Частота колебаний маятника – график и формула

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 199.

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 199.

Маятник – простейшая колебательная система, в которой можно изучать особенности колебательных процессов. Колебания, происходящие в маятнике, обладают рядом характеристик, важнейшей из которых является частота. Рассмотрим частоту колебаний маятника более подробно.

Маятник и процессы, происходящие в нем

Изначально под термином «маятник» понимался груз, подвешенный на нити, который может совершать свободные качания под действием силы тяжести. Такой маятник называется «нитяным». Идеальной моделью нитяного маятника является математический маятник, который отличается отсутствием потерь, точечным размером массы и нерастяжимой нитью.

Рис. 1. Нитяной маятник.

Сила тяжести в маятнике может быть заменена на силу упругости. Такой маятник называется «пружинным».

Как показывает опыт, пружинный маятник по своему поведению очень мало отличается от нитяного, являясь его близким аналогом. Аналогом ускорения свободного падения в нитяном маятнике является жесткость пружины в пружинном маятнике, аналогом длины является масса груза. Рис. 2. Пружинный маятник.

В обоих маятниках свободные колебания возникают потому, что при выведении их из равновесия возникает сила, направленная в сторону равновесия, тем большая, чем больше отклонение.

В точке наибольшего отклонения маятник обладает потенциальной энергией, которая по мере движения превращается в кинетическую. В точке равновесия потенциальная энергия равна нулю, а вся энергия маятника имеет кинетическую форму. Поэтому маятник не может остановиться, и будет продолжать движение, при этом кинетическая энергия будет уменьшаться переходя в потенциальную. В противоположной точке отклонения вся кинетическая энергия перейдет в потенциальную, и станет равной нулю. Маятник начнет обратный ход, при котором потенциальная энергия снова будет переходить в кинетическую.

Идеальный маятник не имеет потерь энергии, а поэтому колебания будут незатухающими.

Частота колебаний маятника

Для получения формулы, выражающей частоту колебаний маятника, вспомним, что колебания совершаются под действием силы, тем большей, чем больше отклонение от равновесия. Например, для пружинного маятника с жесткостью пружины $k$ сила будет равна $F=-kx$, а значит ускорение, приобретаемое грузом, по второму закону Ньютона будет равно:.

$$a=-{kx\over m}$$

Ускорение является второй производной координаты. То есть:

$$x”=-{k\over m}x$$

В высшей математике доказывается, что единственная функция, удовлетворяющая данному условию – это круговая функция (синус или косинус):

$$x(t)=A cos \sqrt{k\over m}t$$

Сравним эту формулу с формулой гармонических колебаний:

$$x(t)=A cos( \omega t+\varphi)$$

Можно видеть, что коэффициент $\sqrt {k\over m}$ представляет собой круговую частоту. А значит, частота колебаний маятника равна:

$$\nu={\omega \over 2\pi}={1\over 2\pi}\sqrt {k\over m}$$

Процессы, происходящие в нитяном маятнике, очень близки к процессам, происходящим в пружинном. Поэтому частота колебаний нитяного маятника имеет формулу такого же вида, только в ней жесткость пружины является аналогом ускорения свободного падения, а аналогом массы является длина маятника:

$$\nu={1\over 2\pi}\sqrt {\mathrm{g}\over l}$$

На графике частота колебаний маятника равна количеству полных колебаний, происходящих в единицу времени:

Рис. 3. График колебаний маятника.

Что мы узнали?

И в нитяном и в пружинном маятнике колебания возникают потому, что при выведении их из положения равновесия возникает сила, стремящаяся вернуть маятник в равновесие, тем большая, чем больше отклонение. Единственная функция, удовлетворяющая этому условию – это круговая функция, частоту которой можно получить из ее формулы или графика.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка доклада

4. 3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 199.

---

А какая ваша оценка?

Формула частоты в физике

Формула частоты в физике Определение

Частота — это физический параметр, которые используют для характеристики периодических процессов. Частота равна количеству повторений или свершения событий в единицу времени.

Чаще всего в физике частоту обозначают буквой $\nu ,$ иногда встречаются другие обозначения частоты, например $f$ или $F$.

Частота (наряду со временем) является самой точно измеряемой величиной.

Формула частоты колебаний

При помощи частоты характеризуют колебания. В этом случае частота является физической величиной обратной периоду колебаний $(T).$

\[\nu =\frac{1}{T}\left(1\right).\]

Частота, в этом случае — это число полных колебаний ($N$), совершающихся за единицу времени:

\[\nu =\frac{N}{\Delta t}\left(2\right),\]

где $\Delta t$ — время за которое происходят $N$ колебаний. {-1}=Гц.\]

Герц — это единица измерения частоты периодического процесса, при которой за время равное одной секунде происходит один цикл процесса. Единица измерения частоты периодического процесса получила свое наименование в честь немецкого ученого Г. Герца.

Частота биений, которые возникают при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с разными, но близкими по величине частотами (${\nu }_1\ и\ {\nu }_2$) равна:

\[{\nu =\nu }_1-\ {\nu }_2\left(3\right).\]

Еще одно величиной характеризующей колебательный процесс является циклическая частота (${\omega }_0$), связанная с частотой как:

\[{\omega }_0=2\pi \nu \left(4\right).\]

Циклическая частота измеряется в радианах, деленных на секунду:

\[\left[{\omega }_0\right]=\frac{рад}{с}.\]

Частота колебаний тела, имеющего массу$\ m,$ подвешенного на пружине с коэффициентом упругости $k$ равна:

\[\nu =\frac{1}{2\pi \sqrt{{m}/{k}}}\left(5\right).\]

Формула (4) верна для упругих, малых колебаний. Кроме того масса пружины должна быть малой по сравнению с массой тела, прикрепленного к этой пружине.

