Товаров: 0 (0р.)

3 4 или 1 2 что больше: Что больше 1/2 или 3/4? Решение и ответ!

Как правильно сравнивать дроби?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

206.4K

Все познается в сравнении и особенно — дроби. Давайте узнаем, как и когда сравнивать дроби и чем это может быть полезно в жизни.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Как и при любом другом сравнении, суть сравнения дробей — в том, чтобы определить меньшую и большую дроби. 

Нет ситуации более благоприятной для сравнения, чем дроби с одинаковыми знаменателями. Если вся разница между дробями только в числителях, пользуемся следующим правилом:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше дробь с большим числителем. А меньше будет та дробь, числитель которой меньше.

А теперь на примерах.

Пример 1. Сравните дроби:


  • Мы видим, что знаменатели дробей — равны. Значит сравниваем числители:
    8 < 12
    12 > 8
  • Это значит, что < Изи!

Пример 2. Сравните дроби:


  • Как и в прошлом примере, знаменатели дробей — равны. Сравниваем числители:
    9  > 10
    1 < 10
  • Это значит, что >

Пример 3. Сравните дроби:


  • Знаменатели дробей снова равны. Сравниваем числители:
    3  > 1
    1 < 3
  • Это значит, что >

Как видите, нет ничего сложного в сравнении дробей, если знаменатели равны. Вся задача заключается в том, чтобы определить больший и меньший числитель. 

Давайте разберем наглядный пример сравнения дробей. Еще больше наглядных примеров — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!


Допустим, в торте 6 кусков. Если от целого торта отрезать один кусок — в торте останется 5 кусков.

 

  • Запишем в виде дробей: и
  • А теперь сравним полученные дроби: знаменатели — равны, сравниваем числители:
    6  > 5
    5 < 6.
  • Это значит, что >

Понять, что целый торт больше, чем торт без одного куска, можно и без сравнения дробей. Но это же самое правило можно применить и при менее очевидных сравнениях, которые часто встречаются в повседневной жизни.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Вы уже разобрались со сравнением дробей с одинаковыми знаменателями. Теперь задача чуть усложняется — научимся сравнивать дроби с разными знаменателями, но с одинаковыми числителями.

 

Запомните правило:

Если у двух дробей одинаковые числители, то больше будет та дробь, чей знаменатель меньше. А меньше будет дробь с большим знаменателем.

А теперь наши любимые примеры. Погнали!

Пример 1. Сравните дроби:

  • У дробей разные знаменатели и одинаковые числители. Значит, согласно правилу, нужно сравнить знаменатели:
    9  > 7
    7 < 9
  • Значит, дробь с меньшим знаменателем — больше:

Пример 2. Сравните дроби:

  • У дробей разные знаменатели и одинаковые числители. Значит, согласно правилу, нужно сравнить знаменатели:
    10  < 11
    11 > 10
  • Значит дробь с меньшим знаменателем — больше:

Пример 3. Сравните дроби:

  • У дробей разные знаменатели и одинаковые числители. Значит, согласно правилу, нужно сравнить знаменатели:
    6  > 3
    3 < 6
  • Значит, дробь с меньшим знаменателем — больше.

Для наглядности представим ситуацию, в которой вам предстоит разделить торт между тремя друзьями. Это значит, что 6 кусков торта равномерно распределяются по 3 людям: каждому достается 6:3 = 2 по 2 кусочка. 

А теперь представим более приятную ситуацию: кусков торта по-прежнему 6, а друзей уже только 2. Тогда каждому достанется по 3 вкуснейших кусочка:

Как видите, сравнение дробей может вам пригодиться в самых неожиданных ситуациях. Теперь, когда снова придется хорошенько задуматься о соотношении кусков торта и приглашенных гостях, изученная тема поможет вам принять верное решение😉.

 

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нет ничего хитрого в сравнении дробей с одинаковыми числителями или знаменателями. Чуть больше усилий потребуется при сравнении дробей, в которых нет ничего одинакового.

Запоминаем

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю, а затем сравнить числители.

Сначала вспомним, как привести дроби к общему знаменателю.
Рассмотрим пример дробей с разными знаменателями.

  • Нужно подобрать число, которое будет делиться на 7 и на 2, например, 14. Проверим:
    14:7 = 2
    14 : 2 = 7
  • Первую дробь умножаем на дополнительный множитель 2:
  • Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 7:
  • Дроби приведены к общему знаменателю:

Давайте потренируемся в сравнении дробей. 

Пример 1. Сравните дроби:


  • Приведем дроби к общему знаменателю. 30 делится на 15 и на 2.
    30 : 15 = 2
    30 : 2 = 15
  • Первую дробь умножаем на дополнительный множитель 2:
  • Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 15:
  • Дроби приведены к общему знаменателю:
  • Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то, согласно правилу, больше та дробь, чей числитель больше:

При сравнении неправильных дробей с правильными помните, что неправильная дробь всегда больше правильной.

Пример 2: Сравните дроби:


  • 6/5 — неправильная дробь. 
  • Выделим целую часть:
  • Значит, что

Вычитание смешанных чисел

Вычитание проходит гладко, когда уменьшаемое больше вычитаемого. 

  • 12 — 7 = 6
    12 — уменьшаемое
    7 — вычитаемое
    5 — разность

В случае, если вычитаемое больше уменьшаемого, разность оказывается отрицательной. В этом нет ничего страшного. Но математика в 5 классе — «положительная», поэтому научимся находить разность смешанных чисел, не скатываясь «в минусы». 

При вычитании дробей действует тот же самый принцип: вычитаемое должно быть меньше уменьшаемого. Вот здесь то вам и пригодится навык сравнивать дроби.
 

Пример 1. Вычислите:


Вычитаемая дробь меньше уменьшаемой

  • Выполняем вычитание:

Пример 2.Найдите разность:


  • Смешанные дроби превращаем в неправильные:
  • Чтобы найти разность дробей с разными числителями и знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю:
  • Наименьшее общее кратное — 40
    40 : 8 = 5
    40 : 5 = 8
  • Умножаем первую дробь на дополнительный множитель 5:
  • Умножаем вторую дробь на дополнительный множитель 8:
  • Дроби приведены к общему знаменателю:

Примеры для самопроверки

Теория — это, конечно, хорошо. Но без практики — никуда. Пора потренироваться в решении примеров и закрепить тему сравнения дробей.

Пример 1. Сравните дроби:


Ответ: по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, у которой числитель больше. Это значит, что


Пример 2. Сравните дроби:


Ответ: по правилу сравнения дробей с разными знаменателями и одинаковыми числителями, больше та дробь, чей знаменатель меньше. Это значит, что


Пример 3. Сравните дроби:


Как решаем:

Ответ:.

  • По правилу сравнения дробей с разными числителями и знаменателями, сначала нужно привести дроби к общему знаменателю:
  • Наименьшее общее кратное — 15:
    15 : 15 = 1
    15 : 5 = 3
  • Умножаем первую дробь на дополнительный множитель 1:
  • Умножаем вторую дробь на дополнительный множитель 3:
  • Дроби приведены к общему знаменателю:
  • Сравниваем числители получившихся дробей: 3 < 6

Пример 4. Найдите разность:


Как решаем:

  • Смешанные дроби превращаем в неправильные:
  • Чтобы найти разность дробей с разными числителями и знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю.
  • Наименьшее общее кратное — 42:
    42 : 7 = 6
    42 : 6 = 7
  • Умножаем первую дробь на дополнительный множитель 6:
  • Умножаем вторую дробь на дополнительный множитель 7:
  • Дроби приведены к общему знаменателю.
  • Теперь можно вычитать:

Ответ:


 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Анастасия Белова

К предыдущей статье

112.4K

Основное тригонометрическое тождество

К следующей статье

Что такое пропорция

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

  1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

  2. Расскажем, как проходят занятия

  3. Подберём курс

Корень (кубический, квадратный) в степени: решения, таблицы, примеры

Оглавление:

  • org/ListItem»> Степень с натуральным показателем
  • Степень с целым показателем
  • Кубический корень
  • Корень -ной степени
  • Сравнение арифметических корней
  • Как избавиться от иррациональности в знаменателе
  • Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Степенью называется выражение вида .

Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

к оглавлению ▴

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

.

Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

к оглавлению ▴

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

.

Это верно для . Выражение 00 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Определение.

Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение    для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

 

Запомним важное правило:

По определению, .

к оглавлению ▴

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

, так как ;

, так как .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

к оглавлению ▴

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Например,

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

в общем случае .

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Например,

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Например,

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются;

— при делении степени на степень показатели вычитаются;

— при возведении степени в степень показатели перемножаются;

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1.

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2.

3.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
4. Найдите значение выражения при

Решение:

При получим

Ответ: -0,5.

5. Найдите значение выражения при

Решение:

При a = 12 получим

Мы воспользовались свойствами степеней.

Ответ: 144.

6. Найдите значение выражения при b = — 5.

Решение:

При b = — 5 получим:

Ответ: -125.

7. Расположите в порядке возрастания:

Решение:

Запишем выражения как степени с положительным показателем и сравним.

Так как то

Так как то

Сравним и для этого оценим их разность:

значит

Получим : поэтому

Ответ:

8. Представьте выражение в виде степени:

Решение:

Вынесем за скобку степень с меньшим показателем:

Ответ:

9. Упростите выражение:

Решение:

Приведем основания 6 и 12 к основаниям 2 и 3:

(выполним деление степеней с одинаковыми основаниями)

Ответ: 0,25.

10. Чему равно значение выражения при ?

Решение:

При получим

Ответ: 9.

к оглавлению ▴

Сравнение арифметических корней

11. Какое из чисел больше: или ?

Решение:

Возведем в квадрат оба числа (числа положительные):

Найдем разность полученных результатов:

так как

Значит, первое число больше второго.

Ответ:

к оглавлению ▴

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Если дана дробь вида то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на :

Тогда знаменатель станет рациональным.

Если дана дробь вида или то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы получить в знаменателе разность квадратов.

Сопряженные выражения — это выражения, отличающиеся только знаками. Например,

и и — сопряженные выражения.

Пример:

12. Вот несколько примеров — как избавиться от иррациональности в знаменателе:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Совет. Если в знаменателе дана сумма двух корней, то в разности первым числом пишите то, которое больше, и тогда разность квадратов корней будет положительным числом.

Пример 5.

13. Сравните и

1)

2) Сравним и 14.

то и а значит,

Ответ: меньше.

к оглавлению ▴

Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Покажем несколько примеров.

14. Упростите: выражения:

Пример 5.

т.к.

Пример 6.

Пример 7.

так как

Следующие несколько задач решаются с помощью формулы:

Решение:

Получим уравнение

Ответ:

19. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

20. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

21. Вычислите значение выражения: если

Решение.

Если то следовательно

Ответ: — 1.

22. Вычислите:

Решение:

Ответ: 1.

Рассмотрим уравнение вида где

Это равенство выполняется, только если

Подробно об таких уравнениях — в статье «Показательные уравнения».

При решении уравнений такого вида мы пользуемся монотонностью показательной функции.

23. Решите уравнение:

а)

б)

в)

Решение.

23. Решите уравнение:

Решение:

тогда

Ответ: -1.

24. Решите уравнение:

Решение:

Ответ: 4.

