Как определить размер матрицы: Как найти размерность матрицы

Содержание

Как найти размерность матрицы

Матрица записывается в виде прямоугольной таблицы, состоящей из некоторого количества строк и столбцов, на пересечении которых располагаются элементы матрицы. Основное математическое применение матриц – решение систем линейных уравнений.

Число столбцов и строк задают размерность матрицы. К примеру, таблица размерностью 5×6 имеет 5 строк и 6 столбцов. В общем случае, размерность матрицы записывается в виде m×n, где число m указывает на количество строк, n – столбцов.

Размерность матрицы важно учитывать при совершении алгебраических операций. Например, складывать можно матрицы только одного и того же размера. Операция сложения матриц с разной размерностью не определена.

Если массив имеет размерность m×n, его можно умножить на массив n×l. Число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй, иначе операция умножения не будет определена.

Размерность матрицы указывает на число уравнений в системе и количество переменных. Число строк совпадает с количеством уравнений, а за каждым столбцом закреплена своя переменная. Решение системы линейных уравнений «записано» в действиях над матрицами. Благодаря матричной системе записи становится возможным решать системы высоких порядков.

Если число строк равно числу столбцов, матрица называется квадратной. В ней можно выделить главную и побочную диагонали. Главная идет от левого верхнего угла к правому нижнему, побочная – от правого верхнего к левому нижнему.

Массивы размерностью m×1 или 1×n являются векторами. Также в виде вектора можно представить любую строку и любой столбец произвольной таблицы. Для таких матриц определены все операции над векторами.

Поменяв в матрице A строки и столбцы местами, можно получить транспонированную матрицу A(Т). Таким образом, при транспонировании размерность m×n перейдет в n×m.

В программировании для прямоугольной таблицы задается два индекса, один из которых пробегает длину всей строки, другой – длину всего столбца. При этом цикл для одного индекса помещен внутрь цикла для другого, за счет чего обеспечивается последовательное прохождение всей размерности матрицы.

Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны aij = bij. Так если и , то A=B, если a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 и a22 = b22.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу

B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы

A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или

Примеры. Найти сумму матриц:

  1. .
  2. — нельзя, т.к. размеры матриц различны.
  3. .

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

  1. .

Примеры.

  1. .
  2. Найти 2A-B, если , .

    .

  3. Найти C=–3A+4B.

    Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c13

, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на матрицу B = (bij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

  1. Пусть

    Найти элементы c12, c23 и c21 матрицы C.

  2. Найти произведение матриц.

    .

  3. .
  4. — нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
  5. Пусть

    Найти АВ и ВА.

  6. Найти АВ и ВА.

    , B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙BB∙A

. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом:

a11a22 – a12a21.

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

  1. .
  2. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

  1. .
  2. .
  3. Решите уравнение..

    .

    (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

    (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

    (x-4)(x-1)=0.

    x1 = 4, x2 = 1.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки «+» и «–» у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Основы высшей математики — Матрицы — Высшая математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Матрицы

К оглавлению…

Матрицей называют прямоугольную таблицу, заполненную числами. Важнейшие характеристики матрицы – число строк и число столбцов. Если у матрицы одинаковое число строк и столбцов, ее называют

квадратной. Обозначают матрицы большими латинскими буквами.

Сами числа называют элементами матрицы и характеризуют их положением в матрице, задавая номер строки и номер столбца и записывая их в виде двойного индекса, причем вначале записывают номер строки, а затем столбца. Например, a14 есть элемент матрицы, стоящий в первой строке и четвертом столбце, a32 стоит в третьей строке и втором столбце.

Главной диагональю квадратной матрицы называют элементы, имеющие одинаковые индексы, то есть те элементы, у которых номер строки совпадает с номером столбца. Побочная диагональ идет «перпендикулярно» главной диагонали.

Особую важность представляют собой так называемые единичные матрицы. Это квадратные матрицы, у которых на главной диагонали стоят 1, а все остальные числа равны 0. Обозначают единичные матрицы E. Матрицы называют равными, если у них равны число строк, число столбцов, и все элементы, имеющие одинаковые индексы, равны. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Обозначается нулевая матрица О.

Простейшие действия с матрицами

1. Умножение матрицы на число. Для этого необходимо умножить каждый элемент матрицы на данное число.

2. Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одинакового размера, то есть имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. При сложении матриц соответствующие их элементы складываются.

3. Транспонирование матрицы. При транспонировании у матрицы строки становятся столбцами и наоборот. Полученная матрица называется транспонированной и обозначается AT. Для транспонирования матриц справедливы следующие свойства:

4. Умножение матриц. Для произведения матриц существуют следующие свойства:

  • Умножать можно матрицы, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
  • В результате получится матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.
  • Умножение матриц некоммутативно. Это значит, что от перестановки местами матриц в произведении результат меняется. Более того, если можно посчитать произведение A∙B, это совсем не означает, что можно посчитать произведение B∙A.
  • Пусть C = A∙B. Для определения элемента матрицы С, стоящего в i-той строке и k-том столбце необходимо взять i-тую строку первой умножаемой матрицы и k-тый столбец второй. Далее поочередно брать элементы этих строки и столбца и умножать их. Берем первый элемент из строки первой матрицы и умножаем на первый элемент столбца второй матрицы. Далее берем второй элемент строки первой матрицы и умножаем на второй элемент столбца второй матрицы и так далее. А потом все эти произведения надо сложить.

Свойства произведения матриц:

Определитель матрицы

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется число, которое обозначается detA, реже |A| или просто Δ, и вычисляется определённым образом. Для матрицы размера 1х1 определителем является сам единственный элемент матрицы. Для матрицы размера 2х2 определитель находят по следующей формуле:

Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Составим квадратную матрицу из элементов, стоящих на пересечении полученных строк и столбцов. Минором матрицы А порядка s называют определитель полученной матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Дополнительным минором к минору порядка s называют определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания данных строк и столбцов.

Алгебраическим дополнением к элементу aik квадратной матрицы А называют дополнительный минор к этому элементу, умноженный на (–1)i+k, где i+k есть сумма номеров строки и столбца элемента aik. Обозначают алгебраическое дополнение Aik.

Вычисление определителя матрицы через алгебраические дополнения

Рассмотрим квадратную матрицу А. Для вычисления ее определителя необходимо выбрать любую ее строку или столбец и найти произведения каждого элемента этой строки или столбца на алгебраическое дополнение к нему. А дальше надо просуммировать все эти произведения.

Когда будете считать алгебраические дополнения, не забывайте про множитель (–1)i+k. Чтобы счет был более простым, выбирайте ту строку или столбец матрицы, который содержит наибольшее число нулей.

Расчет алгебраического дополнения может сводиться к расчету определителя размером более чем 2х2. В этом случае такой расчет также нужно проводить через алгебраические дополнения, и так далее до тех пор, пока алгебраические дополнения, которые нужно будет считать, не станут размером 2х2, после чего воспользоваться формулой выше.

 

Обратная матрица

К оглавлению…

Рассмотрим квадратную матрицу А. Матрица A–1 называется обратной к матрице А, если их произведения равны единичной матрице. Обратная матрица существует только для квадратных матриц. Обратная матрица существует, только если матрица А невырождена, то есть ее определитель не равен нулю. В противном случае обратную матрицу посчитать невозможно. Для построения обратной матрицы необходимо:

  1. Найти определитель матрицы.
  2. Найти алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы.
  3. Построить матрицу из алгебраических дополнений и обязательно транспонировать ее. Часто про транспонирование забывают.
  4. Разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы.

Таким образом, в случае, если матрица А имеет размер 3х3, обратная к ней матрица имеет вид:

 

Матрицы. Вся теория и задачи с решениями или ответами

К оглавлению…

Матрицы

МатрицыПоложительные элементы главной диагонали

546admin

Диагонали выделяют только в том случае, если матрицы квадратные, то есть количество строк равно количеству столбцов. Элементы главной диагонали имеют индексы

Задачи средней сложностиНайти столбец матрицы с максимальной суммой элементов

729admin

Для решения данной задачи необходимо найти сумму элементов каждого столбца матрицы, после чего сравнить между собой суммы. При этом надо запомнить, какому

Задачи средней сложностиМаксимальный элемент среди минимальных элементов столбцов матрицы

292admin

Найти максимальный элемент среди минимальных элементов столбцов матрицы. В одной из переменных будем сохранять минимальный элемент текущего столбца.

МатрицыЗаполнение третьей матрицы по результатам сравнения элементов первых двух

79admin

Две равноразмерные матрицы (например, 4×3) заполняются вводом с клавиатуры. В ячейки третьей матрицы такой же размерности записывать бОльшие элементы

Задачи средней сложностиОбмен значений главной и побочной диагоналей квадратной матрицы

428admin

В квадратной матрице 10×10 обменять значения элементов в каждой строке, расположенные на главной и побочной диагоналях. Диагонали можно выделить лишь

МатрицыСортировка столбцов матрицы по возрастанию элементов первой строки

1.5к.admin

Изменить последовательность столбцов матрицы так, чтобы элементы их первой строки были отсортированы по возрастанию. Например, дана матрица В результате

Задачи средней сложностиЗапись в матрицу результатов побитовых операций

185admin

Заполнить первые две строки двумерного массива 4×8 случайными нулями и единицами. В третью строку записать результат побитовой операции И над числами

Задачи средней сложностиОпределить строки матрицы, в которых число 5 встречается 3 и более раз

175admin

Матрицу 10×20 заполнить случайными числами от 0 до 15. Вывести на экран саму матрицу и номера строк, в которых число 5 встречается три и более раз.

Задачи средней сложностиРазложение целой и дробной частей вещественных чисел по ячейкам матрицы

159admin

Вводятся пять вещественных чисел. Записать в первый столбец матрицы целую часть чисел, во второй — дробную часть, приведенную к пятизначному целому

Задачи средней сложностиНайти максимальные элементы столбцов матрицы

894admin

Найти максимальный элемент каждого столбца матрицы. При поиске наибольших элементов в столбцах внешний цикл должен перебирать столбцы, а внутренний —

Как узнать, какой тип матрицы стоит на ноутбуке?

Для проведения ремонта или покупки новых комплектующих необходимо знать, какая матрица в ноутбуке установлена, и какие именно модели подойдут для замены. Самый простой способ выяснить — разобрать устройство, отсоединить матрицу и прочитать маркировку на ней. Однако самостоятельная разборка ноутбука – непростая и опасная задача, поэтому лучше воспользоваться одним из нескольких иных способов. Как узнать, какая матрица в ноутбуке?

Способы определения типа матрицы

Первый и самый простой вариант – найти нужную информацию в документации на ноутбук, если она сохранилась. Там будет указано все об основных параметрах экрана: разрешение, диагональ дисплея, тип подсветки, а также прочие особенности. Для замены необходимо подобрать матрицу соответствующего типа и размера.

Однако, если устройство используется давно, определить тип матрицы ноутбука из документов чаще всего не представляется возможным. В этом случае можно воспользоваться одним из нескольких дополнительных способов:

Основные типы матриц ноутбуков

Чтобы разобраться, какая матрица стоит на ноутбуке, важно суметь прочитать маркировку производителя. Не всегда есть необходимости менять матрицу на оригинальную деталь того же изготовителя, чаще всего можно подобрать совместимый аналог, обладающий теми же размерами и техническими параметрами.

Самые распространенные современные типы матриц обозначаются следующими аббревиатурами:

  • TN+Film – наиболее распространенный вариант, именно такие матрицы устанавливаются на ноутбуках бюджетной категории. Они отличаются небольшими углами обзора, а если на экране появляются битые пиксели, они выглядят как яркие точки.
  • Матрицы MVA обладают большим углом обзора и улучшенной цветопередачей, а также повышенной контрастностью изображения. Характерный признак – битый пиксель выглядит как черная точка.
  • Матрицы IPS. Они имеют угол обзора в 180 градусов, при этом изображение практически не искажается. Битые пиксели выглядят черными точками, исправная матрица отличается высокой контрастностью изображения.

Во всех случаях лучший ответ на вопрос, как определить модель матрицы ноутбука – обратиться в сервисный центр. Это одна из наиболее дорогостоящих деталей, поэтому при выборе необходимо предварительно разобраться во всех параметрах.


