Матрица 2 3: Размер матрицы — Фотография Тесты обзоры советы уроки — Primelens.ru-Зеркальные Фотоаппараты,Компактные Фотоаппараты,Видеокамеры,Объективы,Фотовспышки, и Аксессуары в Москве.

Матрица 2 3: Размер матрицы — Фотография Тесты обзоры советы уроки

Содержание

размер матрицы фотоаппарата | Мир сквозь призму

Многие уже в курсе того, что нужно знать, выбирая цифровой фотоаппарат.

Сегодня поговорим о таком важном элементе, как матрица фотоаппарата и ее разрешении.

1. Мегапиксели

Реклама пестрит: мегапиксели! Почему-то убеждая покупателя, что чем больше этих самых мегапикселей, тем лучше снимает камера.

Наверное, стоит пояснить, что такое пиксель. Пиксель – это элемент изображения, который состоит из 5ти частей, несущих информацию: яркость красного, яркость зеленого и яркость синих цветов, а также координаты по вертикали и горизонтали.

Эти данные позволяют процессору камеры правильно определять положение точек на матрице и их цвета. Все вместе пиксели образую кадр. В Мегапикселях (миллион пикселей) измеряют размер фотографии или отсканированного снимка.

2. Размер матрицы фотоаппарата

Однако матрица камеры, на которую записывается информация, имеет определенные размеры. За стандарт матрицы цифрового фотоаппарата принят размер пленочного кадра 24х35мм. В зависимости от типа камеры матрицы могут быть меньше или равны этому формату.

Ниже вы можете увидеть соотношение физических размеров матрицы некоторых моделей цифровых фотоаппаратов к стандартному размеру пленки в 35 мм. У компактов размер матрицы принято указывать в виде формулы 1/х ” (где «х» может быть целым или дробным числом, например 1/1,7, 1/2,5 и т. п.), а у зеркальных камер указываются физические размеры матрицы в мм (например, 22,2×14,8 мм или 24х36 мм).

Компактные камеры:

Матрица размером 1 / 3.2″ – самые маленькие матрицы, соотношение сторон 4:3, физический размер 3.4 х 4.5 кв.мм;
Матрица размером 1 / 2.7″ , соотношение сторон 4:3, физический размер 4.0 х 5.4 кв.мм;

Хорошие компактные камеры и псевдозеркалки

Матрица размером 1 / 2,5″, соотношение сторон 4:3, то есть 4,3 х 5,8 кв.мм;

Матрица размером 1 / 1,8″ , соотношение сторон 4:3, геометрический размер 5,3 х 7,2 кв.мм;

Дорогие компактные камеры и компактных камерах со сменной оптикой

Матрица размером 2 / 3″ , соотношение сторон 4:3, физический размер 6,6 х 8,8 кв.мм ;
Матрица размером 4 / 3″ , физический размер 18 х 13,5 кв.мм, соотношение сторон 4:3;

Бюджетные и полупрофессиональные зеркальные камеры

DX, APS-C формат, соотношение сторон 3:2, размер около 24 х 18 кв.мм. Матрицы таких размеров соответствуют “полукадру” 35 мм кадра.

3. Как это все совмещается

Чем больше размер матрицы фотоаппарата, тем комфортнее чувствуют себя светочувствительные элементы – пиксели: расстояние между ними больше, перегреваются они меньше и, следовательно, лучше восприимчивость матрицы к свету. И тем качественнее получится снимок. Даже при одинаковом количестве пикселей качество фотографий с разных фотокамер может оказаться разным.

Что бы ни кричала реклама, число мегапикселей определяет лишь максимальный размер отпечатка, который можно получить с фотографии. И совсем уж мегапиксели не связаны с качеством изображения в отличие от размера матрицы цифровых фотоаппаратов. Ведь по факту даже разрешения 2 Мп достаточно, чтобы напечатать изображение хорошего качество размером 10*15. А 4Мп подойдут прекрасно для фотографии формата А4.

Поэтому гораздо более важно не количество пикселей, а их размер. Ведь если на маленькую матрицу запихнуть, скажем, 8Мп, то они будут очень маленькими. А чем меньше размер пикселя, тем выше уровень шума изображения. В компактных камерах и большинстве зеркалок нежелательные эффекты сглаживает встроенная программа шумоподавления, но эффект от нее — замыленность снимка.

Большое количество компактных любительских камер имеет разрешение матрицы фотоаппарата от 5 до 12 Мп, у зеркалки же этот диапазон составляет от 8 до 21 МП, при этом размер матрицы гораздо больше. В настройках камеры всегда можно выбрать разрешение снимка. Советую устанавливать этот параметр, ориентируясь на золотую середину, – такого разрешения вполне достаточно, чтобы получить четкую и красочную картинку.

Чтобы лучше объяснить соотношение количества пикселей и размера матрицы, приведу простой пример. Допустим, нужно посадить на грядке кусты клубники. Чем больше грядка, тем больше кустов можно посадить. Но если попытаться втиснуть на кусок земли 20 кв.м. 5 кустов, то в итоге вырастет сорняк.

Так и с пикселями: количество пикселей может быть одинаковым, но у «взрослой» камеры они будут на большей площади и смогут собрать больше света. А больше света — это, как правило, меньше шума и более широкий динамический диапазон.

Надеюсь, я все доступно объяснила. Удачи вам в выборе фотокамеры!

Матрицы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Задание. Вычислить $A B$ и $B A$, если $A=\left( \begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {2} & {0} \\ {3} & {0}\end{array}\right), B=\left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {2} & {0}\end{array}\right)$

Решение. Так как $A=A_{3 \times 2}$ , а $B=B_{2 \times 2}$ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица $C=C_{3 \times 2}$ , а это матрица вида $C=\left( \begin{array}{cc}{c_{11}} & {c_{12}} \\ {c_{21}} & {c_{22}} \\ {c_{31}} & {c_{32}}\end{array}\right)$ .

Вычисли элементы матрицы $C$ :

$ c_{11}=a_{11} \cdot b_{11}+a_{12} \cdot b_{21}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 2=-1 $

$ c_{12}=a_{11} \cdot b_{12}+a_{12} \cdot b_{22}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 0=1 $

$ c_{21}=a_{21} \cdot b_{11}+a_{22} \cdot b_{21}=2 \cdot 1+0 \cdot 2=2 $

$ c_{22}=a_{21} \cdot b_{12}+a_{22} \cdot b_{22}=2 \cdot 1+0 \cdot 0=2 $

$ c_{31}=a_{31} \cdot b_{11}+a_{32} \cdot b_{21}=3 \cdot 1+0 \cdot 2=3 $

$ c_{31}=a_{31} \cdot b_{12}+a_{32} \cdot b_{22}=3 \cdot 1+0 \cdot 0=3 $

Итак, $C=A B=\left( \begin{array}{rl}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right)$ .

Выполним произведения в более компактном виде:

$=\left( \begin{array}{rrr}{1 \cdot 1+(-1) \cdot 2} & {1 \cdot 1+(-1) \cdot 0} \\ {2 \cdot 1+0 \cdot 2} & {2 \cdot 1+0 \cdot 0} \\ {3 \cdot 1+0 \cdot 2} & {3 \cdot 1+0 \cdot 0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right)$

Найдем теперь произведение $D=B A=B_{2 \times 2} \cdot A_{3 \times 2}$. Так как количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ. $A B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right)$ . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы $B$ не совпадает с количеством строк матрицы $A$ .

Эксперт Sony Александр Бахтурин делает обзор матриц. Часть 1

Александр Бахтурин

Преподаватель отдела маркетинга, эксперт компании Sony

В начале 1990-х годов появились новые автомобильные журналы, и я познакомился с автожурналистами, много для них снимал. Случались заказы от представительств и ведущих автосалонов, которые тогда были распространены, едва ли не как газетные киоски. Выигрывал я, в числе прочего, за счет качества цвета, точно подбирая фотоплёнку под задачу. Например, для алого автомобиля — Kodak, всегда более тёплую по картинке; для синего-зелёного — самую простую пленку Fujifilm; а для серо-cеребристых Audi — обязательно Agfa. Потому что статьи специалистов Agfa в германском журнале FotoMagazin и американском Popular Photography читал всегда…

От пленки к цифре

В 1995 году в интервью о перспективах развития цифрового рынка специалист Agfa ответил следующее: «Невозможно сравнивать современные 2-6-мегапиксельные матрицы с построчным переносом с кадром плёнки, который за тысячную долю секунды захватывает изображение в 18 Мпикс. с идеальной цветопередачей». И никакая пыль, как в случае использования сенсора в камере со сменной оптикой, на плёнку не влияет. И каждый следующий кадр является новым. Да, таковы были важнейшие преимущества.

Плёнки лучших компаний-производителей были рассчитаны на различные цветовые задачи: от примитивных по цвету, но ярких, любительских до профессиональных, передающих тончайшие оттенки. Про-эмульсии к концу 1990-х годов состояли из 3-4 чувствительных слоёв, в которых были распределены серебросодержащие молекулярные агрегаты, чувствительные к различной длине световой волны. По прошествии 20 лет мы можем говорить об эмульсионных носителях с 15 слоями!

Плёнка остаётся высоко ценимым инструментом профессиональных фотохудожников, но в любительской и коммерческой скоростной фотографии победила цифра. Главное в нынешнем цифровом фотоаппарате — сенсор. Если плёнку можно выбрать «под задачу» — с определённой зернистостью, цветопередачей и проработкой переходов серого, то сенсор покупается в цифровике раз и на… 3-7 лет. Это плёночная камера живёт долго. Есть 80-летние аппараты, используемые и сегодня с удовольствием. А 50-летние не хочется из рук выпускать…

Сенсор — не поменяешь, к его характеристикам и особенностям придётся «прикипеть». Цифровая камера рассчитана на 5-7 лет. И у любителя, и у профессионала она может трудиться 10 лет, а может рассыпаться через месяц. Как правило, через 2-3 года цифровая камера станет «немодной»; через 3-4 года действительно устареет; а через 5 лет будет не более чем историческим артефактом. Потому как скорость падения цены при вторичной продаже после года пользования весьма высока.

Каковы основные типы современных фотосенсоров?

ПЗС/CCD

ПЗС — система накопления заряда. Фотон света, попадающий в полупроводниковый прибор, поглощается зоной кремниевой подложки р-типа, в которой имеется дефицит электронов. Накопление электронов при воздействии света это и есть фотоэффект. «Накопительные ямы» связаны между собой, и заряд перетекает от одного к другому линейно и далее к считывающему регистровому ПЗС, который служит накопителем сигнала (помните, ПЗС изначально это элемент памяти?). Процессом подачи электро-потенциалов на ячейки сенсора управляет микросхема с тактовым генератором, он же контролирует считывание сигнала с регистров. Этот аналоговый сигнал попадает в усилитель и декодируется в аналогово-цифровом преобразователе. Мы получили чёрно-белое изображение.

Такой высокочувствительный сенсор нуждается в механическом затворе — считывание производится только после прекращения накопления заряда ячейками-пикселами. Интервал между срабатываниями затвора будет зависеть от скорости считывания. Энергопотребление весьма высоко, при работе выделяется много тепла, паразитно влияющего на сохранение и перенос заряда.

Первые сенсоры были весьма просты, их принцип ещё в 1908 году описал шотландский учёный Арчибальд Свинтон, придумавший электронно-лучевую трубку. В 1969 году Уиллард Бойл и Джордж Смит из компании AT&T Bell Laboratories сформулировали идею технического задания по созданию ПЗС, и уже в 1972 году Texas Instruments запатентовало устройство записи изображений с ПЗС-сенсора на магнитную ленту. Собственно, лаборатории работали над созданием устройства памяти для видеотелефонии, но уже в 1970 году они делали фотосъёмку с помощью линейного ПЗС-сканирования: фотоэлектрический эффект оказался важнее эффекта накопления заряда.

В 1973 компания Fairchild начала выпуск ПЗС-матриц с картинкой 100х100 пикс. В 1975 году Стив Сассон из компании Kodak создал на такой матрице первый цифровой фотоаппарат. Запись изображения шла в течение 23 с, в полтора раза дольше информация сохранялась на 8-мм видеокассете. Масса камеры достигала 3,6 кг. В 1976 году на производстве компании Procter&Gamble работала первая коммерческая камера Fairchild MV-1. И только в 1978 году было впервые запатентовано устройство цифровой фотокамеры.

О роли компании Sony в развитии ПЗС-технологий

Огромный вклад в развитие рынка цифровых видео- и фотокамер внёс президент корпорации Sony America Кадзуо Ивама/Kazuo Iwama. Его коммерческое чутьё подвигло Sony вложить в производство ПЗС огромные средства и наладить массовое производство видеокамер. После его смерти в 1982 году ПЗС-микросхема была вмонтирована в надгробную плиту.

