ДИФРАКЦИЯ СВЕТА • Большая российская энциклопедия

Авторы: С. Г. Пржибельский

ДИФРА́КЦИЯ СВЕ́ТА, в уз­ком, но наи­бо­лее упот­ре­би­тель­ном смыс­ле – оги­ба­ние лу­ча­ми све­та гра­ни­цы не­про­зрач­ных тел (эк­ра­нов), про­ник­но­ве­ние све­та в об­ласть гео­мет­рич. те­ни. В ши­ро­ком смыс­ле Д. с. – про­яв­ле­ние вол­но­вых свойств све­та в ус­ло­ви­ях пе­ре­хо­да от вол­но­вой оп­ти­ки к гео­мет­ри­че­ской. Наи­бо­лее рель­еф­но Д. с. про­яв­ля­ет­ся в об­лас­тях рез­ко­го из­ме­не­ния плот­но­сти по­то­ка лу­чей: на гра­ни­цах гео­мет­рич. те­ни, вбли­зи фо­ку­са лин­зы и др.

Д. с. тем сла­бее, чем мень­ше дли­на вол­ны $λ$ све­та. Крас­ный свет силь­нее от­кло­ня­ет­ся на гра­ни­це тел, чем фио­ле­то­вый. По­это­му по­сле­до­ва­тель­ность цве­тов в спек­траль­ном раз­ло­же­нии бе­ло­го све­та, вы­зван­ном ди­фрак­ци­ей, по­лу­ча­ет­ся об­рат­ной по срав­не­нию с по­лу­чаю­щей­ся при раз­ло­же­нии све­та в приз­ме за счёт дис­пер­сии. Это раз­ли­чие час­то бы­ва­ет оп­ре­де­ляю­щим при вы­яс­не­нии при­ро­ды мн. ат­мо­сфер­ных оп­тич. яв­ле­ний.

Про­ник­но­ве­ние све­та в об­ласть гео­мет­рич. те­ни бы­ло из­вест­но уже в 17 в.; так, Ф. М. Гри­маль­ди опи­сал это яв­ле­ние в сво­ём трак­та­те, вы­шед­шем в 1665. Од­на­ко объ­яс­не­ние Д. с. бы­ло да­но лишь в 19 в. То­гда бы­ли сфор­му­ли­ро­ва­ны две, ка­за­лось бы, со­вер­шен­но раз­ные кон­цеп­ции Д. с. T. Юнг (1800) пред­по­ло­жил, что Д. с. обу­слов­ле­на по­пе­реч­ной диф­фу­зи­ей вол­но­вых фрон­тов све­то­вых волн. Че­ре­до­ва­ние тём­ных и свет­лых по­лос на гра­ни­це те­ни и све­та он счи­тал ре­зуль­та­том ин­тер­фе­рен­ции па­даю­щей пло­ской вол­ны и вто­рич­ной, из­лу­чае­мой гра­ни­цей.

Рис. 1. Обрезание волнового фронта краями экрана.

Рис. 2. Дифракция света на круглом отверстии при открытом нечётном (а) и чётном (б) числе зон.

В при­бли­жён­ной тео­рии О. Фре­не­ля (1815–18) Д. с. счи­та­лась ре­зуль­та­том ин­тер­фе­рен­ции вто­рич­ных волн (см. Гюй­ген­са – Фре­не­ля прин­цип). Не­смот­ря на не­дос­тат­ки, эта тео­рия со­хра­ни­ла своё зна­че­ние и слу­жит ос­но­вой рас­чё­тов ди­фрак­ци­он­ных эф­фек­тов в ин­ст­ру­мен­таль­ной оп­ти­ке. В тео­рии Фре­не­ля ам­пли­ту­да $u_P$ све­то­во­го по­ля в точ­ке на­блю­де­ния $P$ (рис. 1) сла­га­ет­ся из пар­ци­аль­ных ам­пли­туд сфе­рич. волн, ис­пус­кае­мых все­ми эле­мен­та­ми $dS$ по­верх­но­сти $S$, не за­кры­той эк­ра­ном. Его ме­тод вы­чис­ле­ния ос­ве­щён­но­сти за эк­ра­ном за­клю­чал­ся в раз­бие­нии по­верх­но­сти $S$, со­вме­щён­ной с фрон­том па­даю­щей вол­ны, на т. н. Фре­не­ля зо­ны, рас­стоя­ния от края ко­то­рых до точ­ки $P$ от­ли­ча­ют­ся на $λ/2$. По­это­му со­сед­ние зо­ны вно­сят в по­ле $u_Р$ вкла­ды про­ти­во­по­лож­ных зна­ков, вза­им­но ком­пен­си­рую­щие друг дру­га. Ос­ве­щён­ность в точ­ке $P$ за­ви­сит от ме­сто­по­ло­же­ния и раз­ме­ра от­вер­стия. Эта за­ви­си­мость оп­ре­де­ля­ет­ся ко­ли­че­ст­вом зон, дос­туп­ных ви­де­нию из точ­ки $P$: ес­ли от­кры­то чёт­ное чис­ло зон, то в цен­тре ди­фрак­ци­он­ной кар­ти­ны по­лу­ча­ет­ся тём­ное пят­но (рис. 2,б), при не­чёт­ном чис­ле зон – свет­лое (рис. 2,а).

Ме­тод Фре­не­ля так­же ка­че­ст­вен­но объ­яс­ня­ет при­чи­ну ос­ве­ще­ния в об­лас­ти гео­мет­рич. те­ни круг­ло­го эк­ра­на: свет­лый центр (т. н. пят­но Пу­ас­со­на) соз­да­ёт­ся вто­рич­ны­ми вол­на­ми пер­вой коль­це­вой зо­ны Фре­не­ля, ок­ру­жаю­щей эк­ран. Ме­тод рас­чё­та ос­ве­щён­но­сти за сис­те­мой эк­ра­нов с ис­поль­зо­ва­ни­ем зон Фре­не­ля по­ло­жен в ос­но­ву тео­рии зон­ных пла­сти­нок.

При рас­чё­тах раз­ли­ча­ют два слу­чая Д. с. – ди­фрак­ция Фре­не­ля и ди­фрак­ция Фра­ун­го­фе­ра – в за­ви­си­мо­сти от со­от­но­ше­ния ме­ж­ду $R,\text{ } L \text{ и } d$. [Здесь $L$ – ра­ди­ус кри­виз­ны по­верх­но­сти $S$, не за­кры­той эк­ра­ном, $d$ – по­пе­реч­ный раз­мер от­вер­стия, $R$ – рас­стоя­ние от точ­ки на­блю­де­ния до цен­тра $O$ диа­фраг­мы (от­вер­стия), рис. 1.] Ди­фрак­ция Фра­ун­го­фе­ра име­ет ме­сто, ко­гда $kd_2/l≪1$, т. е. $d≪\sqrt {l\lambda}$, где $𝑘$ – вол­но­вое чис­ло, $1/l=1/R+1/L$ (ди­фрак­ция в даль­ней зо­не). Ес­ли ис­точ­ник све­та рас­по­ло­жен да­ле­ко от эк­ра­на, то фронт его вол­ны в от­вер­стии поч­ти пло­ский $(L→∞)$, и то­гда $d≪\sqrt {R\lambda}$. 2/l≫1$, ди­фрак­ция в ближ­ней зо­не) обу­слов­ле­на изо­гну­то­стью ди­фра­ги­рую­ще­го вол­но­во­го фрон­та или его от­но­си­тель­но боль­ши­ми уг­ло­вы­ми раз­ме­ра­ми $d/r≫λ/d$, вос­при­ни­мае­мы­ми из точ­ки на­блю­де­ния $P$ ($r$ – рас­стоя­ние от $P$ до эле­мен­та по­верх­но­сти $dS$). Ди­фрак­ция Фре­не­ля на­блю­да­ет­ся, ко­гда раз­мер от­вер­стия срав­ним с раз­ме­ром зо­ны Фре­не­ля $d≈\sqrt {R\lambda}$. Рас­чёт это­го слу­чая сло­жен, он тре­бу­ет при­ме­не­ния спец. функ­ций да­же при про­стей­шей гео­мет­рии об­ре­за­ния вол­но­вых фрон­тов.

Ма­те­ма­ти­че­ски пол­ное по­строе­ние тео­рии Фре­не­ля вы­пол­нил Г. Кирх­гоф (1882). Од­на­ко в его тео­рии не учи­ты­ва­ют­ся век­тор­ный ха­рак­тер све­то­вых волн и свой­ст­ва са­мо­го ма­те­риа­ла эк­ра­на.

В стро­гих рас­чё­тах Д. с. рас­смат­ри­ва­ет­ся как гра­нич­ная за­да­ча рас­сея­ния све­та. Её точ­ные ре­ше­ния по­зво­ля­ют вы­яс­нить пре­де­лы при­ме­ни­мо­сти тео­рии Фре­не­ля – Кирх­го­фа и обос­но­вы­ва­ют пред­став­ле­ния Юн­га. Из ре­ше­ний сле­ду­ет, что свет про­ни­ка­ет в об­ласть те­ни силь­нее, чем пред­ска­за­но этой тео­ри­ей. Све­то­вое по­ле вда­ли от ост­ро­го края эк­ра­на в об­лас­ти те­ни та­кое же, как ес­ли бы край был ис­точ­ни­ком гра­нич­ной вол­ны, что со­гла­су­ет­ся с пред­став­ле­ния­ми Юн­га. На са­мом де­ле, край – не бес­ко­неч­но тон­кий ис­точ­ник, хо­тя при при­бли­же­нии к не­му плот­ность све­то­во­го по­то­ка рас­тёт. По этой при­чи­не гла­зу, ак­ко­мо­ди­ро­ван­но­му на край, он ка­жет­ся све­тя­щей­ся ли­ни­ей. При­чём, не­смот­ря на то что ра­диу­сы за­круг­ле­ния кра­ёв ре­аль­ных эк­ра­нов ве­ли­ки по срав­не­нию с $λ$, ди­фрак­ци­он­ные кар­ти­ны поч­ти не за­ви­сят от фор­мы кра­ёв и их раз­ме­ров: да­же стек­лян­ная пла­стин­ка ра­диу­сом в неск. мет­ров, изо­гну­то­го края ко­то­рой ка­са­ет­ся све­то­вая вол­на, соз­да­ёт струк­ту­ру по­лос то­го же ви­да, что и лез­вие брит­вы.

Д. с. мо­жет про­яв­лять­ся и без эф­фек­та рез­ких гра­ниц, при плав­ных про­стран­ст­вен­ных из­ме­не­ни­ях по­то­ков све­то­во­го по­ля. Напр., рас­плы­ва­ние пуч­ка при его рас­про­стра­не­нии обу­слов­ле­но ди­фрак­ци­он­ной рас­хо­ди­мо­стью. Рас­плы­ва­ние пуч­ков – яр­кое про­яв­ле­ние кон­цеп­ции Юн­га диф­фу­зии вол­но­вых фрон­тов.

За­да­чи диф­фу­зи­он­ной Д. с. свя­за­ны с ис­сле­до­ва­ни­ем рас­про­стра­не­ния све­та в сре­дах с круп­но­мас­штаб­ны­ми (по срав­не­нию с $λ$) не­од­но­род­но­стя­ми ди­элек­трической про­ни­цае­мо­сти: в тур­бу­лент­ных сре­дах, в го­ло­гра­фических сис­те­мах, при ди­фрак­ции све­та на ульт­ра­зву­ке и др. В этих слу­ча­ях Д. с. час­то не­от­де­ли­ма от со­пут­ст­вую­щей ей ре­фрак­ции све­та.

Д. с. иг­ра­ет важ­ную прак­тич. роль: она ог­ра­ни­чи­ва­ет раз­ре­шаю­щую спо­соб­ность мик­ро­ско­пов и те­ле­ско­пов, доб­рот­ность от­кры­тых ре­зо­на­то­ров и др. В ла­зер­ной тех­ни­ке Д. с. оп­ре­де­ля­ют­ся свой­ст­ва по­лей из­лу­че­ния (см. Не­ли­ней­ная оп­ти­ка).

Исследование явления дифракции света

Цель работы: ознакомление с дифракционными картинами различных типов; определение ширины прямоугольной щели при изучении явления дифракции в монохроматическом свете; определение длин волн красного и фиолетового света.

Приборы и принадлежности: дифракционная решетка, экран со щелью, линейка с делениями, осветитель, штатив; установка РМС 3.

Теоретические сведения

Явление дифракции состоит в отклонении света от прямолинейного распространения в среде с резкими неоднородностями в виде краев непрозрачных и прозрачных тел, узких отверстий, выступов и т.д., в результате чего свет проникает в область геометрической тени, и происходит интерференционное перераспределение интенсивности света. Под дифракцией следует понимать любое отклонение от прямолинейного распространения лучей, если только оно не является следствием обычных законов геометрической оптики – отражения и преломления. Явление дифракции объясняется волновыми свойствами света с использованием принципа Гюйгенса-Френеля.

Основные положения этого принципа:

1. Каждый элемент волновой поверхности, которой достигла в данный момент световая волна, служит источником вторичных волн, амплитуда которых пропорциональна площади элемента.

2. Вторичные волны, созданные элементами одной и той же по­верхности, когерентны и при наложении могут интерферировать.

3. Излучение максимально в направлении внешней нормали к элементу поверхности. Амплитуда сферической волны убывает с расстоянием от источника. Излучают только открытые участки волновой поверхности.

Этот принцип дает возможность утверждать отступления от пря­молинейного распространения в случае любой преграды. Рассмотрим случай падения плоской волны (параллельного пучка света) на преграду в виде отверстия MN в непрозрачной пластине (рис. 2.1).

Рис. 2.1

В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля каждую точку в плоскости отверстия MN можно рассматривать как самостоятельный источник света, испускающий элементарную сферическую волну. Поверхность П1, образованная элементарными волнами, определяет волновой фронт в момент времени t1. Эта поверхность П1 также становится источником вторичных элементарных сферических волн. Кривая, огибающая эти

элементарные волны в момент времени t₂, определяет волновой фронт с поверхностью П₂.

Из рис. 2.1 видно, что световые лучи, будучи перпендикулярны волновому фронту, отклоняются от своего первоначального направления и попадают в область геометрической тени.

Решить задачу о дифракции света – значит исследовать вопросы, относящиеся к интенсивности результирующей световой волны в различных направлениях. Основным вопросом при этом исследовании является изучение интерференции света, при которой налагающиеся волны могут не только усиливаться, но и ослабляться. Одним из важных случаев дифракции является дифракция в параллельных лучах. Она используется при рассмотрении действия оптических приборов (дифракционная решетка, оптические инструменты, и т. д.). Дифракционная решетка в простейшем случае представляет собой стеклянную прозрачную пластинку, на которой нанесены штрихи равной ширины на одинаковом расстоянии друг от друга. Такая решетка может быть использована в спектральной установке обычного типа вместо призмы как диспергирующая система. Чтобы легче было разобраться в довольно сложном физическом явлении интерференции дифрагированных пучков света на N щелях решетки, рассмотрим вначале дифракцию на одной, затем на двух щелях и, наконец, запишем выражение для N щелей. Чтобы упростить расчёт, используем метод зон Френеля.

Дифракция на одной щели. Рассмотрим дифракцию в параллельных лучах на одной щели. Тип дифракции, при котором рассматривается дифракционная картина, образованная параллельными лучами, получил название дифракции в параллельных лучах, или дифракции Фраунгофера. Щель представляет собой прямоугольное отверстие в непрозрачной пластине, причем одна из сторон намного больше другой.

Меньшая сторона называется шириной щели а. Такая щель является препятствием для световых волн, и на ней можно наблюдать дифракцию. В лабораторных условиях дифракция на щели отчетливо наблюдается, если ширина щели а сравнима по величине с длиной световой волны. Пусть монохроматическая световая волна падает нормально к плоскости щели шириной a (расстояние АВ). За щелью установлены собирающая линза и экран, помещённый в фокальной плоскости линзы. Схема представлена на рис. 2.2.

Рис. 2.2

Согласно принципу Гюйгенса, каждая точка фронта волны, дошедшей до щели, является новым источником колебаний, причём фазы этих волн одинаковы, так как при нормальном падении света плоскость щели совпадает с плоскостью волнового фронта. Рассмотрим лучи монохроматического света от точек, лежащих на фронте АВ, направление распространения которых составляет угол с нормалью. Опустим из точки А перпендикуляр АС на направление луча, распространяющегося из точки В.

Тогда, распространяясь дальше от АС, лучи не изменят разность хода. Разностью хода лучей является отрезок ВС. Для расчёта интерференции этих лучей применим метод зон Френеля.

Разделим отрезок ВС на отрезки длиной . На ВС уложится z таких трезков:

z, (2.1)

где .

Проведя из концов этих отрезков линии, параллельные АС, до встречи с АВ, разобьем фронт волны в щели на ряд полосок одинаковой ширины, количество которых равно z. Они и являются зонами Френеля, так как соответствующие точки этих полосок являются источниками волн, дошедших до точки наблюдения М по данному направлению с взаимной разностью хода . Амплитуды волн от полосок будут одинаковы, потому что фронт плоский и площади их равны. Согласно теории зон Френеля, лучи от двух соседних зон гасят друг друга, так как фазы их противоположны. Тогда при чётном числе зон Френеля (z=2m, где m – целое число, m=1,2,3.

..), укладывающихся в щели, в точке М будет минимум дифракции, а при нечётном (z=(2m+1)) – максимум. Уравнение (1) тогда запишем следующим образом:

,

.

Распределение интенсивности в дифракционной картине от одной щели показано на рис. 2.3. По оси абсцисс отложено расстояние от нулевого максимума вдоль экрана, на котором располагается спектральная картина.

Рис. 2.3

Дифракция на двух щелях. Для увеличения интенсивности и более чёткого разделения цветов пользуются не одной щелью, а дифракционной решёткой, которая представляет собой ряд параллельных щелей одинаковой ширины

a, разделенных между собой непрозрачными промежутками шириной b. Сумма a+b=d называется периодом или постоянной дифракционной решетки.

Для того чтобы найти распределение освещенности на экране в случае решетки, необходимо учесть не только интерференцию волн, вышедших из каждой отдельной щели, но и взаимную интерференцию волн, пришедших в данную точку экрана из соседних щелей. Допустим, что имеется всего две щели. Монохроматическая волна падает нормально к плоскости щелей. Когда в щели укладывается четное число зон Френеля, выполняется условие минимума для щели. Поскольку для каждой щели выполняется условие минимума, то и для всей решетки тоже. Следовательно, условие минимума, для решетки совпадает с условием минимума для щели, оно называется условием главного минимума, и имеет вид:

.

Рассмотрим случай, когда в щели укладывается нечетное число зон Френеля. При этом в каждой щели останется по одной нескомпенсированной зоне Френеля, в которой все источники света колеблются в одной фазе. Эти нескомпенсированные лучи, прошедшие через одну из щелей, будут интерферировать с нескомпенсированными лучами, прошедшими через другую щель. Выберем два произвольно направленных луча (рис. 2.4), исходящих из соответствующих точек соседних щелей и падающих в одну точку на экране. Их интерференцию определяет разность хода BC=dsin . Если BC= , то в точке М свет усилен. Уравнение

, (m=1,2,3…)

определяет главные максимумы. Если, , то в точке М свет ослаблен. Уравнение

является условием добавочных минимумов, появившихся вследствие наличия второй щели.

Рис. 2.4

Если ba, то ширина основной части дифракционной картины от двух щелей остаётся прежней. Большая часть энергии сосредоточена в пределах центрального максимума. Пунктиром показано распределение интенсивности для одной щели. Если ba дифракционная картина будет несколько сужена. При b=0 получаются пики, которые в 2 раза уже, так как имеется не две щели шириной a, а одна щель шириной 2a.

Рис. 2.5

Дифракция на N щелях. Расчет дифракционной картины на дифракционной решетке довольно сложен с математической точки зрения, но в принципе ничем не отличается от рассмотрения дифракции на двух щелях.

Следует учесть, что в случае дифракции на двух щелях появляется некоторое число дополнительных максимумов и минимумов. При наличии третьей щели, их число возрастает, так как необходимо учесть вклад в дифракционную картину от каждой щели. По мере роста числа щелей на дифракционной решетке растет число дополнительных максимумов и минимумов. Условие главных максимумов и минимумов для дифракционной решетки остаётся тем же самым, что и для двух щелей:

, m=0,1,2… (главные максимумы), (2.2)

, m=1,2,3… (главные минимумы), (2.3)

а дополнительные минимумы определяются условием:

, m=0,1,2… (2.4)

Если дифракционная решетка состоит из N щелей, то условием главных максимумов является условие (2.2), а главных минимумов условие (2.3).

Условие дополнительных минимумов:

, (2. 5)

где N — общее число щелей решетки (m=1, 2,…, N-1, N+1,…, 2N-1, 2N+1,…). В формуле (2.5) m принимает все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, , т. е. кроме тех, при которых условие (2.5) переходит в (2.2).

Сравнивая формулы (2.2) и (2.5), видим, что число главных максимумов в N раз меньше общего числа дополнительных минимумов. Действительно, число (или порядок) дополнительных минимумов, отвечающих углу , получается из формулы (2.2) следующим:

,

а общее число дополнительных минимумов, как видно из формулы (2.5),

,

откуда следует .

Таким образом, между двумя главными максимумами находится (N-1) дополнительных минимумов, разделенных побочными максимумами. Вклад этих побочных максимумов в общую дифракционную картину невелик, так как интенсивность их мала и быстро убывает по мере удаления от главного максимума данного порядка. Поскольку с увеличением числа штрихов решетки все большее количество световой энергии проходит через нее и одновременно происходит увеличение числа дополнительных максимумов и минимумов. Это означает, что главные максимумы становятся более узкими и яркость их возрастает, то есть возрастает разрешающая способность решетки.

Если на решетку падает свет, содержащий ряд спектральных компонентов, то в соответствии с формулой (2.2), главные максимумы для разных компонентов образуются под разными углами. Таким образом, решетка разлагает свет в спектр.

Характеристиками решетки как спектрального прибора является угловая дисперсия и разрешающая способность.

Угловой дисперсией называется величина , где — угловое расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на . Дифференцируя формулу (2), получим:

.

Разрешающей способностью называется величина , где — наименьшая разность длин волн двух спектральных линий, которые видны в спектре раздельно.

Согласно критерию Релея две близкие линии считают разрешенными (видны раздельно), в том случае, если интенсивность в промежутке между ними составляет не более 80% от интенсивности максимума, т.е. I=0,8I₀, где I₀ – интенсивность главного максимума, I – интенсивность промежутка между двумя соседними максимумами (рис. 2.6).

Из условия Релея следует:

,

т.е. разрешающая способность решетки растет с увеличением числа щелей N и зависит от порядка спектра.

Рис. 2.6

ЗАДАНИЕ 1. Определение длин волн красного и фиолетового света.

Описание лабораторной установки

Экспериментальная установка состоит из штатива, на котором закреплена горизонтально расположенная линейка с делениями, дифракционная решетка, экран со щелью (для получения узкого пучка света) и осветитель. Используемая в работе дифракционная решетка имеет на 1 мм 100 штрихов, т. е. период решетки d=0,01 мм. Луч света, проходя через узкую щель, а затем дифракционную решетку, попадает на хрусталик глаза, который играет роль двояковыпуклой линзы. В дальнейшем распространении изображение спектров и шкалы с делениями на экране со щелью доходит до сетчатки глаза. Таким образом мы видим изображение спектров на шкале.

Из условия максимума m-го порядка для дифракционной решетки выражается длина волны:

где d – период дифракционной решетки, sin φ – синус угла, при котором наблюдается данная линия в спектре, m – порядок спектра, в котором наблюдается линия.

Углы φ_m , под которыми наблюдаются линии в спектрах, являются малыми, поэтому sin φ_m ≈ tg φ_m . Используя это условие, получим:

. (2.6)

Формула (2.6) является рабочей для определения длины волны наблюдаемой линии в спектре m-го порядка.

Порядок выполнения работы

1. Включить осветитель.

2. Установить экран со щелью на расстояние L от дифракционной решетки.

3. Приблизить глаз к решетке на удобное расстояние (по обе стороны от щели на черном фоне шкалы должны быть видны дифракционные спектры). При этом глаз должен находиться на близком расстоянии от решетки (рис. 2.7).

Рис. 2.7

4. По шкале экрана определить положение красных и фиолетовых линий S в спектрах 1-го и 2-го порядка, расположенных справа и слева от щели для различных расстояний L (L=15 см, 20 см, 25 см). Результаты измерений занести в табл. 1.

Таблица 1

№	Порядок спектра m	S			L	d	λК	λФ	ΔλК	ΔλФ
		Справа	Слева	Среднее
1	1
2	2
. . .

5. Вычислить tgφ по формуле:

.

6. По формуле (2.6) вычислить длины волн красного и фиолетового света для спектров различных порядков и для разных расстояний L.

7. Вычислить среднее арифметическое значение длины волны для красного и фиолетового света по формуле:

,

где n – число измерений.

8. Вычислить оценку средней квадратичной ошибки по формуле:

.

9. Вычислить границу случайной погрешности по формуле:

,

где t_α(n) – коэффициент Стьюдента, α=0,95, t _0,95 (6)=2,6.

10. Записать окончательный результат в виде:

λ=±Δλ, нм; α=0,95.

ЗАДАНИЕ 2. Определение длины волны излучения при дифракции на щели.

Описание лабораторной установки

Рис. 2.8

Наблюдение дифракции Фраунгофера на щели осуществляется на установке РМС 3, состоящей из оптической скамьи, на которой установлен полупроводниковый лазер, вертикальный юстировочный модуль с фотолитографическим тест – объектом МОЛ-1, экран. Направление излучения лазера регулируется юстировочными винтами.

Объект МОЛ-1 представляет собой тонкий стеклянный диск с непрозрачным покрытием и прозрачными структурами, расположенными в трех рядах: ряд А – двойные щели, ряд В – круглые отверстия, ряд С – одиночные щели. Общее количество щелей в ряде С составляет 16. Излучение от лазера направляется на нужную структуру на поверхности объекта МОЛ-1. На экране при этом наблюдается соответствующая дифракционная картина.

Из условия минимума m-го порядка для щели выражается длина волны излучения:

где а – ширина щели, sin φ – синус угла, при котором наблюдается минимум, m – порядок минимума.

Углы φ_m, под которыми наблюдаются минимумы, являются малыми, поэтому sin φ_m ≈ tg φ_m . Используя это условие, получим:

. (2.7)

Формула (2.7) является рабочей для определения длины волны излучения лазера.

Порядок выполнения работы

1. Согласно табл. 2 выбрать щели для изучения в ряде С – не менее трех (по указанию преподавателя).

Таблица 2

Номер щели на объекте	С1	С2	С3	С16	С4	С5	С6	С7	С8	С9	С10	С11
Ширина щели а, мкм	8	10	12	100	15	20	25	30	35	40	45	50
Расстояние до экрана L, мм	300…400				500…600				600…700

2. Включить лазер. Установить щель на расстояние L до экрана. Регулируя юстировочные винты, добиться нужного направления излучения на исследуемую щель в ряде С на тест – объекте МОЛ-1. Получить четкую дифракционную картину.

3. Закрепить на экране чистый лист бумаги. Отметить на нем расстояния S от середины центрального максимума до середины минимумов первого, второго и третьего порядков вправо и влево от центрального максимума (т.е. для порядков m=±1, ±2, ±3). Измерить расстояние L.

4. Сняв лист, тщательно измерить линейкой отмеченные расстояния S. Результаты измерений занести в табл. 3.

Таблица 3

№	m	SСПРАВА	SСЛЕВА	SСРЕДНЕЕ	L, мм	а, мкм	λ, нм
1
2
. . .

Рассчитать значение S_{СРЕДНЕЕ} по формуле:

.

5. Вычислить tgφ по формуле:

6. По формуле (2.7) рассчитать длину волны излучения лазера для различных щелей.

7. Вычислить среднее арифметическое значение длины волны по формуле:

,

где n – число измерений.

8. Вычислить оценку средней квадратичной ошибки по формуле:

.

9. Вычислить границу случайной погрешности по формуле:

,

где t_α(n) – коэффициент Стьюдента, α=0,95, t _0,95 (9)=2,31.

10. Записать окончательный результат в виде:

λ=±Δλ, нм; α=0,95.

Контрольные вопросы

1. Какие волны называются когерентными?

2. В чем заключаются явления интерференции и дифракции света?

3. Что называют волновым фронтом, волновой поверхностью?

4. В чем заключается метод зон Френеля?

5. Сформулируйте принцип Гюйгенса – Френеля.

6. Нарисуйте и объясните дифракционные картины, получаемые от одной щели и от дифракционной решетки при освещении их монохроматическим и белым светом.

7. Объясните возникновение главного максимума, главного минимума и дополнительного минимума при дифракции на решетке. Записать их формулы.

8. Как изменится вид дифракционной картины от решетки, если источник света заменить монохроматическим?

9. Расскажите о применении дифракции в науке и технике.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

Свет | Определение, свойства, физика, характеристики, типы и факты

видимый спектр света

Смотреть все СМИ

Ключевые люди:

Исаак Ньютон Альберт Эйнштейн Джеймс Клерк Максвелл Птолемей Роджер Бэкон

Похожие темы:

цвет Солнечный лучик фотон интенсивность света скорость света

Просмотреть весь связанный контент →

Популярные вопросы

Что такое свет в физике?

Свет — это электромагнитное излучение, воспринимаемое человеческим глазом. Электромагнитное излучение возникает в чрезвычайно широком диапазоне длин волн, от гамма-лучей с длиной волны менее примерно 1 × 10 ⁻¹¹ метров до радиоволн, измеряемых в метрах.

Какова скорость света?

Скорость света в вакууме является фундаментальной физической константой, и в настоящее время принято значение 29. 9 792 458 метров в секунду, или около 186 282 миль в секунду.

Что такое радуга?

Радуга образуется при преломлении солнечного света сферическими каплями воды в атмосфере; два преломления и одно отражение в сочетании с хроматической дисперсией воды создают первичные цветовые дуги.

Почему свет важен для жизни на Земле?

Свет является основным инструментом восприятия мира и взаимодействия с ним для многих организмов. Солнечный свет согревает Землю, определяет глобальные погодные условия и запускает поддерживающий жизнь процесс фотосинтеза; около 10 ²² джоулей солнечной лучистой энергии достигает Земли каждый день. Взаимодействие света с материей также помогло сформировать структуру Вселенной.

Каково отношение цвета к свету?

В физике цвет ассоциируется именно с электромагнитным излучением определенного диапазона длин волн, видимым человеческому глазу. Излучение таких длин волн составляет часть электромагнитного спектра, известную как видимый спектр, т. е. свет.