Матрицы размерность — Справочник химика 21

    Рассмотрим некоторые свойства и связи в матрицах Г и В. Напомним, что рангом матрицы называется максимальное Число линейно-независимых векторов — строк матрицы, и численно ранг матрицы равен порядку ее наивысшего ненулевого минора. Матрица размерности (В х X М) имеет полный ранг, если ее ранг совпадает с минимальным из чисел В, М, т. е. если выполняется условие rg Г = ш п(Д, М), Важнейшее свойство такой матрицы заключается в том, что она сохраняет свой ранг при любых достаточно малых возмущениях, а ее нормальное решение имеет непрерывный характер. Ранг стехиометрической матрицы Г никогда не может быть выше М — I), где [c.130]
    Техника нахождения элементов матрицы Г достаточно проста [12, 63]. В уравнении (3.28) разобьем атомную матрицу В по столбцам на две матрицы В и В так, чтобы их размерность была соответственно (ТУ X М— )] и т -1) X I]. Для дальнейших преобразований удобно представить для матрицы В условие сохранения в виде = 0. В свою очередь В х можно разбить еще на две матрицы и перегруппировать столбцы так, чтобы получить неособенную квадратную матрицу размерности [(ТУ — —I) X М — I)]. Тогда размерность оставшейся матрицы есть [(Л/ — I) X ]. Аналогично для матрицы получим две матрицы размерностей [(ЛГ — /) X П и [/ х Л соответственно. В матричной записи имеем [c.132]

    Показатели степеней у размерностей переменных объединяются в матрицу размерностей  [c.88]

    Последовательный подход. Вначале рассмотрим эту проблему применительно к последовательному подходу. Здесь уменьшение размерности задачи расчета ХТС достигается методами структурного анализа [47]. При этом решаются следующие задачи 1) в схеме выделяются комплексы — совокупности блоков охваченных обратными связями [3, с. 33] 2) определение внутри каждого комплекса оптимальной с точки зрения какого-либо критерия совокупности итерируемых переменных (II, 5). Обычно совокупность итерируемых переменных (II, 5) выбирается из условия, чтобы их суммарная размерность была минимальной. Положительные и отрицательные стороны такого выбора переменных (II, 5) обсуждаются в работе [3, с. 85]. Отметим здесь, что применительно к квазиньютоновским методам это более или менее оправдано, поскольку, как мы уже отмечали, можно считать при применении этих методов, что число итераций растет пропорционально размерности системы нелинейных уравнений. Уменьшаются требования и к размеру памяти, поскольку приходится хранить одну или две матрицы размерности fix/г. При использовании ориентированного на уравнения подхода так же, как и в предыдущем случае определяются комплексы, а внутри комплексов — оптимальные совокупности разрываемых потоков [48 17 18, с. 258]. [c.61]

    Матрица, содержащая одну строку, т. е. размерности 1 X и, называется вектор-строкой, а матрица размерности и X 1, т. е. состоящая из одного столбца, называется вектор-столбцом. [c.229]

    Отличительной особенностью большинства соотношений, используемых для расчета коэффициентов активности многокомпонентной смеси, является то, что они являются обобщением соответствующих соотношений для бинарных смесей. Поэтому коэффициенты этих соотношений определяются по экспериментальным равновесным данным соответствующих бинарных пар. Очевидно, для системы, содержащей к компонентов, коэффициенты будут представляться в простейшем случае матрицей размерности к X к. [c.410]

    Для решения покомпонентного материального баланса применяются те же алгоритмы, что и при решении задачи линеаризации, однако здесь элементы являются скалярными величинами, а не матрицами размерностью (2С + I) х (2С + 1). [c.262]

    Базисной матрицей называется невырожденная матрица размерности т хт, образованная из т столбцов матрицы ограничений А. [c.183]


    Пусть (/ = 1, 2 г = 1,. . га) есть -обратные матрицы размерности I X га, удовлетворяющие соотношениям  [c.67]

    Пусть Nq = щ,. . Пд) — матрица размерности (п X д), столбцы которой образованы векторами и, (г = 1,. . д ). Примем, что ранг ее равен а. Алгоритм движения надо строить таким образом, чтобы поисковые направления р1 лежали внутри линейного многообразия Ьд. Очевидно, что этого можно достигнуть, образуя направления по формуле [c.192]

    Здесь С = Фп, т+1-Ф , т+1 — матрица размерности (т + 1 X X т + 1) 5 = II Я,. . Я — матрица размерности (т + 1 X 1) а = 0,. . — матрица размерности (т + 1 X 1). [c.39]

    Таким образом, в представлении (XI,2) векторы г/( ) и являются клеточными матрицами размерностей соответственно и х1 и т х1. Как обычно, уравнения блоков должны быть дополнены уравнениями связей [c.230]

    Пусть I — матрица размерности (2/7 Хт), столбцы которой являются базисом подпространства V. Тогда нужно вычислять матрицу V I, т.е. применять оператор V к /п векторам. [c.84]

    Всиомним теперь, что часть компонент вектора 6 — заданные величины, равные перемещениям на и перенесем произведения их на соответствующие элементы матрицы К в правую часть системы уравнений (4.204) вспомним также, что уравнения, соответствующие узлам на незаконны и вычеркнем их из системы (4.203). В результате этих преобразований получим вторую систему уравнений с матрицей размерности 2Х (Л/в—М в), где Мин — количество лежащих на 8и вершин. Обозначим эту матрицу через [ ], она получается вычеркиванием строк и столбцов матрицы [X] с номерами 21—1 и 21, где I пробегает номера вершин на 5 (заметим, что программная реализация этого процесса достаточно проста). [c.189]

    Матрица [К], называемая глобальной матрицей жесткости, или просто матрицей жесткости системы, получается сложением локальных матриц жесткости [Я ] по следующему правилу сначала к нулевой матрице размерности МХМ добавляется матрица, в левом верхнем углу которой стоит локальная матрица жесткости 1-го элемента, к получившейся матрице добавляется матрица размерности NXN, ненулевые элементы которой расположены на пересечении 2-го и 3-го столбцов и 2-й и 3-й строк и равны соответствующим элементам локальной матрицы жесткости для [c.181]

    Для группы Сав существует только четыре разных набора матриц размерности 1 X 1, т. е. четыре НП типа Л а, В (табл. 19). [c.114]

    Таким образом, матрицы представления Г суть унитарные матрицы. Можно доказать, что все возможные представления каждой группы О (в том числе и не обязательно группы точечной симметрии) эквивалентны ее унитарным представлениям, другими словами, при подходящем выборе базиса матрицы любого представления переходят в унитарные матрицы, а потому при рассмотрении представлений достаточно ограничиться лишь унитарными представлениями. Среди всех унитарных представлений всегда есть единичное, или полносимметричное, в котором каждому элементу группы отвечает одна и та же матрица размерности 1 х 1, а именно единица. [c.201]

    Отсюда следует, что любой объект gi е Охарактеризуется матрицей размерности [т X 1]. Каждый элемент этой матрицы принимает значение из отрезка [О, 1]. Примером таких объектов могут служить отдельные изделия выпускаемой продукции, а свойствами — характеристики качества изделий. [c.25]

    I — единичная матрица размерности 3 х 3), согласно соотношению [c.346]

    Представлением группы называется гомоморфное ютображение данной группы на группу квадратных матриц. Размерность матриц называется размерностью представления. [c.20]

    Допустим, что матрицы компенсации можно представить в виде В( = (Е( где Et — единичная матрица размерности/и fXWf. Разо- [c.81]

    Следовательно, проатранство решений (2) представляет собой матрицу размерностью 6 х 4. [c.143]

    В результате полного цикла моделирования за время Т будет получена симуляционная матрица размерности (N 5), где N-общее число повторов, возникших с самого качала работы модели. [c.69]


Объекты и типы данных R: матрицы

Матрица (matrix) представляет собой двумерную совокупность числовых, логических или текстовых величин. В свою очередь массив (array) – это совокупность некоторых однотипных элементов, обладающая размерностью больше двух. 

В R матрицу можно легко создать при помощи одноименной функции matrix(). В состав основных аргументов этой функции входят преобразуемый в матрицу вектор, а также параметры, определяющие количество строк (nrow – от number of rows) и столбцов (ncol – от number of columns). Так, для создания матрицы my.mat из четырех строк и четырех столбцов, содержащей совокупность чисел от 1 до 16, необходимо выполнить следующую команду:

my.mat <- matrix(seq(1, 16), nrow = 4, ncol = 4)
my.mat
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    5    9   13
[2,]    2    6   10   14
[3,]    3    7   11   15
[4,]    4    8   12   16

Обратите внимание на то, что по умолчанию заполнение матрицы происходит по столбцам, т.е. первые четыре значения входят в первый столбец, следующие четыре значения – во второй столбец, и т.д. Такой порядок заполнения можно изменить, придав специальному аргументу byrow (от by rowпо строкам) значение TRUE:


my.mat <- matrix(seq(1, 16), nrow = 4, ncol = 4, byrow = TRUE)
my.mat
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    2    3    4
[2,]    5    6    7    8
[3,]    9   10   11   12
[4,]   13   14   15   16

В качестве заголовков строк и столбцов создаваемой матрицы автоматически выводятся соответствующие индексные номера (строки: [1,], [2,], и т.д.; столбцы: [,1], [,2], и т.д.). Для придания пользовательских заголовков строкам и столбцам матриц используют функции rownames() и colnames() соответственно. Например, для обозначения строк матрицы my.mat буквами A, B, C и D необходимо выполнить следующее:

rownames(my.mat) <- c("A", "B", "C", "D")
my.mat
  [,1] [,2] [,3] [,4]
A    1    2    3    4
B    5    6    7    8
C    9   10   11   12
D   13   14   15   16

В матрице my.mat имеется 16 значений, которые как раз вмещаются в имеющиеся четыре строки и четыре столбца. Но что произойдет, если, например, попытаться вместить вектор из 12 чисел в матрицу того же размера? В подобных случаях R заполняет недостающие значения за счет «зацикливания» (recycling) короткого вектора. Вот как это выглядит на примере:


my.mat2 <- matrix(seq(1, 12), nrow = 4, ncol = 4, byrow = TRUE)
my.mat2
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    2    3    4
[2,]    5    6    7    8
[3,]    9   10   11   12
[4,]    1    2    3    4

Как видим, для заполнения ячеек последней строки матрицы my.mat2 программа снова использовала числа 1, 2, 3, и 4.

Альтернативный способ создания матриц заключается в применении функции dim() (от dimensionразмерность). Так, матрицу my.mat мы могли бы сформировать следующим образом:

my.mat <- 1:16
# Задаем размерность 4x4 вектору my.mat:
dim(my.mat) <- c(4, 4)
my.mat
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    5    9   13
[2,]    2    6   10   14
[3,]    3    7   11   15
[4,]    4    8   12   16
# Функция dim() очень полезна. Она позволяет проверить размерность
# уже имеющейся матрицы (или таблицы данных), например:
dim(my.mat)
[1] 4 4

Матрицу можно собрать также из нескольких векторов, используя функции cbind() (от сolum и bindстолбец и связывать) или rbind() (от row и bindстрока и связывать):

# Cоздадим четыре вектора одинаковой длины:
a <- c(1, 2, 3, 4)
b <- c(5, 6, 7, 8)
d <- c(9, 10, 11, 12)
e <- c(13, 14, 15, 16)
# Объединим этим векторы при помощи функции cbind():
cbind(a, b, d, e)
     a b  d  e
[1,] 1 5  9 13
[2,] 2 6 10 14
[3,] 3 7 11 15
[4,] 4 8 12 16
# Объединим те же векторы при помощи функции rbind():
rbind(a, b, d, e)
  [,1] [,2] [,3] [,4]
a    1    2    3    4
b    5    6    7    8
d    9   10   11   12
e   13   14   15   16

Вспомним, что матрицы и массивы – это те же векторы, но с размерностью 2 или выше. Поэтому практически все векторные операции (см. здесь) одинаково применимы в отношении матриц и массивов. Так, путем индексирования мы можем извлекать из матриц необходимые элементы и далее подвергать их требуемым преобразованиям. Рассмотрим лишь несколько примеров:
# Извлечем элемент матрицы my.mat, расположенный на
# пересечении 2-й строки и 3-го столбца:
my.mat[2, 3]
[1] 7
# Извлечем из матрицы все элементы, находящиеся в 4-м столбце
# (для этого номера строк перед запятой можно просто не указывать):
my.mat[, 4]
[1] 4  8 12 16
# Извлечем из матрицы все элементы, находящиеся в 1-й строке
# (в этом случае нет необходимости указывать номера столбцов):
my.mat[1, ]
[1] 1 2 3 4
# Перемножим 1-й и 4-й столбцы матрицы (поэлементно):
my.mat[, 1]*my.mat[, 4]
[1] 4 40 108 208

Отметим, наконец, что при необходимости матрицу можно транспонировать (т.е. поменять строки и столбцы местами) при помощи функции t() (от transpose):

t(my.mat)
     A B  C  D
[1,] 1 5  9 13
[2,] 2 6 10 14
[3,] 3 7 11 15
[4,] 4 8 12 16


Создано при помощи Pretty R на сайте inside-R.org

Что такое матрица?

Этот урок знакомит с матрицей — прямоугольным массивом, лежащим в основе матричная алгебра. Матричная алгебра довольно часто используется в расширенной статистике, в основном потому что он дает два преимущества.

  • Эффективные методы манипулирования наборами данных и решения наборов уравнения.

Определение матрицы

Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, расположенных в строки и столбцы. Приведенный ниже массив чисел является примером матрицы.

Количество строк и столбцов матрицы называется ее размер или его заказать . Условно, строки указываются первыми; и столбцы, вторые. Таким образом, можно сказать, что размер (или порядок) вышеуказанной матрицы составляет 3 x 4, что означает, что она имеет 3 ряда и 4 столбца.

Числа, которые появляются в строках и столбцах матрицы, называются элементов матрицы. В приведенной выше матрице элемент в первом столбце первой строки 21; элемент во втором столбец первой строки — 62; и так далее.

Матричная нотация

Статистики используют символы для обозначения матричных элементов и матриц.

  • Матричные элементы. Рассмотрим матрицу ниже, в котором элементы матрицы полностью представлены символами.

    По соглашению первый нижний индекс относится к номер строки; а второй индекс — к номеру столбца. Таким образом, первый элемент в первой строке представлен А 1 1 . Второй элемент в первой строке — в лице A 1 2 .И так далее, пока мы не дойдем до четвертого элемента во второй строке, которая представлена А 2 4 .
  • Матрицы. Есть несколько способов представить матрица символически. Простейший — использовать жирный шрифт, например A , B , или C . Таким образом, A может представлять собой Матрица 2 x 4, как показано ниже.

    Другой подход для представления матрицы A :

    A = [ A i j ], где i = 1, 2 и j = 1, 2, 3, 4

    Это обозначение означает, что A — это матрица с 2 строками и 4 колонки.Фактические элементы массива не отображаются; они есть представлен символом A i j .

При необходимости будут введены другие матричные обозначения. Для описания всех матричных обозначений, используемых в этом руководстве, увидеть Матричные обозначения Приложение.

Матричное равенство

Чтобы понять матричную алгебру, нам нужно понять матрицу равенство. Две матрицы равны, если все три из следующих условий выполнены:

  • Каждая матрица имеет одинаковое количество строк.
  • Каждая матрица имеет одинаковое количество столбцов.
  • Соответствующие элементы в каждой матрице равны.

Рассмотрим три матрицы, показанные ниже.


Если A = B , мы знаем, что x = 222 и у = 333; поскольку соответствующие элементы равных матриц также равны. А мы знаем, что матрица C не равно A или B , потому что C имеет больше столбцов, чем A или В .

Проверьте свое понимание

Задача 1

Приведенные ниже обозначения описывают две матрицы — матрицу A и матрица B .