В 1980 году компания Sony представила первую цветную ПЗС-видеокамеру XC-1. В 1981 г. Sony объявила о начале производства Sony Mavica (Ma-vi-ca — магнитная видеокамера — прим. ред.), записывавшая NTSC-видео с разрешением 570×490 пикс. на 2-дюймовый флоппи-диск Mavipak/Video Floppy VF-50, где помещалось 50 фотографий. В 1982 году Mavica превратилась в прототип, как две капли воды напоминающий современные модели Sony A7, со сменной оптикой и адаптером под объективы Nikon Ai. Идея камеры обогнала развитие цифровой фотографии на 35 лет!..

На Олимпийских играх 1984 года в Лос-Анджелесе компания Canon показала устройство Still Video System D413, позже превратившееся в первый цифровой фотоаппарат Canon RC-701 (1986). В 1990 году компания Kodak разработала первый цифровой встраиваемый модуль DCS Digital Film Back с внешним сохранением информации для профессионального Nikon F3HP, получив камеру Kodak DSC-DC3/DM3 в 5 кг весом с разрешением 1,3 Мпикс. сенсором Kodak M3. Калифорнийская Dycam в это же время выпустила первую действительно компактную ч/б цифровую камеру Dycam Model 1, продававшуюся как Logitech FotoMan FM-1. В 1995 году компания Sony выпускает первый массовый аппарат Sony Cyber-shot DSC-F1 (1/3″ CCD; 0,3 Мпикс.; 640×480) с ЖК-дисплеем и поворотным модулем объектива. Кстати, схема дожила до 2010 года в модели Sony Bloggie MHS-PM5.

В 2009 г. Уиллард Бойл и Джордж Смит получили Нобелевскую премию по физике за создание ПЗС.

Продолжение материала (часть 2) читайте здесь.

Типы и размеры матриц камер видеонаблюдения

Рассмотрим типы матриц. И начнем от обратного. Матрицы, не использующиеся Hikvision — CCD-матрицы.

По сравнению с технологией CMOS, которую применяет в своих камерах Hikvision, CCD-матрицы позволяют создавать высококачественное изображение. В процессе съемки возникает гораздо меньше шумов, а бороться с все же возникшими намного легче, чем в матрицах CMOS.

Еще одним важным показателем является их высокая эффективность. Например, коэффициент заполнения у матриц CCD приближается к 100%, а соотношение зарегистрированных матрицей фотонов к их общему числу — 95%. Если сравнивать с нашими глазами, то при расчёте в тех же единицах соотношение составит только 1%.

К недостаткам CCD-матриц можно отнести сложность процесса. Для фиксации изображения в камере необходимо дополнительное наличие целого перечня устройств. Это приводит к более высокому энергопотреблению, делает их дороже в производстве и «капризнее» в эксплуатации.

Теперь о CMOS-матрицах.

Главное достоинство CMOS-матриц — более низкое энергопотребление и возможность произвольного считывания ячеек, а это CCD-матрице недоступно, там считывание происходит одновременно. Благодаря произвольному считыванию в CMOS-матрицах нет размазывания изображения.

Еще одно достоинство – расположение значительной части электроники непосредственно на ячейке, благодаря этому появляются широкие возможности управления матрицей и изображением.

При всех имеющихся достоинствах данной технологии, недостатков хватает. Главный — незначительный размер светочувствительного элемента в соотношении к общей площади пикселя. Одно из основных достоинств – расположения электроники на ячейке. Но из него вытекает еще один недостаток — значительная часть площади пикселя занята электроникой, а значит, уменьшена площадь светочувствительного элемента.

В то же время нельзя не отметить, что CMOS был модифицирован несколько лет назад, и для видеонаблюдения CMOS-матрицы действительно подходят лучше (благодаря чёткому изображению, низкому энергопотреблению и возможности уменьшать ]]>битрейт видео]]>.

Размеры матриц

Матрицы для видеокамер бывают разного физического размера: 1/2″, 1/3″, 1/4″, 1/6″ и т.д. Чем больше физический размер матрицы, тем лучше качество картинки. Но и цена камеры растет вместе с размером матрицы. Размер такого «дюйма» — 16 мм, (унаследовано от видикона диаметром 1″, рабочая диагональ там была именно 16 мм), и называется он «видиконовый дюйм». Впрочем, это название используется нечасто.

Это то, что стоит знать при выборе камеры, рассматривая гипотетическую ситуацию (с преувеличенными значениями), 10-мегапиксельная камера с матрицей 1/10″ будет давать большое изображение довольно скверного качества. Представьте, как мало фотоинформации будет получать камера, при примерно 10. 000. 000 пикселей на матрицу с диагональю 1.6 мм.

Определитель матрицы 2×2, 3×3, 4×4…

Определитель (детерминант) квадратной матрицы A — это число, обладающее определенными свойствами, которое может быть получено из элементов матрицы рядом методов.

Обозначения

Пусть $ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$det(A) = \left|A\right| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

Свойства определителя

Если матрица имеет строку или столбец, все элементы которого равны нулю, то ее определитель равен 0.
Пример 12
$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ или $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 0\\ 4 & 2 & 0\\ 3 & 9 & 0 \end{vmatrix}=0$
Если в матрице есть две одинаковых строки или два одинаковых столбца, то ее определитель равен 0.
Пример 13
$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 1 & 4 & 2\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ или $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 1\\ 4 & 2 & 4\\ 3 & 9 & 3 \end{vmatrix}=0$
Если в матрице есть две пропорциональных строки или два пропорциональных столбца, то ее определитель равен 0.
Пример 14
$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 2 & 8 & 4\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ (две первые строки пропорциональны)
или
$\begin{vmatrix} 8 & 4 & 7\\ 4 & 2 & 3\\ 18 & 9 & 8 \end{vmatrix}=0$ (два первых столбца пропорциональны)
Если некоторая строка (столбец) является суммой или разностью других строк (столбцов), то определитель равен 0.
Пример 15
$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 7 & 2 & 3\\ 8 & 6 & 5 \end{vmatrix}= 0$ $R_{1} +R_{2} =R_{3}$ или
$ \begin{vmatrix} 9 & 12 & 3\\ 1 & 8 & 7\\ 5 & 7 & 2 \end{vmatrix}=0$ $C_{1}+C_{3}=C_{2}$
При вычислении определителя можно выносить общие множители целых строк или столбцов.
Пример 16
В определителе
$\begin{vmatrix} 3 & 9 & 12\\ 5 & 1 & 8 \\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, можно вынести множитель 3 из первой строки $(R_{1})$, тогда получаем:
$3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4\\ 5 & 1 & 8\\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, затем выносим 2 из третьего столбца $(C_{3})$:
$6\cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 5 & 1 & 4\\ 7 & 4 & 1 \end{vmatrix}$
При вычислении определителя можно прибавлять (отнимать) строки к другим строкам и столбцы к другим столбцам; определитель матрицы при этом не меняется.
Пример 17
$\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{R_{1}+R_{2}} \begin{vmatrix} 4 & 13\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$
Пример 18
$\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{C_{1}+C_{2}} \begin{vmatrix} 6 & 5\\ 11 & 8 \end{vmatrix}$
При вычислении определителя можно прибавлять или отнимать строки и столбцы, умноженные на произвольный коэффициент.
Пример 19
$\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{2R_{1}+3R_{2}} \begin{vmatrix} 11 & 34\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$
Пример 20
$\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{5C_{1}-C_{2}} \begin{vmatrix} 0 & 5\\ 7 & 8 \end{vmatrix}$
Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей данных матриц.

Минор матрицы

Определитель матрицы, полученной вычеркиванием некоторых строк и столбцов матрицы, называется минором этой матрицы.

Пример 21
$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Один из миноров матрицы A есть $\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 5 & 3 \end{vmatrix}$ (он получается вычеркиванием строки 3 и столбца 3 из матрицы A)

Другим минором является $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 1 \end{vmatrix}$ (получается вычеркиванием строки 2 и столбца 2 из матрицы A)

Пример 22
$B=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7 & 9\\ 6 & 8 & 3 & 2\\ 7 & 8 & 1 & 4 \end{pmatrix} $

Один из миноров матрицы B есть $ \begin{vmatrix} 1 & 7 & 9\\ 8 & 3 & 2\\ 8 & 1 & 4 \end{vmatrix}$ (получается вычеркиванием строки 1 и столбца 1 из матрицы B)

Другим минором является $\begin{vmatrix} 1 & 7 \\ 8 & 3 \end{vmatrix}$ (получается вычеркиванием строк 1 и 4 и столбцов 1 и 4 из матрицы B)

Пусть $A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{pmatrix}$

Можно определить минор $\Delta_{i,j}$, полученный вычеркиванием строки i и столбца j, для любого элемента $a_{i,j}$ квадратной матрицы A. Такой минор называется дополнительным.

Пример 23
$ A = \begin{pmatrix} 4 & 7\\ 2 & 9 \end{pmatrix}$

Определить дополнительный минор элемента 2. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 1, видно, что это $a_{2,1}$.

Нужно вычеркнуть строку 2 и столбец 1 из матрицы A, после чего получаем

Минор, дополнительный к элементу 2, есть $\Delta_{2,1} = 7$.

Пример 24
$B=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 6 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}$

Нужно найти минор, дополнительный к элементу 7. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 3, видно, что это $a_{2,3}$.

Мы должны вычеркнуть строку 2 и столбец 3 из матрицы B, после чего мы получаем

Минор, дополнительный к элементу 7, — это $\Delta_{2,3}= \begin{vmatrix} 1 & 4\\ 6 & 2 \end{vmatrix}$

Пример 25
$C=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7 & 9\\ 6 & 8 & 3 & 2\\ 7 & 8 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

Нужно найти минор, дополнительный к элементу 5. Так как данный элемент находится в строке 1, столбце 2, видно, что это $a_{1,2}$.

Мы должны вычеркнуть строку 1 и столбец 2 из матрицы C, после чего мы получаем

Минор, дополнительный к элементу 5, — это $\Delta_{1,2}= \begin{vmatrix} 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end{vmatrix}$

Алгебраическое дополнение элемента матрицы

Пусть $A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & .{7}\cdot\Delta_{2,5}= -\Delta_{2,5} $ соответствует элементу $a_{2,5}$.

Порядок определителя

Порядок определителя матрицы равен числу ее строк и столбцов.

Пример 26
$\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 6 & 2\\ \end{vmatrix}$ (матрица имеет 2 строки и 2 столбца, так что порядок определителя равен 2)

Пример 27
$\begin{vmatrix} 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end{vmatrix}$ (матрица имеет 3 строки и 3 столбца, так что порядок определителя равен 3)

Вычисление определителя матрицы

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца и их алгебраических дополнений.

$\left| A\right| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & .{4}\cdot\Delta_{1,3}=$ $a_{1,1}\cdot\Delta_{1,1}-a_{1.2}\cdot\Delta_{1,2}+a_{1.3}\cdot\Delta_{1,3}$

$\Delta_{1,1}= \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} = a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,2}$

$\Delta_{1,2}= \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix} = a_{2,1}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,1}$

$\Delta_{1,3}= \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} = a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{2,2}\cdot a_{3,1}$

$\left| A\right| =a_{1,1}\cdot( a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,2})-a_{1,2}\cdot(a_{2,1}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,1})+$ $a_{1,3}\cdot(a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{2,2}\cdot a_{3,1})=$ $a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}-a_{1,2}\cdot a_{2.1}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}+$ $a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}=$ $\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}+a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-}$ $\color{red}{(a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}+a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,3}+a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1})}$

Упростить получение последней формулы можно следующим образом.

Начнем с того, что перепишем первые две строки под определителем как показано ниже.

$\begin{vmatrix} \color{red}{a_{1,1}} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ \color{red}{a_{2,1}} & \color{red}{a_{2,2}} & a_{2,3}\\ \color{red}{a_{3,1}} & \color{red}{a_{3,2}} & \color{red}{a_{3,3}} \end{vmatrix}$
$\hspace{2mm}\begin{array}{ccc} a_{1,1} & \color{red}{a_{1,2}} & \color{red}{a_{1,3}}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \color{red}{a_{2,3}}\\ \end{array}$

Умножаем элементы на каждой из трех красных диагоналей (на главной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:
$\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+ a_{2,1}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,3}+a_{3,1}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,3}}$

$\begin{vmatrix} \color{red}{a_{1,1}} & \color{red}{a_{1,2}} & \color{blue}{a_{1,3}}\\ \color{red}{a_{2,1}} & \color{blue}{a_{2,2}} & \color{blue}{a_{2,3}}\\ \color{blue}{a_{3,1}} & \color{blue}{a_{3,2}} & \color{blue}{a_{3,3}} \end{vmatrix}$
$\hspace{2mm} \begin{array}{ccc} \color{blue}{a_{1,1}} & \color{blue}{a_{1,2}} & \color{red}{a_{1,3}}\\ \color{blue}{a_{2,1}} & \color{red}{a_{2,2}} & \color{red}{a_{2,3}}\\ \end{array}$

Умножаем элементы на каждой из трех синих диагоналей (на побочной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:

$\color{blue}{a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}+ a_{2,3}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,1}+a_{3,3}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,1}}$

Вычитая вторую сумму из первой, получаем формулу определителя:

$\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+ a_{2,1}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,3}+a_{3,1}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,3}-}$ $\color{red}{(a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}+ a_{2,3}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,1}+a_{3,3}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,1})}$

Пример 30
$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1\\ \end{vmatrix}$
$\hspace{2mm}\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 3\\ 2 & 1 & 5\\ \end{array}$

$ = 1\cdot1\cdot1 + 2\cdot2\cdot3 + 3\cdot4\cdot5 -(3\cdot1\cdot3 + 5\cdot2\cdot1 + 1\cdot4\cdot2) =$ $ 1 + 12 + 60 -(9 + 10 + 8)=73-27=46$

Пример 31
$A=\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & 2\\ 7 & 1 & 9\\ \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & 2\\ 7 & 1 & 9\\ \end{vmatrix}$
$\hspace{2mm}\begin{array}{ccc} 3 & 5 & 1\\ 1 & 4 & 2\\ \end{array} $

$= 3\cdot4\cdot9 + 1\cdot1\cdot1 + 7\cdot5\cdot2 -(1\cdot4\cdot7 + 2\cdot1\cdot3 + 9\cdot5\cdot1) =$ $ 108 + 1 + 70 -(28 + 6 + 45)=79-79=100$

Элементы матрицы могут быть обозначены буквами.{2} \end{vmatrix}= $

$\begin{vmatrix} a-c & b-c \\ (a-c)(a+c) & (b-c)(b+c) \end{vmatrix}=$ $(a-c)(b-c)\begin{vmatrix} 1 & 1\\ a+c & b+c \end{vmatrix}=$

$=(a-c)(b-c)[(b+c)-(a+c)]=$ $(a-c)(b-c)(b+c-a-c)=(a-c)(b-c)(b-a)$

Вычисление определителя матрицы 4×4

Вычислить определитель матрицы 4×4 можно с использованием общей формулы для определителя матрицы 3×3.

Но сначала надо использовать свойства определителей:

Проверим, не выполняется ли одно из условий того, что определитель равен 0.
Проверим, нельзя ли вынести общий множитель из одной или нескольких строк или столбцов.
Проверим, не является ли данная матрица матрицей Вандермонде, возможно, такой, в которой некоторые строки или столбцы переставлены.

В любом из этих случаев нам пригодятся соответствующие методы вычисления определителей матриц 3×3. Модифицируем строку или столбец так, чтобы все его элементы, кроме одного, обратились в 0. Определитель будет равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение. В этом случае, алгебраическое дополнение — это определитель матрицы 3×3, который считается по уже известной формуле.

Пример 33
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9 & 2\\ 5 & 8 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 1 & 8 \end{vmatrix}$

Замечаем, что все элементы в строке 3 равны нулю, а значит, определитель равен 0.

Пример 34
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 & 2\\ 5 & 8 & 5 & 3\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 2 & 8 \end{vmatrix}$
Замечаем, что $C_{1}$ равно $C_{3}$, следовательно, определитель равен 0.

Пример 35
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9 & 2\\ 5 & 8 & 4 & 3\\ 10 & 16 & 18 & 4\\ 2 & 3 & 1 & 8 \end{vmatrix}$
Замечаем, что строки 2 и 3 пропорциональны друг другу, следовательно, определитель равен 0.

Пример 36
$\begin{vmatrix} \color{red}{4} & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & -3 & 3\\ 0 & -1 & 3 & 3\\ 0 & 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

Поскольку в столбце 1 только один элемент отличен от нуля, применяем общую формулу, используя этот столбец. Алгебраические дополнения нулевых элементов считать не надо, так как их произведения на эти элементы все равно будут равны нулю.

=
$=4(1\cdot3\cdot1 +(-1)\cdot1\cdot3+3\cdot(-3)\cdot3$ $-(3\cdot3\cdot3+3\cdot1\cdot1 +1\cdot(-3)\cdot(-1)))$ $=4(3-3-27-(27+3+3))=4\cdot(-60)=-240$

Пример 37
$\begin{vmatrix} 4 & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 1 & -1 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

Чтобы изменить строку так, чтобы в ней стало больше нулей, нужно совершать операции со столбцами, и наоборот. Выбираем строку или столбец, содержащий элемент 1, поскольку из него можно получить любое число простым умножением.{2+2}\cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 & 8\\ 1 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 7 \end{vmatrix}=$
$=4\cdot3\cdot7 + 1\cdot1\cdot8 + 2\cdot2\cdot1$ $-(8\cdot3\cdot2 + 1\cdot1\cdot4 + 7\cdot2\cdot1) =$ $ 84 + 8 + 4- 48-4-14=30$

Пример 38
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 3 & 3 & 3 & 3\\ -1 & 4 & 2 & 1\\ \end{vmatrix}$

Можно вынести множитель 3 из строки 3:
$3\cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 4 & 2 & 1\\ \end{vmatrix}$

Поскольку в строке 3 все элементы равны 1, легко обратить получить нули.

$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 4 & 2 & 1 \end{vmatrix}$ $ \xlongequal{C_{1} — C_{4},C_{2}-C_{4},C_{3}-C_{4}} \begin{vmatrix} -1 & -4 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1}\\ -2 & 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$ $=1\cdot(-1)^{3+4}\cdot$ $=(-1)\cdot \begin{vmatrix} -1 & -4 & 1\\ 3 & 4 & 2 \\ -2 & 3 & 1\\ \end{vmatrix}$
$=-((-1)\cdot 4\cdot 1 +3 \cdot 3\cdot1 + (-2)\cdot (-4)\cdot 2$ $- (1\cdot 4\cdot (-2) + 2\cdot 3\cdot (-1) + 1\cdot (-4)\cdot3))$ $=-(-4 + 9 + 16 + 8 + 6 + 12) =-47$

Пример 39
$\begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 7 & 2\\ 1 & 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}$

Здесь мы можем использовать единицу из последней строки и обратить остальные элементы первого столбца в нули.{4+1}\cdot \begin{vmatrix} 5 & -3 & -4\\ 1 & -2 & -13\\ 3 & -3 & -18 \end{vmatrix}=$ $(-1)\cdot \begin{vmatrix} 5 & -3 & -4\\ 1 & -2 & -13\\ 3 & -3 & -18 \end{vmatrix}$

Выносим общий множитель -1 из столбца 2 и еще раз -1 из столбца 3.
$ (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 13\\ 3 & 3 & 18 \end{vmatrix}=$ $(-1)\cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 13\\ 3 & 3 & 18 \end{vmatrix}=$ $-[5\cdot 2\cdot 18 + 1\cdot 3\cdot 4+ 3\cdot 3\cdot 13 — (4\cdot 2\cdot 3\cdot + 13\cdot 3\cdot 5 + 18\cdot 3\cdot 1)]=$ $-(180+12+117-24-195-54)=36$

Пример 40
$\begin{vmatrix} 4 & 7 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 1 & 2\\ 2 & 5 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

Мы видим элемент 1 в столбце 3, так что мы можем обратить остальные элементы строки 2 в нули.

$\begin{vmatrix} 4 & 7 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 1 & 2\\ 2 & 5 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{C_{1}-C_{3}, C_{2}-3C_{3},C_{4}-2C_{3}} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 \\ -1 & -4 & 3 & -2\\ -1 & -2 & 2 & -1 \end{vmatrix}=$ $=1\cdot(-1)^{2+5}\cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\ -1 & -4 & -2\\ -1 & -2 & -1 \end{vmatrix}$

Выносим общий множитель -1 из строки 2 и еще раз -1 из строки 3.
$ (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1 & 4 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}=$ $(-1)\cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1 & 4 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}=$ $-[2\cdot 4\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot (-1)+ 1\cdot 1\cdot 2 — ((-1)\cdot 4\cdot 1 + 2\cdot 2\cdot 2 + 1\cdot 1\cdot 1)]=$ $-(8-2+2+4-8-1)=-3$

Пример 41
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3\\ \end{vmatrix}$

Заметим, что все строки и все столбцы состоят из одних и тех же элементов, но в разном порядке. В таком случае мы можем сложить все строки или все столбцы.

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{L_{1}+L_{2}+L_{3}+L_{4}} \begin{vmatrix} 10 & 10 & 10 & 10\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} =$ $10\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{C_{1} — C_{4},C_{2}-C_{4},C_{3}-C_{4}}10\cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & \color{red}{1}\\ -1 & 1 & 2 & 2\\ 2 & 3 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -2 & 3 \end{vmatrix}=$

$=10\cdot1\cdot(-1)^{1+4}$

$ = (-10)\cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}=$ $(-10)\cdot((-1)\cdot 3\cdot (-2) +2 \cdot (-1)\cdot2 + 1\cdot 1\cdot 1$ $-(2\cdot 3\cdot 1 + 1\cdot (-1)\cdot (-1) + (-2)\cdot1\cdot2))$ $= -10\cdot(6 -4 +1 -6 — 1 + 4) =0$

Матрица фильм все части 1 2 3 смотреть онлайн по порядку бесплатно в хорошем качестве hd 1080

Матрица 1999
«Никто не может сказать, что такое Матрица. Вы должны увидеть это сами». — говорит Морфеус.Он разговаривает с Нео, компьютерным мастером с пустым лицом, который собирается пройти сквозь зазеркалье. Из мира конца 20-го века, каким он его знает, в настоящую, постапокалиптическую «пустыню реальности».Это реальность, когда роботы управляют планетой и держат людей подключенными к матрице виртуальной реальности. Они живут в мире снов, в то время как их энергия питает машины.Морфеус думает, что Нео — это Тот, кто является мессией, который разрушит Матрицу и воскресит человечество. В этом убеждена и один из борцов за свободу Тринити. Но Нео не уверен, и ему придется столкнуться с пагубным, могущественным подлым матриксным агентом Смитом, чтобы выяснить это.

Матрица: Перезагрузка 2003
Нео остался в реальном мире. Преследуемый кошмаром, в котором его возлюбленная, Тринити убита, он входит в конструкцию Матрицы виртуальной реальности, чтобы отыскать всезнающего Оракула.
Между тем, Сион в опасности. Машинная армия из 250 000 роботов-убийц приближается к подземному городу, в котором находятся остатки человечества.
Морфеус убежден, что Нео может спасти его, но для этого «Избранный» должен найти источник Матрицы, а это непростое дело со многими врагами на пути.

Матрица: Революция 2003
Спаситель мира, в котором доминируют машины, Нео, находится в состоянии комы. Тем временем родине человечества угрожают скопления зловещих, похожих на кальмаров, стражей, идущих в направлении Сиона. Морфеус и Тринити идут за Нео, и вынуждены заключить сделку с раздражающе культурным Меровингом, чтобы найти его. Тем временем агент Смит нашел способ сбежать из Матрицы в своем бесконечном стремлении уничтожить Нео.. Если вам понравился Матрица все фильмы смотреть онлайн, можете оставлять свои отзыв об фильме и поставить оценку этой франшизе. Приятного просмотра.

Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a_ij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a_ij = b_ij. Так если и , то A=B, если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A^T.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или

Примеры. Найти сумму матриц:

.
— нельзя, т.к. размеры матриц различны.
.

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

Примеры.

.
Найти 2A-B, если , .
.
Найти C=–3A+4B.
Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c₁₃, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m×n на матрицу B = (b_ij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

Примеры.

Пусть
Найти элементы c₁₂, c₂₃ и c₂₁ матрицы C.
Найти произведение матриц.
.
.
— нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
Пусть
Найти АВ и ВА.
Найти АВ и ВА.

, B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

.
Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a₁₁, a₁₂, a₁₃ и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

.
.
Решите уравнение..
.

(x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

(x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

(x-4)(x-1)=0.

x₁ = 4, x₂ = 1.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки «+» и «–» у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Матрицы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Задание. Вычислить $ A B $ и $ B A $, если $ A = \ left (\ begin {array} {rr} {1} & {-1} \\ {2} & {0} \\ {3} & {0} \ end {array} \ right), B = \ left (\ begin {array} {ll} {1} & {1} \\ {2} & {0} \ end {array} \ right)

долларов США

Решение. Так как $ A = A_ {3 \ times 2} $, а $ B = B_ {2 \ times 2} $, это произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица $ C = C_ {3 \ times 2} $, а это матрица вида $ C = \ left (\ begin {array} {cc} {c_ {11}} & {c_ {12}} \\ {c_ {21} } & {c_ {22}} \\ {c_ {31}} & {c_ {32}} \ end {array} \ right) $.

