определения, свойства и примеры решения задач

Содержание:

• Сумма матриц
• Разность матриц
• Свойства сложения и вычитания матриц:

Сложение и вычитание матриц, допускаются только для матриц одинакового размера.

Сумма матриц

Определение

Суммой матриц $A$ и $B$ одного размера называется матрица $C = A+B$ такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов:

$$ A_{m \times n}+B_{m \times n}=C_{m \times n} ; c_{i j}=a_{i j}+b_{i j}, i=\overline{1 ; m}, j=\overline{1 ; n} $$

Замечание

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Пример

Задание. Найти $A+B$, если $ A=\left( \begin{array}{ll}{1} & {4} \\ {2} & {3}\end{array}\right) $ , $ B=\left( \begin{array}{ll}{4} & {4} \\ {5} & {2}\end{array}\right) $

Решение. $ C=A+B=\left( \begin{array}{cc}{1} & {4} \\ {2} & {3}\end{array}\right)_{2 \times 2}+\left( \begin{array}{ll}{4} & {4} \\ {5} & {2}\end{array}\right)_{2 \times 2}= $

$ =\left( \begin{array}{cc}{1+4} & {4+4} \\ {2+5} & {3+2}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ll}{5} & {8} \\ {7} & {5}\end{array}\right) $

Ответ. $ A+B=\left( \begin{array}{ll}{5} & {8} \\ {7} & {5}\end{array}\right) $

Свойства сложения и вычитания матриц:

1.   Ассоциативность $ (A+B)+C=A+(B+C) $
2.   $ A+\Theta=\Theta+A $, где $\Theta$ — нулевая матрица соответствующего размера.
3.   $ A-A=\Theta $
4.   Коммутативность $ A+B=B+A $

Разность матриц

Разность двух матриц одинакового размера можно определить через операцию сложения матриц и через умножение матрицы на число.

Вычитание матриц вводится следующим образом: $ A-B=A+(-1) \cdot B $

То есть к матрице $A$ прибавляется матрица $B$, умноженная на (-1).

Определение

Разностью матриц

$A$ и $B$ одного и того же размера называется матрица $C = A-B$ такого же размера, получаемая из исходных путем прибавления к матрице $A$ матрицы $B$, умноженной на (-1).

На практике же от элементов матрицы $A$ попросту отнимают соответствующие элементы матрицы $B$ при условии, что заданные матрицы одного размера.

Замечание

Вычитать можно только матрицы одинакового размера.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти матрицу $ C=A-3 B $, если $ A=\left( \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {2} & {-1} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $ , $ B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {1} & {2} \\ {0} & {0}\end{array}\right) $

Решение. $ C=A-3 B=\left( \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {2} & {-1} \\ {3} & {0}\end{array}\right)-3 \cdot \left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {1} & {2} \\ {0} & {0}\end{array}\right)= $

$ \left( \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {2} & {-1} \\ {3} & {0}\end{array}\right)-\left( \begin{array}{rr}{-3} & {3} \\ {3} & {6} \\ {0} & {0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{1-(-3)} & {2-3} \\ {2-3} & {-1-6} \\ {3-0} & {0-0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{4} & {-1} \\ {-1} & {-7} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $

Ответ. $ C=\left( \begin{array}{rr}{4} & {-1} \\ {-1} & {-7} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $

Читать дальше: умножение матриц.

Разница матриц | это… Что такое Разница матриц?

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами.

Правила выполнения операций над матрицами сделаны такими, чтобы было удобно записывать системы линейных уравнений.

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита и выделяют круглыми скобками «(…)» (встречается также выделение квадратными скобками «[…]», двойными прямыми линиями «||…||»).

Числа, составляющие матрицу (элементы матрицы), часто обозначают той же буквой, что и саму матрицу, но строчной.

У каждого элемента матрицы есть 2 нижних индекса (a_ij) — первый «i» обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй «j» — номер столбца.

Говорят «матрица размерности », подразумевая, что в матрице m строк и n столбцов.

Содержание 1 История 2 Матрица как запись коэффициентов системы линейных уравнений 3 Операции над матрицами 4 Квадратная матрица и смежные определения 5 Свойства матриц 6 Элементарные преобразования матриц 7 Типы матриц 8 Матрица линейного оператора 9 См. также 10 Литература 11 Ссылки

История

Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу.

Матрица как запись коэффициентов системы линейных уравнений

Систему из m уравнений с n неизвестными

можно представить в матричном виде

и тогда всю систему можно записать так:

AX =

B,

где A имеет смысл таблицы коэффициентов a_ij системы уравнений.

Если m = n и матрица A невырожденная, то решение этого уравнения состоит в нахождении обратной матрицы A ^{— 1}, поскольку умножив обе части уравнения на эту матрицу слева

A ^{— 1}AX = A ^{— 1}B

A ^{− 1}A — превращается в E (единичную матрицу). И это даёт возможность получить столбец корней уравнений

X = A ^{— 1}B.

Все правила, по которым проводятся операции над матрицами выводятся из операций над системами уравнений.

Операции над матрицами

Пусть a_ij — элементы матрицы A, а b_ij — элементы матрицы

B.

Линейные операции:

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

b_ij = λa_ij

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

c_ij = a_ij + b_ij

Вычитание матриц A − B определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицы C, элементы которой

c_ij = aij

— b_ij

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

A + Θ = A

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Нелинейные операции:

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

cij =	∑	aikbkj
	k

В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Если матрица

A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть . Умножение матриц не коммутативно.

Умножение матриц ассоциативно. Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Транспонирование матрицы (обозначение: A^T) — операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть

Если A — матрица размера , то A^T — матрица размера

Квадратная матрица и смежные определения

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.

Для квадратных матриц существует единичная матрица E (аналог единицы для операции умножения чисел) такая, что умножение любой матрицы на неё не влияет на результат, а именно

EA = AE = A

У единичной матрицы единицы стоят только по главной диагонали, остальные элементы равны нулю

Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемую обратную матрицу. Обратная матрица A ^{— 1} такова, что если умножить матрицу на неё, то получится единичная матрица:

AA ^{− 1} = E

Обратная матрица существует не всегда. Матрицы, для которых обратная существует, называются невырожденными (или регулярными), а для которых нет — вырожденными (или сингулярными). Матрица невырождена, если все ее строки (столбцы) линейно независимы как векторы. Максимальное число линейно независимых строк (столбцов) называется рангом матрицы. Определителем (детерминантом) матрицы называется значение нормированной кососимметрической (антисимметрической) полилинейной формы валентности на столбцах матрицы. Квадратная матрица над числовым полем вырождена тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Свойства матриц

1. A + (B + C) = (A + B) + C
2. A + B = B + A
3. A(BC) = (AB)C
4. A(B + C) = AB + AC
5. (B + C)A = BA + CA
9. (A^T)^T = A
10. (A * B)^T = B^T * A^T

Элементарные преобразования матриц

Основная статья: Элементарные преобразования матрицы

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:

1. Умножение строки на число отличное от нуля
2. Прибавление одной строки к другой строке

Элементарные преобразование столбцов матрицы определяются аналогично.

Типы матриц

• Антиперестановочная: AB = − BA
• Единичная
• Блочно-диагональная
• Ганкелева
• Верхнетреугольная
• Вырожденная
• Диагональная
  • Трёхдиагональная
• Заполненная — в вычислительной математике матрица, которая практически не содержит нулей. Такую матрицу приходится хранить в памяти целиком. Антоним: разреженная.
• Квадратной называют матрицу, количество строк в которой равно количеству столбцов. Для квадратных матриц существует определитель.
• Кососимметрическая
• Нижнетреугольная
• Нормальная
• Нулевая
• Ортогональная
• Перестановочная: AB = BA
• Разреженная — в вычислительной математике матрица, содержащая много нулей. Организовав подходящую структуру данных, вычисления с разреженными матрицами можно проводить очень быстро. Частные случаи: диагональная, трёхдиагональная, жорданова. Антоним: заполненная.
• Симметричная
  1. Симметричная матрица A положительно определена (A > 0), если значения у всех ее главных угловых миноров A_k > 0
  2. Симметричная матрица A отрицательно определена (A < 0), если матрица ( − A) положительно определена, то есть если для любого k главный минор k-го порядка A_k имеет знак ( − 1)^k
• Теплицева
• Треугольная
• Эрмитова
• Циркулянт
• Унитарная
• Унимодулярная

Матрица линейного оператора

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис . Пусть  — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

,

где x^k — координаты вектора в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть  — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

.

Вектора также разложим в выбранном базисе, получим

,

где  — j-я координата k-го вектора из .

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

.

Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец x^k даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.

См. также

• Норма матрицы
• Определитель матрицы
• Массив — тип данных в программировании, соответствующий многомерной матрице.
• Разрежённый массив — компьютерная форма представления матриц со множеством нулей.
• Линейные матричные неравенства — аппарат для решения задач синтеза законов управления.

Литература

• Дж. Голуб, Ч.Ван Лоун Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999 (djvu).
• Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969 (djvu).
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц (2-е издание). — М.: Наука, 1966 (djvu).
• Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973 (djvu).
• Соколов Н. П. Пространственные матрицы и их приложения. — М.: ГИФМЛ, 1960 (djvu).

Ссылки

• Операции над матрицами онлайн

линейная алгебра. Может ли кто-нибудь объяснить разницу между вектором и матрицей?

спросил 7 лет, 6 месяцев назад

Изменено 5 месяцев назад

Просмотрено 13 тысяч раз

$\begingroup$

В прошлом семестре в моем университете я прошел курс исчисления 3 и освоился с идеей векторов, векторнозначных функций и основных векторных операций, таких как скалярное произведение и векторное произведение.

В этом семестре я изучаю Дифференциальные уравнения, и мы, кажется, перебрасываем термины «вектор» и «матрица», как будто они взаимозаменяемы, особенно сейчас, когда мы изучаем системы дифференциальных уравнений первого порядка. Кроме того, есть упоминание о «векторных пространствах», которые мне четко не объяснили.

В последний раз я имел дело с матрицами на уроке алгебры II в 9-м классе около 4 лет назад, так что здесь есть большая нестыковка. Я чувствую, что если бы я изучал линейную алгебру, этот курс был бы проще, поскольку мой профессор постоянно говорит: «Если вы изучали линейную алгебру, то это должно быть вам знакомо», что не совсем полезно.

Может ли кто-нибудь помочь мне преодолеть эти пробелы в моем понимании?

• линейная алгебра
• матрицы
• обыкновенные дифференциальные уравнения
• векторы
• терминология

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Грубо говоря. ..

Матрица представляет собой двумерный прямоугольный массив чисел. Если в массиве $m$ строк и $n$ столбцов, говорят, что у нас есть матрица размера $m \times n$.

Вектор можно рассматривать как особый тип матрицы. Вектор-строка — это матрица размера $1 \times n$, а вектор-столбец — это матрица размера $m \times 1$.

Вы, наверное, умеете перемножать матрицы. Поскольку векторы — это просто специальные типы матриц, вы знаете, как умножить матрицу на вектор. Умножение на матрицу часто используется как способ как-то «преобразовать» вектор (например, повернуть его, отразить или масштабировать).

$\endgroup$

9{n\times 1}$$

Вы можете думать о $n$-компонентном векторе как о $1\times n$-матрице или как $n\times 1$-матрице. Затем людям нравится притворяться, что все вышеперечисленные множества на самом деле равны.

Преимущество этой идентификации заключается в том, что матричное умножение может быть выполнено с векторами или векторами и матрицами без дополнительного определения. {m\times n}$. Но обычно люди не называют эти матрицы векторами, насколько мне известно.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Вектор является одномерным, поэтому он либо только в форме «столбца» или «строки». Матрица двумерная, она имеет как столбцы, так и строки и называется матрицей m * n (m столбцов и n строк). Существует также «список», который включает в себя как векторы, так и матрицы, а также другие форматы данных (форматы символов — вам понадобится эта терминология в R)

$\endgroup$ 9м$.

Обозначение вектора как столбца на самом деле является простым соглашением. Следовательно, они склонны считать вектор частным случаем матрицы, когда имеется только один столбец.

Мое определение справедливо только для анализа линейной алгебры. Для полилинейной алгебры матрица (или тензор) является числовой сущностью, а также вектором.

Короче говоря, векторы — это числа, а матрицы — это то, как эти числа преобразуются (линейно). Хороший справочник по книге известного профессора Гилбера Стрэнга. В разделе 7.2 он обсуждает, что матрица на самом деле является линейным преобразованием. Я уловил эту разницу только тогда, когда смог увидеть (буквально), как матрица преобразовывает пространство, на видео Youtube 3blue1brown, это очень красиво.

Я не говорю, что рассматривать вектор просто как матрицу из одного столбца неправильно. Но, ИМХО, это поверхностная интерпретация.

$\endgroup$

1

Найти сумму или разность двух матриц

Все ресурсы по предварительному исчислению

12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

← Предыдущая 1 2 3 Следующая →

Precalculus Help » Матрицы и векторы » Сумма или разность двух матриц » Найти сумму или разность двух матриц

Вычесть:

 

Возможные ответы:

Объяснение:

Чтобы вычитать матрицы, они должны быть одного размера. В данном случае они оба 2×2.

Формула для вычитания матриц выглядит следующим образом:

Используя эту формулу, мы подставим наши значения и решим:

Сообщить об ошибке Возможные ответы:

Нет решения

Правильный ответ:

Нет решения

Объяснение:

Чтобы вычитать матрицы, они должны быть одного размера. В данном случае их нет. Один 2х2, второй 2х1.

Таким образом, мы не можем найти их различие.

Ответ  Нет решения .

Сообщить об ошибке

Вычесть

  

Возможные ответы:

Правильный ответ:

900 10 Объяснение:

Первым шагом в решении этой задачи является умножение матрицы на скаляр.

Затем мы должны убедиться, что можем вычесть матрицы.

Для вычитания матриц они должны быть одного размера. В данном случае они оба 2×2.

Используя нашу новую матрицу, умножая скаляр и вычитая ее из другой матрицы, мы получаем следующее:

 

Сообщить об ошибке

Мы рассматриваем следующие матрицы:

900 02  

Найти .

Возможные ответы:

Мы не можем найти .

Правильный ответ:

Мы не можем найти .

Объяснение:

Чтобы можно было вычитать матрицы, они должны иметь одинаковый размер.

A 3×3 и B 3×4. Поэтому мы не можем выполнить эту операцию.

Сообщить об ошибке

Чему равно произведение  и , учитывая следующие матрицы?

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

При вычитании матриц вы хотите вычесть каждую соответствующую ячейку.

Теперь найдите и

 

Сообщить об ошибке

Если , то что?

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

С матрицами можно обращаться точно так же, как с другими членами уравнения. Следовательно, вы можете вычесть матрицу

из обеих частей уравнения. Это дает вам:

Теперь матричное вычитание очень просто. Вы просто вычитаете каждый элемент, сопоставляя соответствующие пробелы друг с другом:

Затем вы упрощаете:

Следовательно, 

Сообщить об ошибке

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти разницу между двумя матрицами одинакового размера, мы просто вычитаем каждый элемент правой матрицы из соответствующего элемента левой матрицы. Проделав операцию 9 раз, получим следующую матрицу:

Сообщить об ошибке

Найти разницу, если она существует

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Поскольку две матрицы имеют одинаковую размерность, разница существует

Сообщить об ошибке

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, вычтите соответствующие числа в каждой матрице: .

No related posts.