A = [ A i j ]

, где i = 1, 2, 3 и j = 1, 2

Какие из следующих утверждений о A и B верны?

I. Матрица A состоит из 5 элементов.
II. Размер матрицы B составляет 4 x 2.
III. В матрице B элемент B 2 1 является равно 222.

(A) Только I
(B) Только II
(C) Только III
(D) Все вышеперечисленное
(E) Ничего из вышеперечисленного

Решение

Правильный ответ: (E).

  • Матрица У 3 строки и 2 столбца; то есть, 3 ряда по 2 элемента в каждом. Это в сумме составляет 6 элементов, всего — нет 5.
  • Размер матрицы B равно 2 х 4, а не 4 х 2.То есть матрица B имеет 2 строки и 4 столбца, а не 4 строки и 2 столбца.
  • И, наконец, элемент B 2 1 относится к первый элемент в вторая строка матрицы B , которая равна 555, а не 222.

Операции с матрицами

Что касается линейной алгебры, две наиболее важные операции с векторами — это сложение векторов [сложение двух (или более) векторы] и скалярное умножение (умножение вектора на скаляр).Аналогичные операции определены для матриц.

Сложение матрицы . Если A и B являются матрицами одного и того же размера , то они могут быть добавлены. (Это похоже на ограничение на добавление векторов, а именно, можно добавить только векторы из того же пространства R n ; вы не можете добавить, например, 2-вектор к 3-вектору.) Если A = [ a ij ] и B = [ b ij ] являются обеими матрицами m x n , затем их сумма, C = A + B , также является матрицей m x n , и ее элементы задаются формулой

Таким образом, чтобы найти записи A + B , просто добавьте соответствующие записи A и B .

Пример 1 : Рассмотрим следующие матрицы:

Какие два можно добавить? Какая у них сумма?

Поскольку можно складывать только матрицы одного размера, определяется только сумма F + H ( G не может быть добавлен ни к F , ни к H ). Сумма F и H составляет

Поскольку сложение действительных чисел коммутативно, отсюда следует, что сложение матриц (если оно определено) также коммутативно; то есть для любых матриц A, и B одинакового размера, A + B всегда будет равно B + A .

Пример 2 : Если какая-либо матрица A добавлена ​​к нулевой матрице того же размера, результат явно будет равен A :

Это матричный аналог утверждения a + 0 = 0 + a = a , который выражает тот факт, что число 0 является аддитивной единицей в наборе действительных чисел.

Пример 3 : Найдите матрицу B такую, что A + B = C , где

Если

, то матричное уравнение A + B = C становится

Поскольку две матрицы равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы равны, из этого последнего уравнения следует

Следовательно,

Этот пример мотивирует определение вычитания матрицы : Если A и B являются матрицами одинакового размера, то элементы A B находятся простым вычитанием элементов B из соответствующие записи A .Поскольку уравнение A + B = C эквивалентно B = C A , использование вычитания матрицы выше даст тот же результат:

Скалярное умножение . Матрицу можно умножить на скаляр следующим образом. Если A = [ a ij ] — матрица, а k — скаляр, то

То есть матрица kA получается путем умножения каждой записи A на k .

Пример 4 : Если

, то скалярное кратное 2 A получается путем умножения каждой записи A на 2:

Пример 5 : Если A и B — матрицы одного размера, то A B = A + (- B ), где — B — скалярное кратное (-1) В . Если

, затем

Это определение вычитания матрицы согласуется с определением, проиллюстрированным в Примере 8.

Пример 6 : Если

, затем

Умножение матриц . Безусловно, наиболее важной операцией, связанной с матрицами, является умножение матриц , , процесс умножения одной матрицы на другую. Первый шаг в определении умножения матриц — вспомнить определение скалярного произведения двух векторов. Пусть r и c будут двумя векторами n ‐. Записывая r как матрицу-строку 1 x n и c как матрицу столбца n x 1, точечный продукт r и c составляет

Обратите внимание, что для определения скалярного произведения r и c оба должны содержать одинаковое количество записей.Кроме того, здесь важен порядок, в котором эти матрицы записаны в этом продукте: вектор-строка идет первым, вектор-столбец — вторым.

Теперь последний шаг: как умножаются две общие матрицы? Во-первых, чтобы сформировать продукт AB, количество столбцов A должно соответствовать количеству строк B ; если это условие не выполняется, то продукт AB не определен. Этот критерий следует из указанного выше ограничения для умножения матрицы строк r на матрицу столбцов c , а именно, что количество записей в r должно соответствовать количеству записей в c .Если A составляет м x n и B составляет n x p , то продукт AB определен, и размер матрицы продукта AB будет м x с. . Следующая диаграмма помогает определить, определен ли матричный продукт, и если да, то размеры продукта:

Представление матрицы m x n A как составной из векторов-строк r 1 , r 2 ,…, r m из R n и матрица n x p B , составленная из векторов-столбцов c 1 , c 2 ,…, c p из R n ,

и

правило вычисления элементов матричного произведения AB : r i · c j = ( AB ) ij , то есть

Пример 7 : Учитывая две матрицы

определяет, какой матричный продукт, AB или BA , определен, и оценивает его.

Поскольку A равно 2 x 3, а B равно 3 x 4, определяется произведение AB в таком порядке, и размер матрицы продукта AB будет 2 x 4. Произведение BA — это , а не , поскольку первый фактор ( B ) имеет 4 столбца, а второй коэффициент ( A ) имеет только 2 строки. Количество столбцов первой матрицы должно соответствовать количеству строк второй матрицы, чтобы их произведение было определено.

Произведение скалярного произведения строки 1 в строке A и столбца 1 в строке B дает запись (1, 1) в строке AB . С

запись (1, 1) в AB — 1:

Скалярное произведение строки 1 в A и столбца 2 в B дает запись (1, 2) в AB ,

и скалярное произведение строки 1 в A и столбца 3 в B дает запись (1, 3) в AB :

Первая строка произведения завершается скалярным произведением строки 1 в A и столбца 4 в B , что дает запись (1, 4) в AB :

Теперь для второй строки AB : скалярное произведение строки 2 в A и столбца 1 в B дает запись (2, 1) в AB ,

и скалярное произведение строки 2 в A и столбца 2 в B дает запись (2, 2) в AB :

Наконец, взяв скалярное произведение строки 2 в A со столбцами 3 и 4 в B дает (соответственно) записи (2, 3) и (2, 4) в AB :

Следовательно,

Пример 8 : Если

и

вычисляет (3, 5) запись продукта CD .

Во-первых, обратите внимание, что, поскольку C составляет 4 x 5, а D составляет 5 x 6, продукт CD действительно определен, и его размер равен 4 x 6. Однако нет необходимости вычислять все двадцать‐ четыре записи CD , если требуется только одна конкретная запись. Запись (3, 5) в CD является скалярным произведением строки 3 в C и столбца 5 в D :

Пример 9 : Если

убедитесь, что

но

В частности, обратите внимание, что хотя оба продукта AB и BA определены, AB не равно BA ; действительно, они даже не одного размера!

Предыдущий пример иллюстрирует, возможно, самое важное различие между умножением скаляров и умножением матриц.Для действительных чисел a и b всегда выполняется уравнение ab = ba , то есть умножение действительных чисел коммутативно; порядок, в котором написаны коэффициенты, не имеет значения. Однако категорически неверно, что умножение матриц коммутативно. Для матриц A, и B , приведенных в Примере 9, были определены оба продукта AB и BA , но они определенно не были идентичными. Фактически, матрица AB была 2 x 2, а матрица BA была 3 x 3.Вот еще одна иллюстрация некоммутативности умножения матриц: Рассмотрим матрицы

Поскольку C составляет 3 x 2, а D — 2 x 2, продукт CD определен, его размер 3 x 2, и

Продукт DC , однако, не определен, поскольку количество столбцов D (которое равно 2) не равно количеству строк C (которое равно 3). Следовательно, CD ≠ DC , поскольку DC даже не существует.

Из-за чувствительности к порядку записи коэффициентов обычно не говорят просто: «Умножьте матрицы A, и B, ». Обычно важно указать, какая матрица идет первой, а какая — второй в продукте. По этой причине выражение «Умножить A справа на B » означает образовать произведение AB , а «Умножить A слева на B » означает образовать произведение BA .

Пример 10 : Если

и x — это вектор (−2, 3), покажите, как A можно умножить справа на x , и вычислите произведение.

Поскольку A равно 2 x 2, чтобы умножить A справа на матрицу, эта матрица должна иметь 2 строки. Следовательно, если x записано как 2 x 1 столбец , матрица

, то можно вычислить произведение A x , и в результате получится еще одна матрица столбца 2 x 1:

Пример 11 : Рассмотрим матрицы

Если A умножить справа на B , получится

, но если A умножить слева на B , то получится

Обратите внимание, что оба продукта определены и имеют одинаковый размер, но не равны.

Пример 12 : Если A и B — квадратные матрицы, такие что AB = BA , то A и B говорят, что коммутируют . Покажите, что любые две квадратные диагональные матрицы порядка 2 коммутируют.

Пусть

— две произвольные диагональные матрицы 2 x 2. Тогда

и

С а 11 b 11 = b 11 a 11 и a 22 b 22 = b 22 11 a 22 , AB действительно равно BA , как и нужно.

Хотя матричное умножение обычно не коммутативно, оно иногда коммутативно; например, если

, затем

Несмотря на такие примеры, как эти, необходимо указать, что в целом умножение матриц не является коммутативным .

Есть еще одно различие между умножением скаляров и умножением матриц. Если a и b являются действительными числами, тогда уравнение ab = 0 означает, что a = 0 или b = 0.То есть, единственный способ, при котором произведение действительных чисел может быть равным 0, — это если хотя бы один из множителей сам равен 0. Аналогичное утверждение для матриц, однако, неверно. Например, если

, затем

Обратите внимание, что даже если ни G , ни H не являются нулевой матрицей, произведение GH будет.

Еще одним отличием умножения скаляров от умножения матриц является отсутствие общего закона сокращения для умножения матриц.Если a, b и c являются действительными числами с a ≠ 0, то, отбрасывая множитель a , уравнение ab = ac подразумевает b = c . Для умножения матриц такого закона не существует; то есть утверждение AB = AC не означает , а не , подразумевает B = C , даже если A не равно нулю. Например, если

, затем оба

и

Таким образом, даже если AB = AC и A не является нулевой матрицей, B не равно C .

Пример 13 : Хотя умножение матриц не всегда коммутативно, всегда ассоциативно . То есть, если A, B и C являются любыми тремя матрицами, так что продукт (AB) C определен, то продукт A (BC) также определен, и

То есть, пока порядок факторов не меняется, то, как они сгруппированы , не имеет значения.

Проверить ассоциативный закон для матриц

Первый, с

продукт (AB) C это

Сейчас, с

продукт A (BC) равен

Следовательно, (AB) C = A (BC) , как и ожидалось.Обратите внимание, что ассоциативный закон подразумевает, что произведение A, B и C (в таком порядке) может быть записано просто как ABC ; круглые скобки не нужны, чтобы разрешить двусмысленность, потому что нет двусмысленности.

Пример 14 : Для матриц

проверьте уравнение ( AB ) T = B T A T .

Первая,

означает

Сейчас, с

B T A T действительно равно ( AB ) T .Фактически, уравнение

справедливо для любых двух матриц, для которых определено произведение AB . Это говорит о том, что если продукт AB определен, то транспонирование продукта равно произведению перемещений в обратном порядке .

Матрицы идентичности . Нулевая матрица 0 m x n играет роль аддитивной идентичности в наборе матриц m x n точно так же, как число 0 в наборе действительных чисел (вспомните пример 7).То есть, если A является матрицей m x n и 0 = 0 m x n , то

Это матричный аналог утверждения, что для любого действительного числа a ,

Имея в руках аддитивную идентичность, вы можете спросить: «А как насчет мультипликативной идентичности ?» В наборе действительных чисел мультипликативным тождеством является число 1, так как

Есть ли матрица, которая играет эту роль ? Рассмотрим матрицы

и убедитесь, что

и

Таким образом, AI = IA = A .Фактически, легко показать, что для этой матрицы I оба продукта AI и IA будут равны A для любой 2 x 2 матрицы A . Следовательно,

— мультипликативная единица в наборе матриц 2 x 2. Аналогично матрица

— мультипликативная единица в наборе матриц 3 x 3 и так далее. (Обратите внимание, что I 3 — это матрица [δ ij ] 3 x 3 .В общем случае матрица I n — диагональная матрица nxn с каждым диагональным элементом, равным 1 — называется единичной матрицей порядка n и служит мультипликативной единицей в наборе всех Матрицы nxn .

Есть ли мультипликативная идентичность в наборе всех матриц m x n , если m ≠ n ? Для любой матрицы A в M mxn ( R ) матрица I m является левым тождеством ( I m A = A ) и I n — это правый идентификатор ( AI n = A ).Таким образом, в отличие от набора матриц n x n , набор неквадратных матриц m x n не обладает двухсторонней идентичностью qunique , потому что I m ≠ I n , если m ≠ n .

Пример 15 : Если A представляет собой квадратную матрицу, то A 2 обозначает продукт AA, A 3 обозначает продукт AAA и т. Д. Если A — это матрица

показывают, что A 3 = — A .

Расчет

показывает, что A 2 = — I . Умножение обеих частей этого уравнения на A дает A 3 = — A , если требуется. [Техническое примечание: можно показать, что в определенном точном смысле набор матриц вида

, где a и b — действительные числа, структурно идентичен набору комплексных чисел a + bi .Поскольку матрица A в этом примере имеет такую ​​форму (с a = 0 и b = 1), A соответствует комплексному числу 0 + 1 i = i и аналогу матричное уравнение A 2 = — I , полученное выше, равно i 2 = -1, уравнение, которое определяет мнимую единицу, i .]

