нужно проделать столько работы.

Матрица сомножителей - это матрица, найденная заменой каждого элемента матрицу ее сомножителем. Это матрица несовершеннолетних с измененными знаками на элементах в позициях -.

С 1 С 2 С 3
р 1 -13 -2 18
р 2 4 -2 1
р 3 7 5 -11

Расширение для поиска определителя

Вот шаги, которые нужно выполнить, чтобы найти определитель.

  1. Выберите любую строку или столбец в матрице. Неважно, какая строка или какая столбец, который вы используете, ответ будет одинаковым для любой строки. Есть несколько строк или столбцы, которые проще других, но мы вернемся к этому позже.
  2. Умножить каждые элемент в этой строке или столбце по его кофактору и добавьте. В результате определитель.

Разложим нашу матрицу по первой строке.

Из диаграммы знаков мы видим, что 1 находится в положительном положении, 3 - в отрицательном положение, а 2 находится в положительном положении.Поставив + или - перед элемент, он заботится о корректировке знака при переходе от второстепенного к кофактору.

+ 1 1 3 - 3 4 3 + 2 4 1
5 2 2 2 2 5

= 1 (2-15) - 3 (8-6) + 2 (20-2)
= 1 (-13) - 3 (2) + 2 (18)
= -13-6 + 36
= 17

Определитель этой матрицы равен 17.

Как я сказал ранее, на самом деле не имеет значения, какую строку или столбец вы используете.

Давайте попробуем еще раз, но на этот раз расширим вторые столбцы. Как усилие для экономии времени миноры для этого столбца (из матрицы миноров) были 2, -2 и -5. Исходные элементы были 3, 1 и 5. 3 и 5 отрицательны. позиции.

определитель = - 3 (2) + 1 (-2) - 5 (-5) = -6-2 + 25 = 17

Расширьте любую строку или любой столбец, вы получите 17.

Но диагонали делать нельзя.Если попробовать по главной диагонали, получится

+ 1 (-13) + 1 (-2) + 2 (-11) = -13-2-22 = -37

Некоторые строки или столбцы лучше других

  1. Выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулей.
    Поскольку каждый младший или сомножитель умножается на элемент в матрице, выбор строки или столбца с большим количеством нулей означает, что вы будете умножение на множество нулей. Умножение на ноль совсем не занимает много времени. Фактически, если элемент равен нулю, вы не нужно даже найти несовершеннолетнего или кофактор.
  2. Выберите строку или столбец с наибольшими числами (или переменными) в нем.
    Элементы в строке или столбце, которые вы разворачиваете, не используются для поиска несовершеннолетние. Единственное место, где они умножаются, - это один раз в расширении. Если вы выберете строку или столбец с самые маленькие числа, то каждое младшее будет произведением больших чисел.
    Если вы выберете строку или столбец, в котором есть переменные, то вы только иметь умножить на переменные один раз во время раскрытия.

Обратная матрица (пересмотренная)

Давайте на этот раз рассмотрим наш исходный определитель как матрицу.

1 3 2
4 1 3
2 5 2

Найдите матрицу миноров , как описано выше.

-13 2 18
-4 -2 –1
7 -5 -11

Превратите его в матрицу сомножителей , изменив знаки на соответствующих элементы на основе знаковой диаграммы.

-13 -2 18
4 -2 1
7 5 -11

Найдите , примыкающий к , транспонировав матрицу сомножителей.

Чтобы транспонировать матрицу, вы переключаете строки и столбцы. То есть строки стать столбцами и столбцы становятся строками. Транспонирование матрицы можно найти с помощью TI-82. или калькулятор TI-83, введя имя матрицы и выбрав Матрица, Математика, а затем вариант 2, верхний индекс T, например [A] T .

-13 4 7
-2 -2 5
18 1 -11

Наконец, разделите сопряженный элемент матрицы на определитель матрицы.В этой задаче определитель равен 17, поэтому мы разделим каждый элемент на 17. Результирующая матрица - это , обратная исходной матрицы.

-13/17 17 апреля 17.07
-2/17 -2/17 17.05
18/17 1/17 -11/17

Матрица, обратная матрице, находится путем деления сопряженной матрицы матрица по определителю матрицы.Не пытайтесь это сделать на своем калькулятор, поскольку калькулятор не позволяет разделить матрицу на скаляр. Вместо этого вам придется умножить на обратное значение определителя.

Если вы проверите это с помощью своего калькулятора, вы можете убедиться, что обратное фактически является присоединенным, разделенным на определитель.

Поскольку обратная величина - это присоединенный элемент, деленный на определитель, мы можем понять, почему обратное не существует, если определитель равен нулю. Это приведет к делению на ноль, которое не определено.

Детерминанты более крупного порядка

Найдем определитель системы 4х4.

С 1 С 2 С 3 С 4
р 1 3 2 0 1
р 2 4 0 1 2
р 3 3 0 2 1
р 4 9 2 3 1

Выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулей.В данном случае это второй столбец.

Для каждого элемента исходной матрицы свой минор будет определителем 3 × 3. Придется расширить каждый из них на с использованием трех определителей 2 × 2.

Вот почему мы хотим развернуть второй столбец. Несовершеннолетние умножаются их элементами, поэтому, если элемент в исходной матрице равен 0, он не действительно имеет значение, что такое несовершеннолетний, и мы можем сэкономить много времени, не имея найти это. Во втором столбце вам не нужно будет искать двух несовершеннолетних потому что их соответствующий элемент во втором столбце равен нулю.

-2 4 1 2 + 0 - 0 + 2 3 0 1
3 2 1 ? ? 4 1 2
9 3 1 3 2 1

Мы действительно могли бы заполнить эти два средних младших, но поскольку они умножаются на 0, неважно, какие они.Фактически, вы могли бы так же легко пропустить их.

Теперь осталось найти два определителя 3x3.

В первом определителе 3x3, нулей нет, поэтому выберите строку или столбец с наибольшими числами. Тот будет столбцом 1, поэтому разверните его по первому столбцу.

Уведомление 4 находится в положительном положении. Таблицы знаков начинаются заново с каждого новый определитель. Положение числа в исходной матрице не имеет значение, только его положение в текущей матрице.

4 1 2
3 2 1 = + 4 2 1 - 3 1 2 + 9 1 2
9 3 1 3 1 3 1 2 1

= 4 (2 - 3) - 3 (1 - 6) + 9 (1 - 4) = 4 (-1) - 3 (-5) + 9 (-3 ) = -4 + 15 - 27 = -16

Рассмотрим другую матрицу 3 × 3.В этом в строке стоит 0 1 и столбец 2. Любой из них будет хорошим выбором для расширения, но поскольку в строке 1 числа немного больше, мы расширимся по первой строке.

3 0 1
4 1 2 = + 3 1 2 - 0 ? ? + 1 4 1
3 2 1 2 1 ? ? 3 2

= 3 (1 - 4) - 0 (не имеет значения) + 1 (8 - 3) = 3 (-3) + 1 (5) = -9 + 5 = -4

Когда вы пойдете искать определитель, помните, что были элементы из исходная матрица 4 × 4, умноженная на каждый из этих определителей 3 × 3.Первый - -2, второй - +2.

Определитель = -2 (-16) + 2 (-4) = 32-8 = 24

Худший сценарий

Чтобы найти определитель 3x3 без нулей, вам нужно найти три определителя 2x2.

Чтобы найти определитель 4x4 без нулей, вам нужно найти четыре определителя 3x3, каждый из которых затем становится тремя определителями 2x2, что в сумме дает двенадцать определителей 2x2.

Чтобы найти определитель 5x5 без нулей, вам нужно найти пять определителей 4x4, каждый из которых затем становится четырьмя определителями 3x3, каждый из которых становится тремя определителями 2x2 в сумме шестидесяти определителей 2x2.

Использование калькулятора

После этой последней проблемы вы должны спросить себя, нет ли более простого пути. Ну да, есть, если в определителе нет никаких переменных. Вы можете воспользоваться калькулятором.

Обозначение, которое использует калькулятор TI-82 или TI-83, - это обозначение Det A. Итак, после входа в матрицу в одну из доступных матриц на калькуляторе, введите DET, выбрав Матрица, Математика и выбор варианта 1. Затем введите название матрицы, которую вы используете.

Вам не нужно использовать круглые скобки (если у вас нет TI-83), но вы можете, если ты хочешь найти определитель продукта "det ([A] * [B])" или определитель транспонирования "det ([A] T ) "как в отличие от транспонирования определителя "(det [A]) T" . Кстати, калькулятор не найдет транспонирование определителя, потому что в детерминант - скаляр (действительное число), а калькулятор знает только, как найти транспонирование матрицы. Транспонирование скаляр - это то, что скаляр.

Треугольные матрицы

Вам действительно понравится находить определители этих матриц.

Верхняя треугольная матрица
Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся либо на главной диагонали, либо над ней. То есть все ненулевые значения находятся в верхнем треугольнике. Все, что ниже диагонали это ноль.
Нижняя треугольная матрица
Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся либо на главной диагонали, либо ниже нее.
То есть все ненулевые значения находятся в нижнем треугольнике. Все выше диагонали равно нулю.
Диагональная матрица
Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали. Все выключено главная диагональ - ноль.

