Товаров: 0 (0р.)

Фокальное расстояние: Фокальное расстояние гиперболы. Гипербола и ее каноническое уравнение

Содержание

Фокальное расстояние гиперболы. Гипербола и ее каноническое уравнение

Определение 7.2. Геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, называют гиперболой .

Замечание 7.2. Говоря о разности расстояний, подразумевают, что из большего расстояния вычитается меньшее. Это значит, что на самом деле для гиперболы постоянным является модуль разности расстояний от любой ее точки до двух фиксированных точек. #

Определение гиперболы аналогично определению эллипса . Различие между ними лишь в том, что для гиперболы постоянна разность расстояний до фиксированных точек, а для эллипса — сумма тех же расстояний. Поэтому естественно, что у этих кривых много общего как в свойствах, так и в используемой терминологии.

Фиксированные точки в определении гиперболы (обозначим их F 1 и F 2) называют фокусами гиперболы . Расстояние между ними (обозначим его 2с) называют фокальным расстоянием , а отрезки F 1 M и F 2 M, соединяющие произвольную точку M на гиперболе с ее фокусами, —

фокальными радиусами .

Вид гиперболы полностью определяется фокальным расстоянием |F 1 F 2 | = 2с и значением постоянной величины 2а, равной разности фокальных радиусов, а ее положение на плоскости — положением фокусов F 1 и F 2 .

Из определения гиперболы следует, что она, как и эллипс, симметрична относительно прямой, проходящей через фокусы, а также относительно прямой, которая делит отрезок F 1 F 2 пополам и перпендикулярна ему (рис. 7.7). Первую из этих осей симметрии называют действительной осью гиперболы , а вторую — ее мнимой осью . Постоянную величину а, участвующую в определении гиперболы, называют действительной полуосью гиперболы .

Середина отрезка F 1 F 2 , соединяющего фокусы гиперболы, лежит на пересечении ее осей симметрии и поэтому является центром симметрии гиперболы, который называют просто центром гиперболы .

Для гиперболы действительная ось 2а должна быть не больше, чем фокальное расстояние 2с, так как для треугольника F 1 MF 2 (см. рис.

7.7) справедливо неравенство ||F 1 M| — |F 2 M| | ≤ |F 1 F 2 |. Равенство а = с выполнено только для тех точек M, которые лежат на действительной оси симметрии гиперболы вне интервала F 1 F 2 . Отбрасывая этот вырожденный случай, далее будем предполагать, что а

Уравнение гиперболы . Рассмотрим на плоскости некоторую гиперболу с фокусами в точках F 1 и F 2 и действительной осью 2а. Пусть 2с — фокальное расстояние, 2c = |F 1 F 2 | > 2а. Согласно замечанию 7.2, гипербола состоит из тех точек M(х; у), для которых | |F 1 M| — — |F 2 M| | = 2а. Выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы центр гиперболы находился в начале координат , а фокусы располагались на оси абсцисс (рис. 7.8). Такую систему координат для рассматриваемой гиперболы называют

канонической , а соответствующие переменные — каноническими .


В канонической системе координат фокусы гиперболы имеют координаты F 1 (c; 0) и F 2 (-с; 0). Используя формулу расстояния между двумя точками, запишем условие ||F 1 M| — |F 2 M|| = 2а в координатах |√((х — с) 2 + у 2) — √((х + с) 2 + у 2)| = 2а, где (x; у) — координаты точки M. Чтобы упростить это уравнение, избавимся от знака модуля: √((х — с) 2 + у 2) — √((х + с) 2 + у 2) = ±2а, перенесем второй радикал в правую часть и возведем в квадрат: (х — с) 2 + у 2 = (х + с) 2 + у 2 ± 4а √((х + с) 2 + у 2) + 4а 2 . После упрощения получим -εх — а = ±√((х + с) 2 + у 2), или

√((х + с) 2 + у 2) = |εх + а| (7.7)

где ε = с/а. Возведем в квадрат вторично и снова приведем подобные члены: (ε 2 — 1)х 2 — у 2 = с 2 — а 2 , или, учитывая равенство ε = с/а и полагая b 2 = c 2 — a 2 ,

x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 1 (7.8)

Величину b > 0 называют мнимой полуосью гиперболы .

Итак, мы установили, что любая точка на гиперболе с фокусами F 1 (с;0) и F 2 (-с; 0) и действительной полуосью а удовлетворяет уравнению (7.8). Но надо также показать, что координаты точек вне гиперболы этому уравнению не удовлетворяют. Для этого мы рассмотрим семейство всех гипербол с данными фокусами F 1 и F 2 . У этого семейства гипербол оси симметрии являются общими. Из геометрических соображений ясно, что каждая точка плоскости (кроме точек, лежащих на действительной оси симметрии вне интервала F1F2, и точек, лежащих на мнимой оси симметрии) принадлежит некоторой гиперболе семейства, причем только одной, так как разность расстояний от точки до фокусов F 1 и F 2 меняется от гиперболы к гиперболе. Пусть координаты точки M(х; у) удовлетворяют уравнению (7.8), а сама точка принадлежит гиперболе семейства с некоторым значением ã действительной полуоси. Тогда, как мы доказали, ее координаты удовлетворяют уравнению Следовательно, система двух уравнений с двумя неизвестными

имеет хотя бы одно решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при ã ≠ а это невозможно. Действительно, исключив, например, x из первого уравнения:

после преобразований получаем уравнение

которое при ã ≠ а не имеет решений, так как . Итак, (7.8) есть уравнение гиперболы с действительной полуосью а > 0 и мнимой полуосью b = √(с 2 — а 2) > 0. Его называют каноническим уравнением гиперболы .

Вид гиперболы. По своему виду гипербола (7.8) заметно отличается от эллипса. Учитывая наличие двух осей симметрии у гиперболы, достаточно построить ту ее часть, которая находится в первой четверти канонической системы координат. В первой четверти, т.е. при x ≥ 0, у ≥ 0, каноническое уравнение гиперболы однозначно разрешается относительно у:

у = b/a √(x 2 — а 2). (7.9)

Исследование этой функции y(x) дает следующие результаты.

Область определения функции — {x: x ≥ а} ив этой области определения она непрерывна как сложная функция, причем в точке x = а она непрерывна справа. Единственным нулем функции является точка x = а.

Найдем производную функции y(x): y»(x) = bx/a√(x 2 — а 2). Отсюда заключаем, что при x > а функция монотонно возрастает. Кроме того, , а это означает, что в точке x = a пересечения графика функции с осью абсцисс существует вертикальная касательная. Функция y(x) имеет вторую производную y» = -ab(x 2 — а 2) -3/2 при x > а, и эта производная отрицательна. Поэтому график функции является выпуклым вверх, а точек перегиба нет.

Указанная функция имеет наклонную асимптоту, это вытекает из существования двух пределов:


Наклонная асимптота описывается уравнением y = (b/a)x.

Проведенное исследование функции (7.9) позволяет построить ее график (рис. 7.9), который совпадает с частью гиперболы (7. 8), содержащейся в первой четверти.

Так как гипербола симметрична относительно своих осей, вся кривая имеет вид, изображенный на рис. 7.10. Гипербола состоит из двух симметричных ветвей, расположенных по разные

стороны от ее мнимой оси симметрии. Эти ветви не ограничены с обеих сторон, причем прямые у = ±(b/a)x являются одновременно асимптотами и правой и левой ветвей гиперболы.

Оси симметрии гиперболы различаются тем, что действительная пересекает гиперболу, а мнимая, будучи геометрическим местом точек, равноудаленных от фокусов, — не пересекает (поэтому ее и называют мнимой). Две точки пересечения действительной оси симметрии с гиперболой называют вершинами гиперболы (точки A(a; 0) и B(-a; 0) на рис. 7.10).

Построение гиперболы по ее действительной (2a) и мнимой (2b) осям следует начинать с прямоугольника с центром в начале координат и сторонами 2a и 2b, параллельными, соответ-ственно, действительной и мнимой осям симметрии гиперболы (рис. 7.11). Асимптоты гиперболы являются продолжениями диагоналей этого прямоугольника, а вершины гиперболы — точками пересечения сторон прямоугольника с действительной осью симметрии. Отметим, что прямоугольник и его положение на плоскости однозначно определяют форму и положение гиперболы. Отношение b/a сторон прямоугольника определяет степень сжатости гиперболы, но вместо этого параметра обычно используют эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситетом гиперболы называют отношение ее фокального расстояния к действительной оси. Эксцентриситет обозначают через ε. Для гиперболы, описываемой уравнением (7.8), ε = c/a. Отметим, что если

эксцентриситет эллипса может принимать значения из полуинтервала }

фокусное расстояние, уравнение, свойства и эксцентриситет фигуры

О чем статья

Что такое эллипс и фокусное расстояние

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна .

Обозначим фокусы эллипса и . Допустим, что расстояние  = – фокусное расстояние.

Рис. 1

– фокусы .

; ,

– половина расстояния между фокусами;

– большая полуось;

– малая полуось.

Теорема:

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

 Если точка находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении его с горизонтальной осью, . Так как по определению сумма – постоянная величина, то приравнивая получается:

.

Уравнение эллипса

Уравнение элиппса бывает двух видов:

  1. Каноническое уравнение эллипса.
  2. Параметрическое уравнение эллипса.

Сначала рассмотрим каноническое уравнение эллипса:

Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипс описывается уравнением:

Если центр эллипсa смещен в точку с координатами  тогда уравнение:

Чтобы получить каноническое уравнение эллипса, разместим и на оси симметричной к началу координат. Тогда у фокусов будут такие координаты и (см. рис. 2).

Пусть – произвольная точка эллипса. Обозначим через и – расстояние от точки к фокусам. Согласно с определением эллипса:

(1)

Рис. 2

Подставим в (1) , и освободимся от иррациональности, подняв обе части к квадрату, получим:

 (подносим к квадрату обе части): ,

Обозначим: , получаем каноническое уравнение эллипса:

(2)

Отметим, что по известному свойству треугольника (сумма двух сторон  больше третьей) из у нас получается . Так как , тогда , и поэтому .

Для построения эллипса обратим внимание, что если точка принадлежит эллипсу, то есть удовлетворяет уравнение (2), тогда точки тоже удовлетворяют это уравнение: из

.

Точки – расположены симметрично относительно осей координат. Значит, эллипс – фигура, симметричная относительно координатных осей. Поэтому достаточно построить график в первой четверти, а тогда симметрично продолжить его.

Из уравнения (2) находим , для первой четверти .

Если , тогда . Если же , тогда . Точки и , а также симметричные с ними , – вершины эллипса, точка – центр эллипса, = большая ось, – малая ось эллипса.

Если первой четверти, тогда из получается, что при возрастании от к значение падает от к . (рис. 3)

Параметрическое уравнение выглядит так:

Основные свойства эллипса

Рассмотрим основные свойства эллипса, которые необходимы для решения многих задач.

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом  равен углу между касательной и фокальным радиусом .

2. Уравнение касательной к эллипсу в точке с координатами :

.

3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, который соединяет середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда проходит через середину (центр) эллипсa. (При помощи данного свойства можно построить эллипс при помощи циркуля и линейка, а также найти центр эллипса).

4. Эволюта эллипсa – это астероида, которая растянута вдоль короткой оси.

5. Если вписать эллипс с фокусами и у треугольника , тогда выполняется соотношение:

=

Эксцентриситет эллипса

Эксентриситет эллипса – это величина отношения межфокусного расстояния к большей оси и после сокращения на обозначается

Значения эксентриситета характеризует степень “сплющенность” эллипса. Если , тогда – получается круг. Если же , тогда – эллипс превращается в отрезок. В некоторых случаях . Для фокальных радиусов приведём без доказательства такие формулы:

 Рис. 3

Эллипс можно построить механическим способом. Из канонического уравнения нужно найти полуоси и , тогда вычислим – полуфокусное расстояние.

Строим фокусы и на расстоянии один от другого Концы не растянутой нити длиной закрепляем в точках  и . Натягивая остриём карандаша нитку, водим остриём по плоскости таким образом, чтобы нитка скользила по острию. Карандаш при этом опишет полуось. Оттягивая нить в противоположную сторону, начертим вторую половину эллипса.

Примеры решения задач

Пример 1

Задача

Задан эллипс уравнением и точки .  Необходимо:

  1. убедиться, что точки и лежат на эллипсе;
  2. найти полуоси эллипса и координаты его фокусов;
  3. найти расстояние от точки к фокусам;
  4. убедиться, что сумма этих расстояний равна длине большой оси;
  5. найти эксентриситет эллипса.

Решение

1. Подставим координаты точки в левую часть уравнения эллипса:

– точка лежит на эллипсе. Аналогично для :

точка лежит на эллипсе.

2. С канонического и данного уравнения эллипса выходит: Из равенства получается:

– полуфокусное расстояние. Координаты фокусов и .

3.  Найдём фокальные радиусы точки :

4. Найдём сумму , что отвечает определению эллипса.

5.  Эксцентриситет находится по формуле .

Пример 2

Задача

Найти оси, вершины и фокусы эллипса

Решение

Сведём обычное уравнение к каноническому:

, . Вершины эллипса в точках , , , . Строим вершины на координатных осях  и соединяем плавной линией (см. рис. 2). Так как в данном случае больше, чем , то эллипс, который вытянут вдоль оси , находим полуфокусное расстояние .

Фокусы в точках и . (см. рис. 3)

Рис. 4

 

Пример 3

Найти оси, вершины и фокусы эллипса или . Построить эллипс.

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (2), у нас получается:

, . Откуда находим оси эллипса: , и координаты вершин: , , , . Дальше из формулы:

. Значит, фокусами эллипса есть точки: и . Для построения эллипса отложим на осях и вершины соответственно  соединим их плавной линией, (см. задачу 1).

Замечание! Если в каноническом уравнении большей полуосью будет , тогда фокусы эллипса будут расположены на оси и тогда .

Фокусное расстояние глаза. Какое же оно? / Хабр

Перед началом статьи обращаюсь к маленьким фотографам — запасайтесь огнетушителями.
Поехали!

В этой статье я постараюсь обойтись без аналогий глаза с фотоаппаратом и мозга с компьютером. Почему?
С самых первых попыток изучения мозга человеком люди искали аналогии для облегчения понимания/объяснения его работы. Для каждой эпохи были свои примеры — человек сравнивал мозг с самым сложным устройством своего времени:
— паровые машины,
— ламповая техника,
— сегодня это компьютеры,
— в будущем…
Обратимся за материалом к учебникам по физиологии, дабы избежать ненужных заблуждений.

Глаз как оптическая система



На этом рисунке добавил пояснения для удобства.

Начнём с руководства по офтальмологии.
Суммарная преломляющая сила всей оптической проводящей системы глаза называется физической рефракцией.
Диоптрии всех оптических сред глазного яблока:
— роговица ~ 43 дптр,
— передняя камера ~ 3 дптр,
— хрусталик ~ 19-33 дптр,
— стекловидное тело ~ 6 дптр.
Передняя камера заполнена водянистой влагой — жидкостью по оптическим свойствам близкой к воде. (Ремизов А.Н. «Медицинская и биологическая физика» с.384)
Необходимо понимать, что первые три среды являются собирающими свет, а стекловидное тело рассеивает его, поэтому при расчёте мы отнимаем это значение.

Сила преломления рассчитывается в диоптриях по простой формуле из геометрической оптики:
Д=Др+Дп.к+Дхр-Дст.т.= 43+3+19-6=59 дптр

Значение хрусталика в этом расчёте принято 19 дптр, так как оно соответствует его рефракции в расслабленном состоянии, когда мы смотрим в даль.

Дальше переводим диоптрии в миллиметры:
F=1/Д=1/59=0,0169 м=17 мм.

Вывод: фокусное расстояние глаза человека ~17 мм.

На этапе изучения оптических свойств глаза мы имеем значение ~17 мм.
Цитата — «Возьмем случай, где средняя физическая рефракция (60,0D) в глазном яблоке с передне-задним размером средней величины (23 мм). Нетрудно подсчитать, что при толщине роговицы около 1 мм, глубине передней камеры около 3 мм и отрезке от переднего полюса хрусталика до узловой точки 2 мм, от последней до сетчатки остается как раз 17 мм, что и обеспечит фокусировку параллельных лучей в центральной ямке желтого пятна, так как совпадает с главным фокусным расстоянием.»

С.А.Рухлова «Основы офтальмологии» 2006 г.

Но, думаю, кто-то возразит — фокусное расстояние должно быть около 50мм!

Почему должно и почему некоторым так кажется? Для ответа на этот вопрос мы двинемся дальше — в зрительную кору.

Зрительная кора

Дэвид Хьюбел и Торстен Визель в своих знаменитых работах по физиологии зрения установили, что путь сетчатка->ЛКТ->первичная зрительная кора имеет топографическую организацию.
Это говорит нам о том, что порядок, в котором волокна зрительного нерва выходят из сетчатки сохраняется и в коре V1.
А визуализировать это утверждение смог Р. Тутелл. Для этого он взял макака, нашпиговал его транквилизаторами и в течение 45 минут показывал мишень с тремя радиальными кружками. Обезьян смотрел на рисунок только одним глазом. Перед всей этой затеей животному сделали инъекцию радиоактивной 2-дезоксиглюкозы.
Так как нейроны питаются исключительно глюкозой, то можно легко отследить самые активные клетки — они потребляют больше всего сахара.
После этого первичную зрительную кору макаки растянули, заморозили и проявили радиоактивные метки.
Результат на рисунке ниже.

Самый маленький кружок в центре мишени на топографической проекции в коре занимает площадь совсем немного меньше, чем площадь внешнего круга. У человека этот эффект ещё более выражен — центральная часть поля зрения проецируется на бОльшие площади в коре.
Для облегчения понимания был создан такой рисунок:

Здесь прекрасно видно, как увеличивается изображение с центра сетчатки.
Сделаю ударение на том, что это не оптическое, а кортикальное увеличение.

Подведём итог:
— фокусное расстояние ~17 мм,
— охват поля зрения одного глаза по горизонтали 140 – 160˚,
— изображение с центральной части сетчатки создаёт в коре ощущение(феномен) увеличенной картинки, хотя оптически проекция равномерная.

UPD:

И всё же, для успокоения тех, у кого подгорает от 17 мм — выше была дана цифра фокусного расстояния для ВСЕГО глаза и для ВСЕГО поля зрения.
Чёткое зрение у нас только в центральной части сетчатки, которая называется Fovea. Угловое разрешение этой части сетчатки 1˚40′. Когда мы смотрим на мир вокруг(читаем текст, разглядываем пейзаж), то практически всегда наше внимание находится в этой маленькой точке с угловым разрешением около 1 градуса. Да, сознательно мы можем сместить внимание хоть на край сетчатки — там, где картинка совсем нечёткая. Но расширить зону внимания невозможно — такова физиология зрительной коры и феноменология построения той картинки, которую мы видим в итоге. И исходя из этого зрительного опыта создаётся впечатление о более узком поле зрения(длинном фокусном расстоянии), чем есть на самом деле.

Литература:
В.В.Вит «Строение зрительной системы человека» 2003 г.
Е.А.Егоров «Офтальмология» 2010 г.
С.А.Рухлова «Основы офтальмологии» 2006 г.
Новохатский А.Г. «Клиническая периметрия», 1973 г.
Дэвид Хьюбел — «Глаз, мозг, зрение»
Стивен Палмер — «От фотонов к феноменологии»
Баарс Б., Гейдж Н. — «Мозг, познание, разум»
Джон Николлс, А. Мартин, Б. Валлас, П. Фукс — «От нейрона к мозгу»
Майкл Газзанига — «Кто за главного?»

Ссылки:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S089662730700774X
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/books/NBK10944/
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5446894/
https://books. google.com/books?id=_yYrIBT42BkC&pg=PA414

Объяснение фокусного расстояния телескопа

: почему это важно?

Последнее обновление: 11 июня 2020 г.

Фокусное расстояние — это один из немногих важных параметров телескопа, который может сильно повлиять на ваши визуальные впечатления и качество изображения, которое вы увидите через окуляр. Технические термины могут поначалу пугать любого, кто плохо знаком с наблюдением за звездами, но важно понимать влияние фокусного расстояния на характеристики телескопа. Это позволит вам сделать более осознанный выбор при покупке или обновлении телескопа.

Что означает фокусное расстояние?

Телескоп работает следующим образом: свет собирается через апертуру телескопа  и затем передается к фокальной точке (фокусировщику), где он фокусируется, чтобы вы могли видеть через окуляр.

Фокусное расстояние — это, по существу, расстояние (в миллиметрах), которое свет проходит внутри телескопа от его точки входа (апертуры) до точки выхода (фокусера, куда вы помещаете окуляр или цифровую зеркальную камеру, также называемого изображением с основным фокусом) .

В рефракторе или телескопе-рефлекторе фокусное расстояние начинается от апертуры (главного зеркала или объектива) и заканчивается в фокусере, где собираются световые лучи. Как правило, глядя на телескоп, можно с уверенностью предположить, что длинная трубка означает большое фокусное расстояние, а короткая труба означает более короткое фокусное расстояние.

Однако телескопы некоторых типов, такие как телескоп Шмидта-Кассегрена, имеют совершенно другую настройку оптики и оснащены вторичными зеркалами, от которых отражается свет, прежде чем попасть в фокусер. Это означает, что у них гораздо большее фокусное расстояние, даже несмотря на то, что их труба выглядит намного меньше, чем у ньютоновского телескопа.