Вычисли элементы матрицы $ C $:

$ c_ {11} = a_ {11} \ cdot b_ {11} + a_ {12} \ cdot b_ {21} = 1 \ cdot 1 + (- 1) \ cdot 2 = -1 $

$ c_ {12} = a_ {11} \ cdot b_ {12} + a_ {12} \ cdot b_ {22} = 1 \ cdot 1 + (- 1) \ cdot 0 = 1 $

$ c_ {21} = a_ {21} \ cdot b_ {11} + a_ {22} \ cdot b_ {21} = 2 \ cdot 1 + 0 \ cdot 2 = 2 $

$ c_ {22} = a_ {21} \ cdot b_ {12} + a_ {22} \ cdot b_ {22} = 2 \ cdot 1 + 0 \ cdot 0 = 2 $

$ c_ {31} = a_ {31} \ cdot b_ {11} + a_ {32} \ cdot b_ {21} = 3 \ cdot 1 + 0 \ cdot 2 = 3 $

$ c_ {31} = a_ {31} \ cdot b_ {12} + a_ {32} \ cdot b_ {22} = 3 \ cdot 1 + 0 \ cdot 0 = 3 $

Итак, $ C = AB = \ left (\ begin {array} {rl} {- 1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3} \ end {array} \ right) $.

Выполним произведения в более компактном виде:

$ = \ left (\ begin {array} {rrr} {1 \ cdot 1 + (- 1) \ cdot 2} & {1 \ cdot 1 + (- 1) \ cdot 0} \\ {2 \ cdot 1 +0 \ cdot 2} & {2 \ cdot 1 + 0 \ cdot 0} \\ {3 \ cdot 1 + 0 \ cdot 2} & {3 \ cdot 1 + 0 \ cdot 0} \ end {array} \ right ) = \ left (\ begin {array} {rr} {- 1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3} \ end {array} \ right) $

Найдем теперь произведение $ D = B A = B_ {2 \ times 2} \ cdot A_ {3 \ times 2} $. Так как количество столбцов матрицы $ B $ (первый сомножитель) не совпадает с последовательность строк матрицы $ A $ (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно.Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ. $ AB = \ left (\ begin {array} {rr} {- 1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3} \ end {array} \ right) $ . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы $ B $ не совпадает с • линии матрицы $ A $.

Размер матрицы все, что нужно знать

Модель была вполне логичным, что покупая компактную камеру, вы небольшую матрицу, а если выбирали крупногабаритную зеркалку со сменными объективами, матрица на ней была значительно больше.Это сказывалось на фотографий, чем больше матрица, тем более детализированы были изображения.

Сейчас это в принципе, тоже в какой-то мере актуально, матрица — это самая дорогая часть камеры в плане производства, и чем больше матрица, тем и камера, соответственно, дороже. Потому на дорогие камеры обычно не устанавливаются матрицы 1 / 2,3 дюймовые, а на дешевую, соответственно, не найти полнокадровую.

Но надо сказать, что сейчас многие производители предлагают компактные камеры с большими матрицами, точно так же как и камеры под сменные объективы с меньшими матрицами.Так что разобраться в ситуации, пожалуй, стало сложнее. Небольшие модели способны срабатывать в различных условиях, и даже имеют некоторые преимущества перед большими.

За последние годы и сама технология создания матриц значительно продвинулась вперед, так что сегодня большое количество предлагаемых вариантов может смутить даже опытного пользователя, что уж говорить о тех, кто приобретает первую фотокамеру. А ведь размер матрицы еще и на фокусном расстоянии сказывается.

Итак, мы решили разобраться в различных типах матриц, чтобы расставить все по местам. Но для начала нужно уточнить, как именно размер матрицы влияет на эффективное расстояние.

Фокусное расстояние

Итак, мы уже знаем, что размер матрицы связан с тем, какой именно объектив подойдет вашей камере. Если вы приобретаете компактный девайс с не съемным объективом, проблема сама собой отпадает, то есть с позиции покупателя это намного проще.Но не просто так профессионалы выбирают именно те камеры, где объективы можно менять. Любой объектив должен иметь поле (круг) изображения или диаметр света, существует в объективе и который должен иметь размер матрицы. Есть одно исключение, к которому мы вернемся позже.

Итак, встроенные или нет, объективы всегда помечены реальным фокусным расстоянием, а не фокусным расстоянием, которое вы использовали при использовании той или иной камеры. В результате получается одно и то же фокусное расстояние для работы.Почему? Потому что они предназначены для разных матриц. Именно поэтому используются первичные матрица, где указываются эквивалентные размеры, считается 35мм или полнокадровая матрица производителей.

Вот — один из примеров: камера с матрицей меньше чем полнокадровая вполне может познакомиться с 18-55мм объективом, но на деле фокусное расстояние, которое вы получите ближе к 27-82мм. Это все происходит, потому что матрица не достаточно велика, чтобы использовать объектив точно так же как смог бы полнокадровый.Из-за того, что периферическое пространство внутри объектива не принимается в расчет, получается тот же эффект как от использования объектива с большим фокусным расстоянием.

В компактных камерах может быть установлен 19мм объектив, но из-за размера матрицы, который меньше фуллфрейма, вы получите в итоге большее фокусное расстояние, около 28мм. Точная длина определяется кроп-фактором, то есть число, на которое нужно увеличить данное фуллфрейм фокусное расстояние, чтобы выяснить какое расстояние получится на той или иной камере.

Размеры матриц

1 / 2.3 дюйма

Размер такой матрицы примерно 6,3 х 4,7 мм. Это — самая маленькая матрица, которую можно найти в современных камерах, и чаще всего в самых компактных моделях. Разрешение такой матрицы составляет, как правило, 16-20 Мп.

По крайней мере такой расклад был самым популярным какое-то время назад. Сегодня многие стали делать больший упор на любительские фотоаппараты с большими матрицами, производители и размер такой не так распространен как ранее.

Преимущество в том, что такой размер позволяет получить компактную камеру и использовать ее с длиннофокусными объективами, например компактными суперзумами. А большая матрица значит, что и объектив больший.

При хорошем освещении такие камеры могут предоставить неплохой результат, но для более придирчивых фотографов они точно не подойдут, поскольку при низкой освещенности будут зернить.

1 / 1,7 дюйма

Размер этих матриц 7.6 x 5,7 мм. С такой матрицей намного проще объект съемки из фона, и соответственно, в плане деталей как в тени, так и на свету. Так что использовать их можно уже в более разнообразных условиях. Раньше такие камеры были самыми распространенными среди любителей, но сейчас их место стремительно занимают дюймовые матрицы, о которых речь и пойдет дальше.

А вот 1 / 1.7 дюймовые используемые используются в некоторых устаревших камерах Q-серии Pentax.

Дюймовые матрицы

Размер дюймовой матрицы 13.2мм х 8,8мм. Сегодня такие матрицы очень популярны в различных камерах, размер позволяет оставаться легкими и компактными. Логично, что самый популярный способ применения дюймовой матрицы — это карманные любительские камеры, на которых объектив будет лимитирован 24-70мм или 24-100мм (если брать эквивалент 35мм). Однако на некоторых суперзумах он тоже используется ?, примеры — это Sony RX10 III и Panasonic FZ2000.

Гораздо лучше дюймовая матрица нам знакома по камерам Nikon серии 1, например, Nikon 1 J5 — отличной и легкой камере, которая способна делать отличные фото и снимать 4К видео.Такую матрицу можно встретить даже среди смартфонов — Panasonic CM1.

Камеры с дюймовой матрицей показывают результаты, значительно отличные от предыдущих вариантов. Качество их будет высоким, даже компактные камеры, как правило, имеют широкую максимальную апертуру, так что на матрицу попадает достаточно света, поэтому и фотографии выходят четкими и резкими.

Частично, это результат технологии, а не только размера матрицы. Матрицы современного производства могут более эффективно захватывать свет.

Микро 4/3

Матрица микро 4/3 имеет физический размер 17,3 x 13мм. Этот формат используется в компактных зеркалках и беззеркалках Olympus и Panasonic. Они ненамного больше по размеру, чем дюймовые матрицы, но меньше чем APS-C, речь идет о которых ниже.

По сути, микро 4/3 — это четверть размера полнокадровой матрицы, так что считать для нее активное фокусное расстояние предельно: достаточно умножить фокусное на 2.

Иными словами, 17мм объектив в камере с матрицей микро 4/3 обеспечит фокусное расстояние такое же, как 34мм объектив на полнокадровой матрице.По аналогии, 12-35мм даст 24-70мм и так далее.

В камере Lumix DMC-LX100 используется матрица микро 4/3 разрешение 12.8 Мп. Это — одна из компактных цифровых камер, которые обладают большими функциями и небольшим размером. Камера оснащенного объективом Leica с фокусным расстоянием размером 24-75мм.

APS-C

Средний физический размер такой матрицы 23,5 x 15,6мм. Такая матрица используется на зеркальных камерах для начинающих и любительских камерах, а сейчас и на многих беззеркалках.Матрица APS-C обеспечивает отличный баланс между качеством изображения, размером и вариативностью в совместимости с различными объективами.

Не все APS-C матрицы одинаковы по размеру, ведь это зависит от производителя тоже. Например, матрицы APS-C на камеры Canon физически немного меньше, чем те, которые установлены в Nikon и Sony, таким образом, ее кроп-коэффициент равен 1,6x, а не 1,5x. В любом случае, APS-C — это всегда отличный вариант и профессиональные фотографы, нередко предпочитают его съемок природы и спортивных мероприятий, потому что благодаря кроп-фактору появляется возможность приблизиться к объекту с имеющимся объективом.

APS-C доступны на некоторых компактных камерах, например Fujifilm X100F, это обеспечивает высокое качество для фотографий на портативных камерах, особенно в комплекте с объективами с постоянным фокусным расстоянием. Объектив 23мм на Fujifilm X100F имеет широкую максимальную апертуру, благодаря этой камере можно без труда добиться узкой глубины резкости.

APS-H

Размер матриц APS-H как правило равенство 26,6 х 17,9мм. Сегодня этот формат практически используется, и ассоциируется только с устаревшими моделями Canon EOS-1D (EOS-1D Mark III и Mark IV).Сейчас, правда, в этой серии используются фуллфреймы.

но APS-H больше чем APS-C, меньше полнокадровой матрицы, кроп-фактор, соответственно равен 1,3х, потому что 24мм объектив обеспечит в такой камере фокусное расстояние приблизительно 31мм.

Одна из последних фотокамер, где можно встретить такую матрицу — это Sigma sd Quattro H. Однако и Canon решили не отказываться от APS-H совсем, и предпочли применить эту матрицу для камер наблюдения, а не для зеркальных фотоаппаратов.

Фуллфрейм

36 x 24мм она же фуллфрейм, она же полнокадровая матрица и она же примерно такая же по размеру как негативной пленочной фотографии. Используются полнокадровые матрицы на любительских и профессиональных камерах и считается самым популярным для съемок. Размер такой матрицы позволяет ей принимать на себя больше света, заказать чего и фото получаются выше по качеству чем с меньшими матрицами. Соответственно и когда речь идет о количестве пикселей, выбор больше.А разрешение полнокадровых матриц оценивается от 12 до 50Мп.

Кроп-фактор, конечно, в случае с полнокадровой матрицей значения не имеет, так как маркировка объектива будет соответствовать активному фокусному расстоянию. Однако некоторые объективы, созданные под матрицы APS-C, все равно можно использовать с фуллфреймами, но разрешение будет ограничено (камера обрежет углы, чтобы избежать виньетирования). Но проверять совместимость, разумеется, нужно всегда, иначе есть риск повредить зеркало.

Средняя (медиум) матрица

44мм x 33мм — размер такой матрицы. Это, очевидно, больше фуллфрейма и с момента появления такие матрицы вызвали оживленный интерес и дискуссии. Они использованы в камерах Fujifilm GFX 50S, Hasselblad X1D и Pentax 645Z, последняя немного старше остальных. Применяются они в основном, исключительно профессиональными фотографами в силу цены таких камер и их специфики.

Не факт, что на этом развитии матриц таковых остановится, но пока это — все доступные на рынке матриц, а какая подойдет для ваших интересов фото, решать только вам.

Определитель матрицы.

Навигация по странице:

Определитель матрицы или детерминант матрицы — это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.

Определение.

Определитель матрицы n × n будет число:

det (A) =	Σ	(-1) ^{N (α ₁, α ₂, …, α _n)} · a _{α ₁ 1} · A _{α ₂ 2} ·… · a _{α _n n}
	(α ₁, α ₂, …, α _n)

где (α ₁, α ₂, …, α _n) — перестановка чисел от 1 до n, N (α ₁, α ₂, …, α _n) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n.

Обозначение

Определитель матрици A обычно обозначается det (A), | A |, или ∆ (A).

Свойства определителя матрицы

Определитель матрицы с равными строками (столбцами) равенство нулю.
Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равенство нулю.
Определитель матрицы, соответствие нулевую строку (столбец), равенство нулю.
Определитель равенства нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.
При транспонировании значения определителя не меняется:
det (A) = det (A ^T)
Определитель обратной матрицы:
det (A ^-1) = det (A) ^-1
Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.
Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию других строк (столбцов).
Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.
Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:
a ₁₁ a ₁₂ … a _1n a ₂₁ a ₂₂ … a _2n …. k · a _i1 k · a _i2 … k · _дюйм …. a _n1 a _n2 … a _nn = к · а ₁₁ а ₁₂…a _1n a ₂₁ a ₂₂ … a _2n …. a _i1 a _i2 … a _дюйм …. a _n1 a _n2 … a _nn
Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определенная полученная матрица произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:
B = k · A => det (B) = k ⁿ · det (A)
где A матрица n × n, k — число.
Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в этой строке стоят первые и вторые слагаемые соответственно, остальные совпадают с исходным определителем:
a ₁₁ a ₁₂ … a _1n a ₂₁ a ₂₂ … a _2n …. b _i1 + c _i1 b _i2 + c _i2 … b _в + c _в…. a _n1 a _n2 … a _nn = a ₁₁ a ₁₂ … a _1n a ₂₁ a ₂₂ … a _2n …. b _i1 b _i2 … b _in. … a _n1 a _n2 … a _nn + a ₁₁ a ₁₂ … a _1n a ₂₁ a ₂₂ … a _2n …. c _i1 c _i2 … c _дюйм. … _n1 a _n2…a _nn
Определитель верхнего (нижнего) треугольной матрицы произведению его диагональных элементов.
Определитель произведения матриц равенство произведений определителей этих матриц:
det (A · B) = det (A) · det (B)

Методы вычисления определителя матрицы

Вычисление определителя матрицы 1 × 1

Правило:

Для матрицы первого порядка определения определителя равно значению элемента этой матрицы:

∆ = | a ₁₁ | = а ₁₁

Вычисление определителя матрицы 2 × 2

Правило:

Для матрицы 2 × 2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

∆ =

= а ₁₁ · а ₂₂ — а ₁₂ · а ₂₁

Пример 1.

Найти определитель матрицы A

A =

	5	7
	-4	1

Решение:

det (A) =

= 5 · 1 — 7 · (-4) = 5 + 28 = 33

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Правило треугольника для вычислений определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

Для матрицы 3 × 3 значение определителя созданных элементов главного диагонали и созданных элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитает произведение элементов побочной диагонали и элементы, лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.


+		—

∆ =

a ₁₁	а ₁₂	а ₁₃
a ₂₁	а ₂₂	а ₂₃
a ₃₁	а ₃₂	а ₃₃

= а ₁₁ · а ₂₂ · а ₃₃ + а ₁₂ · а ₂₃ · а ₃₁ + а ₁₃ · а ₂₁ · а ₃₂ — а ₁₃ · а ₂₂ · а ₃₁ — а ₁₁ · а ₂₃ · а ₃₂ — а ₁₂ · а ₂₁ · а ₃₃

Правило Саррюса для вычислений матрицы 3-тего порядка

Правило:

Справа от определителя дописывают первые два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

∆ =

а ₁₁	а ₁₂	а ₁₃	а ₁₁	а ₁₂
a ₂₁	а ₂₂	а ₂₃	а ₂₁	а ₂₂
a ₃₁	а ₃₂	а ₃₃	а ₃₁	а ₃₂

Пример 2.

Найти определитель матрицы A = 571-410203

Решение:

det (A) = 571-410203 = 5 · 1 · 3 + 7 · 0 · 2 + 1 · (-4) · 0 — 1 · 1 · 2 — 5 · 0 · 0 — 7 · (-4) · 3 = 15 + 0 + 0 — 2 — 0 + 84 = 97

Вычисление определителя матрицы произвольного размера

Разложение определителя по строке или столбцу

Правило:

Определитель матрицы равенства сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

	n
det (A) =	Σ	a _ij · A _ij	— разложение по i-тойор
	j = 1

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

	n
det (A) =	Σ	a _ij · A _ij	— разложение по j-тому столбцу
	i = 1

При разложении определителя матрицы обычно выбирают ту строку / столбец, которая определяет максимальное количество нулевых элементов.

Пример 3.

Найти определитель матрицы A

det (A) = — 214 + 1 · 81012 + 0 · 8000-3 + 2 · 8200-8 + 1 · 81 = — 211210120001320001 = -2 · 1 · 13 · 1 = -26

Теорема Лапласа

Теорема:

Пусть ∆ — определитель н-ого порядка.Выберем в нем произвольные k строк (столбцов), причем k Присоединяйтесь

Добро пожаловать на OnlineMSchool .
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, вы можете использовать для изучения математики.

Если вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь создать сайт OnlineMSchool пишите мне [email protected]

Действия с матрицами

Матрицы и действия с ними, определители

Сложение матриц

Сложение одного определено для матриц типа, т.е. для матриц, у число строк и столбцов совпадает. Сумма матриц \ (A = \ {A_ {ik} \} \) и \ (B = \ {B_ {ik} \} \), матрица \ (A + B \), определяется следующим образом: \ ((A + Б) _ {ik} = A_ {ik} + B_ {ik} \), \ (1 \ leq i \ leq m, 1 \ leq k \ leq n \).Иными словами: складываются элементы матриц \ (A \) и \ (B \), стоящие на одинаковом месте (т.е. на пересечение одинаковых строк и столбцов) и записываются в то же место.

Пример. Пусть \ [ A = \ left ( \ begin {array} {ccc} 1 и 4 и -1 \\ 3 и -6 и 7 \ end {массив} \правильно) , \] \ [ B = \ left ( \ begin {array} {ccc} 2 и 1 и 0 \\ 1 и 3 и 4 \ end {массив} \правильно) , \] тогда \ [ А + В = \ влево ( \ begin {array} {ccc} 3 и 5 и -1 \\ 4 и -3 и 11 \ end {массив} \правильно) .\]

Умножение матрицы на число

Пусть \ (A = \ {a_ {ik} \} \) — матрица типа \ ((m, n) \), \ (\ lambda \) — произвольное число. Тогда матрица \ (\ {\ lambda a_ {ik} \} \) называется произведением числа \ (\ lambda \) на матрицу \ (A \) и обозначается \ (\ lambda \ cdot A \).

Пример. Пусть \ [ A = \ left (\ begin {array} {ccc} 1 & 4 & -1 \\ 7 & 5 & 2 \\ 3 & -6 & 7 \ end {array} \правильно) , \] тогда \ [ 5A = \ left (\ begin {array} {ccc} 5 & 20 & -5 \\ 35 & 25 & 10 \\ 15 & -30 & 35 \ end {array} \правильно) .\]

Замечание.

Как и в обычной, матричной арифметике знак умножения иногда не указывает, так что выражения \ (c \ cdot A \) и \ (cA \) равноправны.

Пусть \ [ A = \ left (\ begin {array} {cc} 2 & 3 \\ 4 & 5 \ end {array} \ right), B = \ left (\ begin {array} {cc} 1 & -2 \\ 3 & 4 \ end {array} \ right). \]

Вычислить \ (3A-2B \).

Проверить ответ

\ [3A-2B = \ left (\ begin {array} {cc} 4 & 13 \\ 6 & 7 \ end {array} \ right) \]

Транспонирование матриц

Если для заданной матрицы \ (A \) ее строки записать как столбцы, получим новую матрицу, которая называется транспонированной исходной, и обозначается \ (A ^ T \).T \) (это выражение меньше занимает места).

Элементарные свойства операций с матрицами

Введенные операции обладают природными арифметическими свойствами. Перечислим ряд из них.

1. Для любых матриц \ (A, B, C \) одного типа \ ((A + B) + C = A + (B + C) \) (ассоциативность сложения).

2. Для любых матриц \ (A, B \) одного типа \ (A + B = B + A \) (коммутативность сложения).

3. Пусть \ ((m, n) \) — матрица \ (O \) состоит из нулей.Такая матрица играет роль нуля при сложении матриц типа \ ((m, n) \), \ (A + O = A \), \ (0 \ cdot A = O \) для любой матрицы \ (A \) того же типа .

4. Для любых чисел \ (c_1, c_2 \) и любой матрицы \ (A \) верно \ ((c_1 + c_2) A = c_1A + c_2A \).

5. Для любого матриц \ (A, B \) одного типа и любого числа \ (c \) верно \ (c (A + B) = cA + cB \).

6. Для любых чисел \ (c_1, c_2 \) и любой матрицы \ (A \) верно \ ((c_1c_2) A = c_1 (c_2A) \).

7. Для любой матрицы \ (A \) верно \ (1 \ cdot A = A \).

8.na_mb_m. \ квад \ квад (9) \]

Для того, чтобы было определено умножение между \ (A \) и \ (B \), необходимо, чтобы длина строки была длине столбца. Это условие называют условием согласования типов. Формулу (9) называют правилом умножения строчки на столбец.

Теперь обсудим общий случай. Пусть матрица \ (A \) имеет тип \ ((m, n) \), а матрица \ (B \) имеет тип \ ((n, p) \) (так что длина строки матрицы \ (A \) совпадает с длиной столбца матрицы \ (B \)).na_ {im} b_ {mk}. \] Таким образом следует вычислить все \ (mp \) элементы матрицы \ (C \). Еще раз подчеркнем, что для того, чтобы можно было перемножать матрицы \ (A \) и \ (B \), их типы должны быть согласованы!

Пример. Пусть \ [ A = \ left ( \ begin {array} {ccc} 1 & 4 & -1 \\ 3 & -6 & 7 \ end {array} \ right), B = \ left (\ begin {array} {cc} 2 & 1 \\ 1 & 3 \\ -3 и 5 \ end {массив} \правильно) . \]

В данном случае матрица \ (A \) имеет тип (2,3), матрица \ (B \) имеет тип (3,2), так что тип матриц согласнованы и в результате умножения \ (A \) на \ (B \ ) получим матрицу типа \ ((2,2) \).Получаем: \ [ AB = \ left ( \ begin {array} {cc} 1 \ cdot 2 +4 \ cdot 1 + (- 1) \ cdot (-3) & 1 \ cdot 1 +4 \ cdot 3 + (- 1) \ cdot 5 \\ 3 \ cdot 2 + (- 6) \ cdot 1 + 7 \ cdot (-3) и 3 \ cdot 1 + (- 6) \ cdot 3 + 7 \ cdot 5 \ end {массив} \ справа) = \ left (\ begin {array} {cc} 9 и 8 \\ -21 и 20 \ end {array} \ right). \]

Замечание. Для приведенных матриц произведение \ (BA \) — тип матриц \ (B \) и \ (A \) не согласованы. Это соответствует общей ситуации: результат произведения матриц зависит от порядка сомножителей (отличие от обычной арифметики) — и даже может не существовать для одного выбора порядка сомножителей, существуя для другого.Т \).

6. Для квадратных матриц \ (A, B \) одного типа \ (det (AB) = detA \ cdot detB \).

7. Рассмотрим квадратную матрицу порядка \ (n \), \ (E = diag \ {1,1,1, …, 1 \} \). Такая матрица играет выделенную роль в умножении матриц: для любых матриц \ (A, B \) имеем \ (EA = A \), \ (BE = B \). Матрица \ (E \) называется единичной матрицей порядка \ (n \). Согласно описанным выше результатам, \ (detE = 1 \).

1. Умножить матрицы:

а) \ [ \ left (\ begin {array} {cc} 2 & 1 \\ 3 & 4 \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {cc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \ end {array} \ right).5. \]

3. Вычислить \ (AB-BA \), если

а) \ [ A = \ left (\ begin {array} {ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \ end {array} \ right), B = \ left (\ begin {array} {ccc} 4 & 2 & 3 \\ — 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \ end {array} \ right). \]

б) \ [ A = \ left (\ begin {array} {ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \ end {array} \ right), B = \ left (\ begin {array} {ccc} 3 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 3 & 5 & 1 \ end {array} \ right).{-1} \) и называется обратным к \ (a \) числом.

Пусть \ (A \) — заданная квадратная матрица порядка \ (n \), можно рассмотреть матричное уравнение \ [ AX = E. \ квад \ квад (10) \]

Определение. Если \ (detA \ neq 0 \), матрица \ (A \) называется невырожденной .

Определение. Решение уравнения (\ ref {obr}) называется матрицей, обратной \ (A \).

Теорема.{-1} = \ frac {1} {ad-bc} \ left (\ begin {array} {cc} d & -b \\ -c & a \ end {array} \ right). \]

Таким образом, для матрицы порядка 2 формулы для обратной матрицы достаточно простые. Для больших порядков формулы более грубыми.