Для математического маятника частоту колебаний вычисляют как: длина нити:

\[\nu =\frac{1}{2\pi \sqrt{{l}/{g}}}\left(6\right),\]

где $g$ — ускорение свободного падения; $\ l$ — длина нити (длина подвеса) маятника.

Физический маятник совершает колебания с частотой:

\[\nu =\frac{1}{2\pi \sqrt{{J}/{mgd}}}\left(7\right),\]

где $J$ — момент инерции тела, совершающего колебания относительно оси; $d$ — расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

Формулы (4) — (6) приближенные. Чем меньше амплитуда колебаний, тем точнее значение частоты колебаний, вычисляемых с их помощью.

Формулы для вычисления частоты дискретных событий, частота вращения

дискретных колебаний ($n$) — называют физическую величину, равную числу действий (событий) в единицу времени. Если время, которое занимает одно событие обозначить как $\tau $, то частота дискретных событий равна:

\[n=\frac{1}{\tau }\left(8\right). \]

Единицей измерения частоты дискретных событий является обратная секунда:

\[\left[n\right]=\frac{1}{с}.\]

Секунда в минус первой степени равна частоте дискретных событий, если за время, равное одной секунде происходит одно событие.

Частотой вращения ($n$) — называют величину, равную количеству полных оборотов, которое совершает тело в единицу времени. Если $\tau $ — время, затрачиваемое на один полный оборот, то:

\[n=\frac{1}{\tau }\left(9\right).\]

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Колебательная система совершила за время равное одной минуте ($\Delta t=1\ мин$) 600 колебаний. Какова частота этих колебаний?

Решение. Для решения задачи воспользуемся определением частоты колебаний: Частота, в этом случае — это число полных колебаний, совершающихся за единицу времени.

\[\nu =\frac{N}{\Delta t}\left(1.1\right).\]

Прежде чем переходить к вычислениям, переведем время в единицы системы СИ: $\Delta t=1\ мин=60\ с$. Вычислим частоту:

\[\nu =\frac{600}{60}=10\ \left(Гц\right).\]

Ответ. $\nu =10Гц$

Пример 2

Задание. На рис.1 изображен график колебаний некоторого параметра $\xi \ (t)$, Какова амплитуда и частота колебаний этой величины?

Решение. Из рис.1 видно, что амплитуда величины $\xi \ \left(t\right)={\xi }_{max}=5\ (м)$. Из графика получаем, что одно полное колебание происходит за время, равное 2 с, следовательно, период колебаний равен:

\[T=2\ \left(c\right).\]

Частота — величина обратная периоду колебаний, значит:

\[\nu =\frac{1}{T}=0,5\ \left(Гц\right).\]

Ответ. 1) ${\xi }_{max}=5\ (м)$. 2) $\nu =0,5$ Гц

Читать дальше: формулы математического маятника.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Частотный график — математика GCSE

Введение

Что такое частотный график?

Рабочий лист графика частоты

Распространенные заблуждения

Практика вопросов графика частоты

Частотные графики вопросов GCSE

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4

Еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE теперь доступны

Узнать больше

Введение

Что такое частотный график?

Рабочий лист графика частоты

Распространенные заблуждения

Практика вопросов графика частоты

Частотные графики вопросов GCSE

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Здесь мы узнаем о графиках частот, в том числе о том, что они из себя представляют и как их рисовать.

Существуют также таблицы частот , основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.

Что такое частотный график?

A график частоты — это способ представления набора данных (частотное распределение ).

Чтобы представить данные с помощью частотного графика, нам необходимо знать, какой тип графика будет предпочтительнее для данных, которые мы представляем (и быть в состоянии обосновать, почему был выбран этот тип частотного графика), и как нарисовать каждый тип графика. график частоты.

Существует два типа данных, которые можно представить с помощью частотного графика.

• Категориальные данные – данные в форме слов, а не чисел. Например, цвета, марки автомобилей или виды музыки.
• Числовые данные – данные в виде чисел. Существует два типа числовых данных.
  • Дискретный — подсчет, включающий целые числа (например, частоту)
  • Непрерывно — несчетное количество значений в пределах диапазона (например, высота)

Что такое частотный график?

Как использовать частотный график

Мы можем использовать различные типы частотных графиков для отображения данных различными способами.

● Круговые диаграммы

Круговые диаграммы можно использовать для категорийных данных. Каждый сектор круговой диаграммы (или «срез») пропорционален частоте элемента в наборе данных.

Для расчета угла для каждого сектора используем формулу

\text{Угол сектора }=\frac{360}{T}\times{F}

, где T — общая частота, а F — частота категории.

Ниже приведен пример круговой диаграммы, отображающей любимые цвета выборки двухлетних детей.

Пошаговое руководство: Круговая диаграмма

● Гистограммы (и вертикальные линейные графики)

Гистограммы также можно использовать для категорийных данных. Горизонтальная ось (ось x) предназначена для значений данных. Вертикальная ось (ось y) отмечена частотой.

Чтобы нарисовать гистограмму, нам нужно знать частоту для каждой категории. Ниже приведен пример стандартной гистограммы.

Существуют различные типы гистограмм, включая сравнительные и составные гистограммы.

Пошаговое руководство: Гистограмма

Гистограммы и вертикальные линейные графики могут использоваться для дискретных числовых данных.

Например,

Вот пример частотной диаграммы для сгруппированных числовых данных. Эти данные непрерывны, поэтому между столбцами нет промежутков.

Пошаговое руководство: Диаграмма частот

● Полигоны частот / линейные графики

Сгруппированные данные также могут отображаться в полигоне частот . Это тип линейного графика. Частоты могут быть соединены вместе с помощью сегментов прямой линии, поскольку горизонтальная ось представляет собой непрерывную шкалу.

Здесь мы видим использование разрыва на вертикальной оси, так как нет значений данных между 0 и 14. Мы не можем использовать разрыв при рисовании гистограммы.