Определитель треугольной матрицы или диагональной матрицы - произведение элементов по главной диагонали.

Операции с элементарными строками

Было три элементарных операции со строками, которые могли быть выполнены, которые возвращали эквивалентная система.С определителями, поскольку определитель транспонирования такой же, как и Определитель матрицы, элементарные операции со строками также могут применяться к столбцам.

Выполняя сокращение строк (используя поворот на 1, если хотите), вы можете поместить матрицу в треугольная форма. Как только он приобретет треугольную форму, все, что вам нужно сделать, это умножить на элементы на главной диагонали, и у вас есть определитель.

Давайте рассмотрим каждую из трех элементарных операций со строками.

  1. Если вы поменяете местами две строки или два столбца в определителе, полученный определитель будет различаются только знаком.То есть, если вы меняете местами строки или столбцы, результирующий определитель будет противоположно исходному определителю.
  2. Если вы умножаете строку или столбец на ненулевую константу, определитель умножается на эту та же ненулевая константа.
  3. Если вы умножите строку или столбец на ненулевую константу и добавите ее к другой строке или столбцу, при замене этой строки или столбца определитель не изменяется.

Последняя операция эквивалентна повороту на единицу!

Предупреждение, если ваша точка поворота - это число, отличное от единицы, то вы умножаете каждую строку, которую вы изменение поворотным элементом.Итак, если вы повернетесь к 3 и измените две строки, то полученный определитель будет в 3 * 3 = 9 раз больше, чем исходный определитель.

Пока вы выбираете единицу, все будет в порядке.

Вам не нужно преобразовывать матрицу в сокращенную форму строки-эшелон или даже форму строки-эшелона. Вы можете в любой момент остановить сокращение и расширить, используя миноры и кофакторы. Что я Предлагаю - это точка поворота, а затем разверните ее.

Нулевые детерминанты

Определитель матрицы будет равен нулю, если

  1. Вся строка нулевая.
  2. Две строки или столбцы равны.
  3. Строка или столбец является постоянным кратным другой строке или столбцу.

Помните, что матрица обратима, невырождена, если и только если определитель не равен нулю. Итак, если определитель равен нулю, матрица сингулярна и не имеет обратной.

Обращение матрицы

Пожалуйста, сначала прочтите наше Введение в матрицы.

Что такое обратная матрица?

Это обратное число :


Обратное число

Инверсия матрицы - это та же идея , но мы записываем ее A -1

Почему не 1 / A ? Потому что мы не делим по матрице! Да и вообще 1 / 8 тоже можно написать 8 -1

И есть другие сходства:

Когда мы умножаем число на его обратное , получаем 1

Когда мы умножаем матрицу на ее обратную , мы получаем Identity Matrix (которая для матриц похожа на «1»):

То же, что и обратное:

Матрица идентификации

Мы только что упомянули «Матрицу идентичности».Это матричный эквивалент числа "1":

.


Матрица идентификации 3x3

  • Это «квадрат» (в нем столько же строк, что и столбцов),
  • Он имеет 1 с по диагонали и 0 с по всей остальной части.
  • Его символ - заглавная буква I .

Матрица идентичности может иметь размер 2 × 2 или 3 × 3, 4 × 4 и т. Д.

Определение

Вот определение:

Аргумент A равен A -1 , только если:

A × A -1 = A -1 × A = I

Иногда обратного нет вообще.

Матрица 2x2

Хорошо, как рассчитать обратное?

Ну, для матрицы 2x2 обратное значение:

Другими словами: поменять местами позиций a и d, поставить негативов перед b и c и разделить всего на определитель (ad-bc).

Давайте попробуем пример:

Как мы узнаем, что это правильный ответ?

Помните, что должно быть правдой следующее: A × A -1 = I

Итак, давайте посмотрим, что произойдет, когда мы умножим матрицу на ее обратную:

И, привет !, мы получили Матрицу идентичности! Так что это должно быть правильно.

Должно быть также , что: A -1 × A = I

Почему бы вам не попробовать их умножить? Посмотрите, получите ли вы также Identity Matrix:

Зачем нужен инверс?

Потому что с матрицами мы не делим ! Если серьезно, нет понятия деления по матрице.

Но мы можем умножить на обратное , что даст то же самое.

Представьте, что мы не можем делить на числа...

... и кто-то спрашивает: «Как мне поделиться 10 яблоками с 2 людьми?»

Но мы можем взять , обратное из 2 (что составляет 0,5), поэтому мы ответим:

10 × 0,5 = 5

Получают по 5 яблок.

То же самое можно сделать и с матрицами:

Допустим, мы хотим найти матрицу X, и мы знаем матрицы A и B:

XA = B

Было бы неплохо разделить обе стороны на A (чтобы получить X = B / A), но помните , мы не можем разделить .

Но что, если мы умножим обе стороны на A -1 ?

XAA -1 = BA -1

И мы знаем, что AA -1 = I, поэтому:

XI = BA -1

Мы можем удалить I (по той же причине мы можем удалить "1" из 1x = ab для чисел):

X = BA -1

И у нас есть ответ (при условии, что мы можем вычислить A -1 )

В этом примере мы очень внимательно следили за правильностью умножения, потому что в случае с матрицами порядок умножения имеет значение.AB почти никогда не совпадает с BA.

Пример из реальной жизни: автобус и поезд

Группа совершила поездку на автобусе по цене 3 доллара за ребенка и 3,20 доллара за взрослого на общую сумму 118,40 доллара.

Они сели на поезд по цене 3,50 доллара на ребенка и 3,60 доллара на взрослого, итого 135,20 доллара.

Сколько детей и сколько взрослых?

Во-первых, давайте настроим матрицы (будьте осторожны, чтобы строки и столбцы были правильными!):

Это как в примере выше:

XA = B

Итак, чтобы решить эту проблему, нам понадобится обратная величина к "A":

Теперь у нас есть обратное, которое мы можем решить с помощью:

X = BA -1

Было 16 детей и 22 взрослых!

Ответ кажется почти волшебным.Но он основан на хорошей математике.

Подобные вычисления (но с использованием гораздо больших матриц) помогают инженерам проектировать здания, используются в видеоиграх и компьютерной анимации, чтобы вещи выглядели трехмерными, и во многих других местах.

Это также способ решения систем линейных уравнений.

Расчеты производятся компьютером, но люди должны понимать формулы.

Порядок важен

Скажем, мы пытаемся найти "X" в данном случае:

AX = B

Это отличается от приведенного выше примера! X теперь после A.

Для матриц порядок умножения обычно меняет ответ. Не думайте, что AB = BA, это почти никогда не верно.

Так как же решить эту проблему? Используя тот же метод, но впереди поставьте A -1 :

A -1 AX = A -1 B

И мы знаем, что A -1 A = I, поэтому:

IX = A -1 B

Мы можем удалить I:

X = A -1 B

И у нас есть ответ (при условии, что мы можем вычислить A -1 )

Почему бы нам не попробовать наш пример с автобусом и поездом, но с данными, настроенными таким образом.

Это можно сделать таким образом, но мы должны быть осторожны при настройке.

Вот как это выглядит как AX = B:

Выглядит так аккуратно! Думаю, мне больше нравится это.

Также обратите внимание, как строки и столбцы меняются местами в
(«транспонировано») по сравнению с предыдущим примером.

Чтобы решить эту проблему, нам понадобится обратное к «А»:


Это похоже на обратное, которое мы получили раньше, но
транспонировано (строки и столбцы поменялись местами).

Теперь мы можем решить, используя:

X = A -1 B

Тот же ответ: 16 детей и 22 взрослых.

Итак, матрицы - мощная штука, но их нужно правильно настраивать!

Обратное может не существовать

Прежде всего, чтобы иметь инверсию, матрица должна быть «квадратной» (то же количество строк и столбцов).

Но также определитель не может быть нулем (или мы закончим делением на ноль). Как насчет этого:

24-24? Это равно 0, а 1/0 не определено .
Мы не можем идти дальше! У этой Матрицы нет Инверсии.

Такая матрица называется «сингулярной», что происходит только тогда, когда определитель равен нулю.

И это имеет смысл ... посмотрите на числа: вторая строка просто вдвое больше первой, и не добавляет никакой новой информации .

И определитель сообщает нам об этом факте.

(Представьте, что в нашем примере с автобусом и поездом цены на поезд были ровно на 50% выше, чем на автобусе: так что теперь мы не можем найти никаких различий между взрослыми и детьми.Должно быть что-то, что отличало бы их.)

Матрицы большего размера

Обратное к 2x2 - easy ... по сравнению с более крупными матрицами (такими как 3x3, 4x4 и т. Д.).

Для таких больших матриц есть три основных метода вычисления обратного:

Заключение

  • Аргумент A равен A -1 , только если A × A -1 = A -1 × A = I
  • Чтобы найти обратную матрицу 2x2: поменять местами позиций a и d, поставить негативов перед b и c, и разделить всего на определитель (ad-bc).

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *