Что значит dx: Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d) / Хабр

Содержание

Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d) / Хабр

Пролог:

Эта одна из статей серии «Производная как смысл жизни», сначала я хотел сделать одну огромную статью про почти все темы по дифференцированию, но я передумал и сделаю несколько статей, возможно так даже будет легче для людей которые пытаются найти конкретную для себя тему.

Начало

Для начала лучше ознакомиться со статьей о самой прозводной(скоро будет). Ну если вы ознакомились, или уже были ознакомлены то идем дальше.

Как мы уже знаем формула записи производной выглядит так:

-напоминаю, что Δx — приращение аргумента, Δy — приращение функции.

Мы должны понимать, что если мы уберем предел, то к f'(x) прибавиться коофициент, я ее называю «неточность».

Так же вполне логично, что при Δx->0, β->0, так как чем меньше мы делаем разницу между x и x₀, тем меньше значение «неточности»(в статье о производной об этом подробнее рассказано).

Теперь выразим из этого равенства приращение функции(Δy):

И на этом следует пока остановиться и рассмотреть график.

Смотрим дифференциалу в лицо

Расмотрим такой график:

Как мы знаем производная в точке равняется значению тангенса угла в этой точке, то есть f'(x)=tg(α). Так что давайте обозначим производную, ну и приращения которыми она ограничена.

Как мы видим приращение функции(Δy) как бы разделено на две части: BC и CD.
И ведь по-сути нам ведь интересна именно та часть, которая показывает на сколько изменился у относительно касательной — то есть BC, а CD — это лишь та «погрешность» которая нам не особо интересна, поэтому введем понятие дифференциала:

Дифференциал(d) — это линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции(dy) — это главная линейная часть приращения функции.

Зная это введем обозначение на графике:

Вернемся к равенству

BD = Δy и мы знаем, что BD = BC + CD, а значит Δy = BC + CD, где BC мы назвали главной линейной частью приращения функции(dy), следовательно Δy = dy + βΔx.

Из формулы мы понимаем, что dy=f'(x)Δx.

Хорошо, мы определили чему равен дифференциал функции, а что же тогда является дифференциалом независимой пременной функции(аргумента).

Графически мы видим, что Δx никак не разделена касательной, то есть Δx это полное приращение функции, а значит dx = Δx.

Так же мы можем найти по формуле: dx = (x)’Δx = 1*Δx = Δx

И зная, что dy = f'(x)dx, мы можем выразить производную: f'(x)=dy/dx.

Немного пределов

Добавим с левой части и с правой предел

Тогда:

В самом начале мы сказали, что если β->0, то Δx->0 и наборот, а значит:

Зная, что f'(x)Δx = dy, мы делаем вывод, что:

Тогда так же мы можем сказать, что дифференциал функции — это приращения функции у которой приращение аргумента стремиться к нулю, ну и это следуется из того же графика.

В свою очередь dx по прежнему Δx

Вычисление первообразной функции — что это такое?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Какие ассоциации вызывает у вас понятие «первообразная»? Пожалуй, таким званием можно наградить супергероиню из популярного сериала: эта характеристика внушает трепет и уважение. Только представьте: «Первообразная, Королева дифференциалов из Дома Интегрированных, Властительница Констант и Производных». 👑

Поговорим мы сегодня именно об этой прекрасной даме: узнаем, что такое первообразная, как она связана с интегралами и производными, и что самое важное, как её рассчитать без особого труда.

Дифференцирование и интегрирование

Если проанализировать все математические действия, то большинству из них будет соответствовать какое-то обратное:

  • сложение обратно вычитанию,

  • умножение — делению,

  • возведение в степень — извлечению арифметического корня.

С производной то же самое: мы можем продифференцировать функцию, а можем произвести обратный процесс — интегрирование.

Дифференциация — операция взятия полной или частной производной функции.

Интегрирование — процесс поиска интеграла; восстановление функции по её производной.

Нахождение производной от функции обозначается знаком

. Так, если исходная функция — y, то её производная будет обозначаться y′.

Чтобы взять производную от функции, мы воспользуемся таблицей производных и правилами дифференцирования.

Функция f (x)

Производная f’ (х)

С (т. е. константа, любое число)

0

х

1

xn

nxn-1

√x

1/(2√x)

sin x

cos x

cos x

-sin x

tg x

1/cos2(х)

ctg x

-1/sin2x

ex

ex

ax

ax * ln a

ln x

1/x

logax

1/(x * ln a)

Правила дифференцирования

(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′

(u + v)′ = u′ + v′

(u — v)′ = u′ — v′

(u ⋅ v)′ = u′v + v′u

(u/v)’ = (u’v — v’u)/v2

u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

У интегрирования тоже есть своё обозначение — ∫. То есть если мы хотим взять интеграл от функции f(x), мы запишем это так: ∫f(x) dx.

Внимательные заметили в записи интегрирования непривычное для нас «dx». Что это такое? Зачем добавлять эти буквы в выражение для интеграла? Сейчас во всём разберёмся!

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Дифференциал

Разберём буквы dx по отдельности:

  • d — это дифференциал,

  • х — функция, по которой будет произведено дифференцирование.

Так, если мы дифференцируем функции y, f, m, то их дифференциалы запишем соответственно как dy, df, dm.

Дифференциал в математике (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

То есть это понятие родственно производной — но для чего его записывать рядом с интегралом?

Для понимания важности дифференциала в записи рассмотрим рисунок:

Геометрический смысл интеграла — это площадь фигуры под кривой функции. Если поместить график в декартову систему координат

OХY, то эту площадь можно рассчитать относительно и оси ОХ, и оси ОУ, и именно дифференциал вносит ясность в выбор.

Понятие дифференциала в математике очень важное, глубокое, имеет множество нюансов использования, но сейчас нам важно понимать две вещи:

  • дифференциал показывает, какую конкретно функцию мы будем интегрировать;

  • его обязательно нужно записывать рядом с интегралом!

Что такое первообразная?

Пришло время познакомиться с её величеством первообразной! Начнём с определения.

Первообразная

для функции f(x) — это такая функция F(x), производная которой равна f(x). То есть выполняется равенство F'(x) = f(x).

Пример 1: мы знаем, что ускорение является производной от скорости. Тогда по нему можно найти скорость, восстановив функцию и найдя его первообразную.

Пример 2: производная функции –sin(x). Посмотрим внимательно в таблицу производных: cos'(x) = –sin(x). Тогда первообразная функции sin(x) будет равна –cos(x) + С с учётом постоянной величины.

Константа

Зачем добавлять константу к первообразной?

Представьте, что нам необходимо найти производную функций:

−cos(x) + 3,
−cos(x) + 5,
−cos(x) − 6.

Тогда производная будет равна sin(x) для всех трёх вариантов, так как производная любого числа равна нулю:

(−cos(x) + 3)’ = sin (x),
(−cos(x) + 5)’ = sin (x),
(−cos(x) − 6)’ = sin (x).

Выходит, что получить исходную функцию в первозданном виде невозможно, но учесть дополнительное слагаемое в виде числа нам нужно. Именно поэтому в первообразной добавляют константу «+ С». Выражение, которое имеет общий вид F(x) + С, называется множеством первообразных функции.

Отсюда вытекает свойство первообразной: любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянную величину C.

Правила нахождения первообразной

Нахождение первообразной функции технически связано с поиском неопределённого интеграла функции.

Неопределённый интеграл — это интеграл, для которого не задан промежуток интегрирования.

Важный момент: если продифференцировать можно любую функцию, то найти первообразную функции можно не всегда.

Об этом говорит достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на нём.

Каким образом можно найти первообразную функцию? Всё просто! Как и в случае с производной, мы можем воспользоваться готовой таблицей первообразных и свойствами неопределённого интеграла!

  1. «Высокий» логарифм:

  2. «Длинный» логарифм:

Свойства неопределённого интеграла

Свойства неопределённого интеграла можно назвать правилами интегрирования — основываясь на них, мы сможем находить первообразную сложных функций, сводя их к лёгким.

  1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

  2. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

  3. Константу можно вынести из-под знака интеграла: то есть, если , то .

  4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов:

Примеры решения заданий

Задание 1

Найди первообразную функции

  1. Записываем неопределённый интеграл:

  2. Применяем свойство неопределённого интеграла об алгебраической сумме функций:

  3. Выносим константы за знак интеграла:

  4. Проводим интегрирование согласно таблице первообразных:

Задание 2

Вычисли неопределенный интеграл

  1. Раскрываем скобку по формуле квадрата суммы и вносим х в скобку:

  2. Воспользуемся свойством неопределенного интеграла об алгебраической сумме функций, выносим константы за знак интеграла и находим первообразную:

Интегрирование и нахождение первообразной — одна из самых сложных, но одновременно интересных тем алгебры. Иногда задания похожи на головоломку: необходимо выбрать верный способ решения, учесть все нюансы, выполнить верные вычисления. Научиться выполнять такие задания можно на уроках онлайн-курса математики в школе Skysmart: там вы не только подготовитесь к экзаменам, но и научитесь находить нестандартные решения, мыслить логически и строить самые неопровержимые доказательства.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Дарья Вишнякова

К предыдущей статье

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

К следующей статье

Как подготовиться к ЕГЭ по математике

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

  1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

  2. Расскажем, как проходят занятия

  3. Подберём курс

Что означает DX?

Аббревиатура » Термин

Термин » Аббревиатура

Слово в термине

#ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ НОВЫЙ

Term Definition Rating
Dx

diagnosis

Medical » Physiology — and more…

Rate it:
DX

Duplex

Computing » Telecom

Оценить:
9 DX0002 Discharged

Medical » Hospitals

Rate it:
DX

Direct X

Computing » General Computing

Rate it:
DX

Delta X

Governmental » Транспорт

Оценить:
DX

Дегенерация X

Разное0037

DX

Distance X

Miscellaneous » Unclassified

Rate it:
dX

the Derivative of X

Academic & Science » Mathematics

Rate it:
DX

Dynex Capital, Inc.

Business » Символы NYSE

Оценить:
DX

0 Прямой обмен0002 Governmental » Military

Rate it:
DX

Declare X

Computing » Assembly

Rate it:
DX

Delta Chi

Academic & Science » Universities

Оценить:
DX

DEC Формат WPS/DX Текстовый файл

Компьютеры » Расширения файлов

Оценить:
DX

Цифровой Xchange

Вычисления ». Аппаратное обеспечение

СТАВИТЬ IT:
DX

. DX

База данных THOR Данные перекрестных ссылок

Вычисления » Расширения файлов

Оценить:
DX

Deep Donor 9 соединений III-V0003

Academic & Science » Electronics

Rate it:
DX

Dat’s Xpensive

Miscellaneous » Funnies

Rate it:
DX

Dana Xenophon

Miscellaneous » Имена и прозвища

Оценить:
DX

Digital Experience

Интернет

Оценить:
DX

Digital Transformation

Business » Management

Rate it:
DX

deluxe

Business

Rate it:
DX

Directorate for Внешние связи (DIA)

Правительственный » Военный

Оценить:
DX

Dead Xylophone

Разное » Funnies

Оценка IT:
DX

Dandelion XCITEMEM

Разное »Фанки

Оценка ИТ:
Acronym Definition
DX Deluxe
DX Data Exchange (used by OPC foundation OLE for Process Control)
DX Data Explorer
DX Диагностика
DX Режиссерская версия
DX Дуплекс
DX Расширение DX0461 (refers to refrigerant-type cooling coils ie DX coil)
DX Deus Ex
DX Digital Experience
DX Direct X
DX Design Exchange Обмен документами0461 (software)
DX Driver Class
DX D-generation X
DX Data Extraction
DX Direct Exchange
DX Регистр данных
DX Дегенерация x (борьба WWE)
DX Delta Chi (братство) 72 DX Long Distance Communications (radio)
DX Directory Exchange
DX Digital Cross Connect
DX Digital Index (35mm film encoding)
DX Digital Exclusive (объективы Nikkor)
DX Управление по внешним связям (Министерство обороны США; Разведывательное управление Министерства обороны США)
DX Bipack (cinematography)
DX Distance Unknown (long-distance radio reception)
DX Dragon Expo
DX Distance/ Дистанционное общение
DX Домашнее импровизированное выступление (дебаты)
DX Справочник экспертов (USACE)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0037
DX Duplex Signaling
DX Depth Excess
DX Ditch Crossing (pipeline route)
DX DiscreteLogix (Islamabad, Pakistan web developers)
DX Динамическая эксфильтрация (Cytec Corporation/ATK-Thiokol технология аварийной эвакуации персонала)