Пошаговое руководство: Полигоны частот (скоро)

● Совокупные графики частот

График частот представляет отдельные частоты каждой категории; совокупная частота показывает частоты каждой категории, накопленные вместе. Это позволяет более детально анализировать распределение данных, чем если бы мы использовали полигон частот, и вычислять статистику.

Ниже приведен пример графика кумулятивной частоты вместе с набором данных.

Горизонтальная ось графика кумулятивной частоты представляет собой непрерывную шкалу, а вертикальная ось представляет собой кумулятивную частоту. Чтобы вычислить кумулятивную частоту, частота значений в следующей категории добавляется к частоте всех предыдущих значений в наборе данных. Это означает, что данные должны быть в порядке.

Мы можем упорядочить данные, находящиеся в числовых группах (см. таблицу 1 ниже).

Мы не можем складывать частоты дискретных категорий, таких как любимый питомец, потому что нет порядка, в котором питомца называют первым, вторым и т. д. (см. таблицу 2).

График кумулятивной частоты может помочь нам рассчитать такие статистические данные, как медиана, верхний и нижний квартили, межквартильный размах (IQR) и процентили.

Пошаговое руководство: Совокупные графики частот (скоро)

● Гистограммы

Гистограмма отличается от гистограммы несколькими способами. Горизонтальная (ось x) представляет собой непрерывную шкалу без промежутков между интервалами, а вертикальная (ось y) обозначает плотность частоты вместо частоты.

Для любой гистограммы площадь столбца представляет частоту класса; не высота штанги. Чем больше площадь полосы, тем выше частота в пределах этого интервала.

Пошаговое руководство: Гистограммы (скоро)

Рабочий лист графика частот

Получите бесплатный рабочий лист графика частот, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Икс

Рабочий лист графика частот

Получите бесплатный рабочий лист графика частот с более чем 20 вопросами и ответами. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Примеры графиков частоты

Пример 1: построение круговой диаграммы

В таблице ниже показана частота покупок в интернет-магазине футбольной формы.

Нарисуйте круговую диаграмму для этого набора данных.

1. Рассчитайте угол для каждой категории.

Чтобы определить угол для каждого сектора круговой диаграммы, мы можем использовать формулу

\text{Угол сектора}=\frac{360}{\text{общая частота}}\times{\text{частота категории}}

или A=\frac{360}{T}\times{F}

, где

• A — угол сектора,
• T — общая частота,
• , а F — частота категории.

2 Нарисуйте круг, отметьте центр и нарисуйте радиус. {\circ}. Откладывая этот угол от радиуса по часовой стрелке, имеем 9{\circ} по часовой стрелке вокруг центра круга, у нас есть

Затем мы можем заполнить информацию для последнего сектора, так как оставшийся угол должен быть точно таким же значением, как в таблице.

5 Добавить метки данных / заполнить ключ.

Добавление метки данных к последней категории завершает круговую диаграмму.

Пример 2: построение гистограммы

Фермер следил за животными на ферме. Нарисуйте гистограмму для этого набора данных.

Нарисуйте оси с помощью линейки и подпишите их.

Нарисуйте пару осей и отметьте их частотами по вертикальной оси (ось y) и животными по горизонтальной оси (ось x).

Используйте линейку, чтобы нарисовать каждую полосу с правильной высотой.

Нарисуйте высоты столбцов в зависимости от их частоты. Нарисуйте каждую полосу одинаковой ширины. Между столбцами должны быть промежутки, так как данные дискретны.

Дайте название диаграмме.

Последним шагом является добавление заголовка к гистограмме, чтобы вы могли быстро увидеть, что она представляет. Здесь «Частота животных на ферме».

Пример 3: построение вертикального графика

Агент по недвижимости изучал количество спален в каждом доме в небольшой деревушке. Нарисуйте вертикальный линейный график для этого набора данных.

Начертите оси линейкой и подпишите их.

Начертите пару осей и обозначьте их частотами по вертикальной оси (ось Y) и спальнями по горизонтальной оси (ось X).

С помощью линейки нарисуйте каждую полосу нужной высоты.

Нарисуйте высоты вертикальных линий в зависимости от их частоты.

Дайте название диаграмме.

Пример 4: построение частотной диаграммы для сгруппированных данных

21 студент участвовал в исследовании времени реакции, где они должны были поймать падающую линейку. Измерения, в которых они поймали линейку, были записаны в сгруппированную таблицу частот ниже.

Постройте частотную диаграмму для представления данных в таблице.

Нарисуйте оси с помощью линейки и подпишите их.

Нарисуйте пару осей и пометьте их «Частота» по вертикальной оси (ось Y) и «Измерение» по горизонтальной оси (ось X).

Используйте линейку, чтобы нарисовать каждую полосу с правильной высотой.

Нарисуйте высоты столбцов в зависимости от их частоты. Поскольку шкала оценок является непрерывной, нам не нужны промежутки между столбцами.

Горизонтальная ось имеет размеры от 0 до 80 см, а самая высокая частота равна 8, поэтому вертикальная ось должна быть обозначена от 0 до по крайней мере 8. Здесь мы провели вертикальную ось до 9так что мы можем ясно видеть вершину самой высокой полосы.

Дайте название диаграмме.

Пример 5: построение полигона частот

Результаты тестов для выборки людей были записаны в сгруппированную таблицу частот.

Постройте полигон частот, чтобы показать эти данные.

Пометьте оси и добавьте название оси.

Нарисуйте пару осей и обозначьте их «Частота» на вертикальной оси (ось Y) и «Оценка, x» на горизонтальной оси (ось X).

Диапазон значений частоты от 0 до 7 минимум. Увеличение с шагом 1.

Диапазон значений для баллов от 0 до 40. Увеличение с шагом 5.

Точно нанесите на график каждую точку данных.

Нам нужно найти середины интервалов классов. Их можно найти, добавив границу нижнего класса к границе верхнего класса и разделив на 2.

Соедините каждую пару последовательных точек прямой линией.

Нанесенные точки затем соединяются отрезками прямых линий.

Пример 6: построение графика кумулятивной частоты

Количество часов, в течение которых учащиеся играют в игры в неделю, было записано в сгруппированную таблицу частоты ниже.

Нарисуйте кумулятивный график частоты для представления этой информации.

Рассчитайте кумулятивные значения частоты для набора данных.

Чтобы вычислить совокупную частоту данных, мы добавляем текущее значение частоты ко всем значениям частоты перед интервалом класса.

Нарисуйте набор осей с подходящими метками.

Наибольшее количество часов равно 10, поэтому нам нужна горизонтальная ось, размеченная с равными шагами от 0 до не менее 10.

Общая частота данных равна 70, поэтому нам нужно начать вертикальную ось с 0 (разрыв не допускается) и увеличивать с равными шагами до 70.

Постройте график каждого значения в конце интервала.

Помните: мы можем знать расположение всех данных только в конце интервала класса. Вот почему данные на графике кумулятивной частоты представляют собой оценочное распределение набора данных, потому что мы не знаем точных значений всех 70 элементов.

Построив конечную точку и кумулятивную частоту для интервалов класса, мы имеем

Соедините точки плавной кривой линией.

Линия должна быть одной гладкой кривой.

Добавьте заголовок к графику кумулятивной частоты.

Здесь подходящим названием будет

Пример 7: построение гистограммы

Количество слов для 30 книг было записано в сгруппированную таблицу частот.

Нарисуйте гистограмму для представления этой информации.

Рассчитайте плотность частот для каждого интервала класса.

Используя формулу плотности частоты D=\frac{F}{W}, мы подставляем информацию из каждой строки для расчета плотности частоты. Не забудьте также рассчитать ширину класса для каждого класса.

Используйте плотность частот и интервалы классов для создания подходящих вертикальных и горизонтальных осей.

Максимальная плотность частот равна 3,5, а шкала по горизонтали должна меняться от 0 до 20.

Нарисуйте столбцы для каждого интервала класса, используя частотную плотность в качестве высоты столбца.

Прорисовывая каждый бар один за другим без пропусков, мы имеем законченную гистограмму.

Распространенные заблуждения

• Промежутки между столбцами гистограммы

При задании дискретных данных между столбцами гистограммы должны быть промежутки.

• Несогласованная маркировка на каждой оси гистограммы/вертикальной линейной диаграммы 9{\ круг}.
  • Круговые и кольцевые диаграммы (кольцевые диаграммы)

  Круговые и кольцевые диаграммы очень похожи. На круговой диаграмме отдельные категории смещаются как части круга, тогда как кольцевые диаграммы имеют отверстие в центре и отображают категории в виде дуг.

  • Частота в зависимости от плотности частоты (гистограммы)

  Очень распространенная ошибка, возникающая в вопросах гистограммы, заключается в том, что вместо плотности частоты используется частота . Необходимо найти плотность частот, поскольку группы, представленные в таблице частот, обычно не имеют одинаковой ширины.

  • Высота столбца это частота, а не площадь

  Как и в предыдущем заблуждении, высота столбца гистограммы — это частота, тогда как площадь столбца представляет частоту гистограммы. Высота столбца — это частота гистограммы.

  Практические вопросы по частотному графику

  Вычисляя угол для каждого сектора, мы имеем

   

   

  Примечательными характеристиками этой круговой диаграммы являются то, что категория «Зеленый» составляет половину круговой диаграммы, а «Желтая» и «Синяя» категории имеют одинаковый размер.

  Высота каждой полосы должна соответствовать частоте. Горизонтальная ось должна учитывать промежутки между каждым стержнем, а стержни должны быть одинаковой ширины. Вертикальная ось должна начинаться с 0,

  Высота каждой вертикальной линии должна соответствовать частоте для данной возрастной категории. Горизонтальная ось должна быть помечена от 16 до 19, включая разрыв между 0 и 16, а вертикальная ось должна быть помечена от 0 до 8. не должно быть зазоров между стержнями. Значения категории кратны 25, поэтому удобно записывать эти значения через равные промежутки на горизонтальной оси.

   

  По вертикальной оси отложена частота. Самая высокая частота равна 6, поэтому ось должна находиться в диапазоне от 0 до 7, чтобы самая высокая полоса могла быть четко читаема.

  Средние точки интервалов классов равны 100, 300, 500 и 700. Их следует использовать при построении точек. Точки соединяются отрезками прямых. Последняя точка не соединяется обратно с первой точкой.

  Плотность частоты рассчитывается для каждого интервала класса. Используя формулу D=\frac{F}{W}, мы имеем

   

   

  Каждый столбец должен быть шириной класса, а высота каждого столбца представляет собой частотную плотность, поскольку площадь столбца представляет Частота.

  Графики частотности вопросов GCSE

  1. Джеки записала различные виды животных, посещающих местный лес.

  В таблице показаны ее результаты.

   

   

  (a) Заполните гистограмму, чтобы показать результаты Джеки.

   

   

  (б) Сколько всего животных было зарегистрировано?

   

  (3 балла)

  Показать ответ

  (a)

   

   

  9000 2 Правильная высота для каждого столбца: 15, 3, 5 и 9.

  (1)

  Все полосы имеют одинаковую ширину.

  (1)

   

  (b)

   

  44 животных

  (1)

  2. составляет 90 автомобилей.

  Она начинает рисовать круговую диаграмму результатов.

  Сколько автомобилей было у Форда?

   

  (b) В таблице указаны другие марки автомобилей.

   

   

  Заполните таблицу.

   

  (c) Заполните круговую диаграмму. 9{\ круг}

  (1)

   

  Заполненная таблица:

   

   

  (в)

  900 02  

   

  За один правильно нарисованный и помеченный сектор.

  (1)

  Для ВСЕХ секторов, правильно нарисованных и помеченных.

  (1)

  3. Таблица частот содержит некоторую информацию о высоте 60 растений.

   

   

  На сетке нарисуйте многоугольник частот для информации в таблице.

   

   

  (3 балла)

  Показать ответ

  Средние точки: 10, 30, 50, 70, 90 и 110 .

  (1)

   

   

  Все точки нанесены правильно.

  (1)

  Прямые отрезки соединяют каждую следующую точку.

  (1)

  Контрольный список для обучения

  Теперь вы научились:

  • Строить соответствующие таблицы, графики и диаграммы, включая таблицы частот, гистограммы и круговые диаграммы для категорийных данных, а также вертикальные линейные (или гистограммы) диаграммы для разгруппированных и сгруппированных числовые данные

  Все еще зависает?

  Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.

  Узнайте больше о нашей программе обучения математике GCSE.

  Мы используем необходимые и необязательные файлы cookie, чтобы улучшить работу нашего веб-сайта. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie, чтобы узнать, как мы используем файлы cookie и как управлять вашими настройками файлов cookie или изменять их. Принять

  4.2: Распределение частоты и статистические графики

  1. Последнее обновление

  2. Сохранить как PDF

• Идентификатор страницы

  92985

• Дэвид Липпман
• Колледж Пирса через OpenTextBookStore
900 75

После того, как мы собрали данные, нам нужно приступить к их анализу. Одним из способов отображения и обобщения данных является использование методов статистического построения графиков. Тип графика, который мы используем, зависит от типа собранных данных. Качественные данные используют графики, такие как гистограммы и круговые диаграммы. Количественные данные используют графики, такие как гистограммы и полигоны частот.

Для создания графиков мы должны сначала организовать и создать сводку отдельных значений данных в виде частотного распределения . Распределение частот представляет собой список всех значений данных (или групп значений данных) и того, как часто эти значения данных встречаются.

Частота и распределения частот

Частота — это количество раз, когда значение данных или группы значений данных (называемые классами ) встречаются в наборе данных.

Распределение частот представляет собой список всех значений данных или классов значений данных вместе с их частотами.

Относительная частота — это частота, деленная на \(n\), размер выборки. Это дает долю всего набора данных, представленного каждым значением или классом. Относительные частоты выражаются дробями, десятичными знаками или процентами.

Распределение относительной частоты представляет собой список каждого значения данных или класса значений данных вместе с их относительными частотами.

Метод создания частотного распределения зависит от того, работаем ли мы с качественными данными или количественными данными . Теперь мы рассмотрим, как создать каждый тип частотного распределения в соответствии с типом данных и графиками, которые к ним относятся.

Организация качественных данных

Качественные данные — это фрагменты информации, которые позволяют классифицировать исследуемые элементы по различным категориям. Обычно мы начинаем работу с качественными данными, задавая частотное распределение в виде таблица частот.

Таблица частот

Таблица частот представляет собой таблицу с двумя столбцами. В одном столбце перечислены категории, а в другом — частота встречаемости элементов в категориях (сколько данных соответствует каждой категории).

Пример 1

Страховая компания определяет взносы по страхованию транспортных средств на основе известных факторов риска. Если человек считается более рискованным, его страховые взносы будут выше. Одним из возможных факторов является цвет вашего автомобиля. Страховая компания считает, что люди с автомобилями определенных цветов чаще попадают в аварии. Чтобы исследовать это, страховая компания изучает отчеты полиции о недавних авариях с полным ущербом. Данные обобщены в таблице частот ниже.

\(\begin{array}{|c|c|}
\hline \textbf { Цвет } & \textbf { Частота } \\
\hline \text { Синий } & 25 \\
\hline \text { Зеленый } & 52 \\
\hline \text { Красный } & 41 \\
\hline \text { Белый } & 36 \\
\hline \text { Черный } & 39 \\
\hline \text { Серый } & 23 \\
\hline
\end{array}\)

Отображение качественных данных в гистограммах и круговых диаграммах

После того, как мы организовали и суммировали качественные данные в таблице частот, мы готовы представить данные в виде графика. Существуют различные способы визуализации качественных данных. В этом разделе мы рассмотрим два общих графа: гистограммы и круговые диаграммы .

 

Гистограмма

Гистограмма отображает полосу для каждой категории. Длина каждой полосы указывает на частоту этой категории.

Чтобы построить гистограмму, нам нужно провести вертикальную и горизонтальную оси. Вертикальное направление имеет шкалу и измеряет частоту каждой категории. Горизонтальная ось в этом случае не имеет масштаба, но перечисляет категории. Построение гистограммы проще всего описать на примере.

Пример 2

Используя данные о цвете автомобиля из примера 1, обратите внимание, что самая высокая частота была 52, поэтому вертикальная ось должна двигаться от 0 до 52. Мы могли бы также использовать от 0 до 55, чтобы поставить решетку каждые 5 единиц:

Следует обратить внимание на несколько особенностей правильного построения этой гистограммы.

• Высота каждой полосы определяется частотой соответствующего цвета.
• Обе оси имеют четкую маркировку.
• Полосы не соприкасаются и имеют одинаковую ширину.

Горизонтальные линии сетки приятны, но не обязательны. На практике вам будет полезно рисовать гистограммы на миллиметровой бумаге, чтобы линии сетки уже были на месте, или использовать технологию для создания графика. Вместо линий сетки мы могли бы также перечислить частоты в верхней части каждого столбца, например:

Пример 3

В ходе опроса взрослых спрашивали, беспокоят ли они лично различные экологические проблемы. Цифры (из 1012 опрошенных), которые указали, что они «сильно обеспокоены» некоторыми выбранными проблемами, приведены ниже.

\(\begin{array}{|c|c|}
\hline \textbf {Экологическая проблема} & \textbf {Частота} \\
\hline \text {Загрязнение питьевой воды} & 597 \\
\ hline \text { Загрязнение почвы и воды токсичными отходами } & 526 \\
\hline \text { Загрязнение воздуха } & 455 \\
\hline \text { Глобальное потепление } & 354 \\
\hline
\end{ array}\)

Отображение данных в виде гистограммы.

Решение

Попробуйте сейчас 1

Анкета о марках автомобилей показала следующие ответы 30 участников. Постройте таблицу частот и гистограмму для представления данных. ( F = Ford, H = Honda, V = Volkswagen, M = Mazda)

F M M M V M F M F V H H F V F H H F M M V H M V V F V H M F

90 835 Ответить

Пример 4

Классу был задан вопрос о его любимом безалкогольном напитке со следующими результатами:

Кокс	Пепси	Маунт Дью	Кокс	Пепси	Доктор Пеппер	Спрайт	Кокс	Маунт Дью
Пепси	Пепси	Dew»> Доктор Пеппер	Кокс	Спрайт	Маунт Дью	Пепси	Доктор Пеппер	Кокс
Пепси	Маунт Дью	Кокс	Пепси	Пепси	Доктор Пеппер	Спрайт	Пепси	Кокс
Доктор Пеппер	Маунт Дью	Спрайт	Кокс	Кокс	Pepper»> Пепси

1. Создайте таблицу распределения частот для данных.
2. Создайте таблицу распределения относительной частоты для данных.
3. Нарисуйте гистограмму частотного распределения.
4. Нарисуйте гистограмму распределения относительной частоты.

Решение

1. Чтобы составить таблицу частотного распределения, перечислите каждый тип напитка, а затем подсчитайте, как часто каждый напиток встречается в данных. Обратите внимание, что Coke встречается в наборе данных 9 раз, Pepsi — 10 раз и так далее.

Напиток	Кокс	Пепси	Маунт Дью	Доктор Пеппер	Спрайт
Частота	9	10	5	5	4

2. Чтобы составить таблицу распределения относительной частоты, используйте предыдущие результаты и разделите каждую частоту на 33, что является общим количеством ответов данных.

Напиток	Кокс	Пепси	Маунт Дью	Доктор Пеппер	Спрайт
Частота	9	10	5	5	4
Относительная частота	\(\frac{9}{33} \приблизительно 0,273 \text{или} 27,3\%\)	\(\frac{10}{33}\приблизительно 0,303\text{или} 30,3\%\)	\(\frac{5}{33} \приблизительно 0,152\текст{ или } 15,2\%\)	\(\frac{5}{33} \приблизительно 0,152\текст{ или } 15,2\%\)	\(\frac{4}{33} \приблизительно 0,121\текст{ или } 12,1\%\)

3. По горизонтальной оси вы размещаете напитки. Разместите их на одинаковом расстоянии друг от друга и оставьте пространство для рисования полос над осью. Вертикальная ось показывает частоты. Убедитесь, что вы создали шкалу вдоль этой оси, в которую поместятся все частоты. Обратите внимание, что самая высокая частота равна 10, поэтому вы хотите убедиться, что вертикальная ось идет как минимум к 10, и вы можете захотеть считать по два для каждой метки. Вот как выглядит график с использованием Эксель.
4. Гистограмма для распределения относительной частоты похожа на гистограмму для распределения частоты, за исключением того, что вместо нее вдоль вертикальной оси используются относительные частоты. Обратите внимание, что график на самом деле не меняется, за исключением чисел на вертикальной шкале.

Давайте воспользуемся последним примером, чтобы представить другой способ визуализации данных — круговую диаграмму , также известную как круговая диаграмма 9. 0048 .

Круговая диаграмма

Круговая диаграмма представляет собой график, где «круговая диаграмма» представляет всю выборку, а «срезы» представляют категории или классы. Размер куска пирога соответствует относительной частоте для этой категории.

Чтобы найти угол, который занимает каждый «срез», умножьте относительную частоту этого среза на 360°.

Примечание. Теоретически процентное соотношение всех секторов круговой диаграммы должно составлять 100 %. На практике проценты могут быть немного больше или меньше 100%, если проценты округлены.

Чтобы нарисовать круговую диаграмму, умножьте относительную частоту употребления каждого напитка на 360°. Затем с помощью транспортира отметьте соответствующий угол в окружности. Обычно для построения графика проще использовать Excel или другую программу для работы с электронными таблицами.

 

Напиток	Кокс	Пепси	Маунт Дью	Доктор Пеппер	Спрайт
Частота	9	10	5	5	4
Относительная частота	\(\frac{9}{33} \приблизительно 0,273 \text{или} 27,3\%\)	\(\frac{10}{33}\приблизительно 0,303\text{или} 30,3\%\)	\(\frac{5}{33} \приблизительно 0,152\text{ или } 15,2\%\) 9о \)

Ниже показана круговая диаграмма из Excel .

Попробуйте сейчас 2

Донорская клиника Красного Креста провела очень успешный утренний сбор донорской крови. В течение 3 часов многие люди сделали пожертвования. В таблице показано частотное распределение групп крови доноров. Постройте круговую диаграмму, чтобы отобразить распределение относительной частоты.

Таблица частоты встречаемости групп крови

Группа крови	А	Б	О	АБ
Количество доноров	7	5	9	4

Ответить

Систематизация количественных данных

Количественные данные — это данные, полученные в результате подсчета или измерения некоторых аспектов исследуемых предметов. По этой причине этот тип данных также известен как числовые данные. Количественные данные также могут быть сведены в таблицу, чтобы показать их частотное распределение.

 

Пример 5

Учитель записывает баллы за 20-балльную викторину для 30 учеников своего класса. Количество баллов:

19 20 18 18 17 18 19 17 20 18 20 16 20 15 17 12 18 19 18 19 17 20 18 16 15 18 20 5 0 0

Эти баллы можно свести в таблицу частот, подсчитав, сколько раз встречается каждое конкретное значение данных.

\(\begin{array}{|c|c|}
\hline \textbf { Score } & \textbf { Frequency } \\
\hline 0 & 2 \\
\hline 5 & 1 \\
\ hline 12 & 1 \\
\hline 15 & 2 \\
\hline 16 & 2 \\
\hline 17 & 4 \\
\hline 18 & 8 \\
\hline 19 & 4 \\
\hline 20 & 6 \\
\hline
\end{массив}\)

В предыдущем примере в таблице перечислены все различные значения данных, которые произошли, и частота появления каждого значения. Мы называем этот тип представления частотного распределения негруппированным . Иногда бывает полезно сгруппировать данные в классов , чтобы получить информацию о распределении данных, которая в противном случае была бы незаметной. Это особенно верно, если имеется много разных значений или каждое значение встречается только один раз. Вы можете думать о классах как о «корзинах», которые мы создаем для сортировки данных. Когда мы группируем данные по классам, мы называем этот тип представления частотного распределения 9.0053 сгруппировано .

Когда данные сгруппированы, необходимо соблюдать следующие рекомендации по классам

1. Классы должны иметь одинаковую ширину.
2. Классы не должны пересекаться.
3. Каждый фрагмент данных должен принадлежать только одному классу.

Воспользуемся данными из предыдущего примера для создания сгруппированного частотного распределения.

Пример 6

Учитель записывает баллы за 20-балльную викторину для 30 учеников своего класса. Оценки

19 20 18 18 17 18 19 17 20 18 20 16 20 15 17 12 18 19 18 19 17 20 18 16 15 18 20 5 0 0

Создайте сгруппированную таблицу частот двумя способами: 9 0003

1. с классами ширины 5, начиная с 0 баллов, и
2. с классами шириной 6, начиная с 0 баллов.

Решение

1. Первый класс содержит оценки 0, 1, 2, 3 и 4 — если таковые имеются. Аналогично, второй класс будет содержать оценки 5, 6, 7, 8 и 9, если таковые имеются. Этот шаблон продолжается до тех пор, пока классы больше не нужны.

Первые два столбца таблицы показывают классы и частоту данных в каждом классе.

Таблица частоты результатов викторины

Класс	Частота	Метка класса (средняя точка)
0-4	2	\(\frac{0+4}{2}=2\)
5-9	1	\(\ гидроразрыва{5+9}{2}=7\)
10-14	1	\(\frac{10+14}{2}=12\)
15-19	20	\(\frac{15+19}{2}=17\)
20-24	6	\(\frac{20+24}{2}=22\)

В первом столбце числа 0, 4, 10, 15 и 20 называются нижний предел класса , а числа 4, 9, 14, 19 и 24 являются верхним пределом класса . Вы можете видеть, что эти пределы увеличиваются на 5. Ширина класса может быть определена как разница между любыми двумя последовательными нижними или верхними пределами класса. Отметка класса является средней точкой класса и определяется путем усреднения нижнего и верхнего пределов класса. Оценки классов показаны в третьем столбце таблицы.

Модальный класс частотного распределения является классом с самой высокой частотой. Здесь модальный класс 15-19с периодичностью 20 студентов. Такая группировка данных позволяет нам более четко увидеть распределение оценок. Всегда следите за тем, чтобы сумма частот равнялась количеству значений данных.

2. Вот еще одна группировка для тех же данных, но с шириной класса 6.

   Таблица частоты результатов викторины

   Класс	Частота	Знак класса (средняя точка)
   0-5	3	\(\frac{0+5}{2}=2,5\)
   6-11	0	\(\frac{6+11}{2}=8,5\)
   12-17	9	\(\frac{12+17}{2}=14,5\)
   18-23	18	\(\frac{18+23}{2}=20,5\)

   Когда данные группируются с использованием этой структуры, модальный класс равен 18–23.

Попробуйте сейчас 3

Приведенные ниже данные показывают количество детей в выборке из 16 семей:

2 1 2 1 2 5 5 3 2 3 5 2 5 2 2 1

1. Создайте несгруппированную таблицу частот для данных.
2. Создайте сгруппированную таблицу частот с первым классом 0-2. Определите ширину класса, метку класса для каждого класса и модальный класс.

Ответить

В калькуляторе TI есть «функция сортировки», которая сортирует данные в порядке возрастания или убывания. Это значительно упрощает организацию данных и подсчет частот. Шаги по вводу данных и их сортировке показаны здесь для данных, представленных в Попробуйте 3 .

Рассмотрим обратную ситуацию, когда у нас есть частотная таблица со сгруппированными данными и определяем информацию об исходных данных. Этот сценарий важен, потому что вы часто будете видеть сгруппированные данные из-за емкости хранилища данных.

Пример 7

Ответьте на вопросы, используя таблицу частот.

1. Каково общее количество значений данных в этом распределении данных?

Складывая частоты каждого класса, получаем \(4 + 7 + 1 + 0 +3 +5 = 20\).

2. Какая ширина класса используется для группировки данных?

Вычтите любые два последовательных предела нижнего класса или любые два последовательных предела верхнего класса. Например, \(16 – 9 = 7\).

3. Что такое классный знак второго класса?

Знак класса является средней точкой класса. Усредните нижний и верхний предел класса: \(\frac{16+22}{2} = 19\).

4. Что такое модальный класс?

Класс с самой высокой частотой 16-22.

5. Если бы в конец таблицы был добавлен дополнительный класс, каковы были бы верхний и нижний пределы класса?

Добавьте ширину класса 7 к последним нижнему и верхнему пределам класса, чтобы получить 51-57.

Отображение количественных данных в виде гистограмм и многоугольников частот

Гистограмма — это статистический график, обычно используемый для визуализации частотных распределений количественных данных. Гистограмма похожа на гистограмму, но горизонтальная ось представляет собой числовую линию.

Гистограмма

Гистограмма представляет собой график с наблюдаемыми значениями или классами значений по горизонтальной оси и частотами по вертикальной оси. Над каждым наблюдаемым значением или классом строится полоса с высотой, равной частоте (или относительной частоте).

В гистограмме классы могут быть идентифицированы их метками класса (средними точками классов) или их пределами класса. Горизонтальная шкала может начинаться с нуля, а может и не начинаться, но вертикальная шкала всегда должна начинаться с нуля. Полосы обычно соприкасаются на гистограмме, если только частота не равна 0 для определенного значения данных или класса значений.

Проиллюстрируем построение гистограммы на следующем примере.

Пример 8

Каждого ученика спрашивают, сколько пластиковых бутылок из-под напитков они используют и выбрасывают за неделю. Предположим, что собраны следующие (гипотетические) данные.

Сначала мы организуем данные, сгруппировав их и представив в таблице частот. Классы имеют ширину 2 и начинаются с 1.

Частотная таблица количества использованных бутылок

Количество использованных бутылок	Частоты	Знаки класса (средние точки)
1-2	2	1,5
3-4	7	3,5
5-6	14	5,5
7-8	9	7,5

Затем мы рисуем полосу для каждого класса так, чтобы ее высота представляла частоту использования учащимися этого количества бутылок. Мы помечаем середины каждого столбца метками класса вдоль горизонтальной оси.

Графические данные могут стать утомительными и сложными, особенно если нужно систематизировать большое количество данных. Excel и другие программы могут легко строить графики. То же самое можно сказать и о графическом калькуляторе TI. Шаги по созданию гистограммы для этих данных приведены ниже.

Пример 9

Предположим, что мы собрали данные о весе 100 мужчин в рамках исследования питания. Для наших данных о весе у нас есть значения в диапазоне от минимума в 121 фунт до максимума в 263 фунта, что дает общий диапазон 263-121 = 142. Мы можем создать 7 интервалов шириной около 20, 14 интервалов шириной около 10 или где-то посередине. Часто нам приходится экспериментировать с несколькими возможностями, чтобы найти то, что хорошо представляет данные. Давайте попробуем использовать ширину интервала 15. Мы могли бы начать со 121 или со 120, так как это хорошее круглое число.

\(\begin{array}{|c|c|}
\hline \textbf {Интервал} & \textbf {Частота} \\
\hline 120-134 & 4 \\
\hline 135-149 & 14 \\
\hline 150-164 & 16 \\
\hline 165-179 & 28 \\
\hline 180-194 & 12 \\
\hline 195-209 & 8 \\
\hline 210-224 & 7 \\
\hline 225-239 & 6 \\
\hline 240-254 & 2 \\
\hline 255-269 & 3 \\
\hline
\end{массив}\)

Гистограмма этих данных будет выглядеть

Вы можете видеть, что модальный класс 165-179. Вы также можете сделать вывод, что в нижней части распределения весов больше мужчин, потому что столбцы там выше.

Попробуйте сейчас 4

Создайте гистограмму для данных, приведенных в примере 5, используя таблицу частот негруппированных данных.

Ответить

 

Другой способ визуализации данных о частотном распределении состоит в построении полигон частот .

Многоугольник частот

Альтернативным представлением гистограммы является многоугольник частот . Полигон частот начинается как гистограмма, но вместо рисования полосы в середине каждого интервала помещается точка на высоте, равной частоте. Обычно точки соединяют прямыми линиями, чтобы подчеркнуть форму распределения данных.

Следующий пример иллюстрирует взаимосвязь между гистограммой и полигоном частот для одних и тех же данных.

Пример 10

Мисс Винтер построила гистограмму и полигон частот результатов тестов по естественным наукам за период 5 .

Как на гистограмме, так и на полигоне частот видно, что ширина класса составляет 10 точек. Мы также можем видеть, что модальный класс 80-89. Наконец, вы можете заключить, что существует большая частота студентов, которые набрали высокие баллы по тесту, чем низкие, потому что столбцы гистограммы и пик на многоугольнике частот выше на правой стороне горизонтальной оси.

Пример 11

Приведенные ниже данные взяты из задачи, цель которой — как можно быстрее переместить компьютерную мышь к цели на экране. В 20 испытаниях целью был небольшой прямоугольник; на остальных 20 мишенью был большой прямоугольник. Время достижения цели фиксировалось в каждом испытании.

\(\begin{array}{|c|c|c|}
\hline \begin{array}{c}
\textbf { Интервал } \\
\textbf { (миллисекунды) }
\end{array } & \begin{array}{c}
\textbf { Частота } \\
\textbf {маленькая цель}
\end{массив} & \begin{массив}{c}
\textbf {Частота} \\
\textbf {большая цель}
\end{массив} \\
\hline 300- 399 & 0 & 0 \\
\hline 400-499 & 1 & 5 \\
\hline 500-599 & 3 & 10 \\
\hline 600-699 & 6 & 5 \\
\hline 700-799 & 5 & ​​0 \\
\hline 800-899 & 4 & 0 \\
\hline 900-999 & 0 & 0 \\
\hline 1000-1099 & 1 & 0 \\
\hline 1100-1199 & 0 & 0\
\hline
\end{array}\)

Одним из вариантов представления этих данных может быть сравнительная гистограмма или столбчатая диаграмма, в которой столбцы для небольшой целевой группы и большой целевой группы расположены рядом друг с другом.

No related posts.