25. Решите уравнение:

Решение:

Значит,

Ответ: -0,2.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Корни и степени» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Калькулятор сравнения дробей

Базовый калькулятор

Сравнение дробей

Сравнение целых чисел, десятичных дробей, дробей, смешанных чисел или процентов

Операнд 1
и Операнд 2

Ответ:

1 3/4 < 1,875


Показ работы

Использование приведенных входов:

1 3/4

1,875

Переписывание этих вводов AS Decimals:

1 3/

9000. 1875 1.875 1.875 1.87

1,75

1,875

Сравнение десятичных значений, которые у нас есть:

1 3/4

1,875

1,75

<

1,75

<

0002 1,875

Следовательно, сравнение показывает:

1 3/4 < 1,875

Поделитесь этой ссылкой для ответа: help
Вставьте эту ссылку в электронное письмо, текст или социальные сети.


Получить виджет для этого калькулятора

© Calculator Soup

Поделитесь этим калькулятором и страницей

Калькулятор Используйте

Сравните дроби, чтобы найти, какая дробь больше, а какая меньше. Вы также можете использовать этот калькулятор для сравнения смешанных чисел, сравнения десятичных дробей, сравнения целых чисел и сравнения неправильных дробей.

Как сравнивать дроби

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, преобразуйте их в эквивалентные дроби с одинаковым знаменателем.

  1. Если у вас есть смешанные числа, преобразуйте их в неправильные дроби
  2. Найдите наименьший общий знаменатель (LCD) дробей
  3. Преобразуйте каждую дробь в ее эквивалент с ЖК-дисплеем в знаменателе
  4. Сравните дроби: если знаменатели совпадают, вы можете сравнить числители. Дробь с большим числителем и есть большая дробь.

Пример:

Сравните 5/6 и 3/8.

Найдите ЖК-дисплей: числа, кратные 6, равны 6, 12, 18, 24, 30 и т. д. Кратные 8 равны 8, 16, 24, 32 и т. д. Наименьшее общее кратное равно 24, поэтому мы используем его как наименьший общий знаменатель.

Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея.
Для 5/6 умножьте числитель и знаменатель на 4, чтобы получить LCD = 24 в знаменателе.

\( \dfrac{5}{6} \times \dfrac{4}{4} = \dfrac{20}{24} \)

Для 3/8 умножьте числитель и знаменатель на 3, чтобы получить LCD = 24 в знаменателе.

\( \dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{3} = \dfrac{9}{24} \)

Сравните дроби. Поскольку знаменатели похожи, вы можете сравнить числители. 20 больше 9, поэтому:

Так как   

\( \dfrac{20}{24} > \dfrac{9}{24} \)

  мы заключаем   

\( \dfrac{5}{6} > \dfrac{3}{8} \)

Дополнительную справку по дробям см. Калькулятор фракций, Упрощение калькулятор дробей и Калькулятор смешанных чисел.

Ссылки: Помощь с дробями Нахождение наименьшего общего знаменателя.

 

Подписаться на CalculatorSoup:

Калькулятор дробей


Этот калькулятор дробей выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.

Правила выражения с дробями:

Дроби — используйте косую черту для деления числителя на знаменатель, т. е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.

Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью
и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта одновременно является знаком дробной строки и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 .
Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т. е. 1,45 .

Math Symbols


Symbol Symbol name Symbol Meaning Example
+ plus sign addition 1/2 + 1/3
— знак минус вычитание 1 1/2 — 2/3
* asterisk multiplication 2/3 * 3/4 ​​
× times sign multiplication 2 /3 × 5/6
: division sign division 1/2 : 3
/ division slash division 1/3 / 5 91/2
• сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
• деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2
• сложные дроби: 5/8 : 2 2/3
• десятичная дробь: 0,625
• Преобразование дроби в десятичную: 1/4
• Преобразование дроби в процент: 1/8 %
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​
• квадратный корень дроби: sqrt(1/16)
• уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
• выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8)
• составная дробь: 3/4 от 5/7
• кратные дроби: 2/3 от 3/5
• разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3

Калькулятор следует известным правилам для порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание.
BEDMAS — Скобки, Экспоненты, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание
BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание.
GEMDAS — символы группировки — скобки (){}, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание.
MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS.
Будь осторожен; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо.