Что значит dx: Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d) / Хабр
Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d) / Хабр
Пролог:
Эта одна из статей серии «Производная как смысл жизни», сначала я хотел сделать одну огромную статью про почти все темы по дифференцированию, но я передумал и сделаю несколько статей, возможно так даже будет легче для людей которые пытаются найти конкретную для себя тему.
Начало
Для начала лучше ознакомиться со статьей о самой прозводной(скоро будет). Ну если вы ознакомились, или уже были ознакомлены то идем дальше.
Как мы уже знаем формула записи производной выглядит так:
-напоминаю, что Δx — приращение аргумента, Δy — приращение функции.
Мы должны понимать, что если мы уберем предел, то к f'(x) прибавиться коофициент, я ее называю «неточность».
Так же вполне логично, что при Δx->0, β->0, так как чем меньше мы делаем разницу между x и x₀, тем меньше значение «неточности»(в статье о производной об этом подробнее рассказано).
Теперь выразим из этого равенства приращение функции(Δy):
И на этом следует пока остановиться и рассмотреть график.
Смотрим дифференциалу в лицо
Расмотрим такой график:
Как мы знаем производная в точке равняется значению тангенса угла в этой точке, то есть f'(x)=tg(α). Так что давайте обозначим производную, ну и приращения которыми она ограничена.
Как мы видим приращение функции(Δy) как бы разделено на две части: BC и CD.
И ведь по-сути нам ведь интересна именно та часть, которая показывает на сколько изменился у относительно касательной — то есть BC, а CD — это лишь та «погрешность» которая нам не особо интересна, поэтому введем понятие дифференциала:
Дифференциал(d) — это линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции(dy) — это главная линейная часть приращения функции.
Зная это введем обозначение на графике:
Вернемся к равенству
BD = Δy и мы знаем, что BD = BC + CD, а значит Δy = BC + CD, где BC мы назвали главной линейной частью приращения функции(dy), следовательно Δy = dy + βΔx.
Из формулы мы понимаем, что dy=f'(x)Δx.
Хорошо, мы определили чему равен дифференциал функции, а что же тогда является дифференциалом независимой пременной функции(аргумента).
Графически мы видим, что Δx никак не разделена касательной, то есть Δx это полное приращение функции, а значит dx = Δx.
Так же мы можем найти по формуле: dx = (x)’Δx = 1*Δx = Δx
И зная, что dy = f'(x)dx, мы можем выразить производную: f'(x)=dy/dx.
Немного пределов
Добавим с левой части и с правой предел
Тогда:
В самом начале мы сказали, что если β->0, то Δx->0 и наборот, а значит:
Зная, что f'(x)Δx = dy, мы делаем вывод, что:
Тогда так же мы можем сказать, что дифференциал функции — это приращения функции у которой приращение аргумента стремиться к нулю, ну и это следуется из того же графика.
В свою очередь dx по прежнему Δx
Вычисление первообразной функции — что это такое?
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
Какие ассоциации вызывает у вас понятие «первообразная»? Пожалуй, таким званием можно наградить супергероиню из популярного сериала: эта характеристика внушает трепет и уважение.
Только представьте: «Первообразная, Королева дифференциалов из Дома Интегрированных, Властительница Констант и Производных». 👑
Поговорим мы сегодня именно об этой прекрасной даме: узнаем, что такое первообразная, как она связана с интегралами и производными, и что самое важное, как её рассчитать без особого труда.
Дифференцирование и интегрирование
Если проанализировать все математические действия, то большинству из них будет соответствовать какое-то обратное:
сложение обратно вычитанию,
умножение — делению,
возведение в степень — извлечению арифметического корня.
С производной то же самое: мы можем продифференцировать функцию, а можем произвести обратный процесс — интегрирование.
Дифференциация — операция взятия полной или частной производной функции.
Интегрирование — процесс поиска интеграла; восстановление функции по её производной.
Нахождение производной от функции обозначается знаком
Чтобы взять производную от функции, мы воспользуемся таблицей производных и правилами дифференцирования.
Функция f (x) | Производная f’ (х) |
|---|---|
С (т. е. константа, любое число) | 0 |
| х | 1 |
xn | nxn-1 |
√x | 1/(2√x) |
sin x | cos x |
cos x | -sin x |
tg x | 1/cos2(х) |
ctg x | -1/sin2x |
ex | ex |
ax | ax * ln a |
ln x | 1/x |
logax | 1/(x * ln a) |
Правила дифференцирования
(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′
(u + v)′ = u′ + v′
(u ⋅ v)′ = u′v + v′u
(u/v)’ = (u’v — v’u)/v2
u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).
У интегрирования тоже есть своё обозначение — ∫. То есть если мы хотим взять интеграл от функции f(x), мы запишем это так: ∫f(x) dx.
Внимательные заметили в записи интегрирования непривычное для нас «dx». Что это такое? Зачем добавлять эти буквы в выражение для интеграла? Сейчас во всём разберёмся!
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Дифференциал
Разберём буквы dx по отдельности:
d — это дифференциал,
х — функция, по которой будет произведено дифференцирование.
Так, если мы дифференцируем функции y, f, m, то их дифференциалы запишем соответственно как dy, df, dm.
Дифференциал в математике (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.
То есть это понятие родственно производной — но для чего его записывать рядом с интегралом?
Для понимания важности дифференциала в записи рассмотрим рисунок:
Геометрический смысл интеграла — это площадь фигуры под кривой функции. Если поместить график в декартову систему координат
Понятие дифференциала в математике очень важное, глубокое, имеет множество нюансов использования, но сейчас нам важно понимать две вещи:
дифференциал показывает, какую конкретно функцию мы будем интегрировать;
его обязательно нужно записывать рядом с интегралом!
Что такое первообразная?
Пришло время познакомиться с её величеством первообразной! Начнём с определения.
Первообразная
для функции f(x) — это такая функция F(x), производная которой равна f(x). То есть выполняется равенство F'(x) = f(x).Пример 1: мы знаем, что ускорение является производной от скорости. Тогда по нему можно найти скорость, восстановив функцию и найдя его первообразную.
Пример 2: производная функции –sin(x). Посмотрим внимательно в таблицу производных: cos'(x) = –sin(x). Тогда первообразная функции sin(x) будет равна –cos(x) + С с учётом постоянной величины.
Константа
Зачем добавлять константу к первообразной?
Представьте, что нам необходимо найти производную функций:
−cos(x) + 3,
−cos(x) + 5,
−cos(x) − 6.
Тогда производная будет равна sin(x) для всех трёх вариантов, так как производная любого числа равна нулю:
(−cos(x) + 3)’ = sin (x),
(−cos(x) + 5)’ = sin (x),
(−cos(x) − 6)’ = sin (x).
Выходит, что получить исходную функцию в первозданном виде невозможно, но учесть дополнительное слагаемое в виде числа нам нужно. Именно поэтому в первообразной добавляют константу «+ С». Выражение, которое имеет общий вид F(x) + С, называется множеством первообразных функции.
Отсюда вытекает свойство первообразной: любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянную величину C.
Правила нахождения первообразной
Нахождение первообразной функции технически связано с поиском неопределённого интеграла функции.
Неопределённый интеграл — это интеграл, для которого не задан промежуток интегрирования.
Важный момент: если продифференцировать можно любую функцию, то найти первообразную функции можно не всегда.
Об этом говорит достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на нём.
Каким образом можно найти первообразную функцию? Всё просто! Как и в случае с производной, мы можем воспользоваться готовой таблицей первообразных и свойствами неопределённого интеграла!
«Длинный» логарифм:
Свойства неопределённого интеграла
Свойства неопределённого интеграла можно назвать правилами интегрирования — основываясь на них, мы сможем находить первообразную сложных функций, сводя их к лёгким.
Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
Константу можно вынести из-под знака интеграла: то есть, если , то .
Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов:
Примеры решения заданий
Задание 1
Найди первообразную функции
Записываем неопределённый интеграл:
Применяем свойство неопределённого интеграла об алгебраической сумме функций:
Выносим константы за знак интеграла:
Проводим интегрирование согласно таблице первообразных:
Задание 2
Вычисли неопределенный интеграл
Раскрываем скобку по формуле квадрата суммы и вносим х в скобку:
Воспользуемся свойством неопределенного интеграла об алгебраической сумме функций, выносим константы за знак интеграла и находим первообразную:
Интегрирование и нахождение первообразной — одна из самых сложных, но одновременно интересных тем алгебры.
Иногда задания похожи на головоломку: необходимо выбрать верный способ решения, учесть все нюансы, выполнить верные вычисления. Научиться выполнять такие задания можно на уроках онлайн-курса математики в школе Skysmart: там вы не только подготовитесь к экзаменам, но и научитесь находить нестандартные решения, мыслить логически и строить самые неопровержимые доказательства.
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Дарья Вишнякова
К предыдущей статье
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
К следующей статье
Как подготовиться к ЕГЭ по математике
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
Что означает DX?
Аббревиатура » Термин
Термин » Аббревиатура
Слово в термине
#ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ НОВЫЙ
Сокр.
» Срок
Срок » Сокр.
Слово в термине
Фильтровать по: Выбрать категорию из списка…──────────Все для бизнеса (1)Вычислительная техника (1)Интернет (1)Медицина (1)Разное (1)Электроника (1)Математика (1) )Университеты (1)Карьера (1)Компании и фирмы (1)Менеджмент (1)Символы NYSE (1)Ассемблирование (1)Расширения файлов (3)Игры (1)Общие вычисления (2)Оборудование (2)Телекоммуникации (1) FDA (1)Военные (2)Транспорт (1)Клиническая медицина (1)Больницы (2)Физиология (1)Приколы (4)Имена и прозвища (1)Несекретно (1)Борьба (1) Sort by: PopularityAlphabeticallyCategory
| Term | Definition | Rating | |
|---|---|---|---|
| Dx | diagnosis Medical » Physiology — and more… | Rate it: | |
| DX | Duplex Computing » Telecom | Оценить: | 9 | DX0002 Discharged Medical » Hospitals | Rate it: |
| DX | Direct X Computing » General Computing | Rate it: | |
| DX | Delta X Governmental » Транспорт | Оценить: | |
| DX | Дегенерация X Разное0037 | ||
| DX | Distance X Miscellaneous » Unclassified | Rate it: | |
| dX | the Derivative of X Academic & Science » Mathematics | Rate it: | |
| DX | Dynex Capital, Inc. Business » Символы NYSE | Оценить: | |
| DX | 0 Прямой обмен0002 Governmental » Military | Rate it: | |
| DX | Declare X Computing » Assembly | Rate it: | |
| DX | Delta Chi Academic & Science » Universities | Оценить: | |
| DX | DEC Формат WPS/DX Текстовый файл Компьютеры » Расширения файлов | Оценить: | 0000037|
| DX | Цифровой Xchange Вычисления ». Аппаратное обеспечение | СТАВИТЬ IT: | |
| DX | . DX | База данных THOR Данные перекрестных ссылок Вычисления » Расширения файлов | Оценить: |
| DX | Deep Donor 9 соединений III-V0003 Academic & Science » Electronics | Rate it: | |
| DX | Dat’s Xpensive Miscellaneous » Funnies | Rate it: | |
| DX | Dana Xenophon Miscellaneous » Имена и прозвища | Оценить: | |
| DX | Digital Experience Интернет | Оценить: | |
| DX | Digital Transformation Business » Management | Rate it: | |
| DX | deluxe Business | Rate it: | |
| DX | Directorate for Внешние связи (DIA) Правительственный » Военный | Оценить: | |
| DX | Dead Xylophone Разное » Funnies | Оценка IT: | |
| DX | Dandelion XCITEMEM Разное »Фанки | Оценка ИТ: |
| Acronym | Definition | ||
|---|---|---|---|
| DX | Deluxe | ||
| DX | Data Exchange (used by OPC foundation OLE for Process Control) | ||
| DX | Data Explorer | ||
| DX | Диагностика | ||
| DX | Режиссерская версия | ||
| DX | Дуплекс | ||
| DX | Расширение | DX | 0461 (refers to refrigerant-type cooling coils ie DX coil) |
| DX | Deus Ex | ||
| DX | Digital Experience | ||
| DX | Direct X | ||
| DX | Design Exchange Обмен документами0461 (software) | ||
| DX | Driver Class | ||
| DX | D-generation X | ||
| DX | Data Extraction | ||
| DX | Direct Exchange | ||
| DX | Регистр данных | ||
| DX | Дегенерация x (борьба WWE) | ||
| DX | Delta Chi (братство) 72 | DX | Long Distance Communications (radio) |
| DX | Directory Exchange | ||
| DX | Digital Cross Connect | ||
| DX | Digital Index (35mm film encoding) | ||
| DX | Digital Exclusive (объективы Nikkor) | ||
| DX | Управление по внешним связям (Министерство обороны США; Разведывательное управление Министерства обороны США) | ||
| DX | Bipack (cinematography) | ||
| DX | Distance Unknown (long-distance radio reception) | ||
| DX | Dragon Expo | ||
| DX | Distance/ Дистанционное общение | ||
| DX | Домашнее импровизированное выступление (дебаты) | ||
| DX | Справочник экспертов (USACE) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | ||
| 0037 | |||
| DX | Duplex Signaling | ||
| DX | Depth Excess | ||
| DX | Ditch Crossing (pipeline route) | ||
| DX | DiscreteLogix (Islamabad, Pakistan web developers) | ||
| DX | Динамическая эксфильтрация (Cytec Corporation/ATK-Thiokol технология аварийной эвакуации персонала) |
Copyright 1988-2018 AcronymFinder.