свет , электромагнитное излучение, воспринимаемое человеческим глазом. Электромагнитное излучение возникает в чрезвычайно широком диапазоне длин волн, от гамма-лучей с длиной волны менее примерно 1 × 10 ⁻¹¹ метров до радиоволн, измеряемых в метрах. В этом широком спектре длины волн, видимые человеку, занимают очень узкую полосу, от примерно 700 нанометров (нм; миллиардных долей метра) для красного света до примерно 400 нм для фиолетового света. Области спектра, примыкающие к видимому диапазону, часто также называют световыми, инфракрасными с одной стороны и ультрафиолетовыми с другой. Скорость света в вакууме — фундаментальная физическая константа, принятое в настоящее время значение которой равно ровно 299 792 458 метров в секунду, или около 186 282 миль в секунду.

Нет однозначного ответа на вопрос «Что такое свет?» удовлетворяет множеству контекстов, в которых свет воспринимается, исследуется и используется. Физик интересуется физическими свойствами света, художник — эстетической оценкой визуального мира. Благодаря зрению свет является основным инструментом восприятия мира и общения в нем. Солнечный свет согревает Землю, определяет глобальные погодные условия и запускает поддерживающий жизнь процесс фотосинтеза. В самом большом масштабе взаимодействие света с материей помогло сформировать структуру Вселенной. Действительно, свет дает окно во Вселенную, от космологических до атомных масштабов. Почти вся информация об остальной Вселенной достигает Земли в виде электромагнитного излучения. Интерпретируя это излучение, астрономы могут заглянуть в самые ранние эпохи Вселенной, измерить общее расширение Вселенной и определить химический состав звезд и межзвездной среды. Подобно тому, как изобретение телескопа значительно расширило возможности исследования Вселенной, так и изобретение микроскопа открыло сложный мир клетки. Анализ частот света, испускаемого и поглощаемого атомами, явился основным толчком к развитию квантовой механики. Атомная и молекулярная спектроскопия по-прежнему остается основным инструментом для исследования структуры вещества, обеспечивая сверхчувствительные тесты атомных и молекулярных моделей и способствуя изучению фундаментальных фотохимических реакций.

Свет передает пространственную и временную информацию. Это свойство лежит в основе областей оптики и оптических коммуникаций, а также множества связанных с ними технологий, как зрелых, так и новых. Технологические приложения, основанные на манипулировании светом, включают лазеры, голографию и волоконно-оптические телекоммуникационные системы.

В большинстве повседневных обстоятельств свойства света можно вывести из теории классического электромагнетизма, в которой свет описывается как связанные электрические и магнитные поля, распространяющиеся в пространстве в виде бегущей волны. Однако эта волновая теория, разработанная в середине 19 в.го века недостаточно для объяснения свойств света при очень низкой интенсивности. На этом уровне квантовая теория необходима для объяснения характеристик света и взаимодействия света с атомами и молекулами. В своей простейшей форме квантовая теория описывает свет как состоящий из дискретных пакетов энергии, называемых фотонами. Однако ни классическая волновая модель, ни классическая модель частиц не описывают свет правильно; свет имеет двойственную природу, которая раскрывается только в квантовой механике. Этот удивительный корпускулярно-волновой дуализм характерен для всех первичных составляющих природы (например, электроны имеют как корпускулярный, так и волновой аспекты). С середины 20-го века физики считали законченной более полную теорию света, известную как квантовая электродинамика (КЭД). КЭД объединяет идеи классического электромагнетизма, квантовой механики и специальной теории относительности.

Викторина «Британника»

Физика и естественное право

В этой статье основное внимание уделяется физическим характеристикам света и теоретическим моделям, описывающим природу света. Его основные темы включают введение в основы геометрической оптики, классические электромагнитные волны и эффекты интерференции, связанные с этими волнами, а также основные идеи квантовой теории света. Более подробные и технические презентации этих тем можно найти в статьях «Оптика, электромагнитное излучение, квантовая механика и квантовая электродинамика». См. также относительность для получения подробной информации о том, как созерцание скорости света, измеренной в различных системах отсчета, сыграло решающую роль в развитии специальной теории относительности Альберта Эйнштейна в 1905 году. world

Хотя есть явные свидетельства того, что ряд ранних цивилизаций использовали простые оптические инструменты, такие как плоские и криволинейные зеркала и выпуклые линзы, древнегреческим философам обычно приписывают первые формальные рассуждения о природе света. Концептуальное препятствие, заключающееся в том, чтобы отличить человеческое восприятие визуальных эффектов от физической природы света, препятствовало развитию теорий света. В этих ранних исследованиях преобладало созерцание механизма зрения. Пифагор ( с. 500 до н.э.) предположил, что зрение вызывается визуальными лучами, исходящими из глаза и ударяющими по предметам, тогда как Эмпедокл ( ок. 450 до н.э.), по-видимому, разработал модель зрения, в которой свет излучался как предметами, так и глазом. Эпикур ( г. ок. г. 300 г. до н.э.) считал, что свет излучается другими источниками, помимо глаза, и что зрение возникает, когда свет отражается от объектов и попадает в глаз. Евклид ( г. ок. г. 300 г. до н.э.) в своей книге «Оптика » представил закон отражения и обсудил распространение световых лучей по прямым линиям. Птолемей ( с. 100 н.э.) предпринял одно из первых количественных исследований преломления света при переходе из одной прозрачной среды в другую, сведя в таблицу пары углов падения и пропускания для комбинаций нескольких сред.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

С упадком греко-римского царства научный прогресс переместился в исламский мир. В частности, аль-Махмун, седьмой аббасидский халиф Багдада, основал Дом Мудрости (Байт аль-Хикма) в 830 г. н.э. для перевода, изучения и улучшения эллинистических научных и философских трудов. Среди первых ученых были аль-Хорезми и аль-Кинди. Известный как «философ арабов», аль-Кинди расширил концепцию прямолинейно распространяющихся световых лучей и обсудил механизм зрения. К 1000 г. от пифагорейской модели света отказались, и возникла лучевая модель, содержащая основные концептуальные элементы того, что сейчас известно как геометрическая оптика. В частности, Ибн аль-Хайтам (латинизированный как Альхазен) в Китаб аль-маназир ( ок. 1038; «Оптика») правильно приписывал зрение пассивному восприятию световых лучей, отраженных от предметов, а не активному излучению световых лучей глазами. Он также изучал математические свойства отражения света от сферических и параболических зеркал и нарисовал подробные изображения оптических компонентов человеческого глаза. Работа Ибн аль-Хайтама была переведена на латынь в 13 веке и оказала побудительное влияние на францисканского монаха и естествоиспытателя Роджера Бэкона. Бэкон изучал распространение света через простые линзы и считается одним из первых, кто описал использование линз для коррекции зрения.

Эффективный полнолучевой оптический расчет скалярной и векторной дифракции по методу Блюстейна

Скалярный и векторный интеграл дифракции в виде преобразования Фурье

Для скалярной дифракции, как показано на рис. 1а, электрическое поле в точке ( x, y, z ) в декартовых координатах можно получить на основе принципа Гюйгенса–Френеля и выразить интегралом дифракции Рэлея–Зоммерфельда ²⁰ :

$$E\left( {x,y,z } \right) = — \frac{i}{\lambda } {\iint_{\!\Omega}} {E_0\left( {u,v,0} \right) \times \frac{{\exp \left ( {ikr} \right)}}{r} \times \cos \theta \;} dudv$$ 92}}{{2z}}\). В знаменателе уравнения (1), r можно дополнительно аппроксимировать только первым членом ( r  ≈  z ). Кроме того, параксиальное приближение обеспечивает cos θ  ≈  1. Таким образом, комплексное электрическое поле можно описать интегралом дифракции Френеля:

$$E\left( {x,y,z} \right) = \ frac{{\exp \left( {ikz} \right)}}{{i\lambda z}} {\iint_{\!\Omega}} {E_0\left({u,v,0} \right) \ раз \ ехр \ влево \ { {\ гидроразрыва {{ik}} {{2z}} \ влево [ {\ влево ( {х — и} \ вправо) ^ 2 + \ влево ( {у — v} \ вправо) ^ 2} \right]} \right\}} dudv$$ 92} \right)} \right]$$

(5)

Следовательно, интегральное уравнение (3) может быть выражено через двумерное преобразование Фурье:

$$E = F_0 \times {\boldsymbol{F}}\left( {E_0 \times F} \right)$$

(6)

здесь F представляет двумерный FT. Кроме того, как и в случае скалярной дифракции другого типа, дифракция Фраунгофера в дальнем поле может быть выражена как \(E = F_0 \times {\boldsymbol{F}}\left({E_0} \right)\), что может быть рассматривается как частный случай дифракции Френеля, проходящей через собирающую линзу. Следовательно, скалярная дифракция может быть рассчитана по xy -плоскость с использованием подхода на основе FT.

Скалярная дифракция может использоваться для эффективного расчета сложного распределения амплитуд многих оптических систем с несколькими приближениями, как описано выше. Однако известно, что компоненты поляризации изменяются из-за большой рефракции после прохождения через непараксиальную систему с высокой числовой апертурой, и скалярная дифракция не способна дать должных результатов. Векторный интеграл дифракции Дебая, установленный Ричардсом и Вольфом ²¹ , необходимо использовать для анализа комплексного электромагнитного поля каждого компонента поляризации (Дополнительная информация, раздел 1). Оптическая схема показана на рис. 1б.

Из-за рефракции непараксиальной жесткой фокусирующей системы компоненты электрического поля (поляризационные компоненты \(\overrightarrow e _s\) и \(\overrightarrow e _p\)) на входном зрачке P _e преобразуются в сферическую опорную поверхность P _r (\(\overrightarrow e _s\), \(\overrightarrow e _{th}\) и \(\overrightarrow e _r\)). Преобразование можно выразить в декартовых координатах как ²⁰ :

$$\overrightarrow E _r = A_0\sqrt {\cos \theta} \times {\mathbf{M}} \,\times\, \overrightarrow E _i $$

(7)

M – матрица преобразования поляризации от входной поверхности к сходящейся сферической поверхности. \(A_0\sqrt {\cos\theta}\) — коэффициент аподизации, учитывающий сохранение энергии. Распространение электрического поля от опорной поверхности P _r в точку изображения p ( x, y, z ) вблизи фокуса выражается интегралом Дебая:

$$\overrightarrow E = — \frac{{iC}} {\ lambda} \ mathop {\ iint} \ nolimits _ {\! \ Sigma} {\ overrightarrow E _r} \ times \ exp \ left [ {i \ left ({k_zz — k_xx — k_yy} \ right)} \ right] {\mathrm{}}d\Sigma$$

(8)

Определение \(\overrightarrow k _r\) можно найти в разделе дополнительной информации 1. Путем интегрирования по плоской поверхности P _e вместо поверхности P _r (Дополнительная информация, раздел 2):

$$\overrightarrow E = — \frac{{mat}}{\lambda } \iint}\nolimits_{\!\Omega} {\left[ {\overrightarrow E _r \times {{\exp \left({ik_zz} \right)} / {\cos \theta}}} \right] \times \exp \left[ { — i\left( {k_xx + k_yy} \right)} \right]} {\mathrm{ }}dk_xdk_y$$

(9)

, которое можно переписать в виде FT :

$$\overrightarrow E \left( {x,y,z} \right) = — \frac{{iC}}{\lambda }{\boldsymbol{F}}\left[ {\overrightarrow E _r \times {{\exp \left( {ik_zz} \right)} / {\cos \theta}}} \right] = — \frac{{iC}}{\lambda}{\boldsymbol{F}}\left[{ {\mathbf{M}} \times \overrightarrow E _i \times {{\exp \left({ik_zz} \right)} / {\sqrt {\cos \theta}}}} \right]$$

( 10)

Вкратце, как скалярная дифракция, так и векторная дифракция могут быть выражены с помощью Фурье-Фурье. Алгоритмы БПФ в современных компьютерных системах позволяют проводить быстрые и точные вычисления. Сходство между этими двумя дифракциями очевидно с математической точки зрения: интеграл векторной дифракции эквивалентен скалярной дифракции Фраунгофера в случае оптической системы с малой числовой апертурой, где 1/cos θ  ≈ 1.

Хотя оптический расчет на основе БПФ намного быстрее, чем метод прямого интегрирования, он приводит к неизбежным недостаткам: результирующее выходное поле имеет фиксированный поперечный размер и неизменяемые числа выборок, определяемые размерностью и размером выборки входной апертуры на заданное расстояние. Размер выходного поля:

$$D_m = \frac{{\lambda d}}{{p_s}}$$

(11)

где d — расстояние между входной апертурой и выходной самолет. p _s — размер выборки входной апертуры. Числа дискретизации выходной плоскости жестко эквивалентны таковым входной апертуры. Ограничение вызвано внутренней характеристикой FT и сильно ограничивает гибкость в расчетах распространения света. Например, входная апертура должна быть чрезвычайно расширена с помощью подхода заполнения нулями, когда требуется небольшая часть выходной плоскости с высоким разрешением, что неизбежно приводит к большому увеличению времени вычислений.

Метод Блюстейна для вычисления преобразования Фурье с произвольной областью интереса и разрешением выборки

Что касается математики, то для достижения требуемой полосы пропускания и разрешения в частотной области необходима соответствующая операция заполнения нулями для расширения размерности исходной входной последовательности ¹⁵ . Для большинства приложений в области лазерных манипуляций и литографии для получения достаточной детализации требуется лишь небольшая часть выходного поля с высоким разрешением, что приводит к большому количеству заполнения нулями. Это приводит к серьезной трате ресурсов, так как большая часть результатов отбрасывается. Операция заполнения нулями неизбежно увеличивает время вычислений и потребность в использовании памяти. Более того, результирующая область вывода остается неизменной, что сильно ограничивает ее возможности в практических приложениях. Здесь метод Блюстейна используется для оценки скалярных и векторных расчетов дифракции. Метод Блюстейна — элегантный метод, разработанный Л. Блюстейном ²² и далее обобщены L. Rabiner et al. ²³ , который способен выполнять более общие FT на произвольных частотах, а также повышать разрешение по всему спектру. Метод Блюстейна предлагает нам операцию спектрального масштабирования с высоким разрешением и произвольной полосой пропускания. Это преимущество обеспечивается за счет вычисления z-преобразования вдоль спиральных контуров в плоскости z для входной последовательности (раздел 3 дополнительной информации и рис. S1). Вычислительная сложность 9{mn}}$$

(12)

здесь \(m = \left[ {0, \cdots ,M — 1} \right]\). M — длина преобразования. N — длина входной последовательности. A задает комплексную начальную точку интересующего спирального контура z -плоскости, а W задает комплексный скаляр, описывающий комплексное отношение между точками вдоль контура. Обратите внимание, что случай A  = 1, W  = exp(− i 2 π/N ) и M  =  N соответствует дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), которое вычисляет z-преобразование вдоль единичного круга с конечной длительностью. В более общем смысле метод можно использовать для вычисления ДПФ между произвольной начальной точкой f ₁ и конечной точкой f ₂ (т. f _s ) с произвольным количеством выборок М .

Практическая реализация метода Блюстейна для расширенного вычисления ДПФ заслуживает дополнительных комментариев. Во-первых, 2D FT необходим для расчета как скалярной, так и векторной дифракции. Чтобы выполнить это требование, следует применить метод Блюстейна как для столбцов, так и для строк. Во-вторых, метод Блюстейна интернализирует заполнение входного массива нулями в конце. Однако симметричное заполнение нулями вокруг входного массива необходимо для моделирования реалистичных оптических систем. В-третьих, необходима дополнительная операция по смещению нулевой составляющей к центру массива до и после ДПФ для устранения высокочастотных колебаний в фазовой информации. Для решения этих вопросов определение параметров A и W должны быть переставлены, а коэффициент фазового сдвига P _сдвиг должен быть включен в конце расчета (см. раздел 3 дополнительной информации и рис. S2–S4).

Выполняя эти настройки, метод Блюстейна может быть разработан как быстрый подход к расчету дифракции света с превосходной гибкостью: он позволяет выбирать произвольные сегменты в плоскости изображения с произвольным разрешением, обеспечивая конкурентоспособную эффективность и гибкость по сравнению с прямым интегрированием и методы БПФ.

Быстрая численная реализация метода Блюстейна в скалярной дифракции Френеля

На рис. 2 показан скалярный расчет с парадигмой распространения сходящейся сферической волны, которая генерируется плоской волной, проходящей через выпуклую линзу. Фазовый профиль линзы показан на рис. 2а, который эквивалентен фазовой пластине после заворачивания между 0 и 2 π (рис. 2б). Оптическая схема представлена ​​на рис. 2в с параметрами λ  = 800 нм, f  = 600 мм и D  = 8,64 мм. На рис. 2г, д показано распределение оптического поля в фокальной плоскости по интенсивности и фазе. На рис. 2, е, ж показаны распределения интенсивности и фазы в поперечном сечении в направлении распространения света. Соответствующие линейные графики интенсивности и фазы приведены на рис. 2з–л. Также проводится сравнение между методом Блюстейна и традиционными методами прямого интегрирования и БПФ, из которого мы видим отличные совпадения. Выявлено, что метод Блюстейна позволяет рассчитывать скалярную дифракцию света с высокой точностью.

Рис. 2: Скалярный расчет сходящейся сферической волны.

a Фазовые профили выпуклой линзы (серая линия) и соответствующей фазовой пластины (красная линия). b Трехмерная визуализация фазовой пластины. c Иллюстрация оптической установки. d Распределения интенсивности и e фазы в фокальной плоскости ( z  = 600 мм). f Распределение интенсивности и g фазы в продольном направлении. h – k Линейные графики, соответствующие ( d – g ), рассчитанные с использованием трех различных методов. l Зависимость времени расчета от количества точек дискретизации в одном измерении. Поле падающего света с точками выборки 1080 × 1080 и интервалом 8 мкм (т. е. шириной 8,64 мм) фиксируется для каждого расчета (то же самое здесь и далее, если не указано иное). м Сравнение времени расчета светового поля в xy -самолет разными методами. Здесь целевая область шириной 0,2 мм фиксируется с точками выборки 1080 × 1080. n Сравнение времени расчета светового поля в объемной трехмерной и поперечной yz -плоскостях разными методами . Здесь вычисляются 150 срезанных слоев

Полноразмерное изображение

Метод Блюстейна имеет преимущество в затратах времени вычислений по сравнению с методами прямого интегрирования и БПФ. Из-за утомительного метода поточечного расчета метод прямого интегрирования связан с двумя циклическими циклами, а время расчета резко увеличивается с расчетными точками целевой плоскости (при вычислительной сложности O ( M ²  ×  N ² )). В случае метода БПФ операция заполнения нулями необходима для выполнения требования к предварительно установленным целевым числам выборок, что приводит к быстрому увеличению времени вычислений с точками выборки. Как показано на рис. 2, м, при увеличении количества точек опробования по одной оси координат метод Блюстейна демонстрирует явное превосходство над двумя другими методами. Это преимущество делает метод особенно применимым к сценариям, где необходимы большие точки отбора проб, например, для микроскопии с высоким разрешением. Для случая на рис. 2г, д, когда точки дискретизации во входном зрачке и выходном поле совпадают ( M  =  N  = 1080) и ROI составляет 0,2 × 0,2 мм, вычислительные затраты составляют ~13,7 ч для метода прямого интегрирования, что делает его непригодным для практических приложений. Для метода БПФ вычислительные затраты увеличиваются до 68  с, как показано на рис. 2m. Для сравнения, время вычислений при использовании предложенного нами метода Блюстейна составляет всего 0,67 с, что в 10 ⁵ и 10 ² раз меньше, чем у методов прямого интегрирования и метода БПФ соответственно. Трехмерное объемное световое поле (дополнительная информация, рис. S5) может быть реконструировано с использованием световых полей поперечного сечения путем послойного расчета боковых плоскостей. Как показано на рис. 2n, время расчета для прямого метода слишком велико для получения объемного светового поля (~ 85 дней). Для расчета поперечного сечения светового поля в продольном yz -самолет. При использовании метода БПФ вычислительные затраты одинаковы (2,8 часа) как для объемного, так и для поперечного световых полей, поскольку ROI нельзя настроить из-за внутренней характеристики FT. Благодаря свойству быстрого вычисления метода Блюстейна расчет трехмерного оптического поля может быть выполнен менее чем за 100 с. Повышение эффективности того же порядка, что и в поперечной плоскости xy . Дополнительные примеры скалярной дифракции приведены в разделе 4 дополнительной информации и на рис. S6.

В дополнение к значительному улучшению вычислительной эффективности метод Блюстейна обладает замечательной гибкостью по сравнению с методом БПФ. То есть произвольная ROI может быть определена с произвольным разрешением. Эта особенность иллюстрируется реконструкцией компьютерной голограммы (CGH), как показано на рис. 3. Оценка распространения света после модуляции с помощью CGH необходима для прогнозирования характеристик оптических голографических пинцетов ²⁴ , голографических дисплеев ²⁵ и лазерная голографическая обработка ^26,27 . Как показано на рис. 3а, CGH генерируется взвешенным алгоритмом Герчберга-Сакстона (GSW) ^28,29 . После FT с помощью собирающей FT-линзы построенный шаблон можно восстановить (рис. 3б). Процесс включает два скалярных дифракционных расчета: один от CGH до линзы FT, а другой — от линзы FT до плоскости реконструкции. На рис. 3c–f показаны распределения интенсивности с различными областями в плоскости реконструкции и постоянными точками выборки (1080 × 1080). На рис. 3g–j показаны соответствующие фазовые распределения. Подтверждено, что метод Блюстейна обладает большей гибкостью по сравнению с методом БПФ.

Рис. 3: Скалярный расчет CGH-модулированной световой волны.

a Цифровой CGH, полученный на основе алгоритма GSW. b Оптическая установка для голографической реконструкции. Здесь фокусное расстояние объектива ФП составляет 600 мм. Размер CGH составляет 8,64 мм (1080 × 1080 пикселей), длина волны падающего излучения — 800 нм. c – f Рассчитанные распределения интенсивности с изменяющимися ROI. g – j Рассчитанные фазовые распределения с изменяющимися ROI. Здесь точки выборки зафиксированы на 1080 × 1080

Изображение в полный размер

Быстрый численный расчет векторной дебаевской дифракции

Векторная природа света важна для оптических систем с высокой апертурой или определенной поляризацией, такой как радиальная и азимутальная поляризации ^30,31 . На рис. 4а показана фокусировка радиально поляризованного света апланатическим объективом с высокой числовой апертурой (числовая апертура: 1,4). Используя предложенный метод Блюстейна в векторном интеграле Дебая–Вольфа, можно быстро рассчитать распределение светового поля вблизи фокуса (вставки на рис. 4а). Результаты согласуются с результатами, рассчитанными прямым интегрированием и методами БПФ, что отражено линейными графиками интенсивности света в поперечном и продольном направлениях на рис. 4б, в.

Рис. 4: Векторная дифракция света с объективом с высокой числовой апертурой.

a Радиально поляризованный свет, сфокусированный апланатическим объективом (NA: 1.4). Вставки: результирующие профили интенсивности в поперечной и продольной плоскостях. b , c Линейные графики интенсивности в поперечном и продольном направлениях, рассчитанные разными методами. d Спиральная фазовая пластина и распределение фазовой глубины с азимутальным углом. e Интенсивность в форме пончика в фокальной плоскости. f – h Распределения интенсивности различных компонент поляризации вдоль направлений x , y и z соответственно. i Линейные графики профиля интенсивности различных компонент поляризации в фокальной плоскости. j Распределение интенсивности в продольной плоскости. k – m Фазовые распределения различных компонент поляризации. n , o Увеличенное распределение парциальной интенсивности, как указано в ( e , j ) соответственно. p Сравнение времени расчета векторной дифракции в плоскости xy , yz и трехмерном объемном изображении , в сочетании с круговой поляризацией, играет ключевую роль в сверхразрешающей микроскопии истощения стимулированного излучения ³² и нанолитографии ³³ . Профиль фокуса в форме пончика с темным центром используется в качестве обедняющего луча для устранения флуоресценции или полимеризации. На рис. 4д, к представлены профили оптической интенсивности оптического вихря в боковом xy и продольная yz -плоскости соответственно. Можно создать инженерный фокус с симметричной формой пончика. Более того, компоненты света в различных поляризациях могут быть эффективно получены с использованием нашего метода Блюстейна, как показано на рис. 4f–i, k–m. Видно, что все светлые компоненты имеют темные центральные интенсивности, близкие к нулю, и спиральную фазу. Свет в поперечной поляризации доминирует над продольной поляризацией. Метод Блюстейна также наделяет векторный расчет большей гибкостью по сравнению с традиционным подходом БПФ. На рис. 4n, o показаны увеличенные профили интенсивности в областях интереса, отмеченных на рис. 4f, g соответственно. Другой пример использования метода Блюстейна для векторной дифракции показан в разделе 5 дополнительной информации и на рис. S7. Оптическая информация в произвольных областях интереса может быть подробно исследована без увеличения вычислительных затрат, что делает метод Блюстейна выгодным при оценке локализованных распределений света с высоким разрешением для применения микроскопии и фотолитографии.

Что касается времени вычислений, метод Блюстейна также демонстрирует большое превосходство. Здесь мы рассматриваем расчет от входного зрачка с ~10 ⁵ точек дискретизации до выходного зрачка с теми же точками в xy -плоскости, а 100 слоев вдоль оптической оси рассчитаны для объемного и поперечного света. распределения в плоскости yz . Как показано на рис. 4p, прямой метод требует 57,16  мин для расчета бокового светового поля. 95,3 ч требуется для объемного трехмерного распределения светового поля, а 22,78 мин требуется для нарезки yz -самолет. Приемлемое время (2,88 с) необходимо для метода БПФ для расчета плоскости xy . Однако для получения распределения света в объемном трехмерном пространстве и двухмерном yz -плоскости необходимо нецелесообразное 280,4 с. Напротив, метод Блюстейна потребляет всего 0,2 с для расчета в плоскости xy . Более того, для получения двухмерного поперечного и трехмерного объемного светового поля требуется всего 9,34 и 12,19 с. Обратите внимание, что время вычислений увеличивается намного быстрее с количеством выборок ROI для прямого метода и метода БПФ, чем для метода Блюстейна, например, для прямого метода требуется более 10 дней, а для метода БПФ требуется 126,5 с. для получения поперечных распределений света в xy -плоскость при увеличении числа точек дискретизации до ~10 ⁶ (1080 × 1080), в то время как для метода Блюстейна требуется всего 1,78 с, что на пять порядков меньше, чем для прямого метода и 10 ² раз меньше, чем для метода БПФ.

Оптический расчет полного пути с превосходной гибкостью и эффективностью

Как обсуждалось выше, как скалярная, так и векторная дифракция могут быть эффективно рассчитаны методом Блюстейна. Исходя из этого, оптические расчеты и трассировка полного пути могут выполняться с высокой гибкостью и эффективностью. На рис. 5а показана репрезентативная оптическая схема для лазерной голографической обработки и голографических манипуляций. Эта установка может быть дополнительно адаптирована для двухфотонной сканирующей конфокальной микроскопии. Здесь фазовый пространственный модулятор света (SLM, Holoeye Pluto NIR-II, разрешение: 1920 × 1080) используется для модуляции волнового фронта лазера путем загрузки предварительно разработанного CGH. Комбинация полуволновой пластины и поляризационного светоделителя используется для ослабления мощности лазера. Конфигурация 4 f , состоящая из линзы 1 ( f  = 600 мм) и линзы 2 ( f  = 200 мм), помещается между SLM и апланатическим объективом (100×, числовая апертура: 1,4). Это типичная оптическая система, включающая как скалярную дифракцию, так и векторную дифракцию во время распространения света.

Рис. 5: Расчет полного пути репрезентативной оптической системы.

a Эскиз оптической системы. S : самолет на панели ОДС. P : фокальная плоскость объектива 1. E : входной зрачок объектива. F : фокальная плоскость объектива. ( b ) CGH, отображаемый на SLM для создания массива 9 × 9 фокусов. c Массив фокусов в фокальной плоскости объектива 1 (плоскость P-). d Фазовое распределение и e распределение интенсивности на входном зрачке объектива ( E -плоскость). f Смоделированная и g измеренная многофокусная матрица, сгенерированная в фокальной плоскости объектива ( F -плоскость). h Увеличенный профиль интенсивности одного фокусного пятна в массиве. Стрелки указывают направления поляризации. i Продольный профиль интенсивности и соответствующий линейный график массива фокусов. j Смоделированное и k измеренное распределение интенсивности на F -плоскости, когда CGH для генерации шаблона «E» закодирован на SLM. l , m Увеличенные профили интенсивности картины, соответствующие ( j ) и ( k ) с теми же точками выборки, что и в ( i )

Полноразмерное изображение

многофокусная оптическая система, которую можно использовать для голографического пинцета, лазерной параллельной обработки и записи данных. Рисунок 5b представляет собой соответствующий CGH для генерации 9× 9 многофокусный массив. Линейно поляризованный фемтосекундный лазер (800 нм, излучаемый Chameleon Vision-S, Coherent) модулируется CGH. После FT линзы 1 генерируется многофокусный массив (рис. 5c). На задней стороне объектива восстанавливаются распределения фазы и интенсивности, как показано на рис. 5г, д. Фазовый профиль очень похож на CGH, подтверждая точность расчета скалярной дифракции с помощью Bluestein. Световой пучок немного меньше размера входного зрачка объектива, что обеспечивает полное преобразование фазомодулированного луча объективом. В фокальной плоскости объектива дифракционно-ограниченный 9× 9 генерируется мультифокусный массив (рис. 5f). Расчет полного пути может быть выполнен с высокой эффективностью менее чем за 4 с. Экспериментально измеренная многоочаговая интенсивность (рис. 5g) хорошо согласуется с моделированием. С помощью очень гибкого метода Блюстейна становится возможным подробный анализ одного фокального пятна, как показано на рис. 5h, показывая, что фокус Гаусса генерируется с линейной поляризацией. Легко вычислить световое поле в продольном сечении и исследовать пространственную однородность (рис. 5i).

Другой универсальный пример приведен на рис. 5j–m, где CGH кодируется на SLM для создания шаблона, как показано на рис. 3. При использовании метода расчета полного пути Блустейна световое поле желаемого шаблона можно смоделировать в фокальной плоскости объектива (рис. 5j), что согласуется с экспериментальным результатом (рис. 5k). Воспользовавшись высокой гибкостью метода Блюстейна, можно рассчитать увеличенное изображение произвольной области интереса с произвольным разрешением и хорошей точностью по сравнению с экспериментальным результатом, как показано на рис. 5l, k. Другой пример использования метода Блюстейна для векторной дифракции показан в разделе 6 дополнительной информации и на рис. S8. Вкратце, полное отслеживание света всей оптической системы может быть выполнено с помощью метода Блюстейна с высокой эффективностью и гибкостью, раскрывая его возможности в прогнозировании и оценке оптических характеристик в реальном времени в современной микроскопии, лазерных манипуляциях и фотолитографии.