Пример 16 : Найдите недиагональную матрицу, которая коммутирует с

Проблема состоит в том, чтобы получить недиагональную матрицу B , такую ​​что AB = BA .Как и A , матрица B должна быть 2 x 2. Один из способов создать такую ​​матрицу B — сформировать A 2 , поскольку, если B = A 2 , ассоциативность подразумевает

(Это уравнение доказывает, что A 2 будет коммутировать с A для с любой квадратной матрицей A ; кроме того, оно предлагает, как можно доказать, что каждая интегральная степень квадратной матрицы A будет добираться до A .)

В данном случае

, который недиагонален. Эта матрица B действительно коммутирует с A , что подтверждается расчетами

.

и

Пример 17 : Если

доказывают, что

для каждого целого положительного числа n .

Несколько предварительных расчетов показывают, что данная формула действительно верна:

Однако, чтобы установить, что формула выполняется для всех натуральных чисел n , необходимо дать общее доказательство.Здесь это будет сделано с использованием принципа математической индукции , который читается следующим образом. Пусть P (n) обозначает предложение относительно положительного целого числа n . Если можно показать, что

и

, то инструкция P (n) действительна для всех натуральных чисел n . В данном случае утверждение P (n) является утверждением

Поскольку A 1 = A , утверждение P (1) определенно верно, поскольку

Теперь, предполагая, что P (n) истинно, то есть предполагая, что

теперь необходимо установить срок действия выписки P ( n + 1), что составляет

Но это утверждение действительно верно, потому что

По принципу математической индукции доказательство завершено.

Инверсия матрицы . Пусть a будет заданным действительным числом. Поскольку 1 является мультипликативным тождеством в наборе действительных чисел, если существует число b такое, что

, то b называется , обратным или мультипликативным обратным для a и обозначается a -1 (или 1/ a ). Аналог этого утверждения для квадратных матриц выглядит следующим образом. Пусть A будет заданной матрицей n x n .Поскольку I = I n является мультипликативным тождеством в наборе матриц n x n , если существует матрица B такая, что

, затем B называется (мультипликативным) , обратным для A и обозначается A -1 (читается « A обратный»).

Пример 18 : Если

, затем

с

и

Еще одно различие между умножением скаляров и умножением матриц заключается в существовании обратных.Хотя каждое ненулевое действительное число имеет обратное, существуют ненулевые матрицы, у которых нет обратного .

Пример 19 : Показать, что ненулевая матрица

не имеет обратного.

Если бы эта матрица имела инверсию, то

для некоторых значений a, b, c и d . Однако, поскольку вторая строка A является нулевой строкой, вы можете видеть, что вторая строка продукта также должна быть нулевой строкой:

(Когда звездочка, * появляется как запись в матрице, это означает, что фактическое значение этой записи не имеет отношения к настоящему обсуждению.) Поскольку (2, 2) элемент произведения не может равняться 1, произведение не может быть равным единичной матрице. Следовательно, невозможно построить матрицу, которая могла бы служить обратной для A .

Если матрица имеет инверсию, она называется обратимой . Матрица в примере 23 обратима, а матрица в примере 24 — нет. Позже вы узнаете различные критерии для определения обратимости данной квадратной матрицы.

Пример 20 : Пример 18 показал, что

Учитывая, что

проверьте уравнение ( AB ) −1 = B −1 A −1 .

Сначала вычислим AB :

Затем вычисляем B −1 A −1 :

Теперь, поскольку произведение AB и B −1 A −1 равно I ,

B −1 A −1 действительно является инверсией AB . Фактически, уравнение

справедливо для любых обратимых квадратных матриц того же размера.Это говорит о том, что если A и B являются обратимыми матрицами одинакового размера, то их произведение AB также обратимо, и обратное произведение равно произведению обратных чисел в обратном порядке . (Сравните это уравнение с уравнением с транспонированием в примере 14 выше.) Этот результат можно в общем доказать, применяя ассоциативный закон для матричного умножения. С

и

следует, что ( AB ) -1 = B -1 A -1 , как требуется.

Пример 21 : Обратная матрица

это

Покажите, что обратное значение B T равно ( B −1 ) T .

Форма B T и ( B -1 ) T и умножьте:

Этот расчет показывает, что ( B -1 ) T является инверсией B T .[Строго говоря, это показывает только то, что ( B -1 ) T — это правый обратный B T , то есть когда он умножает B T справа, продукт — это личность. Также верно, что ( B −1 ) T B T = I , что означает ( B −1 ) T — левый обратный из В Т .Однако нет необходимости явно проверять оба уравнения: если квадратная матрица имеет обратное, нет различия между левым обратным и правым обратным.] Таким образом,

уравнение, которое фактически выполняется для любой обратимой квадратной матрицы B . Это уравнение говорит, что если матрица обратима, то ее транспонирование также является обратимым, а обратное транспонирование — это транспонирование обратного.

Пример 22 : Используйте свойство распределения для умножения матриц, A ( B ± C ) = AB ± AC , чтобы ответить на этот вопрос: если матрица 2 x 2 D удовлетворяет уравнение D 2 D -6 I = 0 , каково выражение для D −1 ?

По указанному выше распределительному свойству D 2 D = D 2 DI = D (D — I) .Следовательно, уравнение D 2 D -6 I = 0 подразумевает D (D — I) = 6 I . Умножение обеих частей этого уравнения на 1/6 дает

, что означает

В качестве иллюстрации этого результата матрица

удовлетворяет уравнению D 2 D -6 I = 0 , как вы можете убедиться.С

и

матрица 1/6 ( D − I ) действительно равна D −1 , как заявлено.

Пример 23 : Уравнение ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 является тождеством, если a и b настоящие числа. Однако покажите, что ( A + B ) 2 = A 2 + 2 AB + B 2 — это , а не , если A и B — это матрицы 2 x 2.[Примечание: законы распределения для матричного умножения: A ( B ± C ) = AB ± AC , приведенные в Примере 22, и сопутствующий закон ( A ± B ) C = AC ± BC .]

Из законов распределения для умножения матриц следует

Поскольку матричное умножение не коммутативно, BA обычно не равно AB , поэтому сумма BA + AB не может быть записана как 2 AB .В общем, тогда ( A + B ) 2 A 2 + 2 AB + B 2 . [Любые матрицы A и B , которые не коммутируются (например, матрицы в примере 16 выше), предоставят конкретный контрпример к утверждению ( A + B ) 2 = A 2 + 2 AB + B 2 , что также установит, что это не личность.]

Пример 24 : Предположим, что B обратимый. Если A коммутирует с B , покажите, что A также коммутирует с B -1 .

Доказательство . Сказать « A коммутирует с B » означает AB = BA . Умножьте это уравнение на B −1 слева и справа и используйте ассоциативность:

Пример 25 : Число 0 имеет только один квадратный корень: 0.Покажите, однако, что нулевая матрица (2 на 2) имеет бесконечно много квадратных корней, найдя все матрицы 2 x 2 A такие, что A 2 = 0 .

Точно так же, как число a называется квадратным корнем из b , если a 2 = b , матрица A называется квадратным корнем из B , если А 2 = В . Пусть

— произвольная матрица 2 x 2.Возводя его в квадрат и устанавливая результат равным 0 , получаем

Записи (1, 2) в последнем уравнении означают, что b ( a + d ) = 0, что выполняется, если (Случай 1) b = 0 или (Случай 2) d = — а .

Случай 1. Если b = 0, то диагональные элементы подразумевают, что a = 0 и d = 0, а записи (2, 1) означают, что c является произвольным. Таким образом, для любого значения c каждая матрица вида

— это квадратный корень из 0 2×2 .

Случай 2. Если d = — a , то оба недиагональных входа будут равны 0, а диагональные записи будут равны a 2 + bc . Таким образом, пока b и c выбраны так, что bc = — a 2 , A 2 будет равно 0 .

Аналогичная цепочка рассуждений, начинающаяся с записей (2, 1), приводит либо к a = c = d = 0 (и b произвольно), либо к такому же выводу, что и раньше: до тех пор, пока b и c выбираются так, что bc = — a 2 , матрица A 2 будет равна 0 .

Все эти случаи можно резюмировать следующим образом. Любая матрица следующей формы будет иметь свойство, состоящее в том, что ее квадрат представляет собой нулевую матрицу 2 на 2:

Поскольку существует бесконечно много значений a, b и c , таких что bc = — a 2 , нулевая матрица 0 2×2 имеет бесконечно много квадратных корней. Например, выбор a = 4, b = 2 и c = −8 дает ненулевую матрицу

площадью

Матрицы

и матричная алгебра — Статистика Как к

Матрицы и содержание матричной алгебры (щелкните, чтобы перейти к этому разделу):

  1. Матричная алгебра: введение
  2. Добавление матрицы: другие примеры
  3. Умножение матриц
  4. Определение сингулярной матрицы
  5. Матрица идентичности
  6. Что такое обратная матрица?
  7. Собственные значения и собственные векторы
  8. Расширенные матрицы
  9. Определитель матрицы
  10. Диагональная матрица
  11. Что такое симметричная и кососимметричная матрицы?
  12. Что такое матрица транспонирования?
  13. Что такое матрица дисперсии-ковариации?
  14. Корреляционные матрицы
  15. Идемпотентная матрица.

Матрица — это прямоугольный массив чисел, упорядоченный по столбцам и строкам (очень похожий на электронную таблицу). Матричная алгебра используется в статистике для выражения наборов данных. Например, ниже представлен рабочий лист Excel со списком оценок за экзамены:

Преобразование в матричную алгебру в основном включает удаление идентификаторов столбцов и строк. Добавляется идентификатор функции (в данном случае «G» для оценок):

Числа, которые появляются в матрице, называются элементами матрицы .

Матрицы

: Обозначение

Почему странная нотация?
Мы используем другую нотацию (в отличие от хранения данных в формате электронной таблицы) по простой причине: соглашение. Соблюдение соглашений упрощает соблюдение правил матричной математики (таких как сложение и вычитание). Например, в элементарной алгебре, если у вас есть список вроде этого: 2 яблока, 3 банана, 5 виноградин, вы должны изменить его на 2a + 3b + 5g, чтобы соблюсти соглашение.

Некоторые из наиболее распространенных терминов, с которыми вы столкнетесь при работе с матрицами:

  • Размер (также называемый порядком): сколько строк и столбцов имеет матрица.Сначала перечислены строки, за ними следуют столбцы. Например, матрица 2 x 3 означает 2 строки и 3 столбца.
  • Элементы : числа, которые появляются внутри матрицы.
  • Матрица идентичности (I): Диагональная матрица с нулями в качестве элементов, за исключением диагонали, в которой есть единицы.
  • Скаляр : любое действительное число.
  • Матрица Функция: скаляр, умноженный на матрицу, чтобы получить другую матрицу.

Матрицы идентичности. Изображение: Википедия.com.

Матричная алгебра: сложение и вычитание

Размер матрицы (т. Е. 2 ​​x 2) также называется размером матрицы или порядком матрицы. Если вы хотите сложить (или вычесть) две матрицы, их размеры должны быть точно так же . Другими словами, вы можете добавить матрицу 2 x 2 к другой матрице 2 x 2, но не матрицу 2 x 3. Добавление матриц очень похоже на обычное сложение: вы просто добавляете одинаковые числа в одно и то же место (например, складываете все числа в столбце 1, строке 1 и все числа в столбце 2, строке 2).

Примечание к обозначениям: рабочий лист (например, в Excel) использует буквы столбцов (ABCD) и номера строк (123), чтобы указать местоположение ячейки, например A1 или D2. Для матриц типично использовать обозначение типа g ij , что означает i-ю строку и j-й столбец матрицы G.

Матричное вычитание работает точно так же.
В начало

Матричное дополнение — это всего лишь серия дополнений. Для матрицы 2 × 2:

  • Сложите верхние левые числа вместе и запишите сумму в новую матрицу в верхнем левом углу.
  • Сложите верхние правые числа и запишите сумму в правом верхнем углу.
  • Сложите нижние левые числа вместе и запишите сумму в нижнем левом углу.
  • Сложите числа справа внизу и запишите сумму справа внизу:

Используйте ту же процедуру для матрицы 2 × 3:

Фактически, вы можете использовать этот базовый метод для добавления любых матриц, если ваши матрицы имеют одинаковые размеры (одинаковое количество столбцов и строк).Другими словами, , если матрицы одинакового размера, вы можете их добавить. Если они разного размера, вы не можете их добавить.

  • Матрица с 4 строками и 2 столбцами может быть добавлена ​​ к матрице с 4 строками и 2 столбцами.
  • Матрица с 4 строками и 2 столбцами не может быть добавлена ​​ к матрице с 5 строками и 2 столбцами.

Вышеупомянутый метод иногда называют «начальным суммированием», поскольку вы просто складываете записи и фиксируете результат.

Другой способ думать об этом…

Подумайте, что представляет собой матрица. Эта очень простая матрица [5 2 5] может представлять 5x + 2y + 5z. И эта матрица [2 1 6] могла бы равняться 2x + y + 6z. Если сложить их вместе с помощью алгебры, получится:
5x + 2y + 5z + 2x + y + 6z = 7x + 3y + 11z.
Это тот же результат, что и при сложении записей в матрицах.

Сложение матрицы для неравных размеров

Если у вас неравные размеры, вы все равно можете сложить матрицы вместе, но вам придется использовать другой (гораздо более продвинутый) метод.Один из таких приемов — прямая сумма. Прямая сумма (⊕) любой пары матриц A размера m × n и B размера p × q является матрицей размера (m + p) × (n + q):

Например:

В начало

Относительно легко умножить на одно число (так называемое «скалярное умножение»), например 2:

Просто умножьте каждое число в матрице на 2, и вы получите новую матрицу. На изображении выше:
2 * 9 = 18
2 * 3 = 6
2 * 5 = 10
2 * 7 = 14

Результат четырех умножений дает числа в новой матрице справа.

Умножение матриц: две матрицы

Когда вы хотите перемножить две матрицы, процесс становится немного сложнее. Вам нужно умножить строки первой матрицы на столбцы второй матрицы. Другими словами, умножьте по строкам первой матрицы и по столбцам второй матрицы. После того, как вы умножили, сложите продукты и запишите ответы в виде новой матрицы.

Если все это звучит немного сложно, это (очень короткое) видео показывает, как это делается:


Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

Вы можете выполнить матричное умножение двух матриц, только если количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. Например, вы можете умножить матрицу 2 x 3 (две строки и три столбца) на матрицу 3 x 4 (три строки и четыре столбца).

Очевидно, что это может стать очень сложным (и утомительным) процессом. Тем не менее, вы можете найти множество достойных инструментов для умножения матриц в Интернете. Мне нравится этот от Матрицы Решиш. После расчета вы можете умножить результат на другую матрицу и другую, что означает, что вы можете умножить несколько матриц вместе.

Microsoft Excel также может выполнять матричное умножение с использованием функций «массива». Вы можете найти инструкции здесь, на сайте Стэнфорда. Прокрутите вниз до места, где написано Матричные операции в Excel.
В начало

Быстрый взгляд на матрицу может сказать вам, является ли она сингулярной матрицей. Если матрица квадратная и имеет одну строку или столбец с нулями или , два равных столбца или две равные строки, то это особая матрица. Например, следующие десять матриц являются единственными (изображение: Wolfram):

Существуют и другие типы сингулярных матриц, некоторые из которых не так-то легко обнаружить.Следовательно, необходимо более формальное определение.

Следующие три свойства определяют сингулярную матрицу:

  1. Матрица квадратная и
  2. Не имеет инверсии.
  3. Имеет определитель 0.

1. Квадратная матрица

Квадратная матрица имеет (как следует из названия) равное количество строк и столбцов. Говоря более формально, вы бы сказали, что матрица из m столбцов и n строк является квадратной, если m = n.Матрицы, которые не являются квадратными, являются прямоугольными.
Сингулярная матрица — это квадратная матрица, но не все квадратные матрицы сингулярны.

Необратимые матрицы

Если квадратная матрица не имеет обратной, то это особая матрица.

Обратная матрица — это то же самое, что и обратная величина числа. Если умножить матрицу на обратную, получится единичная матрица , матричный эквивалент 1. Идентификационная матрица в основном представляет собой последовательность единиц и нулей.Идентификационная матрица различается в зависимости от размера матрицы.

Матрицы идентичности. Изображение: Wikipedia.com.

Определитель нуля

Определитель — это просто специальное число, которое используется для описания матриц и поиска решений систем линейных уравнений. Формула для вычисления определителя различается в зависимости от размера матрицы. Например, матрица 2 × 2, формула ad-bc.

Эта простая матрица 2 × 2 сингулярна, потому что ее определитель равен нулю:

К началу

Единичная матрица — это квадратная матрица с единицами в качестве элементов на главной диагонали сверху слева направо снизу и нулями в остальных местах.Когда вы умножаете квадратную матрицу на единичную матрицу, исходная квадратная матрица остается неизменной. Например:

По идее аналогичен айдентике. В базовой математике элемент идентичности оставляет число неизменным. Например, кроме того, тождественный элемент равен 0, потому что 1 + 0 = 1, 2 + 0 = 2 и т. Д., А при умножении тождественный элемент равен 1, потому что любое число, умноженное на 1, равно этому числу (т. Е. 10 * 1 = 10 ). Говоря более формально, если x — действительное число, то число 1 называется мультипликативным тождеством , потому что 1 * x = x и x * 1 = x.По той же логике единичная матрица I получила свое название, потому что для всех матриц A , I * A = A и A * I = A .

В матричной алгебре единичный элемент различается в зависимости от размера матрицы, с которой вы работаете; в отличие от сингулярной единицы для мультипликативной идентичности и 0 для аддитивной идентичности, не существует единой единичной матрицы для всех матриц. Для любой матрицы n * n существует единичная матрица I n * n .На главной диагонали всегда будут единицы, а оставшиеся пробелы — нули. На следующем изображении показаны матрицы идентичности для матрицы 2 x 2 и матрицы 5 x 5:

Матрица аддитивной идентичности

Когда люди говорят о «матрице идентичности», они обычно имеют в виду мультипликативную матрицу идентичности. Однако есть и другой тип: аддитивная единичная матрица. Когда эта матрица добавляется к другой, вы получаете исходную матрицу. Неудивительно, что каждый элемент в этих матрицах — нули.Поэтому их иногда называют нулевой матрицей .

Аддитивная единичная матрица для матрицы 3 * 3.


Вернуться к началу

Обзор поиска инверсий смотрите в этом коротком видео:


Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

Обратные матрицы — это то же самое, что и обратные. В элементарной алгебре (а, возможно, и раньше) вы столкнулись с идеей обратного: одно число, умноженное на другое, может равняться 1.

Изображение предоставлено LTU


Если вы умножите одну матрицу на ее обратную, вы получите матричный эквивалент 1: Identity Matrix , которая в основном представляет собой матрицу с единицами и нулями.

Шаг 1: Найдите адъюгат матрицы. Сопряжение матрицы можно найти, переставив одну диагональ и взяв негативы другой:

Чтобы найти сопряжение матрицы 2 × 2, поменяйте местами диагонали a и d, а затем поменяйте местами знаки c и d.

Шаг 2: Найдите определитель матрицы. Для матрицы
A B C D (см. Изображение выше) определитель равен (a * d) — (b * c).
Шаг 3: Умножить 1 / определитель * адъюгат. .

Проверка ответа

Вы можете проверить свой ответ с помощью умножения матриц.Умножьте свою матрицу ответов на исходную матрицу, и вы получите единичную матрицу. Вы также можете воспользоваться онлайн-калькулятором здесь.
В начало

Собственное значение (λ) — это специальный скаляр, используемый при матричном умножении и имеющий особое значение в нескольких областях физики, включая анализ устойчивости и небольшие колебания колеблющихся систем. Когда вы умножаете матрицу на вектор и получаете тот же вектор в качестве ответа вместе с новым скаляром, скаляр называется собственным значением . Основное уравнение:
A x = λ x ; мы говорим, что λ является собственным значением A.
Все приведенное выше уравнение говорит о том, что , если вы возьмете матрицу A и умножите ее на вектор x , вы получите то же самое, как если бы вы взяли собственное значение и умножили его на вектор x .

Пример собственного значения

В следующем примере 5 — собственное значение A, а (1,2) — собственный вектор:

Давайте рассмотрим это по шагам, чтобы наглядно продемонстрировать, что такое собственное значение.В обычном умножении, если вы умножаете матрицу размера n x n на вектор n x 1, в результате вы получаете новый вектор n x 1. На следующем изображении показан этот принцип для матрицы 2 x 2, умноженной на (1,2):

Что, если бы вместо новой матрицы nx 1 можно было получить ответ с тем же вектором, который вы умножили на вместе с новым скаляром?

Когда это возможно, вектор умножения (то есть тот, который также есть в ответе) называется собственным вектором, а соответствующий скаляр — собственным значением.Обратите внимание, что я сказал «, когда это возможно» , потому что иногда невозможно вычислить значение для λ. Разложение квадратной матрицы A на собственные значения и собственные векторы (их можно иметь несколько значений для одной и той же матрицы) известно в так называемом разложении по собственным значениям . Разложение на собственные числа всегда возможно, если матрица, состоящая из собственных векторов матрицы A, является квадратной.

Расчет

Найдите собственные значения для следующей матрицы:

Шаг 1: Умножьте единичную матрицу на λ.Единичная матрица для любой матрицы 2 × 2 равна [1 0; 0 1], поэтому:

Шаг 2: Вычтите ответ из шага 1 из матрицы A, используя вычитание матрицы:

Шаг 3: Найдите определитель матрицы, вычисленной на шаге 2:
det = (5- λ) (- 1-λ) — (3) (3)
Упрощая, получаем:
-5 — 5λ + λ + λ 2 — 9
= λ 2 — 4λ — 14

Шаг 4: Установите уравнение, которое вы нашли на шаге 3, равным нулю и решите для λ:
0 = λ 2 — 4λ — 14 = 2
Мне нравится использовать свой TI-83, чтобы найти корни, но вы можете также воспользуйтесь алгеброй или этим онлайн-калькулятором.Находя корни (нули), получаем x = 2 + 3√2, 2 — 3√2

Ответ : 2 + 3√2 и 2-3√2

Математика для больших матриц такая же, но вычисления могут быть очень сложными. Для матриц 3 × 3 используйте калькулятор внизу этого раздела; для больших матриц попробуйте этот онлайн-калькулятор.


В начало

На изображении выше показана расширенная матрица (A | B) внизу. Расширенные матрицы обычно используются для решения систем линейных уравнений, и именно поэтому они были впервые разработаны.Три столбца слева от полосы представляют коэффициенты (по одному столбцу для каждой переменной). Эта область называется матрицей коэффициентов . Последний столбец справа от полосы представляет собой набор констант (т. Е. Значений справа от знака равенства в наборе уравнений). Она называется расширенной матрицей , потому что матрица коэффициентов была «дополнена» значениями после знака равенства.

Например, следующая система линейных уравнений:

x + 2y + 3z = 0
3x + 4y + 7z = 2
6x + 5y + 9z = 11

Может быть помещено в следующую расширенную матрицу:

После того, как вы поместили свою систему в расширенную матрицу, вы можете выполнять операции со строками для решения системы.

У вас не , а , чтобы использовать вертикальную полосу в расширенной матрице. Обычно матрицы вообще не содержат линий. Полоса просто упрощает отслеживание ваших коэффициентов и ваших констант справа от знака равенства. Если вы вообще используете вертикальную полосу, зависит от учебника, который вы используете, и от предпочтений вашего преподавателя.

Написание системы уравнений

Вы также можете работать в обратном направлении, чтобы написать систему линейных уравнений, заданную расширенной матрицей.
Пример вопроса: Напишите систему линейных уравнений для следующей матрицы.

Шаг 1: Запишите коэффициенты для первого столбца, за которым следует «x». Обязательно запишите положительные или отрицательные числа:
-1x
2x
6x
Шаг 2: Напишите коэффициенты для второго столбца, а затем укажите «y». Сложите, если это положительное число, вычтите, если оно отрицательное:
-1x + 7y
2x + 4y
6x + 2y
Шаг 3: Напишите коэффициенты для второго столбца, после чего укажите «z.«Сложите, если это положительное число, и вычтите, если оно отрицательное:
-1x + 7y + 3
2x + 4y — 7
6x + 2y + 9
Шаг 3. Запишите константы в третьем столбце, поставив перед знаком равенства.
-1x + 7y + 3 = 0
2x + 4y — 7 = 2
6x + 2y + 9 = 7
Примечание : если на этом шаге стоит отрицательный знак, просто сделайте константу отрицательным числом.
В начало

Определитель матрицы — это просто специальное число, которое используется для описания матриц для поиска решений систем линейных уравнений, нахождения обратных матриц и для различных приложений в исчислении.Определить на простом английском языке невозможно; обычно его определяют в математических терминах или в терминах того, что он может вам помочь. Определитель матрицы имеет несколько свойств:

  • Это действительное число. Сюда входят отрицательные числа.
  • Определители существуют только для квадратных матриц.
  • Обратная матрица существует только для матриц с ненулевыми определителями.

Символ для определителя матрицы A — | A |, который также является тем же самым символом, который используется для абсолютного значения, хотя эти два символа не имеют ничего общего друг с другом.

Формула для вычисления определителя матрицы различается в зависимости от размера матрицы.

Определитель матрицы 2 × 2

Формула определителя матрицы 2 × 2 — ad-bc. Другими словами, умножьте верхний левый элемент на нижний правый, затем вычтите произведение верхнего правого и нижнего левого.

Определитель матрицы 3 × 3

Определитель матрицы 3 × 3 находится по следующей формуле:
| A | = a (ei — fh) — b (di — fg) + c (dh — eg)
Это может показаться сложным, но если вы пометили элементы с помощью a, b, c в верхнем ряду, d, e, f во второй строке и g, h, i в последней, становится основной арифметикой.
Пример :
Найдите определитель следующей матрицы 3 × 3:

= 3 (6 × 2-7 × 3) –5 (2 × 2-7 × 4) +4 (2 × 3-6 × 4)
= -219
По сути, здесь происходит умножение a, b и d на детерминанты меньших 2×2 в матрице 3×3. Этот шаблон продолжается для поиска определителей матриц более высокого порядка.

Определитель матрицы 4 × 4

Чтобы найти определитель матрицы 4 × 4, вам сначала нужно найти определители четырех матриц 3 × 3, которые входят в матрицу 4 × 4.В виде формулы:

Вернуться к началу

Диагональная матрица — это симметричная матрица со всеми нулями, кроме ведущей диагонали, которая проходит от верхнего левого угла до нижнего правого угла.

Записи на самой диагонали также могут быть нулями; любую квадратную матрицу со всеми нулями еще можно назвать диагональной матрицей.

Единичная матрица, которая имеет все 1 с по диагонали, также является диагональной матрицей. Любая матрица с равными элементами по диагонали (т. Е.2,2,2 или 9,9,9), является скалярным кратным единичной матрицы и также может быть классифицировано как диагональное.

Диагональная матрица имеет максимум n чисел, которые не равны нулю, где n — порядок матрицы. Например, матрица 3 x 3 (порядок 3) имеет диагональ, состоящую из 3 чисел, а матрица 5 x 5 (порядок 5) имеет диагональ из 5 чисел.

Обозначение

Обозначение, обычно используемое для описания диагональной матрицы: diag (a, b, c) , где abc представляет собой числа в первой диагонали.Для приведенной выше матрицы это обозначение будет diag (3,2,4). .

Верхние и нижние треугольные матрицы

Диагональ матрицы всегда относится к ведущей диагонали. Ведущая диагональ в матрице помогает определить два других типа матриц: нижнетреугольные матрицы и верхние треугольные матрицы. В нижнетреугольной матрице числа под диагональю; верхнетреугольная матрица имеет числа над диагональю.

Диагональная матрица — это матрица с нижней диагональю и матрица с нижней диагональю.

Прямоугольные диагональные матрицы

Для наиболее распространенного использования диагональная матрица представляет собой квадратную матрицу с порядком (размером) n . Существуют и другие формы, которые обычно не используются, например прямоугольная диагональная матрица . Этот тип матрицы также имеет одну ведущую диагональ с числами, а остальные элементы — нули. Ведущая диагональ берется из наибольшего квадрата неквадратной матрицы.

В начало

Транспонирование матрицы (или транспонирование матрицы) — это как раз то место, где вы переключаете все строки матрицы в столбцы.Матрицы транспонирования полезны при комплексном умножении.

Альтернативный способ описания транспонированной матрицы состоит в том, что элемент в строке «r» и столбце «c» транспонируется в строку «c» и столбец «r». Например, элемент в строке 2, столбце 3 будет транспонирован в столбец 2, строку 3. Размер матрицы также изменится. Например, если у вас есть матрица 4 x 5, вы бы транспонировали ее в матрицу 5 x 4.

Симметричная матрица — это частный случай транспонированной матрицы; он равен своей транспонированной матрице.

Говоря более формальным языком, A = A T .

Символы для матрицы транспонирования

Обычный символ для транспонированной матрицы — A T Однако Wolfram Mathworld утверждает, что также используются два других символа: A и.

Свойства матриц транспонирования

Свойства транспонированных матриц аналогичны основным числовым свойствам, с которыми вы столкнулись в базовой алгебре (например, ассоциативным и коммутативным). Основные свойства матриц:

  • (A T ) T = A: транспонированная матрица транспонирования является исходной матрицей.
  • (A + B) T = A T + B T : транспонирование двух сложенных вместе матриц такое же, как транспонирование каждой отдельной матрицы, сложенной вместе.
  • (rA) T = rA T : когда матрица умножается на скалярный элемент, не имеет значения, в каком порядке вы транспонируете (примечание: скалярный элемент — это величина, которая может умножать матрицу).
  • (AB) T = B T A T : транспонирование двух матриц, умноженных вместе, совпадает с произведением их матриц транспонирования в обратном порядке.
  • (A -1 ) T = (A T ) -1 : транспонирование и инверсия матрицы могут выполняться в любом порядке.

Вернуться к началу

Симметричная матрица — это квадратная матрица, имеющая симметрию относительно ведущей диагонали, сверху слева направо. Представьте себе складку в матрице по диагонали (не включайте числа в действительную диагональ). Верхняя правая половина матрицы и нижняя левая половина являются зеркальными отображениями относительно диагонали:

Если вы можете сопоставить числа друг с другом вдоль линии симметрии ( всегда ведущая диагональ), как в примере справа , у вас симметричная матрица.

Альтернативное определение

Другой способ определить симметричную матрицу состоит в том, что симметричная матрица равна ее транспонированной. В случае транспонирования матрицы первая строка становится первым столбцом, вторая строка становится вторым столбцом, третья строка становится третьим столбцом… и так далее. Вы просто превращаете строки в столбцы.

Если вы возьмете симметричную матрицу и транспонируете ее, матрица будет выглядеть точно так же, отсюда и альтернативное определение, что симметричная матрица равна ее транспонированию.С математической точки зрения, M = M T , где M T — матрица транспонирования.

Максимальное количество номеров

Поскольку большинство чисел в симметричной матрице дублируются, существует ограничение на количество различных чисел, которые она может содержать. Уравнение для максимального количества чисел в матрице порядка n: n (n + 1) / 2. Например, в симметричной матрице 4-го порядка, подобной приведенной выше, имеется максимум 4 (4 + 1) / 2 = 10 различных чисел. Это имеет смысл, если подумать: диагональ — это четыре числа, и если вы сложите числа в нижней левой половине (исключая диагональ), вы получите 6.

Диагональные матрицы

Диагональная матрица — это частный случай симметричной матрицы. Диагональная матрица имеет все нули, кроме ведущей диагонали.

Что такое асимметричная матрица?

Кососимметричная матрица, иногда называемая антисимметричной матрицей , представляет собой квадратную матрицу, симметричную относительно обеих диагоналей. Например, следующая матрица является асимметричной:

Математически асимметричная матрица удовлетворяет условию a ij = -a ji .Например, возьмите запись в строке 3, столбце 2, которая равна 4. Его симметричным аналогом является -4 в строке 2, столбце 3. Это условие также можно записать в терминах его транспонированной матрицы: A T = — А. Другими словами, матрица является кососимметричной, только если A T = -A, где A T — это транспонированная матрица.

Все старшие диагональные элементы в кососимметричной матрице должны быть нулевыми. Это потому, что из i, i = −a i, i следует i, i = 0.

Еще одним интересным свойством этого типа матрицы является то, что если у вас есть две кососимметричные матрицы A и B одинакового размера, вы также получите кососимметричную матрицу, если сложите их вместе:

Добавление двух кососимметричных матриц вместе.

Этот факт может помочь вам доказать, что две матрицы кососимметричны. Первый шаг — убедиться, что все элементы на ведущей диагонали равны нулю (что невозможно «доказать» математически!).Второй шаг — сложение матриц. Если результатом является третья матрица, которая является кососимметричной, то вы доказали, что a ij = — a ji .

Косоэрмитский

Косоэрмитова матрица по сути такая же, как кососимметричная матрица, за исключением того, что косоэрмитова матрица может содержать комплексные числа.

Косоэрмитова матрица, показывающая комплексные числа.

Фактически, кососимметричный и косоэрмитовый эквивалентны для вещественных матриц (матрицы, которая почти полностью состоит из действительных чисел).
Старшая диагональ косоэрмитовой матрицы должна содержать чисто мнимые числа; в мнимой сфере ноль считается мнимым числом.
Вернуться к началу

Матрица ковариации и дисперсии (также называемая матрицей ковариации или матрицей дисперсии) — это квадратная матрица, которая отображает дисперсию и ковариацию двух наборов двумерных данных вместе. Дисперсия — это мера того, насколько разбросаны данные. Ковариация — это мера того, насколько две случайные величины перемещаются вместе в одном направлении.

Дисперсии отображаются в диагональных элементах, а ковариации между парами переменных отображаются в недиагональных элементах. Дисперсии находятся в диагоналях ковариантной матрицы, потому что в основном эти дисперсии являются ковариатами каждой отдельной переменной с самой собой.

Следующая матрица показывает дисперсию для A (2,00), B (3,20) и C (0,21) в диагональных элементах.

Ковариации для каждой пары показаны в других ячейках.Например, ковариация для A и B равна -0,21, а ковариация для A и C равна -0,10. Вы можете смотреть в столбец и строку или строку и столбец (например, AC или CA), чтобы получить тот же результат, потому что ковариация для A и C такая же, как ковариация для C и A. Следовательно, ковариация дисперсии матрица также является симметричной матрицей.

Создание матрицы дисперсии-ковариации

Многие статистические пакеты, включая Microsoft Excel и SPSS, могут создавать ковариативно-вариативные матрицы. Обратите внимание, что Excel вычисляет ковариацию для генеральной совокупности (знаменатель n), а не для выборки (n-1).Это может привести к немного неправильным вычислениям для матрицы дисперсии-ковариации. Чтобы исправить это, вам нужно умножить каждую ячейку на n / n-1.

Если вы хотите сделать один вручную:
Шаг 1: Вставьте отклонения для ваших данных в диагонали матрицы.
Шаг 2: Рассчитайте ковариацию для каждой пары и введите их в соответствующую ячейку. Например, ковариация для A / B в приведенном выше примере появляется в двух местах (A B и B A). На следующей диаграмме показано, где каждая ковариация и дисперсия появляются для каждого варианта.

В начало

См. Также:
Что такое матрица неточностей?

Следующий : Форма эшелона строк / Форма пониженного эшелона строк

————————————————— —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С помощью Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .


Определитель матрицы 3 x 3 (общий и сокращенный метод)

Определитель матрицы 3 x 3 (общий и сокращенный метод)

Как мы видели в прошлых уроках, чтобы определить, что является определителем матрицы, нам нужно вернуться к нашему определению матрицы. Помните, что мы узнали, что матрица — это упорядоченный список чисел, заключенный в прямоугольную скобку. Этот список также можно назвать прямоугольным массивом, и он обеспечивает упорядоченный способ отображения «списка» информационных элементов.Если вы хотите более подробно ознакомиться с определением матрицы, вы можете вернуться к нашему уроку о нотации матриц.

Матрица описывает линейное преобразование или линейную карту, которая является своего рода транскрипцией между двумя типами алгебраических структур, такими как векторные поля. Таким образом, мы можем разрешить системы линейных уравнений, представив линейную систему в виде матрицы. Матричное представление линейной системы создается с использованием всех переменных коэффициентов, найденных в системе, и использования их в качестве элементов для построения прямоугольного массива расширенной матрицы соответствующего размера.В такой матрице результаты каждого уравнения из системы будут помещены справа от вертикальной линии, которая представляет знак равенства.

Зная это, в этом уроке основное внимание будет уделено процессу оценки определителя матрицы 3×3 и двум возможным методам, которые можно использовать.

Какой определитель матрицы

Используя знание того, что матрица представляет собой массив, содержащий информацию о линейном преобразовании, и что этот массив может быть согласован с коэффициентами каждой переменной в системе уравнений, мы можем описать функцию определителя: определитель будет масштабироваться линейное преобразование из матрицы, это позволит нам получить обратную матрицу (если она есть) и поможет в решении систем линейных уравнений, создав условия, при которых мы можем ожидать определенных результатов или характеристик от система (в зависимости от определителя и типа линейной системы, мы можем знать, можем ли мы ожидать уникального решения, более одного решения или вообще ни одного решения для системы).

Но есть условие для получения определителя матрицы, матрица должна быть квадратной матрицей, чтобы ее можно было вычислить. Следовательно, упрощенное определение состоит в том, что определитель — это значение, которое может быть вычислено из квадратной матрицы, чтобы помочь в разрешении систем линейных уравнений, связанных с такой матрицей. Определителя неквадратной матрицы не существует, математически определяются только определители квадратных матриц.

Определитель матрицы можно обозначить просто как det A, det (A) или | A |.Это последнее обозначение происходит от обозначения, которое мы непосредственно применяем к матрице, определитель которой мы получаем. Другими словами, мы обычно записываем матрицы и их определители очень похожим образом:

Уравнение 1: Разница между обозначениями матрицы и определителя

Обратите внимание на разницу: матрица записана в прямоугольных скобках, а компоненты определителя матрицы окружены двумя прямыми линиями.

Сегодняшний урок будет сосредоточен на процессе вычисления определителя матрицы 3×3, используя подход свойств определителя матрицы, которые были кратко рассмотрены в прошлых уроках.Помните, что мы рассмотрим эту полную тему на следующем уроке, который называется: свойства детерминантов. Тем не менее, важно помнить об этих свойствах при выполнении расчетов упражнений в последнем разделе этого урока.

Как найти определитель матрицы 3×3

Существует два метода нахождения определителя матрицы 3×3: общий метод и сокращенный метод. Так же, как звучат названия каждого из них, общий метод — это «формальный» метод, который можно использовать математически, следуя всем правилам и производя некоторые второстепенные вычисления определителя матрицы по пути нахождения окончательного решения.Хотя метод быстрого доступа — это более хитрый трюк, который мы можем использовать для упрощения вычислений, при этом стараясь не забыть числа, порядок, в котором они должны быть умножены, и некоторые перестановки элементов в матрице.

После того, как вы взглянете на оба метода, чтобы найти определитель матрицы 3×3, вы всегда можете выбрать тот, который вам больше всего подходит, и использовать его для своих исследований, но помните, что важно знать оба из них, на случай, если вас когда-нибудь спросят сравнить результаты с ними.

Итак, без дальнейших задержек, давайте определим определитель матрицы 3×3 A, как показано ниже, чтобы мы могли наблюдать, как его можно вычислить обоими методами:

Уравнение 2: Определитель матрицы A
  • Общий метод

    Общий метод получения определителя матрицы 3×3 состоит из разбиения матрицы на вторичные матрицы меньших размеров в процессе, называемом «расширением первой строки». Этот процесс использует элементы из первой строки матрицы 3×3 и использует их как множители в сумме умножений, при которой большая матрица перераспределяется.

    Давайте шаг за шагом рассмотрим, как вычислить определитель матрицы 3×3:

    1. Сначала вы берете первый элемент первой строки и умножаете его на вторичную матрицу 2×2, которая получается из элементов, оставшихся в матрице 3×3, которые не принадлежат строке или столбцу, к которому принадлежит ваш первый выбранный элемент.

      Взяв в качестве ссылки определитель матрицы 3×3, показанный в уравнении 2, мы строим первую часть результата этой операции, выбирая первый элемент первой строки и столбца (который является константой «a»), а затем умножаем его на матрица, созданная из четырех элементов, которые не принадлежат ни одной строке столбца, в котором находится «a».Умножьте «a» на полученную вторичную матрицу 2×2, и это будет первый член решения.

    2. Второй член начинается со второго элемента в верхней строке (константа «b»), сопровождаемого отрицательным знаком, который теперь умножает вторичную матрицу 2×2, которая снова получается из четырех элементов в матрице, которые не принадлежат в любой столбец строки, в которой находится «b».
    3. Повторяем первый шаг, но уже с третьим элементом из верхней строки матрицы.

    Итак, определитель матричной формулы 3×3 для общего метода:

    Уравнение 3: Уравнение для определителя матрицы 3×3 посредством общего метода

    Процесс называется расширением первой строки, потому что, как вы можете видеть в уравнении 3, все элементы из первой строки исходной матрицы 3×3 остаются основными факторами в расширении, для которого необходимо решить. Все матрицы 2×2 в раскрытии — это то, что мы называем «вторичными матрицами», и их можно легко разрешить, используя уравнение, изученное на определителе на уроке по матрице 2×2.

    Итак, принимая во внимание формулу для определителя квадратной матрицы размером 2×2, мы видим, что уравнение 3 дает:

    Уравнение 4: Уравнение для определителя матрицы 3×3 посредством общего метода (часть 2)

    На этом этапе вы, возможно, заметили, что поиск определителя матрицы, превышающей 2×2, становится долгим испытанием, но логика процесса остается той же, и поэтому сложность аналогична, единственный ключевой момент — отслеживать операции вы прорабатываете даже больше с матрицами даже большего размера, чем 3×3.

  • Сокращенный метод

    Определитель метода быстрого доступа к матрице 3×3 — это хитрый трюк, который упрощает вычисление определителя большой матрицы путем прямого умножения и добавления (или вычитания) всех элементов в их необходимом виде, без необходимости пройти через матричное расширение первой строки и без необходимости оценивать детерминанты вторичных матриц.

    Весь процесс того, как оценить определитель матрицы 3×3, используя сокращенный метод, можно увидеть в уравнении ниже:

    Уравнение 5: Быстрый метод получения определителя матрицы 3×3

    Теперь давайте поясним метод быстрого доступа:

    При вычислении определителя матрицы размера nxn (в данном случае матрицы 3×3), как показано выше, обратите внимание, что мы сначала переписываем матрицу, сопровождаемую повторением двух первых столбцов, которые теперь записываются снаружи с правой стороны.

    Тогда значение определителя будет результатом вычитания между сложением произведений всех умножений вниз-вправо и умножений вниз-влево. Сказано более ясно, в общей сложности будет три полных диагонали, идущих от верхнего левого угла до нижнего правого, и еще один набор из трех полных диагоналей, идущих от верхнего правого угла до нижнего левого угла.

    Мы умножим элементы каждой диагонали вместе, а затем сложим их с результатами, полученными на других диагоналях.Есть кое-что, что нужно иметь в виду, все умножения диагоналей, идущие от верхнего левого угла к нижнему правому, имеют собственный положительный знак, умноженный на них, в то время как все умножения диагоналей, идущие сверху справа вниз слева, имеют внутренний отрицательный знак умножения. к ним, и поэтому при сложении результатов всех умножений получится вычитание, подобное тому, которое показано в уравнении 5.

    Хотя этот метод проще в применении, чем общий метод, его немного сложно объяснить из-за того, что все операции умножения и сложения выполняются одновременно, поэтому мы рекомендуем вам использовать уравнение 5 в качестве руководства и уделять пристальное внимание к видео, где демонстрируются примеры этого метода.

    В последнем разделе этого урока мы проработаем набор из трех различных матриц 3×3 и их детерминанты. Мы рекомендуем вам сравнить процессы для обоих методов, чтобы лучше понять их.

Определитель большой матрицы

Процесс оценки определителя матрицы большей размерности, чем 3×3, следует той же логике, что и то, что мы видели до сих пор. Используя общий метод на матрице A 4×4, где ее первая (верхняя) строка соответствует элементам a, b, c и d, мы вычисляем определитель матрицы следующим образом:

Уравнение 6: Определитель матрицы 4×4

Мы еще раз расширили определитель на его первую строку и получили вторичные матрицы, которые в данном случае являются матрицами 3×3, каждая из которых может быть расширена и разбита на матрицы 2×2.Шаблон в процессе повторяется, вы можете продолжать работать таким образом с еще более крупными квадратными матрицами, и он всегда будет работать, но если вам больше нравится метод ярлыков, то вас ждет удовольствие, поскольку метод работает точно так же как и в случае с матрицами 3×3, он просто увеличивает количество элементов, с которыми вы работаете, но логика и перестановка точно такие же (умножение сверху слева вниз справа имеет положительный знак, умножения от верхнего правого угла до нижнего левого угла имеют внутренний отрицательный знак).

Вы взволнованы, увидев, как сокращенный метод работает с матрицами большего размера? Мы рекомендуем вам попробовать это самостоятельно, чтобы вы могли увидеть весь процесс. Вы всегда можете вернуться и решить ту же матрицу, используя общий метод, и доказать, что ваш результат верен.

Упражнения по вычислению определителя матрицы 3×3

В следующих упражнениях мы решим определитель матрицы 3×3, предоставленной в каждом случае, с помощью соответствующего метода, а в конце мы сравним полученные результаты.

Обратите внимание, что матрицы A, B и C, представленные в обоих разделах упражнений выше, абсолютно одинаковы. Это было сделано специально, чтобы вы могли сравнить результаты обоих методов и посмотреть, как они дают одинаковые значения.

Чтобы завершить этот урок, мы хотели бы порекомендовать вам эту статью о том, как вычислить определители, и другую статью о определителе квадратной матрицы, где вы найдете гораздо больше примеров, чем приведенные здесь.

Надеемся, этот урок был интересным и полезным, до встречи в следующем!

Размерность калькулятора матриц

  • 11 августа 2021 г. · Задайте матрицу квадратной формы и добавьте к ней единичную матрицу той же размерности.*, вычисляется как Conj (t (A)). Ссылки
  • Аппроксимация методом наименьших квадратов. Это вычисляет решение уравнения AX = B методом наименьших квадратов путем решения нормального уравнения A T AX = A T B. Примечание: этот метод требует, чтобы A не имел лишних строк.
  • Поделитесь ссылкой на этот виджет: Подробнее. Вставить этот виджет ». Добавлено 14 февраля 2012 г. пользователем Renesillo2 по математике. Быстрый расчет нулевого пространства. Вход: Матрица. Отправить отзыв | Посетите Wolfram | Alpha.
  • Калькулятор нулевого пространства. Калькулятор нулевого пространства найдет основу для нулевого пространства матрицы и покажет все этапы процесса на этом пути.
    • Калькулятор нулевого пространства матрицы Шаг 1. Для начала выберите количество строк и столбцов в матрице и нажмите кнопку «Создать матрицу». Количество строк …
    • Матричный калькулятор. Умножение матриц 1×1. Умножение матриц 3×3. Добавление матрицы 4×4. Вычитание матрицы 4×4. Умножение матриц 4×4. Умножение матриц 5×5. Матричный ранг 3×3. Квадратная матрица 2×2.
    • Графические калькуляторы TI-82/83/85/86 обладают довольно хорошо продуманным набором матричных и векторных возможностей.Они различаются для разных моделей, но любой из этих калькуляторов имеет большинство отмеченных функций, хотя для того, чтобы добраться до них, может потребоваться разное нажатие клавиш на каждом калькуляторе.
    • Матричный калькулятор — лучший инструмент для вычисления матриц в режиме онлайн. Калькулятор умножения матриц позволяет решить систему уравнений в несколько кликов. … Итак, давайте посмотрим на размер этой первой матрицы, которая имеет 2 строки и 3 столбца, а вторая матрица имеет 3 строки и 3 столбца. Итак, первая матрица — это матрица два на три…
    • Ранг равен размерности пространства строки и пространства столбца (оба пространства всегда имеют одинаковую размерность). Эта матрица имеет три строки и пять столбцов, что означает максимально возможное количество векторов в основе для пространства строк матрицы, так что это максимально возможный ранг. Следовательно, минимально возможная ничтожность.
    • При умножении двух матриц результирующая матрица будет иметь такое же количество строк, что и первая матрица, в данном случае A, и такое же количество столбцов, что и вторая матрица B.Поскольку A имеет размер 2 × 3, а B — 3 × 4, C будет матрицей 2 × 4. Цвета здесь могут помочь определить, во-первых, можно ли перемножить две матрицы, а во-вторых, размеры полученной матрицы.
    • С помощью этого калькулятора вы можете: найти определитель матрицы, ранг, возвести матрицу в степень, найти сумму и произведение матриц, вычислить обратную матрицу. Просто введите элементы матрицы и нажмите кнопку. Оставьте лишние ячейки пустыми, чтобы ввести неквадратные матрицы.
    • С помощью этого калькулятора вы можете: найти определитель матрицы, ранг, возвести матрицу в степень, найти сумму и произведение матриц, вычислить обратную матрицу.Просто введите элементы матрицы и нажмите кнопку. Оставьте лишние ячейки пустыми, чтобы ввести неквадратные матрицы.
    • Расчет разворотов. Умножение двух матриц. Инвертировать матрицу. Калькулятор нулевого пространства. Калькулятор пространства столбцов N (A T). Калькулятор междурядья. Разложите на множители A = LU. Калькулятор рядов Фурье.
    • 11 августа 2021 г. · Задайте квадратную матрицу и добавьте к ней единичную матрицу того же размера. Матричный инверсный калькулятор symbolab. Вот шаги для вычисления обратной матрицы 2×2 с помощью ярлыка.
    • Калькулятор диагонализирует данную матрицу (если возможно), с указанными шагами. Размер матрицы: Матрица: Если калькулятор что-то не вычислил, или вы обнаружили ошибку, или у вас есть предложение / отзыв, напишите об этом в комментариях ниже. Ваш ввод …
    • Аппроксимация методом наименьших квадратов. Это вычисляет решение уравнения AX = B методом наименьших квадратов путем решения нормального уравнения A T AX = A T B. Примечание: этот метод требует, чтобы A не имел лишних строк.
    • Поделитесь ссылкой на этот виджет: Подробнее. Вставить этот виджет ». Добавлено 14 февраля 2012 г. пользователем Renesillo2 по математике. Быстрый расчет нулевого пространства. Вход: Матрица. Отправить отзыв | Посетите Wolfram | Alpha.
    • 11 августа 2021 г. · Задайте квадратную матрицу и добавьте к ней единичную матрицу того же размера. Матричный инверсный калькулятор symbolab. Вот шаги для вычисления обратной матрицы 2×2 с помощью ярлыка.
    • 7 часов назад Matrix Calc. Matrix Calc — бесплатное приложение для расчета матриц для Windows 10.Это хороший калькулятор матриц для вычисления матриц с максимальным порядком 10 x 10. Вы можете сгенерировать матрицу любого размера, меньшего или равного 10 x 10.
    • www.facstaff.bucknell.edu
    • 28 мая 2021 г. · Задайте матрицу квадратной формы и добавьте к ней единичную матрицу той же размерности. Дополнительные возможности калькулятора обратной матрицы. Наш калькулятор способен решать системы с одним уникальным решением, а также неопределенные системы, которые имеют бесконечное множество решений.Начальный левый массив cccc2 1 1 01 3 0 1end arrayright.
    • 28 мая 2021 г. · Задайте квадратную матрицу и добавьте к ней единичную матрицу той же размерности. Дополнительные возможности калькулятора обратной матрицы. Наш калькулятор способен решать системы с одним уникальным решением, а также неопределенные системы, которые имеют бесконечное множество решений. Начальный левый массив cccc2 1 1 01 3 0 1end arrayright.
    • 11 августа 2021 г. · Задайте квадратную матрицу и добавьте к ней единичную матрицу того же размера.Матричный инверсный калькулятор symbolab. Вот шаги для вычисления обратной матрицы 2×2 с помощью ярлыка.
    • Расчет разворотов. Умножение двух матриц. Инвертировать матрицу. Калькулятор нулевого пространства. Калькулятор пространства столбцов N (A T). Калькулятор междурядья. Разложите на множители A = LU. Калькулятор рядов Фурье.
    • Калькулятор рангов матрицы. … Размерность матрицы: X О методе. Чтобы вычислить ранг матрицы, вам необходимо проделать следующие шаги. Установите матрицу. Выберите 1-й элемент в 1-м столбце и удалите все элементы, расположенные ниже текущего.Выберите 2-й элемент во 2-м столбце и проделайте те же операции до конца (точки поворота могут быть …
    • Калькулятор матриц — лучший инструмент для вычисления матриц в режиме онлайн. Калькулятор умножения матриц позволяет вам решить систему уравнений с помощью несколько щелчков мышью … Итак, давайте посмотрим на размер этой первой матрицы, которая имеет 2 строки и 3 столбца, а вторая матрица имеет 3 строки и 3 столбца. Итак, первая матрица — это матрица два на три ..
    • Определитель матрицы A 2 x 2 определяется как ПРИМЕЧАНИЕ Обратите внимание, что матрицы заключены в квадратные скобки, а определители обозначены вертикальными чертами.Кроме того, матрица представляет собой массив чисел, но ее определитель — одно число. ОЦЕНКА ДЕТЕРМИНАНТА 2 X 2 Если. тогда. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 3 Х 3. Определитель матричного калькулятора умножения 3 x 3 …
    • . Здесь вы можете бесплатно выполнить умножение матриц на комплексные числа онлайн. Однако матрицы могут быть не только двумерными, но и одномерными (векторами), так что вы можете умножать векторы, вектор на матрицу и наоборот. После расчета вы можете сразу же умножить результат на другую матрицу!
    • Матричный калькулятор: красивый бесплатный матричный калькулятор от Desmos.com.
    • Размеры, ранг и детерминанты. Определения: (1.) Размерность — это количество векторов в любом базисе пространства, которое должно быть покрыто. (2.) Ранг матрицы — это размерность пространства столбцов. Теорема о ранге: если матрица «A» имеет «n» столбцов, то dim Col A + dim Nul A = n и Rank A = dim Col A. Пример 1: Пусть. Найдите dim Col A,
    • ConvNet Calculator. Вход. Ширина W 1 Высота H 1 Каналы D 1. Свертка. Количество фильтров K Пространственный размер F Шаг S Нулевое заполнение P. Фигуры…
    • www.facstaff.bucknell.edu
    • 24 августа 2021 г. · Напомним, что для матрицы размером m × n это был случай, когда размерность ядра матрицы A, добавленная к рангу матрицы A, была равна n. Теорема 9.8.1: Размерность ядра + изображения. Пусть T: V → W — линейное преобразование, где V, W — векторные пространства. Предположим, что размерность V равна n. Тогда n = dim (ker (T)) + dim (im (T)).
    • Таким образом, чтобы вычислить трассировку матрицы, просмотрите калькулятор трассировки матрицы из доступных инструментов. Входные размеры.После того, как вы перейдете к следу матричного калькулятора, введите порядок вашей матрицы. Трасса вычисляется для квадратной матрицы, поэтому размер матрицы, имеющей равное количество строк и столбцов, должен быть …
    • Когда x является вектором, он обрабатывается как столбец, т. Е. Результат 1- матрица-строка. *, вычисляется как Conj (t (A)).Ссылки
    • Бесплатный матричный калькулятор — решайте матричные операции и функции, шаг за шагом. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.
    • Поделитесь ссылкой на этот виджет: Подробнее. Вставить этот виджет ». Добавлено 14 февраля 2012 г. пользователем Renesillo2 по математике. Быстрый расчет нулевого пространства. Вход: Матрица. Отправить отзыв | Посетите Wolfram | Alpha.
    • Поиск нулевого пространства (ядра) матрицы онлайн на нашем сайте избавит вас от рутинных решений.Приводим пояснительные примеры с пошаговыми действиями.
    • (2060) в RK × 1 × L означает третье измерение, перпендикулярное странице (не D.1 Слово «матрица» происходит от латинского слова «матка»; связано с префиксом matri — производным от mater, что означает «мать»).
    • Объем жидкостей измеряется в литрах, квартах, пинтах, галлонах Онлайн-калькулятор нерегулярной призмы, представленный ниже, автоматически рассчитает объем нерегулярной призмы на основе введенных вами измерений.У вас также будет промежуточная сумма, которая будет накапливаться по мере ввода новых измерений в калькулятор объема.
    • Rref Калькулятор для решателей задач. Калькулятор Rref используется для преобразования любой матрицы в сокращенную форму эшелона строк. Это облегчает жизнь людям, использующим матрицы. Как только он превращается в сокращенную форму эшелона строк, его использование в линейной алгебре становится намного проще и может быть действительно удобным для математиков.
    • Преобразование матрицы в сокращенную форму эшелона строк: Найдите матрицу в форме сокращенного эшелона строк, которая является строкой, эквивалентной заданной матрице A размера m x n.Решение системы линейных уравнений: Решите заданную систему из m линейных уравнений от n неизвестных. Вычисление обратного значения с использованием строковых операций: Найдите (если возможно) обратное к заданной матрице A размера n x n.
    • Калькулятор ранга матрицы
    • . … Размерность матрицы: X О методе. Чтобы вычислить ранг матрицы, вам необходимо проделать следующие шаги. Установите матрицу. Выберите 1-й элемент в 1-м столбце и удалите все элементы, расположенные ниже текущего. Выберите 2-й элемент во 2-м столбце и проделайте те же операции до конца (могут быть развороты…
    • Матричный калькулятор: красивый бесплатный матричный калькулятор от Desmos.com.
    • Калькулятор нулевого пространства. Калькулятор нулевого пространства найдет основу для нулевого пространства матрицы и покажет все этапы процесса на этом пути.
    • • Калькулятор GCF • Калькулятор LCM • Пифагорейский тройной список Orthorgonal Diagnolizer Онлайн-инструмент orthorgnol диагностирует реальную симметричную матрицу с пошаговыми пояснениями. Начните с ввода номера строки и столбца матрицы в панели формул ниже.