Найти обратную матрицу для матрицы

1. \ [ A = \ left (\ begin {array} {ccc} 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \ end {array} \ right).\]

2. \ [ A = \ left (\ begin {array} {ccc} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \ end {array} \ right). \]

3. \ [ A = \ left (\ begin {array} {ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \ end {array} \ right). \]

Матричные уравнения

Матричными уравнениями называются уравнения вида \ [AX = G, \ quad \ quad (12) \] \ [XB = G, \ quad \ quad (13) \] \ [AXB = G, \ quad \ quad (14) \] где матрицы \ (A, B, G \) заданы и требуется построить матрицу \ (X \).{-1}. \]

1. Найти решение матричного уравнения (12), если \ [ A = \ left (\ begin {array} {cc} 2 & 6 \\ -9 & 3 \ end {array} \ right), G = \ left (\ begin {array} {cc} -26 & -50 \\ 27 & -15 \ end {array} \ right). \]

2. Найти решение матричного уравнения (12), если \ [ A = \ left (\ begin {array} {cc} 8 & -7 \\ -5 & 4 \ end {array} \ right), G = \ left (\ begin {array} {cc} 25 & -34 \\ -16 & 22 \ end {array} \ right).\]

3. Найти решение матричного уравнения (13), если \ [ B = \ left (\ begin {array} {cc} -8 & -5 \\ -9 & 5 \ end {array} \ right), G = \ left (\ begin {array} {cc} -20 & 30 \\ -19 & 20 \ end {array} \ right). \]

4. Найти решение матричного уравнения (13), если \ [ B = \ left (\ begin {array} {cc} 9 & 8 \\ -3 & 7 \ end {array} \ right), G = \ left (\ begin {array} {cc} -72 & 23 \\ 0 & 58 \ end {array} \ right).\]

5. Найти решение матричного уравнения (14), если \ [ A = \ left (\ begin {array} {cc} 4 & 2 \\ 3 & -4 \ end {array} \ right), B = \ left (\ begin {array} {cc} -1 & 2 \\ -2 & -1 \ end {array} \ right), G = \ left (\ begin {array} {cc} 20 & -50 \\ 26 & 23 \ end {array} \ right). \]

6. Найти решение матричного уравнения (14), если \ [ A = \ left (\ begin {array} {cc} -4 & -2 \\ -3 & 3 \ end {array} \ right), B = \ left (\ begin {array} {cc} 3 & 4 \\ 4 & 3 \ end {array} \ right), G = \ left (\ begin {array} {cc} 132 и 134 \\ 18 и 24 \ end {array} \ right).\]

Произведение двух матриц: формула, решения, свойства

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которому можно посмотреть ответы.

Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С , элемент которой, находящийся на пересечении i -й строки и j -го столбца, равенство сумме произведений элементов i — строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j —го столбца матрицы В .

Из этого определения следует формула элемента матрицы C :

Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ .

Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B , если

Решение. Удобно нахождение двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:

На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемент матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B , произведения которые складываются для получения элемента матрицы C .

В результате получаем элементы произведения матриц:

Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .

Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .

Эту памятную особенность будет легче запомнить, если почаще воспользуется преимуществами:

Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:

В произведении матриц АВ число рядов линий матрицы А , число столбцов равно количеству столбцов матрицы В .

Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C , которое является произведением двух матриц A и B следующих размеров:

а) 2 Х 10 и 10 Х 5;

б) 10 Х 2 и 2 Х 5;

в) 4 Х 4 и 4 Х 10.

Решение:

а) 2 Х 5;

б) 10 Х 5;

в) 4 Х 10.

Пример 3. Найти книгу матриц A и B , если:

Решение. Число строк в матрице A — 2, число столбцов в матрице B — 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 2 X 2.

Вычисляем элементы матрицы C = AB .

Найденное произведение матриц:.

Проверить решение этой и других задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .

Пример 5. Найти книгу матриц A и B , если:

Решение. Число строк в матрице A — 2, число столбцов в матрице B — 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 2 X 1.

Вычисляем элементы матрицы C = AB .

Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца:.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .

Пример 6. Найти книгу матриц A и B , если:

Решение. Число строк в матрице A — 3, число столбцов в матрице B — 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 3 X 3.

Вычисляем элементы матрицы C = AB .

Найденное произведение матриц:.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .

Пример 7. Найти книгу матриц A и B , если:

Решение. Число строк в матрице A — 1, число столбцов в матрице B — 1.Следовательно, размерность матрицы C = AB — 1 X 1.

Вычисляем элементарные матрицы C = AB .

Произведение матриц является матрицей из одного элемента:.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .

Программная реализация произведения двух матриц на С ++ разобрана в Транспортировка статьи в блоке «Компьютеры и программирование».

Возведение матрицы в степень определена как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с число строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n -ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:

Пример 8. Дана матрица. Найти A ² и A ³.

Решение:

Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 9. Дана матрица

Найти работу данной матрицы и транспонированной матрицы, произведение транспонированной матрицы и данной матрицы.

Правильное решение и ответ.

Свойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А, т.е. АЕ = ЕА = А.

Иными словами, рольничной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.

Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы

на единичную матрицу справа и слева.

Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где

–
единичная матрица третьего порядка.Найдём элементы произведения С = АЕ :

Получается, что АЕ = А .

Теперь найдём произведение ЕА , где Е — единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :

Доказано: ЕА = А .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .

Свойство 2. Произведение матрицы А на нуль-матрицу является нуль-матрицей . Это свойство очевидно, так как все элементы нуль-матрицы равны нулю.

Свойство 3. Произведение матриц некоммутативно :
.

Для этого достаточно показать, что равенство АВ = ВА не выполнено для каких-либо двух матриц.

Пример 11. Найти произведения матриц АВ и ВА , если

и убедиться в том, что эти произведения не равны друг другу:

Решение. Находим:

И действительно, найденные произведения не равны:
.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .

Свойство 4. Произведение матриц ассоциативно : ( АВ ) С = А ( ВС ).

Свойство 5. Для производства матриц выполняется дистрибутивный закон : ( А + В ) С = АС + ВС , С ( А + В ) = СА + СВ .

Свойство 6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: если С = АВ , то

Поделиться с друзьями

Начало темы «Матрицы»

Продолжение темы «Матрицы»

Другие темы линейной алгебры

Определитель матрицы 2×2, 3×3, 4×4 …

Обозначения

Пусть $ A = \ begin {pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \ end {pmatrix} $

$ det (A) = \ left | A \ right | = \ begin {vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \ end {vmatrix} $

Свойства определителя

Если матрица имеет строку или столбец, все элементы которого равны нулю, то ее определитель равен 0.
Пример 12
$ \ begin {vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 9 & 5 \ end {vmatrix} = 0 $ или $ \ begin {vmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 3 & 9 & 0 \ end {vmatrix} = 0 $
Если в матрице есть две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то ее определитель равен 0.
Пример 13
$ \ begin {vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & 9 & 5 \ end {vmatrix} = 0 $ или $ \ begin {vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 2 & 4 \\ 3 & 9 & 3 \ end {vmatrix} = 0 $
Если в ней есть две пропорциональных строки или два матрица столбца, то ее определитель равен 0.
Пример 14
$ \ begin {vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & 8 & 4 \\ 3 & 9 & 5 \ end {vmatrix} = 0 $ (две первые строки пропорциональны)
или
$ \ begin {vmatrix} 8 & 4 & 7 \\ 4 & 2 & 3 \\ 18 & 9 & 8 \ end {vmatrix} = 0 $ (два первых столбца пропорциональны)
Если некоторая строка (столбец) является суммой или разностью других строк (столбцов), от до определитель равен 0.
Пример 15
$ \ begin {vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 3 \\ 8 & 6 & 5 \ end {vmatrix} = 0 $ $ R_ {1} + R_ {2} = R_ {3} $ или
$ \ begin {vmatrix} 9 & 12 & 3 \\ 1 & 8 & 7 \\ 5 & 7 & 2 \ end {vmatrix} = 0 $ $ C_ {1} + C_ { 3} = C_ {2} $
При вычислении определителя можно выносить общие множители целых строк или столбцов.
Пример 16
В определителе
$ \ begin {vmatrix} 3 & 9 & 12 \\ 5 & 1 & 8 \\ 7 & 4 & 2 \ end {vmatrix} $, можно вынести множитель 3 из первой строки $ (R_ {1}) $, тогда получаем:
$ 3 \ cdot \ begin {vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 5 & 1 & 8 \\ 7 & 4 & 2 \ end {vmatrix} $, затем выносим 2 из третьего столбца $ (C_ {3}) $:
$ 6 \ cdot \ begin {vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 4 \\ 7 & 4 & 1 \ end {vmatrix} $
При вычислении определителя можно прибавлять (отнимать) строки к другим строкам и столбцы к другим столбцам; определитель при этом не меняется.
Пример 17
$ \ begin {vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 8 \ end {vmatrix} $ $ \ xlongequal {R_ {1} + R_ {2}} \ begin {vmatrix} 4 & 13 \\ 3 & 8 \ end {vmatrix} $
Пример 18
$ \ begin {vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 8 \ end {vmatrix} $ $ \ xlongequal {C_ {1} + C_ {2}} \ begin {vmatrix} 6 & 5 \\ 11 & 8 \ end {vmatrix} $
При вычислении определителя можно прибавлять или отнимать строки и столбцы, умноженные на произвольный коэффициент.
Пример 19
$ \ begin {vmatrix} 1 и 5 \\ 3 и 8 \ end {vmatrix} $ $ \ xlongequal {2R_ {1} + 3R_ {2}} \ begin {vmatrix} 11 и 34 \\ 3 и 8 \ end {vmatrix} $
Пример 20
$ \ begin {vmatrix} 1 и 5 \\ 3 и 8 \ end {vmatrix} $ $ \ xlongequal {5C_ {1} -C_ {2}} \ begin {vmatrix} 0 и 5 \\ 7 и 8 \ end {vmatrix} $
Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
Определитель произведения двух квадратных матриц равенство произведению определителей данных матриц.

Минор матрицы

Пример 21
$ A = \ begin {pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \ end {pmatrix} $

Один из миноров матрицы A есть $ \ begin { vmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 3 \ end {vmatrix} $ (он получается вычеркиванием строки 3 и столбца 3 из матрицы A)

Другим минором является $ \ begin {vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 1 \ end {vmatrix} $ (получается вычеркиванием строки 2 и столбца 2 из матрицы A)

Пример 22
$ B = \ begin {pmatrix} 2 & 5 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 7 & 9 \\ 6 & 8 & 3 & 2 \\ 7 & 8 & 1 & 4 \ end { pmatrix} $

Один из миноров матрицы B есть $ \ begin {vmatrix} 1 & 7 & 9 \\ 8 & 3 & 2 \\ 8 & 1 & 4 \ end {vmatrix} $ (получается вычеркиванием строки 1 и столбца 1 из матрицы B)

Другим минором является $ \ begin {vmatrix} 1 & 7 \\ 8 & 3 \ end {vmatrix} $ (получается вычеркиванием строк 1 и 4 и столбцов 1 и 4 из матрицы B)

Пусть $ A = \ begin {pmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} & a_ {1,3} &.&. & a_ {1, n} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} & a_ {2,3} &. &. & a_ {2, n} \\ a_ {3,1} & a_ {3,2} & a_ {3,3} &. &. & a_ {3, n} \\. &. &. &. &. &. \\ a_ {n, 1} & a_ {n, 2} & a_ {n, 3} &. &. & a_ {n, n} \ end {pmatrix} $

Можно определить минор $ \ Delta_ {i, j} $, полученный вычеркиванием строки i и столбца j, для любого элемента $ a_ {i, j} $ квадратной матрицы A. Такой минор называется дополнительным.

Пример 23
$ A = \ begin {pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 9 \ end {pmatrix} $

Определить дополнительный минор элемента 2.Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 1, видно, что это $ a_ {2,1} $.

Нужно вычнить строку 2 и столбец 1 из матрицы A, после чего получаем

Минор, дополнительный к элементу 2, есть $ \ Delta_ {2,1} = 7 $.

Пример 24
$ B = \ begin {pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \\ \ end {pmatrix} $

Мы должны вычеркнуть строку 2 и столбец 3 из матрицы B, после чего мы получаем

Минор, дополнительный к элементу 7, — это $ \ Delta_ {2,3} = \ begin {vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 2 \ end {vmatrix} $

Пример 25
$ C = \ begin {pmatrix} 2 & 5 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 7 & 9 \\ 6 & 8 & 3 & 2 \\ 7 & 8 & 1 & 4 \ end { pmatrix} $

Мы должны вычеркнуть строку 1 и столбец 2 из матрицы C, после чего мы получаем

Минор, дополнительный к элементу 5, — это $ \ Delta_ {1,2} = \ begin {vmatrix} 4 & 7 & 9 \\ 6 & 3 & 2 \\ 7 & 1 & 4 \\ \ end {vmatrix} $

Алгебраическое дополнение элемента матрицы

Пусть $ A = \ begin {pmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} & a_ {1,3} &. &. & a_ {1, n} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} & a_ {2,3} &. &. & a_ {2, n} \\ a_ {3,1} & a_ {3,2} & a_ {3,3} &.{7} \ cdot \ Delta_ {2,5} = — \ Delta_ {2,5} $ соответствует элементу $ a_ {2,5} $.

Порядок определителя

Порядок определителя матрицы равенства ее строк и столбцов.

Пример 26
$ \ begin {vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 2 \\ \ end {vmatrix} $ (матрица имеет 2 строки и 2 столбца, так что порядок определителя равенство 2)

Пример 27
$ \ begin {vmatrix} 4 & 7 & 9 \\ 6 & 3 & 2 \\ 7 & 1 & 4 \\ \ end {vmatrix} $ (матрица имеет 3 строки и 3 столбца, так что порядок определителя равенство 3)

Вычисление определителя матрицы

Определитель матрицы равенства сумме произведений элементов любой строки или столбца и их алгебраических дополнений.

$ \ осталось | А \ право | = \ begin {vmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} & a_ {1,3} &. &. & a_ {1, n} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} & a_ {2,3} &. &. & a_ {2, n} \\ a_ {3,1} & a_ {3,2} & a_ {3,3} &. &. & a_ {3, n} \\. &. &. &. &. &. \\ a_ {n, 1} & a_ {n, 2} & a_ {n, 3} &. &. & a_ {n, n} \\ \ end {vmatrix} $

Можно посчитать определитель, например, используя язык i:

$ \ left | А \ право | = a_ {i, 1} \ cdot (-1) ^ {i + 1} \ cdot \ Delta_ {i, 1} $ $ + a_ {i, 2} \ cdot (-1) ^ {i + 2} \ cdot \ Delta_ {i, 2} + a_ {i, 3} \ cdot (-1) ^ {i + 3} \ cdot \ Delta_ {i, 3} +.{3} \ cdot \ Delta_ {1,2} = a_ {1,1} \ cdot \ Delta_ {1,1} -a_ {1.2} \ cdot \ Delta_ {1,2}

долларов США
Заметим, что $ \ Delta_ {1,1} = a_ {2,2} $ и $ \ Delta_ {1,2} = a_ {2,1} $
$ \ left | А \ право | = a_ {1.1} \ cdot a_ {2,2} — a_ {1.2} \ cdot a_ {2,1} $
$ \ color {red} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} = a \ cdot d — b \ cdot c} $
Пример 28
$ \ begin {vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 8 \ end {vmatrix} = 2 \ cdot 8 — 3 \ cdot 5 = 16-15 = 1 $
Пример 29
$ \ begin {vmatrix} -4 & 7 \\ -2 & 9 \ end {vmatrix} = -4 \ cdot 9-7 \ cdot (-2) = -36 — (- 14) = — 36 + 14 = — 22 $
Вычисление определителя матрицы 3×3
Используем строку 1, чтобы вычислить определитель.{4} \ cdot \ Delta_ {1,3} = $ $ a_ {1,1} \ cdot \ Delta_ {1,1} -a_ {1.2} \ cdot \ Delta_ {1,2} + a_ {1.3} \ cdot \ Delta_ {1,3} $
$ \ Delta_ {1,1} = \ begin {vmatrix} a_ {2,2} & a_ {2,3} \\ a_ {3,2} & a_ {3,3} \ end {vmatrix} = a_ {2,2} \ cdot a_ {3,3} -a_ {2,3} \ cdot a_ {3,2} $
$ \ Delta_ {1,2} = \ begin {vmatrix} a_ {2,1} & a_ {2,3} \\ a_ {3,1} & a_ {3,3} \ end {vmatrix} = a_ { 2,1} \ cdot a_ {3,3} -a_ {2,3} \ cdot a_ {3,1} $
$ \ Delta_ {1,3} = \ begin {vmatrix} a_ {2,1} & a_ {2,2} \\ a_ {3,1} & a_ {3,2} \ end {vmatrix} = a_ {2,1} \ cdot a_ {3,2} -a_ {2,2} \ cdot a_ {3,1} $
$ \ left | А \ право | = a_ {1,1} \ cdot (a_ {2,2} \ cdot a_ {3,3} -a_ {2,3} \ cdot a_ {3,2}) — a_ {1,2} \ cdot ( a_ {2,1} \ cdot a_ {3,3} -a_ {2,3} \ cdot a_ {3,1}) + $ $ a_ {1,3} \ cdot (a_ {2,1} \ cdot a_ {3,2} -a_ {2,2} \ cdot a_ {3,1}) = $ $ a_ {1,1} \ cdot a_ {2,2} \ cdot a_ {3,3} -a_ { 1,1} \ cdot a_ {2,3} \ cdot a_ {3,2} -a_ {1,2} \ cdot a_ {2.1} \ cdot a_ {3,3} + a_ {1,2} \ cdot a_ {2,3} \ cdot a_ {3,1} + $ $ a_ {1,3} \ cdot a_ {2,1} \ cdot a_ {3,2} -a_ {1,3} \ cdot a_ {2,2} \ cdot a_ {3,1} = $ $ \ color {красный} {a_ {1,1} \ cdot a_ { 2,2} \ cdot a_ {3,3} + a_ {1,2} \ cdot a_ {2,3} \ cdot a_ {3,1} + a_ {1,3} \ cdot a_ {2,1} \ cdot a_ {3,2} -} $ $ \ color {red} {(a_ {1,1} \ cdot a_ {2,3} \ cdot a_ {3,2} + a_ {1,2} \ cdot a_ {2,1} \ cdot a_ {3,3} + a_ {1,3} \ cdot a_ {2,2} \ cdot a_ {3,1})} $
Упростить получение последней формулы можно следующим образом.
Начнем с того, что перепишем первые две строки под определенным как показано ниже.
$ \ begin {vmatrix} \ color {red} {a_ {1,1}} & a_ {1,2} & a_ {1,3} \\ \ color {red} {a_ {2,1}} & \ цвет {красный} {a_ {2,2}} & a_ {2,3} \\ \ color {красный} {a_ {3,1}} & \ color {красный} {a_ {3,2}} & \ цвет {красный} {a_ {3,3}} \ end {vmatrix} $
$ \ hspace {2mm} \ begin {array} {ccc} a_ {1,1} & \ color {red} {a_ {1, 2}} & \ color {красный} {a_ {1,3}} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} & \ color {red} {a_ {2,3}} \\ \ end {array} $
Умножаем элементы на каждую из трех красных диагоналей (на главной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:
$ \ color {red} {a_ {1,1} \ cdot a_ {2,2} \ cdot a_ {3, 3} + a_ {2,1} \ cdot a_ {3,2} \ cdot a_ {1,3} + a_ {3,1} \ cdot a_ {1,2} \ cdot a_ {2,3}} $
$ \ begin {vmatrix} \ color {red} {a_ {1,1}} & \ color {red} {a_ {1,2}} & \ color {blue} {a_ {1,3}} \\ \ цвет {красный} {a_ {2,1}} & \ color {синий} {a_ {2,2}} & \ color {синий} {a_ {2,3}} \\ \ color {синий} {a_ { 3,1}} & \ color {blue} {a_ {3,2}} & \ color {blue} {a_ {3,3}} \ end {vmatrix} $
$ \ hspace {2mm} \ begin {array } {ccc} \ color {blue} {a_ {1,1}} & \ color {blue} {a_ {1,2}} & \ color {red} {a_ {1,3}} \\ \ color { синий} {a_ {2,1}} & \ color {красный} {a_ {2,2}} & \ color {красный} {a_ {2,3}} \\ \ end {array} $
Умножаем элементы на каждой из трех диагоналей (на побочной диагонали и на диагонали под ней) и складываем результаты:
$ \ color {blue} {a_ {1,3} \ cdot a_ {2,2} \ cdot a_ {3,1} + a_ {2,3} \ cdot a_ {3,2} \ cdot a_ {1, 1} + a_ {3,3} \ cdot a_ {1,2} \ cdot a_ {2,1}} $
Вычитая вторую сумму из первой, получаем формулу определителя:
$ \ color {red} {a_ {1,1} \ cdot a_ {2,2} \ cdot a_ {3,3} + a_ {2,1} \ cdot a_ {3,2} \ cdot a_ {1, 3} + a_ {3,1} \ cdot a_ {1,2} \ cdot a_ {2,3} -} $ $ \ color {red} {(a_ {1,3} \ cdot a_ {2,2} \ cdot a_ {3,1} + a_ {2,3} \ cdot a_ {3,2} \ cdot a_ {1,1} + a_ {3,3} \ cdot a_ {1,2} \ cdot a_ { 2,1})} $
Пример 30
$ A = \ begin {pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \\ \ end {pmatrix} $
$ \ begin {vmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \\ \ end {vmatrix} $
$ \ hspace {2mm} \ begin {array} {ccc} 1 & 4 и 3 \\ 2 и 1 и 5 \\ \ end {array} $

$ = 1 \ cdot1 \ cdot1 + 2 \ cdot2 \ cdot3 + 3 \ cdot4 \ cdot5 — (3 \ cdot1 \ cdot3 + 5 \ cdot2 \ cdot1 + 1 \ cdot4 \ cdot2) = $ 1 + 12 + 60 — ( 9 + 10 + 8) = 73-27 = 46 $
Пример 31
$ A = \ begin {pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 7 & 1 & 9 \\ \ end {pmatrix} $
$ \ begin {vmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 7 & 1 & 9 \\ \ end {vmatrix} $
$ \ hspace {2mm} \ begin {array} {ccc} 3 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ \ end {array} $
$ = 3 \ cdot4 \ cdot9 + 1 \ cdot1 \ cdot1 + 7 \ cdot5 \ cdot2 — (1 \ cdot4 \ cdot7 + 2 \ cdot1 \ cdot3 + 9 \ cdot5 \ cdot1) = $ 108 + 1 + 70 — (28 + 6 + 45) = 79-79 = 100 $
Элементы могут быть обозначены буквами. {2}] $
Пример 32
Вычислим определитель матрицы Вандермонде.{2} \ end {vmatrix} = $
$ \ begin {vmatrix} ac & bc \\ (ac) (a + c) & (bc) (b + c) \ end {vmatrix} = $ $ (ac) (bc) \ begin {vmatrix} 1 & 1 \\ a + c & b + c \ end {vmatrix} = $
$ = (a-c) (b-c) [(b + c) — (a + c)] = $ $ (a-c) (b-c) (b + c-a-c) = (a-c) (b-c) (b-a) $
Вычисление определителя матрицы 4×4
Вычислить определитель матрицы 4×4 можно с использованием общей формулы для определителя матрицы 3×3.
Но сначала надо использовать определителей:
Проверим, не выполняется одно из условий того, что определено равенство 0.
Проверим, нельзя ли вынести общий множитель из одной или нескольких строк или столбцов.
Проверим, не является ли матрица матрицей Вандермонде, возможно, такой, в некоторых строках столбцы переставлены.
В этих случаях нам пригодятся соответствующие методы вычислений определителей матриц 3×3. Модифицируем строку или столбец так, чтобы все его элементы, кроме одного, обратились в 0. Определитель будет равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение.В этом случае алгебраическое дополнение — это определитель матрицы 3×3, который считается по уже известной формуле.
Пример 33
$ \ begin {vmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 \\ 5 & 8 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 8 \ end {vmatrix} $
Замечаем, что все элементы в строке 3 равны нулю, а значит, определитель равен 0.
Пример 34
$ \ begin {vmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 5 & 8 & 5 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 8 \ end {vmatrix} $
Замечаем, что $ C_ {1} $ равно $ C_ {3} $, следовательно, определитель равен 0.
Пример 35
$ \ begin {vmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 \\ 5 & 8 & 4 & 3 \\ 10 & 16 & 18 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 8 \ end {vmatrix} $
Замечаем, что строки 2 и 3 пропорциональны друг другу, следовательно, определитель равен 0.
Пример 36
$ \ begin {vmatrix} \ color {red} {4} & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \ end {vmatrix} $
В столбце 1 только один элемент отличен от нуля, примением общую формулу, используя этот столбец.Алгебраические дополнения нулевых элементов считать не надо, так как их произведения на эти элементы все равны нулю.
=
$ = 4 (1 \ cdot3 \ cdot1 + (- 1) \ cdot1 \ cdot3 + 3 \ cdot (-3) \ cdot3 $ $ — (3 \ cdot3 \ cdot3 + 3 \ cdot1 \ cdot1 +1 \ cdot ( -3) \ cdot (-1))) $ $ = 4 (3-3-27- (27 + 3 + 3)) = 4 \ cdot (-60) = — 240 $
Пример 37
$ \ begin {vmatrix} 4 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 3 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \ end { vmatrix} $
Чтобы изменить операцию так, чтобы в ней стало больше нулей, нужно совершать операции со столбцами и наоборот.Выбираем или столбец, используя элемент 1, поскольку из него можно получить любое число простым умножением.
Заметим, что в строке 2 уже есть два нулевых элемента. {2 + 2} \ cdot \ begin {vmatrix} 4 & 2 & 8 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 7 \ end {vmatrix} = $
$ = 4 \ cdot3 \ cdot7 + 1 \ cdot1 \ cdot8 + 2 \ cdot2 \ cdot1 $ $ — (8 \ cdot3 \ cdot2 + 1 \ cdot1 \ cdot4 + 7 \ cdot2 \ cdot1) = $ 84 + 8 + 4- 48 -4-14 = 30 $
Пример 38
$ \ begin {vmatrix} 1 & -2 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & -1 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \\ -1 & 4 & 2 & 1 \\ \ end {vmatrix} $
Можно вынести множитель 3 из строки 3:
$ 3 \ cdot \ begin {vmatrix} 1 & -2 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 4 & 2 & 1 \\ \ end {vmatrix} $
В строке 3 все элементы равны 1, легко повернуть получить нули.{3 + 4} \ cdot $ $ = (- 1) \ cdot \ begin {vmatrix} -1 & -4 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ -2 & 3 & 1 \\ \ end {vmatrix} $
$ = — ((- 1) \ cdot 4 \ cdot 1 +3 \ cdot 3 \ cdot1 + (-2) \ cdot (-4) \ cdot 2 $ $ — (1 \ cdot 4 \ cdot (-2 ) + 2 \ cdot 3 \ cdot (-1) + 1 \ cdot (-4) \ cdot3)) $ $ = — (- 4 + 9 + 16 + 8 + 6 + 12) = -47 $
Пример 39
$ \ begin {vmatrix} 2 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 6 & 3 \\ 5 & 3 & 7 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 4 \ end {vmatrix} $
Здесь мы можем использовать единицу из последней строки и изменить элементы первого столбца в нули.{4 + 1} \ cdot \ begin {vmatrix} 5 & -3 & -4 \\ 1 & -2 & -13 \\ 3 & -3 & -18 \ end {vmatrix} = $ $ (- 1) \ cdot \ begin {vmatrix} 5 & -3 & -4 \\ 1 & -2 & -13 \\ 3 & -3 & -18 \ end {vmatrix} $
Выносим общий множитель -1 из столбца 2 и еще раз -1 из столбца 3.
$ (-1) \ cdot (-1) \ cdot (-1) \ cdot \ begin {vmatrix} 5 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 13 \\ 3 & 3 & 18 \ end {vmatrix} = $ $ (- 1) \ cdot \ begin {vmatrix} 5 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 13 \\ 3 & 3 & 18 \ конец {vmatrix} = $ $ — [5 \ cdot 2 \ cdot 18 + 1 \ cdot 3 \ cdot 4+ 3 \ cdot 3 \ cdot 13 — (4 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot + 13 \ cdot 3 \ cdot 5 + 18 \ cdot 3 \ cdot 1)] = $ $ — (180 + 12 + 117-24-195-54) = 36 $
Пример 40
$ \ begin {vmatrix} 4 & 7 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \ end {vmatrix} $
Мы видим элемент 1 в столбце 3, так что мы можем обратить остальные элементы строки 2 в нули.{2 + 5} \ cdot \ begin {vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & -4 & -2 \\ -1 & -2 & -1 \ end {vmatrix} $
Выносим общий множитель -1 из строки 2 и еще раз -1 из строки 3.
$ (-1) \ cdot (-1) \ cdot (-1) \ cdot \ begin {vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \ end {vmatrix} = $ $ (- 1) \ cdot \ begin {vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \ end {vmatrix} = $ $ — [2 \ cdot 4 \ cdot 1 + 1 \ cdot 2 \ cdot (-1) + 1 \ cdot 1 \ cdot 2 — ((-1) \ cdot 4 \ cdot 1 + 2 \ cdot 2 \ cdot 2 + 1 \ cdot 1 \ cdot 1)] = $ $ — (8-2 + 2 + 4-8-1) = — 3 $
Пример 41
$ \ begin {vmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \\ \ end { vmatrix} $
Заметим, что все строки и все столбцы состоят из одних и тех же элементов, но в разном порядке.В таком случае мы можем сложить все строки или все столбцы.
$ \ begin {vmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \ end {vmatrix} $ $ \ xlongequal { L_ {1} + L_ {2} + L_ {3} + L_ {4}} \ begin {vmatrix} 10 & 10 & 10 & 10 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \ end {vmatrix} = $ 10 \ cdot \ begin {vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \ \ 4 & 2 & 1 & 3 \ end {vmatrix} $ $ \ xlongequal {C_ {1} — C_ {4}, C_ {2} -C_ {4}, C_ {3} -C_ {4}} 10 \ cdot \ begin {vmatrix} 0 & 0 & 0 & \ color {red} {1} \\ -1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 & 3 \ end {vmatrix} = $
$ = 10 \ cdot1 \ cdot (-1) ^ {1 + 4} $
$ = (-10) \ cdot \ begin {vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \ end {vmatrix} = $ $ (- 10) \ cdot ( (-1) \ cdot 3 \ cdot (-2) +2 \ cdot (-1) \ cdot2 + 1 \ cdot 1 \ cdot 1 $ $ — (2 \ cdot 3 \ cdot 1 + 1 \ cdot (-1) \ cdot (-1) + (-2) \ cdot1 \ cdot2)) $ $ = -10 \ cdot (6-4 +1-6-1 + 4) = 0 $
размер матрицы фотоаппарата | Мир сквозь призму
Многие уже в курсе того, что нужно знать, выбирая цифровой фотоаппарат.
Сегодня поговорим о таком важном элементе, как матрица фотоаппарата и ее разрешении.
1. Мегапиксели
Реклама пестрит: мегапиксели! Почему-то убеждая покупателя, что чем больше этих самых мегапикселей, тем лучше снимает камера.
Наверное, стоит пояснить, что такое пиксель. Пиксель — это элемент изображения, который состоит из 5 частей, несущих информацию: яркость красного, зеленого и яркого цветов синих цветов, а также координаты по вертикали и горизонтали.
Эти данные позволяют процессору камеры определять их положение точек на матрице и цвета. Все вместе пиксели образую кадр. В Мегапикселях (миллион пикселей) измеряют размер фотографии или отсканированного снимка.
2. Размер матрицы фотоаппарата
Однако матрица камеры, на которую записывается информация, имеет размеры. За стандарт матрицы цифрового фотоаппарата принят размер пленочного кадра 24х35мм. В зависимости от типа матрицы могут быть меньше или равны этому формату.
Ниже вы можете увидеть соотношение физических размеров матрицы некоторых моделей цифровых фотоаппаратов к стандартному размеру пленки в 35 мм. У компактов размер матрицы указывать в виде формулы 1 / х »(где« х »может быть целым или дробным числом, например 1 / 1,7, 1 / 2,5 и т. П.), А у зеркальных камер указываются физические размеры матрицы в мм (например, 22,2 × 14,8 мм или 24х36 мм).
Компактные камеры :
Матрица размером 1/3.2 ″ — самые маленькие матрицы, соотношение сторон 4: 3, физический размер 3,4 х 4,5 кв.мм;
Матрица размером 1 / 2,7 ″, соотношение сторон 4: 3, физический размер 4,0 х 5,4 кв.мм;
Хорошие компактные камеры и псевдозеркалки
Матрица размером 1 / 2,5 ″, соотношение сторон 4: 3, то есть 4,3 х 5,8 кв.мм;
Матрица размером 1 / 1,8 ″, соотношение сторон 4: 3, геометрический размер 5,3 х 7,2 кв.мм;
Дорогие компактные камеры и компактных камер со сменной оптикой
Матрица размером 2/3 ″, соотношение сторон 4: 3, физический размер 6,6 х 8,8 кв.мм;
Матрица размером 4/3 ″, физический размер 18 х 13,5 кв.мм, соотношение сторон 4: 3;
Бюджетные и полупрофессиональные зеркальные камеры
DX, APS-C формат, соотношение сторон 3: 2, размер около 24 х 18 кв.мм. Матрицы таких размеров соответствуют «полукадру» 35 мм кадра.
3. Как это все совмещается
Чем больше размер матрицы фотоаппарата, тем комфортнее чувствуют себя светочувствительные элементы — пиксели: расстояние между ними больше, перегреваются они меньше и, следовательно, лучше восприимчивость матрицы к свету.И тем качественнее получится снимок. Даже при одинаковом количестве пикселей качество фотографий с разных фотокамер может оказаться разным.
Что бы ни кричала реклама, число мегапикселей определяет лишь максимальный размер отпечатка, который можно получить с фотографии. И совсем уж мегапиксели не связаны с качеством изображения в отличие от матрицы цифровых фотоаппаратов. Ведь по факту даже разрешения 2 Мп достаточно, чтобы напечатать изображение хорошего качества размером 10 * 15.А 4Мп подойдут прекрасно для фотографии формата А4.
Поэтому гораздо более важно не количество пикселей, а их размер. Ведь если на маленькую матрицу запихнуть, скажем, 8Мп, то они будут очень маленькими. А чем меньше размер пикселя, тем выше уровень шума изображения. В компактных камерах и большинстве зеркалок нежелательные эффекты сглаживает встроенная программа шумоподавления, но эффект от нее — замыленность снимка.
Большое количество компактных любительских камер имеет разрешение матрицы фотоаппарата от 5 до 12 Мп, у зеркалки же этот диапазон составляет от 8 до 21 МП, при этом размер матрицы намного больше.В настройках камеры всегда можно выбрать разрешение снимка. Советую установить этот параметр, ориентируясь на золотую середину, — такого разрешения вполне достаточно, чтобы получить четкую и красочную картинку.
Чтобы лучше соотношение количества пикселей и размера, приведу простой пример. Допустим, нужно посадить на грядке кусты клубники. Чем больше грядка, тем больше кустов можно посадить. Но если попытаться втиснуть на кусок земли 20 кв.м. 5 кустов, то в итоге вырастет сорняк.
Так и с пикселями: количество пикселей может быть одинаковым, но у «взрослой» камеры они будут на большей площади и добиться больше света. А больше света — это, как правило, меньше шума и более широкий динамический диапазон.
Надеюсь, я все объяснила. Удачи вам в выборе фотокамеры!
.
No related posts.

alexxlab
Навигация по записям
Пред.
След.
Разное
Рено дастер приборная панель описание индикаторов: Описание значков на панели приборов на Рено Дастер
alexxlab
21.09.2023
0
Разное
Юпитер 8м 2 50: Объектив Юпитер-8 50 mm f/ 2 Характеристики, MTF, отзывы, обзоры, тесты :: Lens-Club.ru
alexxlab
21.09.2023
0
Разное
Применение квадрокоптеров: Популярные сферы применения квадрокоптеров — Статья
alexxlab
20.09.2023
0
Разное
Оригинальные фотки: Оригинальные картинки на аву (100 фото) • Прикольные картинки и позитив
alexxlab
20.09.2023
0
Разное
Speedlight sb 500: б.у. Накамерный осветитель Nikon Speedlight SB-500
alexxlab
19.09.2023
0
Разное
Фигуры из полотенец: 17 клевых фигур из полотенец, которые вы могли не видеть в отелях
alexxlab
19.09.2023
0
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Рубрики
Iso
Вспышк
Вспышка
Выдержк
Выдержка
Кадр
Приемы
Разное
Советы
Стоимость
Сцен
Съёмка
Уроки
Фокус
Фото
Фотолюбител
Фотолюбителям
Экспозиц
Экспозиция
Primelens.ru © 2019

A =

8 ₆₀

2	4	1
0	2	1
2	1

Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:

= 2 · (-1) ^{1 + 1} · 2111 + 0 · (-1) ^{2 + 1} · 4111 + 2 · (-1) ^{3 + 1} · 4121 =

= 2 · (2 · 1 — 1 · 1) + 2 · (4 · 1 — 2 · 1) = 2 · (2 - 1) + 2 · (4 — 2) = 2 · 1 + 2 · 2 = 2 + 4 = 6

Пример 4.

Найти определитель матрицы A

А = 2411020021134023

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложить его по второй строке (в ней больше всего нулей):

det (A) = 2411020021134023 = — 0 · 411113023 + 2 · 211213423 — 0 · 241213403 + 0 · 241211402 =

= 2 · (2 · 1 · 3 + 1 · 3 · 4 + 1 · 2 · 2 — 1 · 1 · 4 — 2 · 3 · 2 — 1 · 2 · 3) = 2 · (6 +12 + 4 — 4 — 12 — 6) = 2 · 0 = 0

Приведение определителя к треугольному виду

Используя свойства определителя для элементоварных преобразователей над строками и столбцами 8-11, определенное значение будет произведено элементов стоящих на главной диагонали.

Пример 5.

Найти матрицу приведением его к треугольному виду

А = 2411021021134023

Решение:

дет (А) = 2411021021134023

Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку, умноженную на 2:

det (A) = 241102102 — 21 — 41 — 13 — 14 — 2 · 20 — 4 · 22 — 1 · 23 — 1 · 2 = 241102100-3020-801

Получим нули во втором столбце под главной диагональю.Для этого поменяем местами 2-й и 3-й столбцы (при этом детерминант сменит знак на противоположный):

дет (А) = — 2141012000-3200-81

Получим нули в третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец, умноженный на 8: