Отношение сигнал / шум обычно измеряется в децибелах и может быть вычислено с использованием десятичного логарифма. Однако точная формула зависит от того, как измеряются уровни сигнала и шума.

Например, если они измеряются в микровольтах, можно использовать следующую формулу:

S / N = 20 log ₁₀ (P _s / P _n )

P _s — сигнал в микровольтах, а P _n — шум в микровольтах.

Однако, если сигнал и шум измеряются в ваттах, формула немного отличается:

S / N = 10 log ₁₀ (P _s / P _n )

Буква P часто используется в этих формулах для обозначения степени .

Когда P _s равно P _n , отношение сигнал / шум будет 0. Отношение 0 дБ указывает, что сигнал напрямую конкурирует с уровнем шума, в результате чего сигнал граничит с нечитаемым. В цифровой связи это может вызвать снижение скорости передачи данных из-за частых ошибок, которые требуют от передающей системы повторной отправки пакетов данных.

Когда P _s больше, чем P _n , S / N будет положительным. В идеале P _s должно быть намного больше, чем P _n , чтобы минимизировать шумовые помехи. В качестве примера предположим, что P _s равно 10 микровольт, а P _n равно 1 микровольт. Поскольку 10, разделенное на 1, равно 10, для расчета S / N можно использовать следующую формулу:

S / N = 20 log ₁₀ (10) = 20 дБ

Коэффициент 20 дБ означает, что сигнал хорошо читается.Если сигнал намного слабее, но все еще выше уровня шума — скажем, 1,3 микровольта — отношение сигнал / шум намного ниже, в данном случае всего 2,28 дБ:

Отношение сигнал / шум = 20 log ₁₀ (1,3) = 2,28 дБ

Это незначительная ситуация, которая может повлиять на производительность сети, хотя это не наихудшая из возможных ситуаций. Когда P _s меньше, чем P _n , отношение сигнал / шум отрицательное, низкое отношение сигнал / шум. В такой ситуации надежная связь практически невозможна, и необходимо предпринять шаги для увеличения уровня сигнала, уменьшения уровня шума или реализации комбинации обоих.

— обзор

V. Отношение сигнал-шум (SNR) и отношение контраст-шум (CNR)

SNR и CNR — две важные величины, которые определяют качество МР-изображения (Edelstein и др. , 1986; Констебль и др. , 1992). Хорошее значение SNR необходимо для четкого выделения функций в интересующей области (ROI) на изображении. Понижение оптимального значения SNR приведет к появлению шума на изображении.Все изображение состоит из дискретных элементов объема (вокселей), и уменьшение размера вокселя уменьшает сигнал и, таким образом, снижает SNR. Основная проблема микроизображений по сравнению с макроизображениями связана с размером вокселей. Выбор сильных магнитных полей для микроизображения предлагает простой способ достижения лучшего отношения сигнал / шум.

Чтобы две области интереса были различимы, необходимо хорошее значение CNR. Если сигнал из области A равен S _A , а сигнал от его соседа B равен S _B , то

, где σ — шум.Шум обычно принимается за шум фона. На МРТ можно выделить два вида шума. Один из них — случайный шум (σ), возникающий от электроники приемника (например, шум Джонсона), от оцифровки и от образца. По мере увеличения полосы пропускания приемника увеличивается и шум, поскольку шум пропорционален квадратному корню из ширины полосы. Время сбора данных (AT) и полоса пропускания связаны как

, где N — количество точек данных. Таким образом, для данного N более длительное время захвата является благоприятным с точки зрения отношения сигнал / шум.Другой тип шума — это систематический шум (σ _s ), возникающий из-за движения образца, кровотока, потока спинномозговой жидкости, движений градиентной катушки, эффектов усечения при сборе сигнала и т. Д. Общий шум может быть выражен как

При наличии случайного шума, усреднение сигнала улучшает SNR, добавляя сигнал последовательно и последовательно пропорционально количеству сканирований, n. Из-за своей статистической природы шум складывается только пропорционально квадратному корню из n , таким образом, усреднение сигнала приводит к общему увеличению отношения сигнал / шум.Шум из-за периодического движения можно уменьшить, отслеживая движение и применяя методы стробирования для обнаружения сигнала. Таким образом, эффекты из-за пульсирующего движения CSF на МР-изображениях могут быть уменьшены с помощью периферийного стробирования, например, стробирования по импульсу на кончике пальца. Использование эхо-сигналов навигатора также полезно в этом контексте, как было указано выше. Можно синхронизировать импульс РЧ-возбуждения или импульс приемника с дыхательным или сердечным циклом живого животного, в случае исследований in vivo , со значительным подавлением артефактов движения.Для этой цели доступны коммерчески производимые электронные стробирующие устройства (см. Рис. 10A). Хорошо спроектированный держатель для животных, который надежно вставляется в радиочастотный зонд (см. Рис. 10B), может помочь в уменьшении артефактов движения.

Рис. 10. (A) Устройство Physiogard (Bruker Instruments, Inc., Биллерика, Массачусетс) контролирует ЭКГ и дыхание мыши. Это устройство подключается непосредственно к консоли Avance и обеспечивает триггер для синхронизированного сбора данных дыхания (нижняя кривая) и / или ЭКГ (верхняя кривая). (B) RF-катушка и стереотаксический держатель для мыши для визуализации in vivo мыши. Виден только внешний экран этой катушки для птичьей клетки с внутренним диаметром 30 мм, показанный в верхней половине фотографии. Мышь, для которой нужно создать изображение, кладут ничком так, чтобы верхние передние зубы находились в канавке под регулируемой деталью, обозначенной буквой «T», корпусом влево. Отведения ЭКГ из медной фольги (красные сердечки) обернуты вокруг передних лап и хвоста. Маленький плоский баллончик (зеленая звезда) определяет дыхание по движению грудной клетки.Анестезия подается по трубопроводу (синяя стрелка), по которому газ проходит прямо под ртом животного. Водяная рубашка окружает животное, чтобы поддерживать температуру тела, которую контролируют с помощью небольшого ректального зонда.

Обычно при визуализации биологических объектов различают два источника шума (Hoult and Lauterbur, 1979; Edelstein et al. , 1986). Это катушка и связанная с ней схема зонда, а также сам образец. Из-за небольшого размера образцов обычно используемый шум образца не так важен, как шум катушки в сильнопольном μMRI.Были предприняты попытки разработать более совершенные микрокатушки (Peck et al. , 1995) и улучшить конструкцию зонда (Glover et al. , 1994; Schoeniger and Blackband, 1994). Также было исследовано тепловое охлаждение катушки и предусилителя для уменьшения шума (Styles et al. , 1989; McFarland and Mortara, 1992; Wright et al. , 2000). Также были исследованы высокодобротные катушки, в которых используются сверхпроводящие материалы с высоким T _c (Black et al. , 1993; Odoj et al., 1998; Hurlston et al. , 1999; Миллер и др. , 1999). Все эти разработки могут привести к значительному улучшению отношения сигнал / шум и, таким образом, к повышению разрешения μМРТ.

Почему так много прогнозов терпят неудачу, а некоторые нет: Сильвер, Нейт: 9780143 125082: Amazon.com: Книги

Примерно в то время, когда Сигнал и шум был впервые опубликован в сентябре 2012 года, «большие данные» становились Большой идеей. За год количество поисковых запросов в Google увеличилось вдвое, равно как и упоминания о нем в средствах массовой информации.2 По этой теме опубликованы сотни книг. Если вы заглянули в какое-либо деловое издание в 2013 году, реклама больших данных была такой же повсеместной, как сигареты в эпизоде ​​ Mad Men .

Но к концу 2014 года появились свидетельства того, что тренд достиг своего апогея. Частота упоминания больших данных в корпоративных пресс-релизах снизилась и, возможно, начала снижаться3. Исследовательская компания Gartner даже заявила, что большие данные прошли пик своего «цикла шумихи».”4

Я надеюсь, что Gartner права. Лучшее понимание данных и статистики имеет важное значение, чтобы помочь нам ориентироваться в нашей жизни. Но, как и в случае с большинством новых технологий, широкие выгоды для науки, промышленности и благосостояния людей появятся только после того, как утихнет ажиотаж.

РИСУНОК P-1: УКАЗАНИЯ К БОЛЬШИМ ДАННЫМ В КОРПОРАТИВНЫХ ПРЕСС-РЕЛИЗАХ

Я беспокоюсь, что определенные события в моей жизни внесли свой вклад в цикл ажиотажа. 6 ноября 2012 года статистическая модель на моем веб-сайте FiveThirtyEight правильно «определила» победителя американских президентских выборов во всех пятидесяти штатах.Мне позвонили с поздравлением из Белого дома. Джон Стюарт из The Daily Show провозгласил меня «властелином и богом алгоритмов». Мое имя ненадолго получило больше поискового трафика Google, чем вице-президент США.

Мне понравилось некоторое внимание, но я чувствовал себя особенным — даже случайностью. По большей части я получил признание за то, что указал на очевидное, а остальное — на удачу. *

Безусловно, ко дню выборов было достаточно ясно, что президент Обама готов к переизбранию.Когда избиратели пришли на избирательные участки утром после выборов, статистическая модель FiveThirtyEight оценила его шансы на победу в Коллегии выборщиков примерно на 90%. вероятность успешной посадки 90%? Но когда на кону стоит только репутация, а не жизнь или здоровье, это хорошая ставка. Обаме нужно было выиграть лишь горстку колеблющихся штатов, в которых он был равен или опережал по опросам; Митту Ромни пришлось бы выиграть почти все из них.

Но сделать все правильно в каждом штате было удачей. В нашем прогнозе на день выборов шансы Обамы на победу во Флориде составляли всего 50,3 процента — результат был таким же случайным, как подбрасывание монеты. Принимая во внимание другие штаты, такие как Вирджиния, Огайо, Колорадо и Северная Каролина, наши шансы получить пятьдесят на пятьдесят составляли всего около 20 процентов5. «Идеальный» прогноз FiveThirtyEight был случайным, но способствовал восприятию того, что статистики являются предсказателями — только с использованием компьютеров. а не хрустальные шары.

Это ошибочная и довольно опасная идея. Американские президентские выборы — исключение из правил — один из немногих примеров сложной системы, в которой результаты обычно более определенны, чем предполагает общепринятое мнение. (Для этого есть ряд причин, не в последнюю очередь из-за того, что общепринятое мнение часто не очень разумно, когда дело доходит до политики.) Гораздо чаще, как поясняет эта книга, мы переоцениваем свою способность предсказывать мир вокруг нас. С некоторой регулярностью события, которые считаются несомненными, не осуществляются — или те, которые считаются невозможными, оказываются происходящими.

Если все это так просто, почему так много ученых мужей ошиблись на выборах 2012 года? Консерваторы настаивали на том, что опросы «смещены» в сторону президента Обамы, не только на окраине блогосферы. Вдумчивые консерваторы, такие как Джордж Ф. Уилл6 и Майкл Бэрон7, также предсказывали победу Ромни, иногда почти безоговорочную победу.

Одна часть ответа очевидна: у экспертов не было особого стимула сделать правильный выбор. Вас могут снова пригласить на телевидение с гораздо худшим послужным списком, чем у Барона или Уилла, при условии, что вы будете говорить с некоторой убежденностью и иметь точку зрения, которая соответствует целям продюсера.

Альтернативная интерпретация несколько менее цинична, но ее труднее принять: человеческое суждение по своей сути подвержено ошибкам. Для кого-либо из нас (в том числе и для меня) трудно понять, насколько наш относительно узкий диапазон опыта может повлиять на нашу интерпретацию свидетельств. Сегодня существует так много информации, что никто из нас не может достоверно усвоить ее всю. Мы постоянно принимаем решения о том, какой веб-сайт читать, какой телеканал смотреть и на чем сосредоточить наше внимание.

Лучшее понимание статистики почти наверняка поможет. За последнее десятилетие количество людей, нанятых статистиками в Соединенных Штатах, увеличилось на 35 процентов8, даже несмотря на стагнацию на рынке труда в целом. Но это скорее необходимая, чем достаточная часть решения. Некоторые из примеров неудачных предсказаний в этой книге касаются людей с исключительным интеллектом и образцовой статистической подготовкой, но чьи предубеждения все же мешают.

Эти проблемы не так просты, поэтому в этой книге нет простых ответов на них.В нем даются некоторые рекомендации, но они носят не столько технический, сколько философский характер. Как только мы сделаем все правильно — придем к лучшему пониманию вероятности и неопределенности; научиться распознавать наши предубеждения; понимая ценность разнообразия, стимулов и экспериментов, мы можем позволить себе роскошь побеспокоиться о тонкостях техники.

Цикл ажиотажа Gartner в конечном итоге имеет счастливый конец. После пика завышенных ожиданий наступает «впадина разочарования» — что происходит, когда люди приходят к пониманию того, что новая технология по-прежнему потребует много тяжелой работы.

РИСУНОК P-2: ГИПНЫЙ ЦИКЛ GARTNER

Но именно тогда, когда взгляды на новую технологию начали переходить от здорового скептицизма к откровенному цинизму, эта технология может начать приносить определенные дивиденды. (Мы уже проходили через это раньше: после компьютерного бума в 1970-х и бума интернет-торговли в конце 1990-х, среди других примеров.) может даже стать настолько обычным явлением, что мы принимаем это как должное.Я надеюсь, что эта книга может хоть немного ускорить этот процесс.

Это книга об информации, технологиях и научном прогрессе. Это книга о конкуренции, свободных рынках и эволюции идей. Это книга о вещах, которые делают нас умнее любого компьютера, и книга о человеческих ошибках. Это книга о том, как мы учимся, шаг за шагом, к познанию объективного мира, и почему мы иногда делаем шаг назад.

Это книга о предсказаниях, которая находится на пересечении всех этих вещей.Это исследование того, почему одни предсказания оказываются успешными, а другие — нет. Я надеюсь, что мы сможем получить немного больше информации о планировании своего будущего и с меньшей вероятностью будем повторять наши ошибки.

Больше информации, больше проблем

Первоначальная революция в информационных технологиях произошла не с микрочипом, а с печатным станком. Изобретение Иоганна Гутенберга в 1440 году сделало информацию доступной для масс, и взрыв идей, который это произвело, имел непредвиденные последствия и непредсказуемые последствия.Это была искра промышленной революции 1775 года, переломный момент, когда цивилизация внезапно перешла от почти полного отсутствия научного или экономического прогресса на протяжении большей части своего существования к экспоненциальным темпам роста и изменений, которые знакомы нам сегодня. Он привел в действие события, которые привели к европейскому Просвещению и основанию Американской республики.

Но печатный станок сначала произвел бы нечто другое: сотни лет священной войны. Когда человечество поверило, что оно может предсказывать свою судьбу и выбирать свою судьбу, последовала самая кровавая эпоха в истории человечества.2

Книги существовали до Гутенберга, но они не были широко написаны и не были широко читаемы. Вместо этого они были предметами роскоши для знати, которые писцы производили по одной копии за раз.3 Обычная ставка за воспроизведение одной рукописи составляла примерно один флорин (золотая монета стоимостью около 200 долларов в сегодняшних долларах) за пять страниц, 4 так что книга, подобная той, которую вы сейчас читаете, будет стоить около 20 000 долларов. Вероятно, это также будет сопровождаться целым рядом ошибок транскрипции, поскольку это будет копия копии копии, причем ошибки умножаются и видоизменяются в каждом поколении.

Это чрезвычайно затрудняло накопление знаний. Потребовались героические усилия, чтобы не допустить фактического уменьшения объема записанных знаний на , , поскольку книги могли разрушаться быстрее, чем их можно было воспроизвести. Сохранились различные издания Библии, а также небольшое количество канонических текстов, таких как Платон и Аристотель. Но неисчислимое количество мудрости было утеряно веками, 5, и не было большого стимула записывать больше на странице.

Погоня за знаниями казалась бесполезной, если не совсем напрасной.Если сегодня мы чувствуем непостоянство, потому что все меняется так быстро, непостоянство было гораздо более буквальной заботой для предшествующих нам поколений. Как сказано в прекрасных библейских стихах Экклезиаста, «не было ничего нового под солнцем» — не столько потому, что все было открыто, сколько потому, что все будет забыто6.

Печатный станок изменил это, и сделал это навсегда и глубоко . Почти в мгновение ока стоимость выпуска книги снизилась примерно в триста раз 7, поэтому книга, которая могла бы стоить 20 000 долларов в сегодняшних долларах, стоила 70 долларов.Печатные машины очень быстро распространились по Европе; от Германии Гутенберга до Рима, Севильи, Парижа и Базеля к 1470 году, а затем почти во все другие крупные европейские города в течение следующих десяти лет. был изобретен печатный станок9. Запас человеческих знаний начал быстро накапливаться.

РИСУНОК I-1: ЕВРОПЕЙСКОЕ ИЗГОТОВЛЕНИЕ КНИГ

Однако, как и в первые дни всемирной паутины, качество информации было очень разным.В то время как печатный станок приносил почти немедленные дивиденды в производстве карт более высокого качества10, в списке бестселлеров вскоре стали преобладать еретические религиозные тексты и псевдонаучные тексты.11 Теперь ошибки можно было производить массово, как в так называемой Злой Библии , который допустил самую досадную опечатку в истории на странице: вы должны прелюбодействовать12. Между тем, знакомство с таким количеством новых идей вызывало массовую неразбериху. Количество информации увеличивалось гораздо быстрее, чем наше понимание того, что с ней делать, или наша способность отличать полезную информацию от ложной правды.13 Парадоксально, но результатом того, что стало больше общих знаний, стало усиление изоляции по национальному и религиозному признаку. Инстинктивный ярлык, который мы используем, когда у нас «слишком много информации», состоит в том, чтобы взаимодействовать с ней выборочно, выбирая те части, которые нам нравятся, и игнорируя остальное, заключая союзников с теми, кто сделал такой же выбор, и врагами остальных.

Самыми восторженными первыми покупателями печатного станка были те, кто использовал его для проповеди. Девяносто пять тезисов Мартина Лютера не были столь радикальными; подобные настроения обсуждались много раз.Что было революционным, как пишет Элизабет Эйзенштейн, так это то, что тезисы Лютера «не оставались привязанными к дверям церкви» 14. Вместо этого они были воспроизведены как минимум триста тысяч раз печатным станком Гутенберга15 — безудержный успех даже по современным стандартам.

Раскол, вызванный протестантской реформацией Лютера, вскоре вверг Европу в войну. С 1524 по 1648 год происходили Немецкая крестьянская война, Шмалькальдийская война, Восьмидесятилетняя война, Тридцатилетняя война, Французские религиозные войны, Войны Ирландского Конфедерации, Гражданская война в Шотландии и Гражданская война в Англии. — многие из них бушуют одновременно.Это не означает пренебрежения испанской инквизицией, которая началась в 1480 году, или войной Священной лиги с 1508 по 1516 год, хотя они имели меньшее отношение к распространению протестантизма. Одна только Тридцатилетняя война унесла жизни одной трети населения Германии16, и семнадцатый век, возможно, был самым кровавым из когда-либо существовавших, причем начало двадцатого столетия стало основным заявлением соперника17. начинает производить научный и литературный прогресс. Галилей делился своими (подвергнутыми цензуре) идеями, а Шекспир ставил свои пьесы.

Пьесы Шекспира часто обращаются к идее судьбы, как и драма. Что делает их такими трагичными, так это разрыв между тем, чего хотят добиться его персонажи, и тем, что им дает судьба. Идея контролировать свою судьбу, казалось, стала частью человеческого сознания ко времени Шекспира, но еще не способна достичь этой цели. Вместо этого те, кто испытывал судьбу, обычно оказывались мертвыми.18

Эти темы наиболее ярко раскрыты в Трагедия Юлия Цезаря .На протяжении первой половины пьесы Цезарь получает всевозможные явные предупреждающие знаки — то, что он называет предсказаниями19 («остерегайтесь мартовских ид»), — что его коронация может превратиться в бойню. Цезарь, конечно, игнорирует эти знаки, весьма гордо настаивая на том, что они указывают на чью-то смерть, или иным образом выборочно читая доказательства. Затем Цезарь убит.

«[Но] люди могут конструировать вещи по своему усмотрению / Очистить от цели самих вещей», — предупреждает нас Шекспир голосом Цицерона — хороший совет для всех, кто пытается черпать из вновь обретенного богатства информации.Было трудно отличить сигнал от шума. История, которую нам рассказывают данные, часто бывает той, которую мы хотели бы услышать, и мы обычно следим за тем, чтобы у нее был счастливый конец.

И все же, если Трагедия Юлия Цезаря обратился к древней идее предсказания — связав ее с фатализмом, гаданием и суевериями, — она ​​также представила более современную и в целом более радикальную идею: что мы можем интерпретировать эти знаки чтобы получить от них выгоду. «Люди когда-то становятся хозяевами своей судьбы», — говорит Кассий, надеясь убедить Брута принять участие в заговоре против Цезаря.

Идея человека как хозяина своей судьбы набирала обороты. Слова предсказывают и предсказывают сегодня в значительной степени взаимозаменяемы, но во времена Шекспира они означали разные вещи. Предсказание — это то, что вам сказал прорицатель; прогноз был больше похож на идею Кассиуса.

Термин прогноз произошел от германских корней английского языка, 20 в отличие от прогноз, от латинского21. Прогнозирование отражало новую протестантскую мирскость, а не потусторонность Священной Римской империи.Составление прогноза обычно подразумевает планирование в условиях неопределенности . Это предполагало благоразумие, мудрость и трудолюбие, больше похоже на то, как мы сейчас используем слово предвидение . 22

Теологические последствия этой идеи сложны23. Но они были менее значимыми для тех, кто надеялся зарабатывать на жизнь в земном мире. Эти качества были прочно связаны с протестантской трудовой этикой, которую Макс Вебер считал причиной капитализма и промышленной революции.24 Это понятие , предсказывающего , было очень сильно связано с понятием прогресса. Вся эта информация во всех этих книгах должна была помочь нам спланировать свою жизнь и с выгодой предсказать курс мира.

• • •

Протестанты, открывшие века священной войны, учились использовать накопленные знания для изменения общества. Промышленная революция началась в основном в протестантских странах и в основном в странах со свободной прессой, где религиозные и научные идеи могли распространяться, не опасаясь цензуры.25

Трудно переоценить значение промышленной революции. Практически на протяжении всей истории человечества экономический рост происходил со скоростью примерно 0,1 процента в год, что было достаточно для очень постепенного увеличения численности населения, но не какого-либо роста уровня жизни на душу населения26. прогресс был тогда, когда его не было. Экономический рост начал ускоряться намного быстрее, чем темпы прироста населения, как он продолжается и по сей день, несмотря на периодические глобальные финансовые кризисы.27

Отношение шум / сигнал — обзор

Самым простым типом квантователя является равномерный квантователь. В равномерном квантователе все интервалы имеют одинаковый размер, за исключением, возможно, двух внешних интервалов. Другими словами, границы решений расположены равномерно. Значения реконструкции также распределены равномерно, с тем же интервалом, что и границы решения; во внутренних интервалах они являются серединами интервалов. Этот постоянный интервал обычно называется размером шага и обозначается Δ.Квантователь, показанный на рисунке 9.3, является равномерным квантователем с Δ = 1. У него нет нуля в качестве одного из уровней представления. Такой квантователь называется средним квантователем . Альтернативный равномерный квантователь может быть показан на рисунке 9.5. Это называется промежуточным квантователем . Поскольку квантователь промежуточного звена имеет ноль в качестве одного из своих выходных уровней, он особенно полезен в ситуациях, когда важно, чтобы было представлено нулевое значение — например, системы управления, в которых важно точно представлять нулевое значение, и кодирование звука схемы, в которых нам нужно представить периоды молчания.Обратите внимание, что квантователь промежуточного звена имеет только семь интервалов или уровней. Это означает, что если бы мы использовали 3-битный код фиксированной длины, у нас осталось бы одно кодовое слово.

Рисунок 9.5. Промежуточный квантователь.

Обычно мы используем квантователь среднего уровня, если количество уровней четное, и квантователь среднего уровня, если количество уровней нечетное. В оставшейся части этой главы, если мы специально не укажем иное, мы будем предполагать, что имеем дело с квантователями среднего уровня. Мы также обычно предполагаем, что входное распределение симметрично относительно начала координат, и квантователь также симметричен.(Оптимальный квантователь с минимальной среднеквадратичной ошибкой для симметричного распределения не обязательно должен быть симметричным [120].) С учетом всех этих предположений разработка равномерного квантователя состоит из нахождения размера шага Δ, который минимизирует искажение для данного входного процесса и количества уровни принятия решений.

Равномерное квантование равномерно распределенного источника

Мы начинаем наше исследование конструкции квантователя с простейшего из всех случаев: разработки однородного квантователя для равномерно распределенного источника.Предположим, мы хотим разработать равномерный квантователь уровня M для входа, который равномерно распределен в интервале [-Xmax, Xmax]. Это означает, что нам нужно разделить интервал [-Xmax, Xmax] на M интервалов одинакового размера. В этом случае размер шага Δ равен

(9) Δ = 2XmaxM

Искажение в этом случае становится

(10) σq2 = 2∑i = 1M2∫ (i-1) ΔiΔx-2i-12Δ212Xmaxdx

Если мы оценим этот интеграл (после некоторых страданий), мы обнаружим, что msqe составляет Δ2 / 12.

Тот же результат может быть легче получить, если мы исследуем поведение ошибки квантования q , заданной как

(11) q = xQ (x)

На рисунке 9.6 мы построим график зависимости ошибки квантования от входного сигнала. для восьмиуровневого равномерного квантователя с входом, лежащим в интервале [-Xmax, Xmax]. Обратите внимание, что ошибка квантования находится в интервале [-Δ2, Δ2]. Поскольку входной сигнал однороден, нетрудно установить, что ошибка квантования также одинакова на этом интервале.Таким образом, среднеквадратичная ошибка квантования — это второй момент случайной величины, равномерно распределенной в интервале [-Δ2, Δ2]:

Рисунок 9.6. Ошибка квантования для квантователя с равномерным средним уровнем сигнала с равномерно распределенным входом.

(12) σq2 = 1Δ∫-Δ2Δ2q2dq

(13) = Δ212

Рассчитаем также отношение сигнал / шум для этого случая. Дисперсия сигнала σs2 для однородной случайной величины, которая принимает значения в интервале [-Xmax, Xmax], составляет (2Xmax) 212. Значение размера шага Δ связано с Xmax и количеством уровней M на

Δ = 2XmaxM

Для случая, когда мы используем код фиксированной длины, при этом каждое кодовое слово состоит из n бит , количество кодовых слов или количество уровней восстановления M равно 2n.Суммируя все это, мы получаем

(14) SNR (дБ) = 10log10σs2σq2

(15) = 10log10 (2Xmax) 212 · 12Δ2

(16) = 10log10 (2Xmax) 21212 (2XmaxM) 2

(17) = 10log10 (M2) = 20log10 (2n) = 6.02ndB

Это уравнение говорит, что для каждого дополнительного бита в квантователе мы получаем увеличение отношения сигнал / шум на 6,02 дБ. Это хорошо известный результат, который часто используется для определения максимального доступного усиления при увеличении скорости. Однако помните, что мы получили этот результат при некоторых предположениях относительно входных данных.Если предположения не верны, этот результат также не будет верным.

Пример 9.4.1

Сжатие изображения

Вероятностную модель для вариаций пикселей в изображении практически невозможно получить из-за большого разнообразия доступных изображений. Общий подход состоит в том, чтобы объявить значения пикселей равномерно распределенными между 0 и 2b-1, где b — количество бит на пиксель. Для большинства изображений, с которыми мы имеем дело, количество бит на пиксель равно 8; поэтому предполагается, что значения пикселей будут равномерно варьироваться от 0 до 255.Давайте квантуем наше тестовое изображение Sena с помощью равномерного квантователя.

Если бы мы хотели использовать только 1 бит на пиксель, мы бы разделили диапазон [0, 255] на два интервала, [0, 127] и [128, 255]. Первый интервал будет представлен значением 64, средней точкой первого интервала; пиксели во втором интервале будут представлены значением 196 пикселя, средней точкой второго интервала. Другими словами, граничными значениями являются {0, 128, 255}, а значениями восстановления — {64, 196}.Квантованное изображение показано на рисунке 9.7. Как и ожидалось, почти все детали на изображении исчезли. Если бы мы использовали 2-битный квантователь с граничными значениями {0, 64, 128, 196, 255} и уровнями восстановления {32, 96, 160, 224}, мы бы получили значительно больше деталей. Уровень детализации увеличивается по мере увеличения использования битов до тех пор, пока на уровне 6 бит на пиксель восстановленное изображение не будет отличаться от оригинала, по крайней мере, для случайного наблюдателя. 1-, 2- и 3-битные изображения показаны на рисунке 9.7.

Рисунок 9.7. Вверху слева: исходное изображение Sena; вверху справа: изображение 1 бит / пиксель; слева внизу: 2 бита / пиксель; внизу справа: 3 бита / пиксель.

Глядя на низкоскоростные изображения, мы замечаем несколько вещей. Во-первых, изображения с более низкой скоростью темнее оригинала, а реконструкции с низкой скоростью являются самыми темными. Причина этого в том, что процесс квантования обычно приводит к уменьшению динамического диапазона входного сигнала. Например, при воспроизведении с 1 битом на пиксель максимальное значение пикселя составляет 196, в отличие от 255 для исходного изображения.Поскольку более высокие значения серого представляют более светлые оттенки, происходит соответствующее затемнение реконструкции. Еще одна вещь, на которую следует обратить внимание при реконструкции с низкой скоростью, — это то, что там, где были плавные изменения значений серого, теперь есть резкие переходы. Это особенно заметно в области лица и шеи, где постепенное затемнение превратилось в пятнистые участки с постоянными значениями. Это связано с тем, что диапазон значений отображается на одно и то же значение, как это было в случае первых двух выборок синусоиды в Примере 9.3.1. По понятным причинам этот эффект получил название контурной . Восприятие эффекта контурирования может быть уменьшено с помощью процедуры под названием дизеринг [121]. ♦

Равномерное квантование неоднородных источников

Довольно часто источники, с которыми мы имеем дело, не имеют равномерного распределения; однако нам все еще нужна простота равномерного квантователя. В этих случаях, даже если источники ограничены, простое деление диапазона входных данных на количество уровней квантования не дает хорошего дизайна.

Пример 9.4.2

Предположим, что наш вход попал в интервал [-1,1] с вероятностью 0,95 и попал в интервалы [-100,1), (1, 100] с вероятностью 0,05. Предположим, мы хотим для разработки восьмиуровневого равномерного квантователя.Если бы мы следовали процедуре, описанной в предыдущем разделе, размер шага был бы 25. Это означает, что входные данные в интервале [-1,0) будут представлены значением -12,5, и входные данные в интервале [0, 1) будут представлены значением 12,5.Максимальная ошибка квантования, которая может возникнуть, составляет 12,5. Однако, по крайней мере, в 95% случаев минимальная ошибка , которая будет возникать, составляет 11,5. Очевидно, это не очень удачный дизайн. Намного лучшим подходом было бы использование меньшего размера шага, что привело бы к лучшему представлению значений в интервале [-1,1], даже если это означало бы большую максимальную ошибку. Предположим, мы выбрали размер шага 0,3. В этом случае максимальная ошибка квантования составляет от 12,5 до 98,95. Однако в 95% случаев ошибка квантования будет меньше 0.15. Следовательно, среднее искажение, или msqe , для этого квантователя будет существенно меньше, чем msqe для первого квантователя. ♦

Мы видим, что, когда распределение перестает быть однородным, не рекомендуется получать размер шага простым делением диапазона входных данных на количество уровней. Этот подход становится совершенно непрактичным, когда мы моделируем наши источники с неограниченными распределениями, такими как распределение Гаусса. Поэтому мы включаем pdf исходного кода в процесс проектирования.

Наша цель — найти размер шага, который при заданном значении M минимизирует искажения. Самый простой способ сделать это — записать искажение как функцию размера шага, а затем минимизировать эту функцию. Выражение для искажения, или msqe , для равномерного квантователя уровня M в зависимости от размера шага можно найти, заменив бис и yis в уравнении (3) функциями Δ. Поскольку мы имеем дело с симметричным условием, нам нужно только вычислить искажение для положительных значений x ; искажение для отрицательных значений x будет таким же.

Из рисунка 9.8 видно, что границы решения являются целыми кратными Δ, а уровень представления для интервала (k-1) Δ, kΔ равен просто 2k-12Δ. Следовательно, выражение для msqe становится

Рисунок 9.8. Единый квантователь среднего уровня.

(18) σq2 = 2∑i = 1M2-1∫ (i-1) ΔiΔx-2i-12Δ2fX (x) dx + 2∫M2-1Δ∞xM-12Δ2fX (x) dx

Найти оптимальное значение от Δ, мы просто берем производную этого уравнения и устанавливаем ее равной нулю [122] (см. задачу 1 в конце этой главы):

(19) dσq2dΔ = -i = 1M2-1 (2i-1 ) ∫ (i-1) ΔiΔ (x-2i-12Δ) fX (x) dx- (M-1) ∫M2-1Δ∞xM-12ΔfX (x) dx = 0

Это выражение выглядит довольно неаккуратно. , но с учетом pdffX (x) его легко решить, используя любой из ряда численных методов (см. задачу 2 в конце главы).В таблице 9.3 мы перечисляем размеры шага, найденные путем решения (19) для девяти различных размеров алфавита и трех различных распределений.

Таблица 9.3. Оптимальный размер шага и SNR для однородных квантователей для различных распределений и размеров алфавита. Дисперсия для каждого распределения равна 1. [122,123]

Рисунок 9.9. Ошибка квантования для равномерного квантователя средней полосы.

Рисунок 9.10. Области перегрузки и зернистости для 3-битного равномерного квантователя.

Неоднородные источники, с которыми мы имеем дело, имеют функции плотности вероятности, которые обычно достигают максимума в нуле и затухают по мере удаления от начала координат. Следовательно, вероятность перегрузки обычно намного меньше, чем вероятность попадания входного сигнала в гранулированную область. Как видно из уравнения (19), увеличение размера шага Δ приведет к увеличению значения M2-1Δ, что, в свою очередь, приведет к уменьшению вероятности перегрузки и второго члена в уравнении (19) .Однако увеличение размера шага Δ также приведет к увеличению гранулярного шума, который является первым членом в уравнении (19). Процесс разработки равномерного квантователя — это баланс этих двух эффектов. Важным параметром, описывающим этот компромисс, является коэффициент нагрузки fl, определяемый как отношение максимального значения, которое входные данные могут принимать в гранулированной области, к стандартному отклонению. Обычное значение коэффициента нагрузки — 4. Это также называется 4σ загрузка .

Напомним, что при квантовании входа с равномерным распределением SNR и битовая скорость связаны уравнением (17), которое говорит, что для каждого увеличения скорости на бит увеличивается на 6.02 дБ в соотношении сигнал / шум. В таблице 9.3, наряду с размерами шага, мы также перечислили SNR, полученное при квантовании миллиона входных значений с соответствующим pdf с использованием указанного квантователя.

Из этой таблицы мы можем видеть, что, хотя отношение сигнал / шум для равномерного распределения следует правилу увеличения отношения сигнал / шум на 6,02 дБ для каждого дополнительного бита, это неверно для других распределений. Помните, что мы сделали некоторые предположения, когда получили 6.02n правило, действующее только для равномерного распределения. Обратите внимание на то, что чем более пиковым является распределение (то есть чем оно дальше от однородного), тем больше оно отклоняется от правила 6,02 дБ.

Мы также сказали, что выбор Δ — это баланс между перегрузкой и гранулярными ошибками. Распределение Лапласа имеет большую вероятностную массу вдали от начала координат в своих хвостах, чем распределение Гаусса. Это означает, что для того же размера шага и количества уровней вероятность попадания в область перегрузки выше, если вход имеет лапласовское распределение, чем если вход имеет гауссово распределение.Равномерное распределение — это крайний случай, когда вероятность перегрузки равна нулю. Если мы увеличим размер шага для того же количества уровней, размер области перегрузки (и, следовательно, вероятность перегрузки) уменьшится за счет гранулярного шума. Следовательно, для заданного числа уровней, если мы выбираем размер шага, чтобы сбалансировать эффекты гранулярного шума и шума перегрузки, распределения с более тяжелыми хвостами будут иметь тенденцию иметь больший размер шага. Этот эффект можно увидеть в таблице 9.3. Например, для восьми уровней размер шага равномерного квантователя составляет 0,433. Размер шага квантователя Гаусса больше (0,586), а размер шага квантователя Лапласа еще больше (0,7309).

Эффекты несоответствия

Мы видели, что для того, чтобы результат был верным, должны выполняться предположения, которые мы использовали для получения результата. Когда мы получаем оптимальный размер шага для определенного равномерного квантователя, используя уравнение (19), мы делаем некоторые предположения о статистике источника.Мы предполагаем определенное распределение и определенные параметры распределения. Что произойдет, если наши предположения не верны? Попробуем ответить на этот вопрос эмпирически.

Мы рассмотрим два типа несовпадений. Первый — когда предполагаемый тип распределения совпадает с фактическим типом распределения, но дисперсия входных данных отличается от предполагаемой дисперсии. Второе несоответствие возникает, когда фактический тип распределения отличается от типа распределения, предполагаемого при получении значения размера шага.На протяжении всего обсуждения мы будем предполагать, что среднее входное распределение равно нулю.

На рисунке 9.11 мы построили график отношения сигнал / шум как функцию отношения фактической дисперсии к предполагаемой для 4-битного гауссовского равномерного квантователя с гауссовым входом. (Чтобы увидеть эффект при различных условиях, см. Задачу 5 в конце этой главы.) Помните, что для распределения с нулевым средним значением дисперсия определяется выражением σx2 = E [X2], которое также является мерой мощности в сигнал X .Как видно из рисунка, отношение сигнал / шум является максимальным, когда дисперсия входного сигнала совпадает с дисперсией, принятой при разработке квантователя. Из сюжета мы также видим асимметрию; SNR значительно хуже, когда входная дисперсия ниже, чем предполагаемая дисперсия. Это связано с тем, что SNR представляет собой отношение входной дисперсии и среднеквадратичной ошибки квантования. Когда входная дисперсия меньше, чем предполагаемая дисперсия, среднеквадратичная ошибка квантования фактически падает, потому что меньше шума перегрузки.Однако, поскольку входная дисперсия мала, соотношение невелико. Когда входная дисперсия выше, чем предполагаемая дисперсия, msqe существенно увеличивается, но поскольку входная мощность также увеличивается, соотношение не уменьшается так резко. Чтобы увидеть это более четко, мы отдельно построили график зависимости среднеквадратичной ошибки от дисперсии сигнала на рисунке 9.12. Из этих цифр видно, что уменьшение отношения сигнал / шум не всегда напрямую коррелирует с увеличением msqe .

Рисунок 9.11. Влияние рассогласования дисперсии на производительность 4-битного квантователя.

Рисунок 9.12. msqe как функция рассогласования дисперсии с 4-битным равномерным квантователем.

Второй вид несоответствия — это когда входное распределение не соответствует распределению, принятому при разработке квантователя. В Таблице 9.4 мы перечислили SNR при квантовании входных сигналов с разными распределениями с использованием нескольких различных восьмиуровневых квантователей.Квантователи были разработаны с учетом конкретного входного распределения.

Таблица 9.4. Демонстрация эффекта рассогласования с использованием восьмиуровневых квантователей (дБ). У каждого входного распределения есть единичная дисперсия.

Обратите внимание, что при перемещении слева направо в таблице расчетный размер шага постепенно становится больше, чем «правильный» размер шага.2 видно, что хорошее качество изображения имеет решающее значение.

Второй аспект: отношение сигнал-шум увеличивается как квадратный корень из ОБЩЕГО времени t = NDIT.DIT.
Это означает, что S / N не изменится, если мы возьмем 1 выдержка 3000 сек или 10 выдержек 300 сек (пока каждая из отдельные изображения с преобладанием небесного шума). Во многих случаях это выгодно разделить время экспозиции на несколько экспозиций.

Приложения:

• широкополосные изображения в видимом диапазоне (типичное значение: DIT = 300-600s, Sky = 5000adu = 10000 e, RON = 3 e).Съемка большого количества изображений улучшает плоское поле окончательного изображения
• спектрометр низкого разрешения в видимой области (EFOSC, FORS, ЭММИ-РИЛЬД …). Как только небо достигает нескольких сотен градусов, можно расколоть. Преимущества: избавиться от космических лучей.
• Инфракрасное изображение: небо такое высокое, что может детектор очень быстро (от нескольких секунд до нескольких десятков в JHK, несколько мс в тепловом ИК). Нет другого выбора, кроме как разделить общий опыт. со многими короткими DIT. Это не проблема для окончательного отношения сигнал / шум, поскольку мы — небесный шум. преобладают

S / N === 1 / sqrt (n_pix). 1 / кв.м (NDIT)

Секунда: 1 / sqrt (NDIT): нужно, чтобы NDIT не превышал возможно, что означает сохранение DIT как можно дольше. В случае ПЗС-матриц реальным пределом становится количество космических лучей. На практике DIT_max около 45 минут, но в некоторых случаях стоит увеличить его (например, если наблюдателя не волнуют космические лучи).

Приложение:

• узкополосное изображение (небо = пара электронов), типичное время экспозиции может достигать 1 часа.
  
• Echelle spectro: небесный свет настолько рассеян, что больше не учитывается.Сохраните опыт. время как можно дольше.
  

«Сигнал и шум» Нейта Сильвера.

Нейт Сильвер прожил невероятно интересную жизнь. В 2002 году, работая скромным консультантом в бухгалтерской фирме KPMG, он разработал революционный метод прогнозирования результатов бейсболистов, который впоследствии был приобретен веб-сайтом Baseball Prospectus.В следующем году он занялся покером в свободное время и уволился с работы, выиграв 15 000 долларов за шесть месяцев. (Его годовые выигрыши в покере вскоре стали исчисляться шестизначными.) Затем, в начале 2008 года, Сильвер заметил, что большинство политических прогнозов были бессмысленны. Сильвер быстро изобрел и эту сферу. Его способности к прогнозированию были таковы, что в какой-то момент кампания Обамы обратилась к нему за советом.

Эти триумфы сделали Сильвера верным последователем среди поклонников фэнтези-бейсбола и политических энтузиастов, которые стекаются в его блог FiveThirtyEight в New York Times.Его фирменный подход — сосредоточить огромное количество данных на вопросах, которые поддаются набожной болтовне. Например: телевизионные болваны любят заявлять, что победитель кокусов в Айове пользуется большим успехом на праймериз в Нью-Гэмпшире. Серебро проанализировало цифры, относящиеся к 1970-м годам, и обнаружило, что отскок происходит не столько от победы в Айове, сколько от превышения там ожиданий.

Метод Сильвера совершенно прост: как еще вы подойдете к подобному вопросу, если бы не рассматривали каждый предыдущий пример? Но этот метод настолько воодушевляет, что он опьяняет — как будто нет вопросов, на которые он не мог бы ответить с помощью достаточно большой таблицы.

Вот почему немного душераздирающе читать во введении к новой книге Сильвера «Сигнал и шум», в котором он намеревался написать информатор для компьютерных фанатов в духе «Moneyball» и «Freakonomics» Сильвер решил написать совсем другую книгу. Это не столько о его восхождении к статистическому благочестию, хотя и включает в себя небольшую предысторию. В основном это оценка прогнозов в самых разных областях, от финансов до погоды и эпидемиологии.Мы узнаем о нескольких успехах: когда, например, метеорологи предсказывают ураган за 72 часа до берега, теперь он попадает в радиус 100 миль, тогда как четверть века назад радиус составлял 350 миль. Но в основном мы узнаем о неудачах. Оказывается, мы даже не приблизились к предсказанию следующего катастрофического землетрясения или распространения следующего смертоносного птичьего гриппа, несмотря на то, что за последние несколько десятилетий для решения этих вопросов были обучены огромные умственные способности.

Как наука, это исследование полностью удовлетворяет.В качестве литературного предложения это немного разочаровывает. Всегда увлекательнее читать о том, как мы можем достичь невероятного, чем о том, почему мы не можем. И когда книги о статистическом волшебстве добиваются успеха, это обычно происходит благодаря их повествовательным элементам, а не их аналитической строгости. «Moneyball» был классической сказкой о бедных из Окленда A’s; «Фрикономика» читается как серия детективных рассказов. Том Сильвера больше похож на увлекательно написанное руководство пользователя с набегами на такие темы, как динамические нелинейные системы (внутренности теории хаоса) и теорема Байеса (инструмент для выяснения, насколько вероятно то или иное предположение в свете наблюдаемых нами свидетельств). .

И все же, хотя «Сигнал и шум» не рассказывает о восхождении Сильвера, он отмечает важную веху в его восхождении. По этой причине она может оказаться одной из самых важных книг десятилетия. Журналистика в наши дни находится в странном месте. Кабельное телевидение и Интернет нанесли вред старому медиа-истеблишменту; политическая поляризация нанесла ему смертельный удар. Между тем, на его место не появилось ни одного нового истеблишмента. То, что мы имеем, — это растущее чувство интеллектуального нигилизма.Правые СМИ обращаются только к истинно верующим. Либеральные журналисты часто более осведомлены о фактах, но в равной степени пристрастны, в то время как у основных СМИ быстро сокращается аудитория. Немногие СМИ пользуются всеобщим доверием.

Я думаю, что серебро — или, по крайней мере, серебристость — может заполнить пустоту. Сильвер использует статистику для тщательного изучения заявлений людей, у которых не всегда есть стимул быть точным. До сих пор он нацелился в основном на спортивных экспертов и политических гангстеров.Но книга намекает на его стремление ответить на более серьезные вопросы. Нет лучшего примера, чем его глава об изменении климата. В последние годы самые искушенные скептики глобального потепления ухватились за ошибки в прогнозах Международной группы экспертов по изменению климата (I.P.C.C.) Организации Объединенных Наций, чтобы подорвать усилия по сокращению выбросов парниковых газов. Эти скептики отмечают, что глобальные температуры повысились примерно вдвое быстрее, чем I.P.C.C. прогнозировалось в 1990 году, и что они стабилизировались в 2000-х (хотя и после резкого роста в конце 90-х).

Сильвер вычисляет числа, чтобы показать, что данные за последние несколько десятилетий все еще хорошо согласуются с гипотезой глобального потепления, вызванного деятельностью человека. Он показывает, что с такой скоростью, с которой накапливается углекислый газ, одно десятилетие стабильных температур вряд ли может оказаться недействительным. С другой стороны, Сильвер демонстрирует, что прогнозировать повышение температуры на десятилетия вперед — рискованное предложение. Он упрекает некоторых экологических активистов в их уверенности — замечая, что чрезмерно амбициозные прогнозы могут подорвать причину, когда они не сбываются, — не впадая в ложную эквивалентность.

Сильвер здесь играет роль государственного статистика, привнося простые, но действенные эмпирические методы в решение спорного политического вопроса и делая результаты доступными для всех, у кого есть навыки счета в средней школе. Это упражнение не сильно отличается по духу от того, как публичные интеллектуалы, такие как Джон Кеннет Гэлбрейт, когда-то формировали дискуссии об экономической политике, а такие общественные деятели, как Уолтер Кронкайт, помогли повлиять на общественное мнение о войне во Вьетнаме. За исключением того, что их авторитет в той или иной степени основывался на их авторитете в учреждении, в то время как Сильвер был основан на его понимании данных в эпоху ботаников по статистике.

То, что Silver берет на себя это, в целом, приветствуется. У немногих журналистов есть статистические навыки; большинство ученых и социологов слишком непонятны. Хотя его подход применим не ко всем вопросам, нетрудно представить, что Сильвер и ему подобные однажды выпустят воздух из надувающегося пузыря на рынке жилья или разоблачат вращение табачной компании, обращаясь только к цифрам.

И все же я не могу избавиться от укола двойственности. Сильвер щепетильно не претендует на большую уверенность, чем у него есть.Он повторяет знаменитую фразу Дональда Рамсфелда о «неизвестном неизвестном» — пробелах в знаниях, о которых мы не знаем, потому что даже не думали задавать правильные вопросы. По мере того, как он и его товарищи по статистике осваивают все больше дисциплин, будут ли они знать, какие вопросы задавать? Сортировка цифр по изменению климата — гораздо более сложная задача, чем выяснение того, какие препятствия придут к власти или какой кандидат унесет Огайо. В научных и финансовых данных есть нюансы — не говоря уже о том, как мы обсуждаем данные в контексте бушующих политических дебатов, — на усвоение которых люди проводят свою карьеру.И, конечно, когда мы говорим о политике, ставки намного выше.

Пока кто-то собирается выполнять роль общественного статистика, я рад, что это Нейт Сильвер. Но меня беспокоит внешняя точность без реальной вещи. Статистика может завораживать своей аурой авторитета, но в действительности она неизменно запутана. Подлинное понимание, как знает даже Сильвер, — это больше, чем игра в числа.

Отношение сигнал / шум — Scholarpedia

Отношение сигнал / шум в общем означает безразмерное отношение мощности сигнала к мощности шума, содержащегося в записи.2/2 \. \)

Когда сигнал является стационарным случайным процессом, его мощность определяется как значение его корреляционной функции \ (R_s (\ tau) \) в начале координат. \ [R_s (\ tau) \ Equiv \ mathsf {E} [s (t) s (t + \ tau)]; \ quad P_s = R_s (0) \] Здесь \ (\ mathsf {E} [\ cdot] \) обозначает ожидаемое значение. Мощность шума \ (P_N \) аналогичным образом связана с его корреляционной функцией \ [P_N = R_N (0) \. \] Отношение сигнал / шум обычно записывается как SNR и равно \ [\ mathrm {SNR} = \ frac {P_s} {P_N} \. \]

Отношение сигнал / шум также определяется для случайных величин одним из двух способов.2_N \. \)

Белый шум

Когда у нас есть белый шум, функция корреляции шума равна \ (N_0 / 2 \ cdot \ delta (\ tau) \, \), где \ (\ delta (\ tau) \) известна и как дельта-функция Дирака, и как импульс. Величина \ (N_0 / 2 \) представляет собой спектральную высоту белого шума и соответствует (постоянному) значению спектра мощности шума на всех частотах. Мощность белого шума бесконечна, а отношение сигнал / шум, как определено выше, будет равно нулю. Белый шум физически не может существовать из-за его бесконечной мощности, но инженеры часто используют его для описания шума, спектр мощности которого выходит далеко за пределы полосы пропускания сигнала.2 (t) \, dt} {N_0 / 2} \. \]

Пиковое отношение сигнал / шум (PSNR)

При обработке изображений отношение сигнал / шум определяется по-другому. Здесь числитель представляет собой квадрат пикового значения, которое сигнал может иметь , а знаменатель равен мощности шума (дисперсии шума). Например, 8-битное изображение имеет значения от 0 до 255. Для расчетов PSNR числитель 255 ² во всех случаях.

Выражение отношения сигнал / шум в децибелах

Инженеры часто выражают SNR в децибелах как \ [\ mathrm {SNR} (\ mathrm {дБ}) = 10 \ log_ {10} \ frac {P_s} {P_N} \.\] Инженеры считают, что SNR 2 (3 дБ) является границей между низким и высоким SNR. При обработке изображений PSNR должен быть больше примерно 20 дБ, чтобы изображение считалось высококачественным.

Помехи

Эти определения неявно предполагают, что сигнал и шум статистически не связаны и возникают из разных источников. Во многих приложениях некоторая часть того, что не является сигналом, возникает из искусственных источников и может быть статистически связана с сигналом. Например, сигнал сотового телефона может быть искажен другими телефонными сигналами, а также шумом.Такие несигналы называются помехой, и отношение сигнал / помеха , сокращенно SIR, может быть определено соответствующим образом. Однако, когда присутствуют и помехи, и шум, ни SIR, ни SNR не характеризуют производительность систем обработки сигналов.

Список литературы

Внешние ссылки

Интернет-страница автора

J. Sijbers et al., «Количественная оценка и улучшение отношения сигнал / шум в процедуре получения изображения магнитного резонанса», Magnetic Resonance Imaging, vol.