Продать подержанное лыжное снаряжение рядом со мной Примеры наказания в классе-Polaris fire utv Фанфики о массаже Ниндзяго-

Пульт управления сварщика Lincoln ranger 250

Деревенский совет Беверли-Хиллз Идентификация прокладки головки Duramax-Clash royale глитч-газ Моноксид азота

настройка приложения fiori

резиновые захваты для мишени Colt king cobra

Детали каркаса понтона

Изуку забеременела Мина — фанфики в пользователях клиент синхронизации onedrive с неработающими учетными данными Windows Gigabyte gtx 1050 ti драйверы windows 7 64 бит-1080 x265 автоматическое регулирование скорости калифорния-

Бесплатное исправление открыт для закрытия 3 ank

Libevent https serverCasual menpercent27s-Century arm tantalFortigate packet capture wire reviewhark-

03

Make -Fraud bible 2020 Ссылка для скачивания Palo alto log dns query-

Gcam for kirin 980 Когда использовать гавайский бутон-Forge of empires 1.Продажа билетов на seatgeek reddit-

Kat roblox crafting3 islamabad map-50 lb command hooksMalay aoe2 tech tree-

Liberty Hill Car авария август 2021 г.

обзоры фильтров для воды Pure Touch Матрица 3×3 не диагонализуемая-Калифорния предупреждает об увольнении по сторонам продается владельцем

Выберите 4, полдень сегодня, Южная Каролина, Лаборатория Csapp malloc — Глава 11, оценка, биология, ответы, стр. 368, Komatsu Construction-

, Таблица ответов на сопоставление экспоненциальных графиков и уравнений, ключ ответа

Nenu ma thammudu Загрузка Microsoft Store застряла в 0-Университете Аризоны, отчеты полиции, Отказ от требований для выпускников Калтеха —

Томар сигнальные части Список закрытых слоговых слов-Tascam 38 пар. tsBaal veer возвращает эпизод 110 sony liv-

123 индикатор mt4 скачать бесплатно

Мяч падает с вершины здания высотой 100м2020 yz125 на продажу рядом со мной — Темный женский фанфик о Гарри ПоттереKode togel jbr malam-

Кронштейн индикатора переключения передач Ford

Is Стрельба по голубям из пистолета BB в Техасе незаконна. усыпить кошку шоками ibd-Ohlins dyna Американское семейное страхование ho 86 10

Fde Mag ReleaseVolte enable apk-Aero marvel wikipedia, Hampton bay c Инструкции по удаленному управлению вентилятором eiling-

Windows 10 OEM ключ продукта

Ресурсы по командам консоли Phoenix Point Пример адреса электронной почты учителю-Jambofutaa сегодня 100 fixMobile data speed Booster app-

Как получить пакет текстур для бездомных нубовChawl house web series wiki online-Boarding diary manwha rawCva cascade vs ruger american-

Продай мою рогатку Polaris

Малые биотехнологические компанииДобавить в календарную ссылку-Математика 2, ответы на тест 2Галлоны в фунты топлива-

Движение по освобождению приказа о хранении

Satta King Fast 2020 faridabadГрафическая карта греческих богов и богинь-Бесплатный образец вязания крючком для грелки для ушей Металлические стержни-

Запрошено неизвестное имя формата зашифрованного текста

Ch3o гибридизация oPso2 раздутая грудь-Sims 4 код кошек и собакLoki x reader pet-

Результат лотереи Бутана 15 апреля 2019 г.

Генератор случайных буквБыстрый массаж рядом со мной-Ggplot толщина линии Uw wsa reddit —

Генератор клановых тегов из 4 букв

Поиск в суде округа Десото h africa news-Секретный бункер в лесу ВирджинииPatreon скачать аудио-

Yorrentz2Taurus tracker 692 scope mount-Golated multiplayer fixFortigate root vdom-

Площадь параллелограмма с калькулятором 4 вершин 3d

Октябрь 2019 г. отменено 3.06 блок 4 экзамен quizlet-

Заправочная станция на продажу область залива

Открытый коврик для ступенейForge of empires help vs polish-Usps lakeland District IllinoisPace arrow lxe 38k для продажи-

Как выпрямить веревочные фонари Покрасьте, чтобы соответствовать trex decking-Dart, если еще стенографияСмотрите jiang ziya online-

Humanoid robot Instructables

2014 chevy cruze code p1101Dfuse commands-Пара нарядов с пляжными фотографиями Бесплатный шрифт штрих-кода для Microsoft Office-

Распространение Alocasia maharani

Номер телефона Shillong teerРабота помощника по недвижимости на неполный рабочий день-Руководство по ценам на пшеничные пенни 2019Что такое амиш запрещено to do-

Прицеливание в прицел 4x32Cat 3408 для продажи-Концерты Des moines HDR10 плюс видео-

Продление срока годности теста Carestart covid 19 на антиген Новая мексика частные тюрьмы-ошибка Cronus zen e3002Mac unzip command line-

Danganronpa talent Наборы охотничьих ружей на дальние дистанции shkenazi red hair-

Утечка памяти Pytorch lightning

Основы ЧПУ и программирование. Автор: p.м. agrawal pdfBriggs and stratton 550ex тип масла — набор данных номерных знаков githubSten builders-

Scratch off scannerShenzhen device on network-Jigsaw puzzles 1000 шт. Триггер-

Размеры Arduino leonardo Масляный фильтр Pf52e подходит для какого транспортного средства-3406e без давления наддува Muskogee теперь полицейские отчеты-

1998 jeep cherokee o2 sensor

Miller and Levine Biology Chapter 2 Химия жизни pdfPs4 pkg extractor-Tools namesSega ringedge 2 emulator-

макрос использовать либо безделушку

Malibu monsoon 410Emuelec psx bios-Greenwood Crime NewsJquery ui слайдер не отображается-

Panasonic viera 10 мигает

Prediksi japanTop Wyoming General Elk Unlock-Lg lm x210apm unlockAll the bright places цитаты вместимость

улица

, Япония, ночь

округ Лоуренс, этап 4

Матрицы 900 01

Матрица — это массив чисел:


Матрица
(в ней 2 строки и 3 столбца)

Речь идет об одной матрице , или нескольких матрицах .

Мы можем многое с ними сделать …

Добавление

Чтобы сложить две матрицы: сложите числа в соответствующих позициях:

Это расчеты:

3 + 4 = 7 8 + 0 = 8
4 + 1 = 5 6−9 = −3

Две матрицы должны быть одинакового размера, т.е. строки должны совпадать по размеру, а столбцы должны совпадать по размеру.

Пример: матрица с 3 строками и 5 столбцами может быть добавлена ​​к другой матрице из 3 строк и 5 столбцов .

Но его нельзя было добавить в матрицу с 3 строками и 4 столбцами (столбцы не совпадают по размеру)

отрицательный

Негатив матрицы тоже прост:

Это расчеты:

— (2) = — 2 — (- 4) = + 4
— (7) = — 7 — (10) = — 10

Вычитая

Чтобы вычесть две матрицы: вычтите числа в совпадающих позициях:

Это расчеты:

3−4 = −1 8−0 = 8
4−1 = 3 6 — (- 9) = 15

Примечание: вычитание фактически определяется как сложение отрицательной матрицы: A + (-B)

Умножить на константу

Мы можем умножить матрицу на константу (в данном случае значение 2) :

Это расчеты:

2 × 4 = 8 2 × 0 = 0
2 × 1 = 2 2 × −9 = −18

Мы называем константу скаляром , поэтому официально это называется «скалярное умножение».

Умножение на другую матрицу

Для умножить две матрицы вместе немного сложнее … прочтите Умножение матриц, чтобы узнать, как.

Разделение

А что с делением? Что ж, мы не делим матрицы на , мы делаем это так:

A / B = A × (1 / B) = A × B -1

, где B -1 означает «инверсию» B.

Итак, мы не делим, вместо этого мы умножаем на обратное .

И есть особые способы найти обратное, подробнее см. Обратный к матрице.

Транспонирование

Чтобы «транспонировать» матрицу, поменяйте местами строки и столбцы.

Мы ставим букву «Т» в верхнем правом углу, чтобы обозначить транспонирование:

Обозначение

Матрица обычно обозначается заглавной буквой (например, A или B)

Каждая запись (или «элемент») обозначается строчной буквой с «нижним индексом» строки , столбец :

Строки и столбцы

Итак, какая строка, а какая колонка?

  • рядов слева направо
  • Колонны идут вверх-вниз

Чтобы помнить, что строки идут перед столбцами, используйте слово «дуга» :

а р, в


Пример:

B =

Вот несколько примеров записей:

b 1,1 = 6 (запись в строке 1, столбце 1 — 6)

b 1,3 = 24 (запись в строке 1, столбце 3 — 24)

b 2,3 = 8 (запись в строке 2, столбце 3 — 8)

Калькулятор матрицы

— eMathHelp

Этот решатель будет складывать, вычитать, умножать, делить и возводить в степень две матрицы с указанными шагами.Он также найдет определитель, инверсию, rref (сокращенная форма эшелона строк), пустое пространство, ранг, собственные значения и собственные векторы.

Ваш ввод

Вычислить $$$ \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \ end {array} \ right] + \ left [\ begin {array} {ccc} 2 & 1 & 4 \\ 5 & 7 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \ end {array} \ right]. $$$

Решение

$$$ \ left [\ begin {array} {ccc} \ color {Blue} {1} & \ color {Green} {0} & \ color {SaddleBrown} {0} \\\ color {Фиолетовый} {0} & \ color {BlueViolet} {0} & \ color {Fuchsia} {4} \\\ color {Перу} {0} & \ color {Chartreuse} {1} & \ color {Purple} { 0} \ end {array} \ right] + \ left [\ begin {array} {ccc} \ color {Blue} {2} & \ color {Green} {1} & \ color {SaddleBrown} {4} \\ \ color {Violet} {5} & \ color {BlueViolet} {7} & \ color {Fuchsia} {1} \\\ color {Peru} {1} & \ color {Chartreuse} {2} & \ color {Purple } {5} \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {ccc} \ color {Blue} {\ left (1 \ right)} + \ color {Blue} {\ left (2 \ right)} & \ color {Green} {\ left (0 \ right)} + \ color {Green} {\ left (1 \ right)} & \ color {SaddleBrown} {\ left (0 \ right)} + \ color {SaddleBrown} {\ left (4 \ right)} \\\ color {Violet} {\ left (0 \ right)} + \ color {Violet} {\ left (5 \ right)} & \ color {BlueViolet} {\ left (0 \ right)} + \ color {BlueViolet} {\ left (7 \ right)} & \ color {Fuchsia} {\ left (4 \ right)} + \ color {Fuchsia} {\ left (1 \ right)} \\\ color {Перу} {\ left (0 \ right)} + \ color {Peru} {\ left (1 \ right)} & \ co lor {Chartreuse} {\ left (1 \ right)} + \ color {Chartreuse} {\ left (2 \ right)} & \ color {Purple} {\ left (0 \ right)} + \ color {Purple} { \ left (5 \ right)} \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {ccc} 3 & 1 & 4 \\ 5 & 7 & 5 \\ 1 & 3 & 5 \ end { array} \ right] $$$

Ответ

$$$ \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \ end {array} \ right] + \ left [\ begin { array} {ccc} 2 & 1 & 4 \\ 5 & 7 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {ccc} 3 & 1 & 4 \ \ 5 & 7 & 5 \\ 1 & 3 & 5 \ end {array} \ right] $$$ A

.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *