Вывод формулы дифракционной решетки

Дифракционная решетка – оптическое устройство, представляющее собой совокупность большого числа параллельных, обычно равностоящих друг от друга щелей. Дифракционную решетку можно получить нанесением непрозрачных царапин (штрихов) на стеклянную пластину. Непроцарапанные места – щели – будут пропускать свет, штрихи – рассеивать и не пропускать (рис. 3).

Рис. 3. Сечение дифракционной решетки (а) и ее графическое изображение (б)

Для вывода формулы рассмотрим дифракционную решетку при условии перпендикулярного падения света (рис. 4). Выберем два параллельных луча, прошедших две щели и направленных под углом φ к нормали.

С помощью собирающей линзы (глаза) эти два луча попадут в одну точку фокальной плоскости Р и результат их интерференции будет зависеть от разности фаз или от их разности хода. Если линза стоит перпендикулярно лучам, то разность хода будет определяться отрезком ВС, где АС – перпендикуляр к лучам А и В. В треугольнике АВС имеем: АВ = а + b = d – период решетки, ВАС = φ, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Лучи А и В дадут интерференционный максимум, если выполнится условие (4), т.е.

Из формул (8) и (9) получим формулу дифракционной решетки:

(10)

Рис. 4. Дифракция света на дифракционной решетке

Т.е. положение световой линии в дифракционном спектре не зависит от вещества решетки, а определяется периодом решетки, который равен сумме ширины щели и промежутка между щелями.

Разрешающая способность дифракционной решетки.

Если свет, падающий на дифракционную решетку полихроматический, т.е. состоит из нескольких длин волн, то в спектре максимумы отдельных  будут под разными углами. Характеризовать разрешение можно угловой дисперсией:

(11)

где d – угловое расстояние между двумя линиями спектра, которые имеют разность длин волн равную d.

При дифференцировании формулы дифракционной решетки получим, что дисперсия равна:

(12)

Следовательно, угловая дисперсия тем больше, чем больше порядок спектра k.

II. Работа студентов во время практического занятия.

Задание 1.

Получить допуск к занятию. Для этого необходимо:

– иметь конспект в рабочей тетради, содержащий название работы, основные теоретические понятия изучаемой темы, задачи эксперимента, таблицу по образцу для внесения экспериментальных результатов;

– успешно пройти контроль по методике проведения эксперимента;

– получить у преподавателя разрешение выполнять экспериментальную часть работы.

Задание 2.

Выполнение лабораторной работы, обсуждение полученных результатов, оформление конспекта.

Приборы и принадлежности

Рис. 5 Схема установки

1. Дифракционная решетка.

2. Источник света.

3. Экран.

4. Линейка.

В данной лабораторной работе предлагается определить длины волн для красного и зеленого цветов, которые получаются при прохождении света через дифракционную решетку. При этом на экране наблюдается дифракционный спектр. Дифракционная решетка состоит из большого числа параллельных щелей, очень малых по сравнению с длиной волны. Щели позволяют проходить свету, в то время как пространство между щелями непрозрачно. Общее количество щелей – N, с расстоянием между их центрами – d. Формула дифракционной решетки:

где d – период решетки; sin φ – синус угла отклонения от прямолинейного распространения света; k – порядок максимума; λ – длина волны света.

Экспериментальная установка состоит из дифракционной решетки, источника света и подвижного экрана с линейкой. На экране наблюдается дифракционный спектр (рис. 5).

Расстояние от дифракционной решетки до экрана L может изменяться перемещением экрана. Расстояние от центрального луча света до отдельной линии спектра l. При малых углах φ:

Тогда из формулы дифракционной решетки получим:

, следовательно

(13)

§ 31. Дифракция света основные формулы

§ 31. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

Основные формулы

• Радиус k—ой. зоны Френеля:

для сферической волны

,

где а — расстояние диафрагмы с круглым отверстием от точечного источника света; b — расстояние диафрагмы от экрана, на котором ведется наблюдение дифракционной картины; k — номер зоны Фре­неля; λ — длина волны;

для плоской волны

.

• Дифракция света на одной щели при нормальном падении лучей. Условие минимумов интенсивности света

, k=1,2,3,…,

где а — ширина щели; φ— угол дифракции; k — номер минимума;

λ — длина волны.

Условие максимумов интенсивности света

, k=l, 2, 3,…,

где φ’ — приближенное значение угла дифракции.

• Дифракция света на дифракционной решетке при нормальном падении лучей. Условие главных максимумов интенсивности

d sinφ=±kλ, k=0,1,2,3,…,

где d — период (постоянная) решетки; k — номер главного макси­мума; φ —угол между нормалью к поверхности решетки и нап­равлением дифрагированных волн.

• Разрешающая сила дифракционной решетки

,

где Δλ — наименьшая разность длин волн двух соседних спектраль­ных линий (λ и λ+Δλ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки; N — число штрихов решетки; k — порядковый номер дифракцион­ного максимума.

• Угловая дисперсия дифракционной решетки

,

линейная дисперсия дифракционной решетки

.

Для малых углов дифракции

,

где f — главное фокусное расстояние линзы, собирающей на экра­не дифрагирующие волны.

• Разрешающая сила объектива телескопа

,

где β — наименьшее угловое расстояние между двумя светлыми точками, при котором изображения этих точек в фокальной плос­кости объектива могут быть видны раздельно; D — диаметр объек­тива; λ — длина волны.

• формула Вульфа — Брэгга

2d sin =kλ,

где d — расстояние между атомными плоскостями кристалла; — угол скольжения (угол между направлением пучка параллель­ных лучей, падающих на кристалл, и гранью кристалла), опре­деляющий направление, в котором имеет место зеркальное отраже­ние лучей (дифракционный максимум).

Примеры решения задач
Пример 1. На диафрагму с круглым отверстием радиусом r=1 мм падает нормально параллельный пучок света длиной волны λ=0,05 мкм. На пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояние b_max от центра от­верстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пят­но.

Решение. Расстояние, при котором будет видно темное пят­но, определяется числом зон Фре­неля, укладывающихся в отвер­стии. Если число зон четное, то в центре дифракционной картины бу­дет темное пятно.

Число зон Френеля, помещаю­щихся в отверстии, убывает по мере удаления экрана от отверстия. Наименьшее четное число зон равно двум. Следовательно, максимальное расстояние, при котором еще будет наблюдаться темное пятно в центре экрана, определяется условием, согласно которому в отверстии должны поместиться две зоны Френеля.

Из рис. 31.1 следует, что расстояние от точки наблюдения O на экране до края отверстия на 2 (λ/2) больше, чем расстояние b_max.

По теореме Пифагора получим

.

Учтя, что λb_mах и что членом, содержащим λ², можно пренеб­речь, последнее равенство перепишем в виде

r²=2λb_max. откуда b_max=r²/(2λ). Произведя вычисления по последней формуле, найдем

b_max=1 м.

Пример 2. На щель шириной а=0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника (λ==0,6 мкм). Определить ширину l центрального максимума в дифракционной картине, проецируемой с помощью линзы, нахо­дящейся непосредственно за щелью, на экран, отстоящий от лин­зы на расстоянии L=l м.

Решение. Центральный максимум интенсивности света за­нимает область между ближайшими от него справа и слева миниму­мами интенсивности. Поэтому ширину центрального максимума интенсивности примем равной расстоянию между этими двумя минимумами интенсивности (рис. 31.2).

Минимумы интенсивности света при дифракции от одной щели наблюдаются под углами φ, определяемыми условием

a sin φ=±kλ, (1)

где k — порядок минимума; в нашем случае равен единице.

Расстояние между двумя минимумами на экране определим не­посредственно по чертежу: l=2L tgφ. Заметив, что при малых уг­лах tg φsin φ, перепишем эту формулу в виде

/=2L sin φ. (2)

Выразим sin φ из формулы (1) и подставим его в равенство (2):

l=2Lkλ/a. (3)

Произведя вычисления по фор­муле (3), получим l=1,2 см.

Пример 3. На дифракционную решетку нормально к ее поверх­ности падает параллельный пучок света с длиной волны λ=0,5мкм. Помещенная вблизи решетки лин­за проецирует дифракционную картину на плоский экран, удаленный от линзы на L=l м. Расстоя­ние l между двумя максимумами интенсивности первого порядка, наблюдаемыми на экране, равно 20,2 см (рис. 31.3). Определить: 1) постоянную d дифракционной решетки; 2) число n штрихов на 1 см; 3) число максимумов, которое при этом дает дифракционная решетка; 4) максимальный угол φ_mах отклонения лучей, соот­ветствующих последнему дифракционному максимуму.

Решение 1. Постоянная d дифракционной решетки, длина волны λ и угол φ отклоне­ния лучей, соответствую­щий k-му дифракционному максимуму, связаны соот­ношением

dsin φ=kλ, (1)

где k — порядок спектра, или в случае монохрома­тического света порядок максимума.

В данном случае k=1, sin φ=tg φ (ввиду того, что l/2L), tgφ=(l/2)L (следует из рис. 31.3). С учетом последних трех равенств соотношение (1) примет вид

,

откуда постоянная решетки

d=2Lλ/l.

Подставляя данные, получим

d=4,95 мкм.

2. Число штрихов на 1 см найдем из формулы

п=1/d.

После подстановки числовых значений получим n=2,02-10³ см^-1.

3. Для определения числа максимумов, даваемых дифракцион­ной решеткой, вычислим сначала максимальное значение k_max исходя из того, что максимальный угол отклонения лучей решеткой не может превышать 90°.

Из формулы (1) запишем

. (2)

Подставляя сюда значения величин, получим

K_max =9,9.

Число k обязательно должно быть целым. В то же время оно не может принять значение, равное 10, так как при этом значении sin φ должен быть больше единицы, что невозможно. Следователь­но, k_mах=9.

Определим общее число максимумов дифракционной картины, полученной посредством дифракционной решетки. Влево и вправо от центрального максимума будет наблюдаться по одинаковому числу максимумов, равному k_mах, т. е. всего 2k_mах. Если учесть также центральный нулевой максимум, получим общее число мак­симумов

N=2k_max+l.

Подставляя значение k_mах найдем

N=2*9+1=19.

4. Для определения максимального угла отклонения лучей, соответствующего последнему дифракционному максимуму, выра­зим из соотношения (2) синус этого угла:

sinφ_max=k_maxλ/d.

Отсюда

φ_max=arcsin(k_maxλ/d).

Подставив сюда значения величин λ, d, k_mах и произведя вычис­ления, получим

φ_mах=65,4°.

Задачи

Зоны Френеля

31.1. Зная формулу радиуса k—й. зоны Френеля для сферической волны (ρ_k=), вывести соответствующую формулу для плоской волны.

31.2. Вычислить радиус ρ₅ пятой зоны Френеля для плоского волнового фронта (λ=0,5 мкм), если построение делается для точки наблюдения, находящейся на расстоянии b=1 м от фронта волны.

31.3. Радиус ρ₄ четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта равен 3 мм. Определить радиус ρ₆ шестой зоны Френеля.

31.4. На диафрагму с круглым отверстием диаметром d=4 мм падает нормально параллельный пучок лучей монохроматического света (λ=0,5 мкм). Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянии b=1 м от него. Сколько зон Френеля укладывается в отверстии? Темное или светлое пятно получится в центре дифрак­ционной картины, если в месте наблюдений поместить экран?

31.5. Плоская световая волна (λ=0,5 мкм) падает нормально на диафрагму с круглым отверстием диаметром d=l см. На каком рас­стоянии b от отверстия должна находиться точка наблюдения, что­бы отверстие открывало: 1) одну зону Френеля? 2) две зоны Френеля?

31.6. Плоская световая волна падает нормально на диафрагму с круглым отверстием. В результате дифракции в некоторых точках оси отверстия, находящихся на расстояниях b_i, от его центра, наблю­даются максимумы интенсивности. 1. Получить вид функции b=f(r, λ, п), где r — радиус отверстия; λ — длина волны; п — чис­ло зон Френеля, открываемых для данной точки оси отверстием. 2. Сделать то же самое для точек оси отверстия, в кото­рых наблюдаются минимумы интенсивности.

31.7. Плоская световая волна (λ=0,7 мкм) падает нор­мально на диафрагму с круг­лым отверстием радиусом r=1,4 мм. Определить рас­стояния b₁, b₂, b₃ от диафраг­мы до трех наиболее удален­ных от нее точек, в которых наблюдаются минимумы интенсив­ности.

31.8. Точечный источник S света (λ=0,5 мкм), плоская диафрагма с круглым отверстием радиусом r=1 мм и экран расположены, как это указано на рис. 31.4 (а=1 м). Определить расстояние b от экра­на до диафрагмы, при котором отверстие открывало бы для точки Р три зоны Френеля.

31.9. Как изменится интенсивность в точке Р (см. задачу 31.8), если убрать диафрагму?

Дифракция на щели. Дифракционная решетка
31.10. На щель шириной а=0,05 мм падает нормально монохро­матический свет (λ=0,6 мкм). Определить угол φ между первоначаль­ным направлением пучка света и направлением на четвертую тем­ную дифракционную полосу.

31.11. На узкую щель падает нормально монохроматический свет. Угол φ отклонения пучков света, соответствующих второй светлой дифракционной полосе, равен 1°. Скольким длинам волн падающего света равна ширина щели?

31.12. На щель шириной а=0,1 мм падает нормально монохрома­тический свет (λ=0,5 мкм). За щелью помещена собирающая лин­за, в фокальной плоскости которой находится экран. Что будет на­блюдаться на экране, если угол φ дифракции равен: 1) 17′; 2) 43′.

31.13. Сколько штрихов на каждый миллиметр содержит диф­ракционная решетка, если при наблюдении в монохроматическом свете (λ=0,6 мкм) максимум пятого порядка отклонен на угол φ=18°?

31.14. На дифракционную решетку, содержащую n=100 штри­хов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет. Зритель­ная труба спектрометра наведена на максимум третьего порядка. Чтобы навести трубу на другой максимум того же порядка, ее нужно повернуть на угол Δφ=20°. Определить длину волны λ света.

31.15. Дифракционная решетка освещена нормально падающим монохроматическим светом. В дифракционной картине максимум второго порядка отклонен на угол φ₁=14°. На какой угол φ₂ откло­нен максимум третьего порядка?

31.16. Дифракционная решетка содержит n=200 штрихов на 1 мм. На решетку падает нормально монохроматический свет (λ=0,6 мкм). Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка?

31.17. На дифракционную решетку, содержащую n=400 штри­хов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет (λ=0,6 мкм). Найти общее число дифракционных максимумов, которые дает эта решетка. Определить угол φ дифракции, соответствующий послед­нему максимуму.

31.18. При освещении дифракционной решетки белым светом спектры второго и третьего порядков отчасти перекрывают друг друга. На какую длину волны в спектре второго порядка наклады­вается фиолетовая граница (λ=0,4 мкм) спектра третьего порядка?

31.19. На дифракционную решетку, содержащую n=500 штри­хов на 1 мм, падает в направлении нормали к ее поверхности белый свет. Спектр проецируется помещенной вблизи решетки линзой на экран. Определить ширину b спектра первого порядка на экране, если расстояние L линзы до экрана равно 3 м. Границы видимости спектра λ_кр=780 им, λ_Ф=400 нм.

31.20. На дифракционную решетку с периодом d=10 мкм под углом α=30° падает монохроматический свет с длиной волны λ=600 нм. Определить угол φ дифракции, соответствующий вто­рому главному максимуму.

31.21. Дифракционная картина получена с помощью дифрак­ционной решетки длиной l=1,5 см и периодом d=5 мкм. Определить, в спектре какого наименьшего порядка этой картины получатся раздельные изображения двух спектральных линий с разностью длин волн Δλ=0,1 нм, если линии лежат в крайней красной части спектра (λ760 нм).

31.22. Какой наименьшей разрешающей силой R должна обла­дать дифракционная решетка, чтобы с ее помощью можно было раз­решить две спектральные линии калия (λ₁=578 нм и λ₂=580 нм)? Какое наименьшее число N штрихов должна иметь эта решетка, чтобы разрешение было возможно в спектре второго порядка?

31.23. С помощью дифракционной решетки с периодом d=20 мкм требуется разрешить дублет натрия (λ₁=589,0 нм и λ₂=589,6 нм) в спектре второго порядка. При какой наименьшей длине l решетки это возможно?

31.24. Угловая дисперсия D_φ дифракционной решетки для излу­чения некоторой длины волны (при малых углах дифракции) сос­тавляет 5 мин/нм. Определить разрешающую силу R этой решетки для излучения той же длины волны, если длина l решетки равна 2 см.

31.25. Определить угловую дисперсию Dφ дифракционной решет­ки для угла дифракции φ==30° и длины волны λ=600 нм. Ответ вы­разить в единицах СИ и в минутах на нанометр.

31.26. На дифракционную решетку, содержащую n=500 штри­хов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет с длиной волны λ=700 нм. За решеткой помещена собирающая линза с глав­ным фокусным расстоянием f=50 см. В фокальной плоскости линзы расположен экран. Определить линейную дисперсию D_l такой сис­темы для максимума третьего порядка. Ответ выразить в милли­метрах на нанометр.

31.27. Нормально поверхности дифракционной решетки падает пучок света. За решеткой помещена собирающая линза с оптичес­кой силой Ф=1 дптр. В фокальной плоскости линзы расположен экран. Определить число п штрихов на 1 мм этой решетки, если при малых углах дифракции линейная дисперсия D_l=1 мм/нм.

31.28. На дифракционную решетку нормально ее поверхности падает монохроматический свет (λ=650 нм). За решеткой находится линза, в фокальной плоскости которой расположен экран. На экра­не наблюдается дифракционная картина под углом дифракции φ=30°. При каком главном фокусном расстоянии f линзы линейная дисперсия D_l=0,5 мм/нм?

Дифракция на кристаллической решетке
31.29. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок рентгеновского излучения (λ=147 пм). Определить расстоя­ние d между атомными плоскостями кристалла, если дифракционный максимум второго порядка наблюдается, когда излучение падает под углом =31°30′ к поверхности кристалла.

31.30. Какова длина волны λ монохроматического рентгеновского излучения, падающего на кристалл кальцита, если дифракционный максимум первого порядка наблюдается, когда угол между на­правлением падающего излучения и гранью кристалла равен 3°?

Расстояние d между атомными плоскостями кристалла принять рав­ным 0,3 нм.

31.31. Параллельный пучок рентгеновского излучения падает на грань кристалла. Под углом =65° к плоскости грани наблю­дается максимум первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостями кристалла 280 пм. Определить длину волны λ рентге­новского излучения.

Разрешающая сила объектива телескопа

31.32. Диаметр D объектива телескопа равен 8 см. Каково на­именьшее угловое расстояние β между двумя звездами, дифракцион­ные изображения которых в фокальной плоскости объектива по­лучаются раздельными? При малой освещенности глаз человека наиболее чувствителен к свету с длиной волны λ=0,5 мкм.

31.33. На шпиле высотного здания укреплены одна под другой две красные лампы (λ=640 нм). Расстояние d между лампами 20 см. Здание рассматривают ночью в телескоп с расстояния r=15 км. Определить наименьший диаметр D_min объектива, при котором в. его фокальной плоскости получатся раздельные дифракционные изображения.

Что такое дифракционная решетка. Формула дифракционной решетки

Дифракционная решетка

Очень большая отражательная дифракционная решётка.

Дифракционная решётка — оптический прибор, работающий по принципу дифракции света, представляет собой совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов (щелей, выступов), нанесённых на некоторую поверхность. Первое описание явления сделал Джеймс Грегори , который использовал в качестве решётки птичьи перья.

Виды решёток

• Отражательные : Штрихи нанесены на зеркальную (металлическую) поверхность, и наблюдение ведется в отраженном свете
• Прозрачные : Штрихи нанесены на прозрачную поверхность (или вырезаются в виде щелей на непрозрачном экране), наблюдение ведется в проходящем свете.

Описание явления

Так выглядит свет лампы накаливания фонарика, прошедший через прозрачную дифракционную решётку. Нулевой максимум (m =0) соответствует свету, прошедшему сквозь решётку без отклонений. В силу дисперсии решётки в первом (m =±1) максимуме можно наблюдать разложение света в спектр . Угол отклонения возрастает с ростом длины волны (от фиолетового цвета к красному)

Фронт световой волны разбивается штрихами решётки на отдельные пучки когерентного света. Эти пучки претерпевают дифракцию на штрихах и интерферируют друг с другом. Так как для каждой длины волны существует свой угол дифракции, то белый свет раскладывается в спектр.

Формулы

Расстояние, через которое повторяются штрихи на решётке, называют периодом дифракционной решётки. Обозначают буквой d .

Если известно число штрихов (N ), приходящихся на 1 мм решётки, то период решётки находят по формуле: 0,001 / N

Формула дифракционной решётки:

d — период решётки, α — угол максимума данного цвета, k — порядок максимума, λ — длина волны.

Характеристики

Одной из характеристик дифракционной решётки является угловая дисперсия. Предположим, что максимум какого-либо порядка наблюдается под углом φ для длины волны λ и под углом φ+Δφ — для длины волны λ+Δλ. Угловой дисперсией решётки называется отношение D=Δφ/Δλ. Выражение для D можно получить если продифференцировать формулу дифракционной решётки

Таким образом, угловая дисперсия увеличивается с уменьшением периода решётки d и возрастанием порядка спектра

k .

Изготовление

Хорошие решётки требуют очень высокой точности изготовления. Если хоть одна щель из множества будет нанесена с ошибкой, то решётка будет бракована. Машина для изготовления решёток прочно и глубоко встраивается в специальный фундамент. Перед началом непосредственного изготовления решёток, машина работает 5-20 часов на холостом ходу для стабилизации всех своих узлов. Нарезание решётки длится до 7 суток, хотя время нанесения штриха составляет 2-3 секунды.

Применение

Дифракционную решётку применяют в спектральных приборах, также в качестве оптических датчиков линейных и угловых перемещений (измерительные дифракционные решётки), поляризаторов и фильтров инфракрасного излучения, делителей пучков в интерферометрах и так называемых «антибликовых» очках.

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 3-е, стереотипное. — М .: Физматлит, МФТИ , 2002. — Т. IV. Оптика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0228-1
• Тарасов К. И., Спектральные приборы, 1968

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Дифракционная решетка» в других словарях:

Оптический прибор; совокупность большого количества параллельных щелей в непрозрачном экране или отражающих зеркальных полосок (штрихов), равноотстоящих друг от друга, на которых происходит дифракция света. Дифракционная решетка разлагает… … Большой Энциклопедический словарь

ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА, пластина с нанесенными на нее параллельными линиями на равном расстоянии друг от друга (до 1500 на 1 мм), которая служит для получения СПЕКТРОВ при ДИФРАКЦИИ света. Трансмиссионные решетки прозрачные и расчерчиваются на… … Научно-технический энциклопедический словарь

дифракционная решетка — Зеркальная поверхность с нанесенными на нее микроскопическими параллельными линиями, прибор, разделяющий (подобно призме) падающий на него свет на составные цвета видимого спектра. Тематики информационные технологии в …

дифракционная решетка — difrakcinė gardelė statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Optinis periodinės sandaros įtaisas difrakciniams spektrams gauti. atitikmenys: angl. diffraction grating vok. Beugungsgitter, n; Diffraktionsgitter, n rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

Оптический прибор, совокупность большого количества параллельных щелей в непрозрачном экране или отражающих зеркальных штрихов (полосок), равноотстоящих друг от друга, на которых происходит дифракция света. Д.Р. разлагает падающий на нее свет в… … Астрономический словарь

дифракционная решетка (в оптических линиях связи) — дифракционная решетка Оптический элемент с периодической структурой, отражающий (или пропускающий) свет под одним или несколькими разными углами, зависящими от длины волны. Основу составляют периодически повторяющиеся изменения показателя… … Справочник технического переводчика

вогнутая спектральная дифракционная решетка

— Спектральная дифракционная решетка, изготовленная на вогнутой оптической поверхности. Примечание Вогнутые спектральные дифракционные решетки бывают сферическими и асферическими. [ГОСТ 27176 86] Тематики оптика, оптические приборы и измерения … Справочник технического переводчика

голограммная спектральная дифракционная решетка — Спектральная дифракционная решетка, изготовления регистрацией на чувствительном к излучению материале интерференционной картины от двух и более когерентных пучков. [ГОСТ 27176 86] Тематики оптика, оптические приборы и измерения … Справочник технического переводчика

1. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля.

2. Дифракция света на щели в параллельных лучах.

3. Дифракционная решетка.

4. Дифракционный спектр.

5. Характеристики дифракционной решетки как спектрального прибора.

6. Рентгеноструктурный анализ.

7. Дифракция света на круглом отверстии. Разрешающая способность диафрагмы.

8. Основные понятия и формулы.

9. Задачи.

В узком, но наиболее употребительном смысле, дифракция света — это огибание лучами света границы непрозрачных тел, проникновение света в область геометрической тени. В явлениях, связанных с дифракцией, имеет место существенное отклонение поведения света от законов геометрической оптики. (Дифракция проявляется не только для света.)

Дифракция — волновое явление, которое наиболее отчетливо проявляется в том случае, когда размеры препятствия соизмеримы (одного порядка) с длиной волны света. С малостью длин видимого света связано достаточно позднее обнаружение дифракции света (16-17 вв.).

21.1. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля

Дифракцией света называется комплекс явлений, которые обусловлены его волновой природой и наблюдаются при распространении света в среде с резкими неоднородностями.

Качественное объяснение дифракции дает принцип Гюйгенса, который устанавливает способ построения фронта волны в момент времени t + Δt если известно его положение в момент времени t.

1. Согласно принципу Гюйгенса, каждая точка волнового фронта является центром когерентных вторичных волн. Огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени.

Поясним применение принципа Гюйгенса на следующем примере. Пусть на преграду с отверстием падает плоская волна, фронт которой параллелен преграде (рис. 21.1).

Рис. 21.1. Пояснение принципа Гюйгенса

Каждая точка волнового фронта, выделяемого отверстием, служит центром вторичных сферических волн. На рисунке видно, что огибающая этих волн проникает в область геометрической тени, границы которой помечены штриховой линией.

Принцип Гюйгенса ничего не говорит об интенсивности вторичных волн. Этот недостаток был устранен Френелем, который дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн и их амплитудах. Дополненный таким образом принцип Гюйгенса получил название принципа Гюйгенса-Френеля.

2. Согласно принципу Гюйгенса-Фре- неля величина световых колебаний в некоторой точке О есть результат интерференции в этой точке когерентных вторичных волн, испускаемых всеми элементами волновой поверхности. Амплитуда каждой вторичной волны пропорциональна площади элемента dS, обратно пропорциональна расстоянию r до точки О и убывает при возрастании угла α между нормалью n к элементу dS и направлением на точку О (рис. 21.2).

Рис. 21.2. Испускание вторичных волн элементами волновой поверхности

21.2. Дифракция на щели в параллельных лучах

Вычисления, связанные с применением принципа Гюйгенса- Френеля, в общем случае представляют собой сложную математическую задачу. Однако в ряде случаев, обладающих высокой степенью симметрии, нахождение амплитуды результирующих колебаний может быть выполнено алгебраическим или геометрическим суммированием. Продемонстрируем это путем расчета дифракции света на щели.

Пусть на узкую щель (АВ) в непрозрачной преграде падает плоская монохроматическая световая волна, направление распространения которой перпендикулярно поверхности щели (рис. 21.3, а). За щелью (параллельно ее плоскости) поместим собирающую линзу, в фокальной плоскости которой расположим экран Э. Все вторичные волны, испускаемые с поверхности щели в направлении, параллельном оптической оси линзы (α = 0), приходят в фокус линзы в одинаковой фазе. Поэтому в центре экрана (O) имеет место максимум интерференции для волн любой длины. Его называют максимумом нулевого порядка.

Для того чтобы выяснить характер интерференции вторичных волн, испущенных в других направлениях, разобьем поверхность щели на n одинаковых зон (их называют зонами Френеля) и рассмотрим то направление, для которого выполняется условие:

где b — ширина щели, а λ — длина световой волны.

Лучи вторичных световых волн, идущие в этом направлении, пересекутся в точке О».

Рис. 21.3. Дифракция на одной щели: а — ход лучей; б — распределение интенсивности света (f — фокусное расстояние линзы)

Произведение bsina равно разности хода (δ) между лучами, идущими от краев щели. Тогда разность хода лучей, идущих от соседних зон Френеля, равна λ/2 (см. формулу 21.1). Такие лучи при интерференции взаимно уничтожаются, так как они имеют одинаковые амплитуды и противоположные фазы. Рассмотрим два случая.

1) n = 2k — четное число. В этом случае происходит попарное гашение лучей от всех зон Френеля и в точке О» наблюдается минимум интерференционной картины.

Минимум интенсивности при дифракции на щели наблюдается для направлений лучей вторичных волн, удовлетворяющих условию

Целое число k называется порядком минимума.

2) n = 2k — 1 — нечетное число. В этом случае излучение одной зоны Френеля останется непогашенным и в точке О» будет наблюдаться максимум интерференционной картины.

Максимум интенсивности при дифракции на щели наблюдается для направлений лучей вторичных волн, удовлетворяющих условию:

Целое число k называется порядком максимума. Напомним, что для направления α = 0 имеет место максимум нулевого порядка.

Из формулы (21.3) следует, что при увеличении длины световой волны угол, под которым наблюдается максимум порядка k > 0, возрастает. Это означает, что для одного и того же k ближе всего к центру экрана располагается фиолетовая полоса, а дальше всего — красная.

На рисунке 21.3, б показано распределение интенсивности света на экране в зависимости от расстояния до его центра. Основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме. При увеличении порядка максимума его интенсивность быстро уменьшается. Расчеты показывают, что I 0:I 1:I 2 = 1:0,047:0,017.

Если щель освещена белым светом, то на экране центральный максимум будет белым (он общий для всех длин волн). Побочные максимумы будут состоять из цветных полос.

Явление, подобное дифракции на щели, можно наблюдать на лезвии бритвы.

21.3. Дифракционная решетка

При дифракции на щели интенсивности максимумов порядка k > 0 столь незначительны, что не могут быть использованы для решения практических задач. Поэтому в качестве спектрального прибора используется дифракционная решетка, которая представляет собой систему параллельных равноотстоящих щелей. Дифракционную решетку можно получить нанесением непрозрачных штрихов (царапин) на плоскопараллельную стеклянную пластину (рис. 21.4). Пространство между штрихами (щели) пропускает свет.

Штрихи наносятся на поверхность решетки алмазным резцом. Их плотность достигает 2000 штрихов на миллиметр. При этом ширина решетки может быть до 300 мм. Общее число щелей решетки обозначается N.

Расстояние d между центрами или краями соседних щелей называют постоянной (периодом) дифракционной решетки.

Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей.

Ход лучей в дифракционной решетке представлен на рис. 21.5.

Пусть на решетку падает плоская монохроматическая световая волна, направление распространения которой перпендикулярно плоскости решетки. Тогда поверхности щелей принадлежат одной волновой поверхности и являются источниками когерентных вторичных волн. Рассмотрим вторичные волны, направление распространения которых удовлетворяет условию

После прохождения линзы лучи этих волн пересекутся в точке О».

Произведение dsina равно разности хода (δ) между лучами, идущими от краев соседних щелей. При выполнении условия (21.4) вторичные волны приходят в точку О» в одинаковой фазе и на экране возникает максимум интерференционной картины. Максимумы, удовлетворяющие условию (21.4), называются главными максимумами порядка k. Само условие (21.4) называют основной формулой дифракционной решетки.

Главные максимумы при дифракции на решетке наблюдаются для направлений лучей вторичных волн, удовлетворяющих условию: dsin α = ± κ λ; k = 0,1,2,…

Рис. 21.4. Сечение дифракционной решетки (а) и ее условное обозначение (б)

Рис. 21.5. Дифракция света на дифракционной решетке

По ряду причин, которые здесь не рассматриваются, между главными максимумами располагаются (N — 2) добавочных максимумов. При большом числе щелей их интенсивность ничтожно мала и все пространство между главными максимумами выглядит темным.

Условие (21.4), определяющее положения всех главных максимумов, не учитывает дифракцию на отдельной щели. Может получиться так, что для некоторого направления будут одновременно выполняться условие максимума для решетки (21.4) и условие минимума для щели (21.2). В этом случае соответствующий главный максимум не возникает (формально он есть, но его интенсивность равна нулю).

Чем больше число щелей в дифракционной решетке (N), тем большее количество световой энергии проходит через решетку, тем более интенсивными и более острыми будут максимумы. На рисунке 21.6 представлены графики распределения интенсивностей, полученные от решеток с разным числом щелей (N). Периоды (d) и ширина щелей (b) у всех решеток одинаковы.

Рис. 21.6. Распределение интенсивностей при разных значениях N

21.4. Дифракционный спектр

Из основной формулы дифракционной решетки (21.4) видно, что угол дифракции α, под которым образуются главные максимумы, зависит от длины волны падающего света. Поэтому максимумы интенсивности, соответствующие различным длинам волн, получаются в различных местах экрана. Это и позволяет использовать решетку как спектральный прибор.

Дифракционный спектр — спектр, полученный с помощью дифракционной решетки.

При падении на дифракционную решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр. Положение максимума порядка k для света с длиной волны λ определяется формулой:

Чем больше длина волны (λ), тем дальше от центра отстоит k-й максимум. Поэтому фиолетовая область каждого главного максимума будет обращена к центру дифракционной картины, а красная — наружу. Заметим, что при разложении белого света призмой сильнее отклоняются фиолетовые лучи.

Записывая основную формулу решетки (21.4), мы указали, что k — целое число. Насколько велико оно может быть? Ответ на этот вопрос дает неравенство |sinα|

где L — ширина решетки, а N — число штрихов.

Например, для решетки с плотностью 500 штрихов на мм d = 1/500 мм = 2х10 -6 м. Для зеленого света с λ = 520 нм = 520х10 -9 м получим k

21.5. Характеристики дифракционной решетки как спектрального прибора

Основная формула дифракционной решетки (21.4) позволяет определить длину волны света, измеряя угол α, соответствующий положению k-го максимума. Таким образом, дифракционная решетка позволяет получать и анализировать спектры сложного света.

Спектральные характеристики решетки

Угловая дисперсия — величина, равная отношению изменения угла, под которым наблюдается дифракционный максимум, к изменению длины волны:

где k — порядок максимума, α — угол, под которым он наблюдается.

Угловая дисперсия тем выше, чем больше порядок k спектра и чем меньше период решетки (d).

Разрешающая способность (разрешающая сила) дифракционной решетки — величина, характеризующая ее способность давать

где k — порядок максимума, а N — число штрихов решетки.

Из формулы видно, что близкие линии, которые сливаются в спектре первого порядка, могут восприниматься отдельно в спектрах второго или третьего порядков.

21.6. Рентгеноструктурный анализ

Основная формула дифракционной решетки может быть использована не только для определения длины волны, но и для решения обратной задачи — нахождения постоянной дифракционной решетки по известной длине волны.

В качестве дифракционной решетки можно взять структурную решетку кристалла. Если на простую кристаллическую решетку направить поток рентгеновских лучей под некоторым углом θ (рис. 21.7), то они будут дифрагировать, так как расстояние между рассеивающими центрами (атомами) в кристалле соответствует

длине волны рентгеновского излучения. Если на некотором расстоянии от кристалла поместить фотопластинку, то она зарегистрирует интерференцию отраженных лучей.

где d — межплоскостное расстояние в кристалле, θ — угол между плоскостью

Рис. 21.7. Дифракция рентгеновских лучей на простой кристаллической решетке; точками указано расположение атомов

кристалла и падающим рентгеновским лучом (угол скольжения), λ — длина волны рентгеновского излучения. Соотношение (21.11) называется условием Брэгга-Вульфа.

Если известна длина волны рентгеновского излучения и измерен угол θ, отвечающий условию (21.11), то можно определить межплоскостное (межатомное) расстояние d. На этом основан рентгеноструктурный анализ.

Рентгеноструктурный анализ — метод определения структуры вещества путем исследования закономерностей дифракции рентгеновского излучения на изучаемых образцах.

Рентгеновские дифракционные картины очень сложны, так как кристалл представляет собой трехмерный объект и рентгеновские лучи могут дифрагировать на различных плоскостях под разными углами. Если вещество представляет собой монокристалл, то дифракционная картина представляет собой чередование темных (засвеченных) и светлых (незасвеченных) пятен (рис. 21.8, а).

В том случае когда вещество представляет собой смесь большого числа очень маленьких кристалликов (как в металле или порошке), возникает серия колец (рис. 21.8, б). Каждое кольцо соответствует дифракционному максимуму определенного порядка k, при этом рентгенограмма образуется в виде окружностей (рис. 21.8, б).

Рис. 21.8. Рентгенограмма для монокристалла (а), рентгенограмма для поликристалла (б)

Рентгеноструктурный анализ используют и для исследования структур биологических систем. Например, этим методом была установлена структура ДНК.

21.7. Дифракция света на круглом отверстии. Разрешающая способность диафрагмы

В заключение рассмотрим вопрос о дифракции света на круглом отверстии, который представляет большой практический интерес. Такими отверстиями являются, например, зрачок глаза и объектив микроскопа. Пусть на линзу падает свет от точечного источника. Линза является отверстием, которое пропускает только часть световой волны. Вследствие дифракции на экране, расположенном за линзой, возникнет дифракционная картина, показанная на рис. 21.9, а.

Как и для щели, интенсивности побочных максимумов малы. Центральный максимум в виде светлого кружка (дифракционное пятно) и является изображением светящейся точки.

Диаметр дифракционного пятна определяется формулой:

где f — фокусное расстояние линзы, а d — ее диаметр.

Если на отверстие (диафрагму) падает свет от двух точечных источников, то в зависимости от углового расстояния между ними (β) их дифракционные пятна могут восприниматься раздельно (рис. 21.9, б) или сливаться (рис. 21.9, в).

Приведем без вывода формулу, которая обеспечивает раздельное изображение близких точечных источников на экране (разрешающая способность диафрагмы):

где λ — длина волны падающего света, d — диаметр отверстия (диафрагмы), β — угловое расстояние между источниками.

Рис. 21.9. Дифракция на круглом отверстии от двух точечных источников

21.8. Основные понятия и формулы

Окончание таблицы

21.9. Задачи

1. Длина волны света, падающего на щель перпендикулярно ее плоскости, укладывается в ширине щели 6 раз. Под каким углом будет виден 3 дифракционный минимум?

2. Определить период решетки шириной L = 2,5 см, имеющей N = 12500 штрихов. Ответ записать в микрометрах.

Решение

d = L/N = 25 000 мкм/12 500 = 2 мкм. Ответ: d = 2 мкм.

3. Чему равна постоянная дифракционной решетки, если в спектре 2-го порядка красная линия (700 нм) видна под углом 30°?

4. Дифракционная решетка содержит N = 600 штрихов на L = 1 мм. Найти наибольший порядок спектра для света с длиной волны λ = 600 нм.

5. Оранжевый свет с длиной волны 600 нм и зеленый свет с длиной волны 540 нм проходят через дифракционную решетку, имеющую 4000 штрихов на сантиметр. Чему равно угловое расстояние между оранжевым и зеленым максимумами: а) первого порядка; б) третьего порядка?

Δα = α ор — α з = 13,88° — 12,47° = 1,41°.

6. Найти наибольший порядок спектра для желтой линии натрия λ = 589 нм, если постоянная решетки равна d = 2 мкм.

Решение

Приведем d и λ к одинаковым единицам: d = 2 мкм = 2000 нм. По формуле (21.6) найдем k Ответ: k = 3.

7. Дифракционную решетку с числом щелей N = 10 000 используют для исследования спектра света в области 600 нм. Найти минимальную разность длин волн, которую можно обнаружить такой решеткой при наблюдении максимумов второго порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифракционная решетка — это простейший спектральный прибор. Она содержит систему щелей, которые разделяют непрозрачные промежутки.

Дифракционные решетки подразделяют на одномерные и многомерные. Одномерная дифракционная решетка состоит из параллельных прозрачных для света участков одинаковой ширины, которые располагаются в одной плоскости. Прозрачные участки разделяют непрозрачные промежутки. При помощи данных решеток наблюдения проводят в проходящем свете.

Существуют отражающие дифракционные решетки. Такая решетка представляет собой, например, полированную (зеркальную) металлическую пластинку, на которую нанесены штрихи при помощи резца. В результате получают участки, которые отражают свет и участки, которые свет рассеивают. Наблюдение при помощи такой решетки проводят в отраженном свете.

Картина дифракции на решетке — это результат взаимной интерференции волн, которые идут ото всех щелей. Следовательно, при помощи дифракционной решетки реализуется многолучевая интерференция когерентных пучков света, которые подверглись дифракции и которые идут от всех щелей.

Период дифракционной решетки

Если ширину щели на решетки обозначим a, ширину непрозрачного участка — b, тогда сумма данных двух параметров — это период решетки (d):

Период дифракционной решетки иногда называют еще постоянной дифракционной решетки. Период дифракционной решетки можно определить как расстояние, через которое происходит повтор штрихов на решетке.

Постоянную дифракционной решетки можно найти, если известно количество штрихов (N), которые имеет решетка на 1 мм своей длины:

Период дифракционной решетки входит в формулы, которые описывают картину дифракции на ней. Так, если монохроматическая волна падает на одномерную дифракционную решетку перпендикулярно к ее плоскости, то главные минимумы интенсивности наблюдаются в направлениях, определенных условием:

где — угол между нормалью к решетке и направлением распространения дифрагированных лучей.

Кроме главных минимумов, в результате взаимной интерференции световых лучей, которые посылает пара щелей, в некоторых направлениях они гасят друг друга, в результате появляются дополнительные минимумы интенсивности. Они возникают в направлениях, где разность хода лучей составляют нечетное число полуволн. Условие дополнительных минимумов записывают как:

где N — число щелей дифракционной решетки; принимает любые целые значения кроме 0, Если решетка имеет N щелей, то между двумя главными максимумами находятся дополнительный минимум, которые разделяют вторичные максимумы.

Условием главных максимумов для дифракционной решетки служит выражение:

Величина синуса не может превышать единицу, следовательно, число главных максимумов (m):

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Сквозь дифракционную решетку проходит пучок света, имеющий длину волны . На расстоянии L от решетки размещается экран, на который при помощи линзы формируют картину дифракции. Получают, что первый максимум дифракции расположен на расстоянии x от центрального (рис.1). Каков период дифракционной решетки (d)?
Решение	Сделаем рисунок. В основу решения задачи положим условие для главных максимумов картины дифракции: По условию задачи речь идет о первом главном максимуме, то . Из рис.1 получим, что: Из выражений (1.2) и (1.1) имеем: Выразим искомый период решетки, получаем:
Ответ

Дифракция света – явление отклонения света от прямолинейного распространения при встрече с препятствием, когда свет, огибая препятствие, заходит в область его геометрической тени.

Опыт Юнга: В непрозрачном экране на небольшом расстоянии друг от друга имеются два маленьких отверстия S 1 и S 2 . Эти отверстия освещаются узким световым пучком, прошедшим в свою очередь через малое отверстие S в другом экране. Если бы не было явления дифракции, то мы должны были бы увидеть только светлое пятно от отверстия S на втором экране. На самом деле наблюдается устойчивая интерференционная картина на третьем экране (чередующиеся светлые и темные полосы).

Явление дифракции можно объяснить на основе принципа Гюйгенса-Френеля .

Согласно Гюйгенсу , все точки поверхности, которой достигла в данный момент волна, являются центрами вторичных сферических волн. При этом в однородной среде вторичные волны излучаются только вперед.

Согласно Френелю , волновая поверхность в любой момент времени представляет собой результат интерференции когерентных вторичных волн.

Объяснение опыта Юнга

Возникшая в соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля сферическая волна от отверстия S возбуждает в отверстиях S 1 и S 2 когерентные колебания. Вследствие дифракции из отверстий S 1 и S 2 выходят два световых конуса, которые частично перекрываются и интерферируют. В результате интерференции световых волн на экране появляются чередующиеся светлые и темные полосы. При закрывании одного из отверстий интерференционные полосы исчезают.

Дифракция обнаруживается в непосредственной близости от препятствия только в том случае, когда размеры препятствия соизмеримы с длиной волны (для видимого света λ ~ 100 нм).

Дифракция света на одномерной дифракционной решетке.

Дифракционная решетка – оптическое устройство, представляющее собой совокупность большого числа параллельных, равноотстоящих друг от друга щелей одинаковой ширины. Число штрихов может доходить до 2000-3000 тысяч на 1 мм. Прозрачные дифракционные решетки изготавливают из прозрачного твердого вещества, например, плоскопараллельных стеклянных или кварцевых пластинок. Алмазным резцом наносят штрихи. Там, где прошелся резец, образуется непрозрачная поверхность, рассеивающая свет. Промежутки между штрихами играют роль щелей. Отражательные дифракционные решетки представляют собой зеркальную (металлическую) поверхность, на которую нанесены параллельные штрихи. Световая волна рассеивается штрихами на отдельные когерентные пучки, которые, претерпев дифракцию, на штрихах, интерферируют. Результирующая интерференционная картина образуется в отраженном свете.

Если ширина прозрачных щелей (или отражательных полос) равна а , а ширина непрозрачных промежутков (или рассеивающих свет полос) b , то величина называется периодом или постоянной дифракционной решетки .

Рассмотрим дифракцию на прозрачной дифракционной решетке. Пусть на решетку падает плоская монохроматическая волна длиной l. Для наблюдения дифракции на близком расстоянии за решеткой помещают собирающую линзу и за ней экран на фокусном расстоянии от линзы. В каждой точке фокальной плоскости линзы происходит интерференция N волн, приходящих в эту точку от N щелей решетки. Это так называемая многоволновая или многолучевая интерференция. Выберем некоторое направление вторичных волн под углом φ относительно нормали к решетке. Лучи, идущие от крайних точек двух соседних щелей, имеют разность хода. Такая же разность хода будет для вторичных волн, идущих от других пар точек соседних щелей, отстоящих на расстояние d друг от друга. Если эта разность хода кратна целому числу длин волн, то при интерференции возникнут главные максимумы :

–основная формула дифракционной решетки ,

где k = 0, 1, 2… — порядок главных максимумов. На экране наблюдаются узкие одноцветные линии (в зависимости от цвета падающей волны). Линия под углом φ = 0 называется спектральной линией первого порядка (k = 0) по обе стороны от нее симметрично расположены спектральные линии первого порядка (k = 1, k = -1), второго порядка (k = 2, k = -2) и т.д. Интенсивность этих линий в N 2 раз больше интенсивности, создаваемой в направлении φ одной щелью. С ростом k спектральные линии становятся менее яркими и перестают наблюдаться вовсе. Максимально наблюдаемое число линий ограничивается по следующим причинам. Во-первых, с ростом угла φ уменьшается интенсивность света, испускаемого отдельной щелью. Во-вторых, даже очень узкие щели с шириной близкой к λ , не могут отклонять свет под углом большим, чем. Поэтому, . Увеличение числа щелей не меняет положения главных максимумов, но делает их более интенсивными. При наклонном падении света под углом , условие главных максимумов имеет вид: .

Между главными максимумами появляются добавочные минимумы , число которых равно N – 1, где N – общее число щелей решетки. (На рис. слева для N = 8 и N = 16 нарисованы не все добавочные минимумы). Они появляются за счет взаимной компенсации волн от всех N щелей. Чтобы N волн погасили друг друга, разность фаз должна отличаться на. А оптическая разность хода, соответственно, должна быть равна. Направления добавочных минимумов определяются условием, где k принимает целочисленные значения кроме 0, N , 2N , 3N ,…, то есть тех, при которых данное условие переходит в основную формулу дифракционной решетки.

Между добавочными минимумами находится N – 2 добавочных максимумов , интенсивность которых очень слаба.

При нормальном освещении решетки белым светом на экране наблюдается белый центральный максимум нулевого порядка, а по обе стороны от него – дифракционные спектры 1-го, 2-го и т.д. порядков. Спектры имеют вид радужных полосок, в которых наблюдается непрерывный переход от фиолетового цвета у внутреннего края спектра к красному цвету у внешнего края.

Со спектров 2-го и 3-го порядков начинается их частичное перекрывание (т.к. выполняется условие).

Спектроскопическими характеристиками решетки являются: разрешающая способность и угловая дисперсия.

Разрешающая способность дифракционной решетки – безразмерная величина, где  — минимальная разность волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно, λ – среднее значение длин волн этих линий. Можно доказать, что, где L – ширина дифракционной решетки.

Угловая дисперсия характеризует степень пространственного (углового) разделения световых лучей с разной длиной волны: , где φ – угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на . Несложно доказать, что.

Таким образом, решетка является спектральным устройством, который можно использовать в различных оптических приборах, например, в дифракционных спектрофотометрах, в качестве монохроматоров, т.е. устройств, позволяющих освещать объект светом в узком диапазоне длин волн.

Дифракционная решетка может быть использована для определения длины волны света (по основной формуле дифракционной решетки). С другой стороны, основная формула дифракционной решетки может быть использована для решения обратной задачи – нахождения постоянной дифракционной решетки по длине волны. Этот способ лег в основу рентгеноструктурного анализа – измерения параметров кристаллической решетки посредством дифракции рентгеновских лучей. В настоящее время широко используют рентгеноструктурный анализ биологических молекул и систем. Именно этим методом Дж. Уотсон и Ф. Крик установили структуру молекулы ДНК (двойная спираль) и были удостоены в 1962 г. Нобелевской премии.

Важную роль в прикладной оптике играют явления дифракции на отверстиях в форме щели с параллельными краями. При этом использование дифракции света на одной щели в практических целях затруднено из-за слабой видимости дифракционной картины. Широко используются дифракционные решетки.

Дифракционная решетка — спектральный прибор, служащий для разложения света в спектр и измерения длины волны. Различают прозрачные и отражающие решетки. Дифракционная решетка представляет собой совокупность большого числа параллельных штрихов одинаковой формы, нанесенных на плоскую или вогнутую полированную поверхность на одинаковом расстоянии друг от друга.

В прозрачной плоской дифракционной решетке (рис. 17.22) ширина прозрачного штриха равна а, ширина непрозрачного промежутка — Ь. Величина \(d = a + b = \frac{1}{N} \) называется постоянной (периодом) дифракционной решетки, где N — число штрихов на единицу длины решетки.

Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально к плоскости решетки (рис. 17.22). По принципу Гюйгенса-Френеля каждая щель является источником вторичных волн, способных интерферировать друг с другом. Получившуюся дифракционную картину можно наблюдать в фокальной плоскости линзы, на которую падает дифрагированный пучок.

Допустим, что свет дифрагирует на щелях под углом \(\varphi.\) Так как щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, для данного направления \(\varphi\) будут одинаковыми в пределах всей дифракционной решетки:

\(\Delta = CF = (a+b)\sin \varphi = d \sin \varphi .\)

В тех направлениях, для которых разность хода равна четному числу полуволн, наблюдается интерференционный максимум. Наоборот, для тех направлений, где разность хода равна нечетному числу полуволн, наблюдается интерференционный минимум. Таким образом, в направлениях, для которых углы \(\varphi\) удовлетворяют условию

\(d \sin \varphi = m \lambda (m = 0,1,2, \ldots),\)

наблюдаются главные максимумы дифракционной картины. Эту формулу часто называют формулой дифракционной решетки. В ней m называется порядком главного максимума. Между главными максимумами располагается (N — 2) слабых побочных максимумов, но на фоне ярких главных максимумов они практически не видны. При увеличении числа штрихов N (шелей) главные максимумы, оставаясь на прежних местах, становятся все более резкими.

При наблюдении дифракции в немонохроматическом (белом) свете все главные максимумы, кроме нулевого центрального максимума, окрашены. Это объясняется тем, что, как видно из формулы \(\sin \varphi = \frac{m \lambda}{d},\) различным длинам волн соответствуют различные углы, на которых наблюдаются интерференционные максимумы. Радужная полоска, содержащая в общем случае семь цветов — от фиолетового до красного (считается от центрального максимума), называется дифракционным спектром.

Ширина спектра зависит от постоянной решетки и увеличивается при уменьшении d. Максимальный порядок спектра определяется из условия \(~\sin \varphi \le 1,\) т.е. \(m_{max} = \frac{d}{\lambda} = \frac{1}{N\lambda}.\)

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 517-518.

Дифракция света и ее влияние на качество фотографии

Дифракция света известна с 19 века и связана с волновой природой электромагнитного излучения, к которому относится и свет. Суть этого явления такова, что полностью избежать его влияния на качество фотографии невозможно, во всяком случае, на современном этапе развития физики, поэтому часто говорят о дифракционном пределе резкости снимка. Но учесть специфику дифракционных эффектов и попытаться уменьшить их вредное воздействие вполне реально.

Дифракция света проявляется в том, что при встрече с любым препятствием, световая волна отклоняется от прямолинейного движения и начинает это препятствие огибать. Это очень легко заметить, если понаблюдать за волнами на воде. После успокаивающего созерцания водяных волн станет очевидным и другой немаловажный факт: чем меньше отверстие, через которое проходит волна, тем больше она рассеивается.

Применительно к фотографии это означает, что дифракция света сильнее всего портит изображение при сильно закрытых диафрагмах, то есть именно тогда, когда увеличивается глубина резкости. Возникает такой парадокс, что наше желание получить в кадре как можно больше резких деталей приводит к обратному результату – резкость наоборот падает.

Именно здесь и возникает задача найти оптимальный баланс между глубиной резкости и ухудшением качества изображения из-за дифракции света. Иными словами, надо определить ту диафрагму, которая обеспечит нужную глубину резкости и при этом сохранится общая резкость кадра, в противном случае, глубину то мы получим, но резкость пропадет. Эту задачу мы и будем сейчас решать.

Дифракция света и критерий Рэлея

Проходя через объектив, свет фокусируется на матрице и возникает изображение, которое затем преобразуется в фотографию. Если мы фотографируем точку, то в идеальном случае мы хотели бы получить и точку на матрице. Тут-то все и портит дифракция света. Как бы хорошо не были скомпенсированы оптические аберрации объектива, мы увидим не точку, а размытый кружок рассеяния с максимумом в центре и расположенными вокруг него интерференционными кольцами, возникающими из-за наложения световых волн.

Если фотографировать две рядом расположенные точки, то из-за дифракции на матрице получатся два кружка рассеяния, и при уменьшении расстоянии между точками, в какой-то момент кружки сольются, и мы вообще не сможем понять, сфотографировали мы две точки или одну. Это и есть дифракционный предел резкости, который определяется так называемым критерием Рэлея.

Согласно критерию Рэлея считается, что два дифракционных кружка рассеяния воспринимаются зрением как два в том случае, если между их максимумами расположен минимум с интенсивностью на 20% меньше. В противном случае они не разрешаются, т. е. глаз будет видеть их как один.

Дифракция света и диафрагма фотоаппарата

Таким образом, дифракция света приводит к тому, что изображение точки, которое строит объектив, становится размытым, даже если объектив не имеет аберраций и точно на нее сфокусирован. Поскольку объектив и диафрагма имеют круглую форму, то точка приобретает вид нерезкого круга, который называется диском Эйри, в честь английского астронома, открывшего это явление. Нас интересует размер диска Эйри, поскольку именно он будет ограничивать резкость фотографии.

Но как определить размер диска, который имеет размытые края? Для этого наиболее разумно исходить из того, чтобы две точки на матрице воспринимались именно как две, т. е. удовлетворяли критерию Рэлея. Рассчитанный по критерию Рэлея диаметр диска Эйри D можно определить по формуле

где λ – длина волны прошедшего через объектив света (обычно берется зеленый свет 500 нм (= 0,0005 мм)), K – диафрагменное число.

Обратите внимание на такую особенность. Выше мы говорили, что дифракция света сильнее проявляется при малых размерах отверстия, через которое проходит световая волна. В формуле же [1] присутствует только K – диафрагменное число, а не абсолютный размер диафрагмы. В этом нет никакого противоречия, поскольку уменьшение размера диска Эйри при увеличении физического размера диафрагмы компенсируется пропорциональным его увеличением за счет фокусного расстояния, т. е. зависит только от относительного отверстия объектива, обратная величина которого и есть диафрагменное число, или просто значение диафрагмы.

Полученный результат в виде формулы [1] уже можно использовать на практике, поскольку он точно показывает, как зависит размер кружка рассеяния от диафрагмы объектива. И теперь на первое место выходит матрица.

Дифракция света и размер пикселя

Именно характеристики матрицы, а конкретно размер пикселя, определяет ту предельную диафрагму, при которой дифракция света еще не оказывает влияния на резкость. Если диаметр диска Эйри меньше размера пикселя, то разрешение системы объектив – матрица определяется матрицей (характеристики которой мы изменить не можем). А вот если больше, то диафрагмой (которую мы можем менять), что хорошо видно из соотношения [1]. Когда диаметр диска Эйри становится больше размера пикселя,  дальнейшее закрытие диафрагмы приводит только к ухудшению резкости изображения.

Рассмотрим пример. Как было показано в статье про резкость в фотографии, размер пикселя матрицы формата DX (кроп фактор 1,52, 12 МПикс) фотоаппарата Nikon составляет 0,0055 мм. Определим по формуле [1] предельную диафрагму, которая еще не ухудшает резкость снимка:

Таким образом, для такой матрицы использование диафрагм больше f/9 нецелесообразно, поскольку вместо улучшения качества за счет увеличения глубины резкости, мы получим размытие из-за дифракции. Можно легко рассчитать, что для небольших компактных камер с маленькими матрицами дифракционные эффекты начинают проявляться уже на диафрагмах 4 – 5,6.

Мы получили удивительный результат! Такое объективное физическое явление как дифракция света проявляет себя в фотографии в полной зависимости от искусственно спроектированной матрицы. Говорит ли это о том, что мы можем победить дифракцию, создавая все более совершенные матрицы? Ни в коем случае. Как только размер пикселя станет равным диску Эйри на полностью открытой диафрагме идеального (т. е. без аберраций) объектива, дальнейшее наращивание «мегапиксельности» матрицы станет теоретически бессмысленным.

Дифракция света и современный фотоаппарат

Чтобы проиллюстрировать сказанное, приведу снимки испытательной миры, сделанные фотоаппаратом Nikon с матрицей, характеристики которой мы рассматривали выше. Съемка производилась на диафрагмах f/9 (которую мы получили в примере),  f/16 и  f/25.

Хорошо видно, что диафрагма f/9 действительно дает наиболее резкое изображение. При f/16 резкость все еще удовлетворительная, хотя если посмотреть внимательнее, то на самых мелких штрихах заметно слабое размытие. А вот f/25 никуда не годится. Мелкие штрихи разрешаются уже на пределе, а общая контрастность снимка заметно падает.

Несмотря на результаты теста, во многих случаях имеет смысл пожертвовать общей резкостью снимка, но получить одинаково резкими и передний и задний планы, например, на той же диафрагме 22. Исходя из практики, можно сказать, что для зеркальных камер предельные диафрагмы находятся в интервале 8 – 11, а для компактов 4 – 8 и этого вполне достаточно, чтобы достичь приемлемой глубины резкости без дифракционного ухудшения качества изображения. Кроме того, большинство объективов в указанных интервалах диафрагм дают наилучшее качество изображения, поскольку влияние аберраций на таких диафрагмах уже незначительно, а дифракционное размытие еще пренебрежимо мало.

Мы рассмотрели идеальный случай с точки зрения теории, в предположении, что у объектива отсутствуют аберрации. На самом деле при съемке приходится учитывать множество самых разнообразных факторов. Это и наличие штатива, и освещенность объекта и скорость его перемещения, и художественный замысел автора, и многое, многое другое. Такое знание приобретается только с опытом, поэтому точно сказать, что при предельной диафрагме 9 нельзя использовать 22, будет неправильным, но что касается максимальной резкости, то здесь дифракция света влияет однозначно, и учитывать ее надо обязательно.

Дифракционная решётка — что собой представляет, принцип действия, основная формула

Дифракционная решётка — оптическое устройство, воздействие которого основано на применении дифракции света. Результатом являются области, что отображают лучи, и те, что рассеивают их. Исследования с помощью подобной сетки проводятся в отражённом свете. Дифракционный вид решётки считается результатом взаимной интерференции волн, исходящих от всех ячеек.

Зона Френеля

При поддержке ДР осуществляется взаимное наращивание многолучевого распространения или уменьшение амплитуды когерентных световых пучков, которые считаются дифракционными. Правильное определение принципа Гюйгенса-Френеля: плоскость волны в любой момент является не простой оболочкой вторичных линий, а результатом их интерференции.

Чтобы найти амплитуду световой волны от монохроматического точечного источника света в случайной точке O изотропной среды, необходимо обрамить основные устройства шаром с радиусом r = QD. Интерференция волн от вторичных источников, расположенных на плоскости, определяет амплитуду в рассматриваемой точке О, то есть необходимо добавить когерентные колебания от всех вторичных объектов на плоскости волны.

Поскольку расстояния от них до точки О различны, барабаны начнут растягиваться в разные фазы. Длина кратчайшего пути от точки O до плоской волны равна 0. Первая зона Френеля ограничена точками плоскости, расстояния от которых до точки О такие же. Края других зон нацелены таким же образом. Когда отличие траекторий от двух соседних зон составляет половину длины волны, барабаны из них попадают в точку О в циркулирующих фазах, появляется небольшое количество шума, если разность траекторий равна длине волны интерференции.

Таким образом, если препятствие соответствует целому числу линий волн, оно станет взаимно скомпенсированным, и в этой точке будет замечено чёрное пятнышко. В случае нечётного числа полуволн, это красочное пятно. Расчёты могут помочь правильно понять, каким образом свет от точечного источника, излучающего сферические волны, достигает случайной точки в пространстве.

Дифракция от всех типов препятствий:

• узкая проволока;
• из круглого отверстия;
• от круглого запечатанного экрана.

Наблюдение при исследовании

Дифракция происходит на объектах любого размера, а не только пропорционально длине волны λ. Сложность исследования заключается в том, что из-за малой длины световой волны максимумы интерференции находятся достаточно близко друг к другу, а их интенсивность быстро уменьшается. ДФ может великолепно следовать на расстоянии.

Если дифракция незаметна и происходит затемнение, объект невидим, появляется резкая тень. Диаметр экрана D определяет границу геометрической оптики. Если наблюдение выполняется на расстоянии, волновые свойства света начинают проявляться в пропорциях применимости геометрической оптики, где d-величина объекта.

Шаблоны распределения шума из разных точек объекта перекрываются, и изображение становится размытым, в результате чего устройство не выделяет отдельные части объекта. Дифракция может наблюдаться и определяет разрешение любого оптического устройства.

Человеческому глазу оно видно примерно под тем же углом:

• буква D — диаметр зрачка;
• телескоп α = 0,02;
• микроскоп: ёмкость не более 2−103 раз.

Можно видеть объекты, размеры которых сопоставимы с длиной линии света.

Дифракционная особенность

Световая дифракция — предельное отклонение лазерного луча и изменение направления волны. Отклонение силы разложения связано с прохождением света через сетку, которая содержит многочисленные щели. Дифракционная сетка является тем лучше, чем большее количество зазоров содержит уплотнение.

Ширина щели сравнима с размером световой волны. Когда лазерный свет проходит через зазор в дифракционной сетке, происходит дифракция света. Период дифракционной решётки обладает свойством: когда последовательный лазерный луч проходит через несколько зазоров, плотно расположенных рядом друг с другом, происходят помехи волн (перекрытие) и на экране можно наблюдать полосы.

Прибор главной оптики состоит из большого числа параллельных равноудалённых черт одинаковой формы, нанесенных на плоскую или вогнутую подложку, где происходит дифракция падающей волны. Обычно это прозрачная пластина или металлическое зеркало с плотно нанесёнными — более 1 тыс. в 1 мм — трещинами или с полосками, полученными методами голографии. Возникающие щели вызывают угловой прогиб дисперсии, проходящих (отражённых) линейных лучей света.

Собранные через линзу лучи дают на экране в случае монохроматического света изображение бликов (очередные яркие полоски возникают в направлениях, для которых различия оптики и интерференционных пучков являются целым кратным длине линии сгибаемого света), а в случае белого света — непрерывным спектром. Особым типом дифракционной сетки является ступенчатая (отражающая), построенная А. Михельсоном. ДР является основным компонентом большинства спектральных приборов.

Спектральный анализ

ДС является инструментом для проведения спектрального анализа света. Она образует систему равных, параллельных и одинаково расположенных зазоров. Используется для точных измерений длин световых волн и представляет собой систему препятствий для линий, расположенных в пространстве или на поверхности, периодически или случайно. Препятствий возникает явление дифракции (отсюда и название сетки).

Постоянная дифракционная решётка — параметр, характеризующий сетку. Он выражает расстояние между отверстиями (щелями). Зависимость значения постоянной линии и угла изгиба α представляет формулу дифракционной решётки:

общее уравнение — nλ = d•sina

где:

• λ — длина волны;
• n — правительство провисания.

Фиксированная сетка может легко измеряться:

d = nλ/sina

Установить устройство следует таким образом, чтобы солнце хорошо светило на панель, расположенную в его узкой части. Там размещена ДС. Смотреть изображение нужно фокусирующим экраном. Следует обратить внимание, что наблюдаемые оттенки расположены в обратном порядке, чем призма. Красный цвет является наиболее сильно отклоняемым от направления света, падающего на сетку, а фиолетовая гамма на третьем месте.

Особенности явления

Дифракционная сетка представляет собой плотно очерченную пластину, которая может содержать до тысячи зазоров на миллиметр. Солнечный свет в этом опыте проявляет волновую природу, проходя через щели, наклоняется и качается. Это явление носит название отклонения и есть на каждом слоте сетки. Расходящиеся с прорезями волны накладываются друг на друга и усиливаются в определённых местах (различных для света длины волны и разного цвета), что называют излучением. Благодаря дифракции и интерференции можно наблюдать спектр солнечного света с цветами, расположенными в обратном порядке, чем в призме.

Дифракционные сетки используются при строительстве спектрометров — устройств, используемых для разделения света на его составляющие. Такой анализ позволяет определить, какие химические элементы входят в объект. Благодаря анализу спектра учёные могут определить химический состав даже очень далёких звёзд. Аналогичным образом преобразуются радужные блики, наблюдаемые, когда свет отскакивает от компакт-диска.

Когда необходимо разделить свет с разными длинами волн с высоким разрешением, дифракционная решётка является наиболее предпочтительным инструментом. Этот «суперпризменный» аспект приводит ДС к применению для измерения атомных спектров как в лабораторных приборах, так и в телескопах.

Условие максимальной интенсивности такое же, как и для двойной щели или нескольких, но большое количество зазоров обеспечивает высокое разрешение для применения в спектроскопии, то есть результат может отличаться. Различные длины волн дифрагируют под разными углами в зависимости от классификации сетки. Важна разрешающая способность дифракционной решётки и некоторые другие характеристики.

Предыдущая

ФизикаФормула массы через плотность и объем — примеры вычислений

Следующая

ФизикаМолекула — определение, строение и свойства

Дисперсия и дифракция света: сложные понятия простым языком

Рассказываем, что такое дисперсия и дифракция света и чем отличаются их спектры.

Дисперсия света

Свет в физике и оптике — это электромагнитное излучение, состоящее из волн длиной от 380 до 770 нанометров; волны разной длины мы видим разного цвета. Исаак Ньютон заметил, что показатель преломления при прохождении через прозрачную призму зависит от длины волны: красный и желтый свет, упав на поверхность, отклонятся на разные углы. Частота и скорость света тоже будут отличаться.

Дисперсия — это зависимость показателя преломления и скорости света от длины волны.

Примеры:

1. Волны красного света самые длинные в спектре. У них наименьший показатель преломления и более высокая скорость.
2. Волны фиолетового света самые короткие в спектре. У них наибольший показатель преломления и более низкая скорость.

Источник: pinterest.com

Белый цвет состоит из всех цветов спектра. Поэтому если луч белого света пропустить через прозрачную призму, он распадется на составляющие, так как волны разных цветов имеют разный показатель преломления. Мы увидим радугу — все цвета спектра.

Это красивое явление мы встречаем довольно часто — в быту, природе и даже на обложке альбома группы Pink Floyd. «Игра света» искусно ограненного бриллианта тоже объясняется дисперсией.

Источник: pinterest.com

Дифракция света

Прежде нужно напомнить о сопутствующем явлении — интерференции света, которая всегда наблюдается одновременно с дифракцией. При интерференции две когерентные (т.е. частоты которых совпадают, а разность фаз колебания постоянна) световые волны накладываются друг на друга, в результате чего усиливают или ослабляют одна другую.

Источник: pinterest.com

Дифракция наблюдается при распространении света в среде с резкими неоднородностями. В таких условиях можем увидеть отклонение волн от прямого направления при прохождении рядом с преградой, проще — огибание препятствий световыми волнами. Это оптическое явление встречается с участием предметов любых размеров, но чем меньше объект, тем наблюдение проще.

Белый свет распадается в спектр, если проходит через дифракционную решетку или отражается от нее. Природа дифракционного и призматического спектров отличается, поэтому это явление нельзя объяснить дисперсией света.

Как их отличить:

1. Призматический спектр располагается в диапазоне от красного цвета к фиолетовому (в порядке убывания длины волны). Красная часть более сжата, а фиолетовая — растянута.
2. Дифракционный спектр располагается в диапазоне от фиолетового цвета к красному (в порядке возрастания длин волн). Все части равны между собой.

Дифракция проявляется не только для световых, но и для звуковых волн. Мы можем слышать музыку (речь или любые другие звуки) из здания за углом. Это значит, что волна распространяется не только в прямом направлении, но и может «огибать» препятствия. В нашем случае — здание, за которым мы стоим.

Источник: pinterest.com

Для экспериментального наблюдения этого явления есть специальный прибор — дифракционная решетка. Это искусственная система препятствий в виде параллельных штрихов, выгравированных на поверхности пластины из металла или стекла. Расстояние между краями соседних щелей называется периодом решетки или ее постоянной.

Встречая препятствие в виде решетки, световая волна проходит через щели и препятствия, в результате чего разбивается на отдельные пучки когерентных волн — это дифракция. Затем они интерферируют друг с другом. Волны разных длин отклоняются на разные углы — так свет разлагается в спектр.

Формула дифракционной решетки:

 

Знание разницы между дифракцией и дисперсией — азы изучения оптики. Чтобы написать хорошую работу (неважно, реферат, курсовую или диплом) по физике, нужны более глубокие исследования. С этим всегда помогут наши авторы, поэтому обращайтесь в ФениксХелп.

2. Дифракция волн. Оптика. Физика. Курс лекций

2.1. Дифракция Фраунгофера на узкой длинной щели в непрозрачном экране

2.2. Дифракция света на одномерной дифракционной решётке

2.3. Разрешающая способность дифракционной решётки

2.4. Дифракция рентгеновских лучей

Огибание волнами препятствий или отклонение от прямолинейного распространения в оптически неоднородной среде получило название дифракции.

Дифракция возникает при прохождении световых волн через отверстия в непрозрачных экранах, вблизи границ непрозрачных тел и т.д.

Различаются два вида дифракции световых волн: дифракция Френеля, или дифракция в расходящихся лучах, и дифракция Фраунгофера, или дифракция в параллельных лучах.

В первом случае на препятствие падает сферическая или плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, который находится позади препятствия на конечном расстоянии от него.

Во втором случае на препятствие падает плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, который находится в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего через препятствие света.

2.1. Дифракция Фраунгофера на узкой длинной щели в непрозрачном экране

Ширина щели BC=b, длина волны, падающего света λ. Свет падает на щель нормально к её поверхности так что колебания во всех точках щели совершаются в одной фазе. О – оптический центр линзы. Дифракционная картина наблюдается на экране, который установлен в фокальной плоскости линзы. φ – угол дифракции, или угол отклонения от прямолинейного распространения падающих волн, который может принимать значения от 0 до .

F₀ – центр дифракционной картины, где интерферируют лучи, угол дифракции которых равен нулю. В F наблюдается центральный дифракционный максимум.

Параллельные лучи BM и CN, идущие от краёв щели под углом дифракции φ, собираются линзой в побочном фокусе F_φ.

Линза обладает тем свойством, что оптические пути лучей BM и DNF_φ, где D – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на направление луча CN, одинаковы.

Результат интерференции в точке F_φ экрана зависит от разности хода волн и длины волн падающего света. Щель можно разбить по ширине на зоны, которые получили название зон Френеля. Зоны имеют вид параллельных ребру В полосок, разность хода от краев которых равна λ/2.

Число зон Френеля, укладывающихся в отверстие, равно:

.

Все зоны излучают свет в рассматриваемом направлении с одинаковой амплитудой, причём колебания, вызываемые в точке F_φ двумя соседними зонами противоположны по фазе.

Поэтому, если число зон Френеля в отверстии чётное

,

где k=1,2…,

то под углом дифракции, удовлетворяющем условию, наблюдается дифракционный минимум. k – порядок дифракционного минимума.

Если число зон Френеля нечётное

, где k=1,2…,

то под углом дифракции φ удовлетворяющему условию

наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию одной зоны Френеля (k — порядок дифракционного минимума).

Самый яркий центральный максимум наблюдается в главном фокусе линзы F₀ (φ=0).

С ростом k ширина зон Френеля уменьшается и интенсивность максимумов быстро падает.

Амплитуда и интенсивность света в точке F_φ равны:

и ,

где А₀ – амплитуда, I₀ – интенсивность центрального максимума (φ=0).

2.2. Дифракция света на одномерной дифракционной решётке

Одномерная дифракционная решётка представляет собой систему из большого число N одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей в экране, раздельных также одинаковыми по ширине непрозрачными промежутками.

На рисунке 8 показаны только две соседние щели решётки. Величина d=a+b, называется периодом решётки (a=KC – ширина непрозрачного промежутка, b=BK – ширина щели,

— ширина решётки). Если плоская монохроматическая волна с длиной λ падает на решётку нормально, то колебания во всех точках щели происходят в одинаковой фазе. Колебания, возбуждаемые в произвольной точке Fφ фокальной плоскости линзы каждой из щелей, совпадают по амплитуде, но отличаются по фазе. Для каждой пары соседних щелей сдвиг по фазе Δφ0 μежду этими колебаниями одинаков. Сдвиг по фазе зависит от разности хода волн, идущих от точек В и С под углом дифракции φ и длины волны λ.

,

где — разность хода,

D – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на направление луча С.

.

Условие наблюдения главных максимумов: или (k=1,2,3)

,

k – порядок интерференционного максимума.

Наибольший порядок спектра наблюдается под углом дифракции: ;

;

;

,

k может принимать только целые значения, поэтому результат, полученный от деления, нужно округлить до меньшего целого числа. Число максимумов наблюдаемых на экране . В центре экрана в точке F₀ наблюдается центральный максимум (φ=0, k=0).

Условие наблюдения главных минимумов:

или ;

,

k – порядок главного минимума.

2.3. Разрешающая способность дифракционной решётки

Пусть на дифракционную решётку падает немонохроматический свет с длиной волны λ₁ и λ₂.

; (близкие длины волн).

Период дифракционной решётке d, число щелей N. В спектре k-ого порядка на экране (рисунок 9) под углом φ1 наблюдается максимум для длины волны λ1, а под углом дифракции φ2 – максимум для волны с λ2. (Fφ1 θ Fφ2 – ρоответственно), максимумы для двух длин волн на экране пространственно разделены, если выполняется условие:

(формула Рэлея).

Это условие получило название разрешающей способности дифракционной решётки. λ можно принять равным λ₁ или λ₂.

2.4. Дифракция рентгеновских лучей

Кристаллическую решётку твёрдых тел можно рассматривать как пространственную дифракционную решётку, период которой значительно меньше длины волны видимого света (). Для видимого света кристаллы являются оптически однородной средой.

В тоже время для рентгеновских лучей кристаллы представляют естественные кристаллические решётки ().

Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах рассматривается как результат интерференции рентгеновского излучения, зеркально отражающегося от систем параллельных плоскостей, которые проходят через узлы кристаллической решётке. Расстояние d между двумя сетчатыми плоскостями называется межплоскостным расстоянием, а угол Θ между падающим лучом и плоскостью – угол скольжения. На рисунке 10 изображены две плоскости, которые проходят через углы кристаллической решётки (сетчатые или атомные плоскости).

На поверхности кристалла под углом скольжения Θ падает плоская волна с длиной λ. Рентгеновские лучи не преломляются в кристалле, т.к. показатель преломления для них равен единице (примерно). Разность хода интерферирующих волн (лучи 1 и 2), отражённых от двух параллельных плоскостей равна . Отражение наблюдается в направлениях, соответствующих дифракционным максимумам, которые удовлетворяют условию Вульфа-Брэгга:

, m=1,2,3…

m – порядок дифракционного максимума

,

Θ – σгол скольжения для наблюдения максимума удовлетворяет этому условию.

Угол скольжения, соответствующий первому дифракционному максимуму (m=1)

.

Дифракция на двух щелях

Дифракция на двух щелях

Дифракция на двух щелях

Волны на воде покажет дифракционную интерференционную картину в эксперименте с двумя щелями как показано на схеме ниже. На диаграмме показаны гребни волн на воде в какое-то время. Ниже по потоку от щелей мы увидим конструктивную интерференцию, где волны от щели находятся в фазе и деструктивная интерференция, когда они сдвинуты по фазе на 180 градусов, например, когда гребень одной щели встречается с впадиной другой.Сюжет с надписью показывает интерференционную картину в месте расположения поглотителя. Дифракция — это простое волновое явление .

Дифракция света была хорошо известным явлением к концу 19 века. и был хорошо объяснен в классической теории электромагнетизма, поскольку свет считался электромагнитной волной. Дифракционную картину от двух узких щелей особенно легко понять с точки зрения волн. Схема показана на схеме ниже.

ЭМ волны длины волны испускаются одним источником света, как лазер.Они проходят через две узкие щели, (для простоты) на одинаковом расстоянии от источника и на расстоянии отдельно. Свет проходит от щелей к экрану обнаружения. На экране обнаружения можно увидеть дифракционную картину, как показано на рисунке ниже.

Центр дифракционной картины находится в месте на экране, равноудаленном от каждой щели, где волны из двух щелей находятся в фазе (потому что они прошли точно такое же расстояние) и поля складываются, так что волны конструктивно интерферируют и есть максимум интенсивности.На некотором расстоянии от этого центра дифракционной картины будет деструктивная интерференция. между волнами из двух щелей, и интенсивность будет равна нулю. Это произойдет, если расстояние, пройденное двумя волнами, отличается на , Таким образом, волны сдвинуты по фазе на 180 градусов, а поля из двух щелей подавляют .

Мы можем вычислить это местоположение, посмотрев на диаграмму выше. Мы предполагаем, что расстояние до экрана намного больше, чем . Для света, обнаруженного под углом , дополнительное расстояние, пройденное от щели 1, составляет всего .Таким образом, угол первого минимума (или ноль) можно найти из уравнения .

В более общем случае мы получим максимум , если пути от щелей отличаются на целое число длин волн и мы получим нуль, когда пути различаются на половину целого числа длин волн . .

Хотя это очень сложно, потому что электроны заряжены, 2-щелевая дифракция электронов также наблюдалась.

Итак, все виды частиц, кажется, дифрагируют, указывая на то, что это какая-то волна.Теперь мы продолжим некоторые мысленные эксперименты по дифракции, чтобы проиллюстрировать физику что квантовая механика должна соответствовать.

* Пример: Определите расположение узлов дифракционной картины из двух узких щелей, находящихся на расстоянии друг от друга. Теперь попробуйте вычислить распределение интенсивности. *

Джим Брэнсон 2013-04-22

Передаточная функция дифракционной модуляции

Diffraction MTF — это расчет волновой оптики, для которого единственными переменными (для заданной формы апертуры) являются диаметр апертуры D , длина волны λ и фокусное расстояние f .MTF _{дифракция} — это верхний предел производительности системы; предполагается, что эффекты оптических аберраций незначительны. Аберрации увеличивают размер пятна и, таким образом, ухудшают MTF. Дифракционная MTF основана на общей ограничивающей апертуре системы (диафрагме). Эффекты дифракции рассчитываются только один раз для каждой системы и не накапливаются мультипликативно для каждого элемента.

Расчет дифракционного MTF

Дифракционный OTF может быть рассчитан как нормализованная автокорреляция выходного зрачка системы.Мы покажем, что это согласуется с определением формул. (1.6), (1.7) и (1.10), которые утверждают, что OTF является преобразованием Фурье импульсной характеристики. Для рассматриваемых нами некогерентных систем импульсная характеристика h ( x, y ) представляет собой квадрат двумерного преобразования Фурье дифрагирующей апертуры p ( x, y ). Квадрат величины дифрагированной амплитуды электрического поля E в В / см дает профиль энергетической освещенности импульсной характеристики в Вт / см. ² :

Из уравнения.(1.23), мы должны реализовать замену переменных ξ = x / λ f и η = y / λ f , чтобы выразить импульсную характеристику (которая является преобразованием Фурье функции зрачка) в терминах пространственного положения плоскости изображения. Затем мы вычисляем дифракционную OTF обычным способом, как преобразование Фурье импульсной характеристики h ( x , y ):

Из-за операции возведения в квадрат абсолютного значения две операции преобразования уравнения(1.24) точно не отменяют друг друга — дифракционная OTF — это двумерная автокорреляция дифрагирующей апертуры p ( x, y ). Таким образом, дифракционная MTF представляет собой величину (сложной) дифракционной OTF. В качестве примера этого расчета мы возьмем простой случай квадратной апертуры, показанный на рис. 1.24:

Автокорреляция квадрата представляет собой функцию в форме треугольника,

с частотой среза, определенной как

Рисунок 1.24 Термины для расчета MTF квадратной апертуры.

Для случая круглой апертуры диаметром D система имеет ту же частоту отсечки, ξ _{отсечка} = 1 / (l F / #), но MTF имеет другую функциональную форму:

для ξ <ξ _{отсечки} и

для ξ> ξ _{отсечки} . Эти кривые MTF, ограниченные дифракцией, показаны на рис. 1.25. MTF с ограничением дифракции — это простой для расчета верхний предел производительности; нам нужны только λ и F / # для его вычисления.Оптическая система не может работать лучше, чем ее MTF с дифракционным ограничением — любые аберрации приведут к снижению кривой MTF. Полезно сравнить характеристики производительности данной системы с кривой MTF с дифракционным ограничением, чтобы определить выполнимость предложенных спецификаций, решить, какой запас остается для производственных допусков, или посмотреть, какие характеристики возможны в контексте заданного выбора λ и F / #.

Рисунок 1.25 Универсальные кривые для дифракционно-ограниченных MTF, для некогерентных систем с круглой или прямоугольной апертурой.

В качестве примера расчетов рассмотрим систему с квадратной апертурой на рис. 1.26 (а) с объектом на конечном расстоянии. Используя пространство объекта или пространство изображения F / #, в зависимости от ситуации, мы можем вычислить ξ _{отсечки} либо в плоскости объекта, либо в плоскости изображения:

или

Потому что p < q , изображение увеличивается по отношению к объекту; следовательно, данная особенность объекта появляется на более низкой пространственной частоте изображения, поэтому две частоты в уравнениях.(1.30) и (1.31) представляют собой одну и ту же особенность. Фильтрация, вызванная дифракцией от конечной апертуры, одинакова, независимо от того, рассматривается ли она в пространстве объекта или пространстве изображения. Имея в руках частоту среза, мы можем ответить на такие вопросы, как для какой пространственной частоты изображения MTF составляет 30%? Мы используем формулу. (1.26), чтобы найти, что 30% MTF соответствует 70% частоты отсечки плоскости изображения, или 223 циклов / мм. Этот расчет предназначен для характеристик с ограничением дифракции. Аберрации сузят полосу пропускания системы, так что частота, на которой MTF составляет 30%, будет ниже 223 циклов / мм.

Рисунок 1.26 (a) Пример ФПМ с конечным сопряжением с прямоугольной апертурой и (b) Пример ФПМ с бесконечным сопряжением с прямоугольной апертурой.

В следующем примере показан расчет для состояния объекта на бесконечности с MTF, полученным в пространстве объектов, а также в пространстве изображений. Мы получаем частоту отсечки в плоскости изображения, используя уравнение. (1.27):

Как и на рис. 1.26 (a), данная характеристика на рис. 1.26 (b) подвергается одинаковой степени фильтрации, независимо от того, выражена ли она в плоскости изображения или в пространстве объекта.В пространстве объектов мы находим частота отсечки

. Давайте проверим, что эта угловая пространственная частота соответствует той же характеристике, что и в уравнении. (1.32). Ссылаясь на рис. 1.27, мы используем соотношение между углом объект-пространство θ и расстоянием до плоскости изображения X ,

Инвертируя уравнение. (1.34) для получения угловой пространственной частоты 1 / θ:

Учитывая, что θ выражается в радианах, если X и f имеют одинаковые единицы, мы можем проверить соответствие между частотами в уравнениях.(1.32) и (1.33):

Рис. 1.27 Зависимость между углом объект-пространство и расстоянием до плоскости изображения (адаптировано из ссылки 1).

Также интересно убедиться, что дифракционные кривые MTF на рис. 1.25 согласуются с результатами простой формулы для размера пятна дифракции в 84% окруженной мощности, равной 2,4 λ ( F / #). На рис. 1.28 мы создаем одномерную пространственную частоту со смежными линиями и пробелами. Мы аппроксимируем дифракционное пятно так, чтобы 84% его потока находилось внутри круга диаметром 2.44 λ ( F / #) и 16% в круге вдвое большего диаметра.

Основная пространственная частота вышеприведенного шаблона равна

, а глубина модуляции на этой частоте составляет

, что близко соответствует рисунку 1.25 для круглой апертуры с дифракционным ограничением на частоте ξ = 0,21 ξ _{отсечка} .

Ссылка

1. E. Dereniak and G. D. Boreman, Infrared Detectors and Systems , Wiley, New York (1996), ссылочные данные перепечатаны с разрешения John Wiley and Sons, Inc.

Калькулятор дифракционной решетки

Этот калькулятор дифракционной решетки поможет вам выяснить, что происходит, когда свет падает на конструкцию с множеством отверстий (щелей или бороздок). Луч света рассеивается в разных направлениях. Наш инструмент определяет пути света с помощью простой формулы дифракционной решетки.

Продолжайте читать, чтобы узнать, как работает дифракция, или взгляните на калькулятор закона Снеллиуса, если вас интересуют другие оптические явления.

Что такое дифракция?

Дифракция — это волновое явление, возникающее при попадании луча света в препятствие или щель. После того, как свет прошел через отверстие, он меняет свое направление, что обычно приводит к распространению волны.

Что такое дифракционная решетка?

Дифракционная решетка возникает, когда свет падает на препятствие с равномерно распределенными отверстиями. Затем лучи дифрагируют — каждый из них идет немного в другом направлении.

Эффекты дифракции видны только в том случае, если расстояние между отверстиями больше, чем длина волны падающего луча.

Уравнение дифракционной решетки

Если падающий световой луч перпендикулярен решетке, вы можете использовать следующее уравнение дифракционной решетки, чтобы найти направления, в которых дифрагируют лучи:

a * λ = d * sin (Θₐ)

где:

• λ — длина волны падающего луча,
• d — шаг решетки,
• Θₐ — угол между начальным и дифрагированным направлением света для луча a и
• a — целое число — порядок дифрагированного изображения.а = 1, 2, 3 …

Если падающий луч встречается с отверстиями под углом Θₒ , вам также необходимо включить его в свои расчеты:

a * λ = d * [sin (Θₒ) + sin (Θₐ)]

Например, для луча, падающего под углом 30 ° (sin 30 ° = 0,5), уравнения для первых трех дифрагированных изображений будут иметь следующий вид:

λ = d * [0,5 + sin (Θ₁)]

2λ = d * [0,5 + sin (Θ₂)]

3λ = d * [0.5 + грех (Θ₃)]

Вы можете рассчитать направление вручную или воспользуйтесь калькулятором дифракционной решетки, чтобы сделать это за вас!

Дифракция на одной щели

Дифракция на одной щели

Дифракция на одной щели

Когда мы проанализировали двухщелевой эксперимент и дифракционную решетку, мы предположили, что отдельные щели были настолько узкими, что действовали как точечные источники волн. Это точное приближение, если щели узкие по сравнению с длиной волны.Но в в случае более широких щелей даже одна щель вызывает дифракционную картину, потому что каждая точка в щели служит источником волны. Разные части щели имеют разные расстояния до заданной точки на экране, что вызывает интерференционные эффекты.

Рассмотрим щель шириной и , как показано. Рассмотрим две точки излучения, 1 и 2, одну из верхней половины щели и одну из нижняя половина, которые разделены промежутками и /2 . Для свет, который движется в направлении q , г. взнос из пункта 1 аннулирует взнос из точка 2 если разница D x — это полуцелое число длин волн. Следовательно, для этих углов будет минимум интенсивности (темное пятно). Дополнительные темные области можно найти, разделив щель на 4, 6, 8, … области.

Общая формула

a sin q = м л

Эта формула выглядит так же, как формула для задачи с двумя щелями, но интерпретация различается двумя способами:
(1) описывает минимум (темные пятна) а не максимумы; а также
& nbsp & nbsp (2) м = 1,2,3,4,… и -1, -2, -3, -4, … но не m = 0 .

Однощелевая дифракционная картина имеет центральный максимум, перекрывающий область между m = 1 темное пятно. Первый вторичный максимум появляется где-то между минимумом m = 1 и m = 2. (рядом, но не на полпути между ними). Вторичный максимум имеет меньшую интенсивность чем центральный максимум. Последующие максимумы еще слабее.

---

Помехи и дифракция показатель Примеры Указатель лекций

4.1.1 Скалярная теория дифракции

4.1.1 Скалярная теория дифракции
Далее: 4.1.2 Свойства фазового преобразования Up: 4.1 Принципы Фурье Предыдущий: 4.1 Принципы Фурье
Свет — это электромагнитная волна со связанными электрическими и магнитными полями. путешествовать в космосе. В однородной изотропной среде, как в свободном пространстве или линзы с постоянным показателем преломления, электрические и магнитные векторы поля образуют правую ортогональную триаду с направлением размножение.Без учета поляризации поле можно описать скалярной функцией ( x ; t ), представляющие либо электрическое или магнитное поле. Как свет, используемый в микролитографии демонстрирует сильную монохромность (см. раздел 2.3.1), время зависимость поля является гармонической и поэтому может быть явно записана как

(4,1)

Здесь, обозначает угловую частоту света, а комплексная амплитуда или вектор U ( x ) зависит от пространственные координаты x = ( x y z ) ^{T только} .Если оба количества ( x ; т ) и U ( x ) представляют оптической волны, они должны удовлетворять Уравнение Гельмгольца ^a

(4,2)

Уравнение Гельмгольца непосредственно следует из уравнений Максвелла в условиях однородной среды и при отсутствии источников. Количество k называется волновым числом или постоянной распространения среды и связана со скоростью света c , угловой частотой и длина волны вакуума по ^b

(4.3)

Посредством чего — показатель преломления среды, например, в вакууме = 1.

Комплексное нарушение U ( x ) в любой точке наблюдения x _o в пространстве можно вычислить по Гельмгольцу. уравнение (4.2) с помощью Теорема Грина. ^c Если расширяющаяся сферическая волна единичной амплитуды о точке наблюдения x ₀ выбрана функция Грина, т. Е.

(4.4)

так называемая интегральная теорема Гельмгольца и Кирхгофа является получено [11, с. 377]:

(4.5)

Это соотношение играет центральную роль при выводе скалярной теории дифракции, поскольку это позволяет поле U ( x ) на смотровой площадке x _o для выражения через « граничные значения » на любой закрытой поверхности окружающий x _o .

Интегральная теорема (4.5) могут быть легко использованы для изучения дифракционных эффектов, возникающих при плоский объект. Следовательно, поверхность интегрирования сегментирован на три непересекающиеся части, т. е. знак равно Граница выбирается в месте расположения объекта на экране самолет, непрозрачная часть экрана, и — полусфера, содержащая точку наблюдения x _o . Дается графическая иллюстрация этого конкретного выбора. на рисунке 4.1. Решение дифракционной задачи. находится путем задания граничных условий Кирхгофа на а также , и условия излучения Зоммерфельда на :

Посредством чего U _s ( x ) — полевой инцидент на экран.Граничные условия Кирхгофа представляют собой идеализацию к реальному распределению поля на экране, предполагая, что поле и его производная через точно так же, как и без экрана. В геометрической тени поперек поле просто обнуляется. Хотя эти предположения разумны, они сразу же не срабатывают. соседство обода проема. Таким образом, диапазон достоверности связано с длиной волны и геометрический размер w открытие (ср.Рисунок 4.1). Радиационное условие Зоммерфельда на удовлетворено, если нарушение U ( x ) исчезает по крайней мере так же быстро как сферическая волна. Поскольку освещающий свет U _с ( x ) неизменно состоит из линейная комбинация сферических волн, это требование всегда выполняется.

Подставляя граничные условия (4.6) в интегральная теорема (4.5) показывает, что только освещающий свет U _s ( x ) поперек проема способствует интеграл, т.е.,

(4,6)

Далее предполагаем, что проем освещается одним расширяющимся сферическая волна, исходящая от точечного источника, расположенного в x _с , на расстоянии r _s от экрана (см. рисунок 4.1),

(4,7)

Следовательно, и функция Грина в (4.4), и инцидент возмущения в (4.8) имеют форму сферических волн. Дальнейшее упрощение: получается, если учесть, что расстояния от экрана до объекта наблюдения точка и расположение точечного источника, r _o и r _s , соответственно, являются многие длины оптических волн.Поэтому следующие приближения справедливы для r _o , r _s : ^d

(4.8)

Подстановка этих приближений в (4.7) дает вместе с (4.4) и (4.8) формула дифракции Френеля-Кирхгофа

(4,9)

Термин в квадратных скобках называется углом наклона , коэффициент наклона и был впервые введен Френелем на основе эвристических аргументов, когда он объединил Гюйгенса конструкция конверта с принципом интерференции Юнга.Математический Описанное выше образование звука было позже развито Кирхгофом. Интересное свойство дифракционной формулы (4.10) его симметрия относительно источника и точка наблюдения, результат, который иногда называют Теорема взаимности Гельмгольца .

Для наших целей перепишем (4.10), введя общая линейная зависимость между возбуждающим полем U _s ( x , y ) на экране и в результате дифракционная картина U ( x _o , y _o ) ^e

(4.10)

Обратите внимание, что нас всегда интересуют значения полей, лежащие в определенных плоскости, параллельные экрану. Следовательно, только зависимость от боковая координата x и y записывается явно, тогда как вертикальная позиция указывается нижними индексами. Ядро интеграции h ( x , y ; x _o , y _o ) интеграла суперпозиции в (4.11) определяется выражением (ср. (4.8) и (4.10))

(4.11)

В зависимости от расстояния z _o между точкой наблюдения x _o и экран, ядро h ( x _o , y _o ; x , y ) можно упростить. Знаменатель r _o приблизительно равен z _o при условии, что z _o намного больше, чем боковая протяженность w объекта.По той же причине и если предположить, что источник, а также точки наблюдения расположены вблизи оптической оси, коэффициент наклона приблизительно дается потому что (см. Приложение A). Как показано на рисунке 4.1. угол лежит между линией от источника до точки наблюдения и нормальный вектор № . Приближение экспоненциального множителя более сложное, так как r _o умножается на очень большое волновое число k ₀ . Следовательно, используется усечение разложений в ряд Тейлора:

• Приближения Френеля получаются усечением Тейлора серия после первого срока, т.е.,

  (4,12)

  Полученное интегральное соотношение (4.11) включает френелевский интегралы. ^f Из-за квадратная зависимость от переменных интегрирования ( x , y ), аналитического решения не существует. Табличные значения можно найти в например, [115, гл. 7]. Приближение (4.14) справедливо для (2 z _o ) ³ k ₀ [( x — x _o ) ² + ( y — y _o ) ² ] ² _max или просто z _o w .
• Аппроксимации Фраунгофера дополнительно пренебрегают квадратом зависимость от переменных интегрирования ( x , y ), в результате

  (4.13)

  Интегральному соотношению (4.11) теперь соответствует Преобразование Фурье, т.е. зависимость от переменных интегрирования является линейным. Эффективные численные методы как БПФ, можно использовать для оценки. Диапазон действия уравнения (4.15) дается выражением 2 z _o k ( x ² + y ² ) _max или z w ² /.

---

Сноски

… ^и

Символ обозначает Оператор Лапласа, т. Е. знак равно + +.

… по ^b

Величина c ₀ — это вакуум скорость света и имеет значение с ₀ 2.998 10 ⁸ м / с.

… теорема. ^с

Теорема Грина утверждает, что если комплекснозначная функция U ( x ) является непрерывным и имеет непрерывное однозначное первое и вторые частные производные внутри объема окруженный закрытая поверхность , имеет место соотношение: при этом так называемая функция Грина G ( x ) — любая другая функция с теми же требованиями непрерывности, что и U ( x ) и = n ^. град означает частную производную в направление внутрь нормали n в каждой точке на .

…: ^г

Для r и таким образом 1/ r k ₀ получаем e ^{jk ₀ r} / r = cos ( n, x ) jk ₀ — 1/ r e ^{jk ₀ r} / r jk ₀ cos ( n, x ) e ^{jk ₀ r} / r .

…) ^e

Все интеграции и суммы идти от — к если не указано иное.

… интегралы. ^f

Интегралы типа C ( w ) = cos (/ 2) d а также S ( w ) = sin (/ 2) d называются интегралами Френеля [115, гл. 7].

---

Далее: 4.1.2 Свойства фазового преобразования Up: 4.1 Принципы Фурье Пред .: 4.1 Принципы Фурье

Генрих Кирхауэр, Институт микроэлектроники, ТУ Вена
1998-04-17

vik dhillon: phy217 — приборы — спектрографы

---

Астрономический спектрограф расщепляет, или рассеивает , свет от источника на составляющие его длины волн. Некоторые средства поэтому требуется рассеивание света. Эта функция раньше была выполнен с помощью призмы, которая использует тот факт, что свет разного длины волн преломлены на разную величину, с синим свет преломляется больше, чем красный свет, как показано на рисунке 86.Призменные спектрографы только в наши дни редко встречается в астрономических спектрографах. Есть ряд причин для этого, в том числе: дисперсия нелинейная, при этом свет в синей части спектра рассеивается более чем красный, затрудняющий анализ; дисперсия не очень высокий, и единственный способ значительно увеличить его — использовать две или более призмы в тандеме, который начинает становиться неэффективным из-за к потере света на каждой поверхности воздушного стекла и поглощению внутри само стекло.

рисунок 86:

Фотограф показывает, как белый свет, попадающий в призму слева, рассеивается в спектр при выходе справа. Обратите внимание, как синий свет преломляется наибольший угол, а также самый разгон.

Практически универсальный выбор диспергирующего элемента в современных Астрономический спектрограф — это дифракционная решетка .А дифракционная решетка состоит из большого количества мелких, равноудаленных, параллельные линии нанесены на прозрачную стеклянную пластину, чтобы свет мог проходить между строками, но не через них. Собственно говоря, это будет решетка передачи ; отражение решетка будет иметь линии, нанесенные на отражающую стеклянную пластину так что отражается только свет, падающий между линиями. Пример каждый показан на рисунке 87. Решетки с доступно до 2400 линий на мм, производится либо с ромбиком инструментальное или фотолитографическое (голографическое) травление.

рисунок 87:

Слева: фотография пропускающей решетки для рынка любительской астрономии с 100 канавок на мм. В центре: фотография отражательной решетки, установленной в профессиональном спектрографе. Справа: а микроскопический вид штрихов в типичной дифракционной решетке.

Свет, падающий на решетку, будет преломляться на линиях, создание серии вторичных вейвлетов, исходящих из промежутков между линиями, как показано на левой панели рисунка 88.По мере появления каждого дифрагированного волнового фронта из зазора он усиливает волновые фронты из каждого другого зазора, т.е. есть конструктивная интерференция , но только при определенных углы. Например, на левой панели рисунка 88 монохроматический волновой фронт возникающий в точке P усиливает волновой фронт, излучаемый Q за один цикл. ранее, что усиливает волновой фронт, излучаемый R на один цикл ранее и т. д. Эффект состоит в том, чтобы сформировать новый волновой фронт PYZ, который перемещается в определенном направлении и вносит вклад в дифрагированное луч.Аналогичную диаграмму можно было бы нарисовать для дифрагированного второго порядка. пучка, но в этом случае волна, возникающая в точке P, усиливает волновой фронт испускается из Q двумя циклами раньше и т. д. Конечный результат показано на центральной левой панели рисунка 88, который показывает, что из дифракционной решетки возникают множественные порядки.

рисунок 88:

Схема показывающий, как параллельные монохроматические волновые фронты дифрагируют зазоры в решетке, образующие вторичные волновые фронты, которые конструктивно мешать (слева), пропускать свет только в определенных направлениях (в центре слева).Конструктивная интерференция возникает только тогда, когда путь разница между волновыми фронтами равна целому числу длины волн (в центре справа — для падающих волн перпендикулярно решетка; справа — для произвольного угла падения).

Условие конструктивной интерференции может быть получено следующим образом: осматривая правую центральную панель рисунка 88.Волновой фронт, выходящий из щели P, усиливает волновой фронт излучает n циклов раньше соседней щелью Q. Это раньше волновой фронт, следовательно, должен был пройти расстояние n длины волн от щели. Следовательно, перпендикулярное расстояние QY от щели до волнового фронта равна nλ , где λ — длина волны света. Поскольку угол дифракция пучка« равна угол между фронтом волны и плоскостью щелей, следует что sin = QY / QP, где QP — расстояние между решетками (т.е.е. межцентровое расстояние d между соседние щели). Замена d на QP и nλ на QY и перестановка дает уравнение решетки :

n λ = d sin.

При выводе приведенной выше формы уравнения решетки мы предположили, что падающий пучок перпендикулярно решетке. Если вместо этого инцидент луч делает угол относительно решетки, то правая панель рисунка 88 показывает что общая разность хода составляет x + y = nλ .Учитывая это, мы приходим к более обобщенному виду уравнение решетки:

n λ = d (sin + sin ).

Приведенное выше обсуждение рассматривало только монохроматический инцидент. волновой фронт. Если присутствует более одной длины волны, каждая длина волны будет дифрагировать под разными углами, как определено уравнение решетки. Таким образом, дифракционная решетка будет рассеивать свет. падающих на него в его составляющих длинах волн, как показано на рисунке 89.Видно, что нулевой порядок является недисперсным, что следует из уравнения решетки — когда n = 0, тогда = 0 и, следовательно, свет всех длин волн не искажается. Первые заказы (n = ± 1) попадают по обе стороны от нулевого порядка, при этом синий свет отклонился меньше всего и больше всего красный, в отличие от того, что наблюдалось с призма (рисунок 86). Это следует из уравнение решетки — для фиксированных n и d должно увеличиваться на как λ увеличивается.Вне первого порядка виден второй (n = ± 2) и третьего (n = ± 3) порядков, которые появляются последовательно шире и слабее. Как мы увидим, чем выше дисперсия, тем выше порядков используется в спектрографах высокого разрешения, в в сочетании с пламенными решетками для преодолеть потерю эффективности.

рисунок 89:

Фотография, показывающая полученную дифракционную картину от источника монохроматического света (вверху) и источника белого света (внизу) падает на дифракционную решетку.Центральная яркая линия — это нулевой порядок с порядками ± 1, ± 2 и ± 3. показаны обе стороны от этого. Более слабые линии между яркими линиями обусловлены дифракцией. узор, создаваемый конечной шириной канавок в решетке.

---

© Вик Диллон, 12 декабря 2013 г.

17.1 Общие сведения о дифракции и интерференции

Расчеты с учетом дифракции и интерференции

Тот факт, что длину волны одноцветного или монохроматического света можно вычислить по его двухщелевой дифракционной картине в экспериментах Юнга, подтверждает вывод о том, что свет обладает волновыми свойствами.Чтобы понять основу таких расчетов, рассмотрим, как две волны проходят от щелей к экрану. Каждая щель находится на разном расстоянии от заданной точки на экране. Таким образом, на каждом пути умещается разное количество длин волн. Волны исходят из щелей синфазно (от пика к пику), но в конечном итоге они будут не в фазе (от пика до впадины) на экране, если пути различаются по длине на половину длины волны, создавая деструктивные помехи. Если пути различаются на целую длину волны, то волны приходят синфазно (от пика к пику) на экран, конструктивно мешая друг другу.В более общем плане, если пути, по которым проходят две волны, отличаются на любое половинное целое число длин волн (12λ, 32λ, 52λ и т. Д.) (12λ, 32λ, 52λ и т. Д.), Возникает деструктивная интерференция. Аналогично, если пути, по которым проходят две волны, отличаются на любое целое число длин волн (λ, 2λ, 3λ и т. Д.) (Λ, 2λ, 3λ и т. Д.), Возникает конструктивная интерференция.

На рисунке 17.10 показано, как определить разницу в длине пути волн, идущих от двух щелей к общей точке на экране. Если экран находится на большом расстоянии по сравнению с расстоянием между прорезями, то угол θθ между траекторией и линией от прорезей, перпендикулярной экрану (см. Рисунок), почти одинаков для каждого пути.Это приближение и простая тригонометрия показывают, что разность длин ΔLΔL равна dsinθdsinθ, где d — расстояние между прорезями,

Чтобы получить конструктивную интерференцию для двойной щели, разница в длине пути должна быть целым числом, кратным длине волны, или

dsinθ = mλ, для m = 0,1, −1,2, −2,… (конструктивно) .dsinθ = mλ, для m = 0,1, −1,2, −2,… (конструктивно).

Аналогичным образом, чтобы получить деструктивную интерференцию для двойной щели, разница в длине пути должна быть полуцелым кратным длины волны, или

dsinθ = (m + ½) λ, для m = 0,1, −1,2, −2,… (деструктивно).dsinθ = (m + ½) λ, для m = 0,1, −1,2, −2,… (деструктивно).

Число м — это порядковый номер помехи. Например, м = 4 — интерференция четвертого порядка.

Рисунок 17.10 Пути от каждой щели до общей точки на экране отличаются на величину d sin θd sin θ, предполагая, что расстояние до экрана намного больше, чем расстояние между прорезями (не в масштабе здесь).

На рисунке 17.11 показано, как интенсивность полос конструктивной интерференции уменьшается с увеличением угла.

Рисунок 17.11 Интерференционная картина для двойной щели имеет интенсивность, которая спадает с углом. На фотографии видно несколько ярких и темных линий или полос, образованных светом, проходящим через двойную щель.

Свет, проходящий через одиночную щель, образует дифракционную картину, несколько отличную от картины, образованной двойными щелями. На рисунке 17.12 показана дифракционная картина с одной щелью. Обратите внимание, что центральный максимум больше, чем с обеих сторон, и что интенсивность быстро уменьшается с обеих сторон.

Рисунок 17.12 (a) Дифракционная картина с одной щелью. Монохроматический свет, проходящий через единственную щель, дает центральный максимум и множество меньших и более тусклых максимумов с обеих сторон. Центральный максимум в шесть раз выше, чем показано. (b) На рисунке показан яркий центральный максимум и более тусклые и более тонкие максимумы с обеих сторон. (c) Расположение минимумов показано в единицах λλ и D .

Анализ дифракции на одной щели показан на рисунке 17.13. Если предположить, что экран находится очень далеко по сравнению с размером щели, лучи, направляющиеся к общему месту назначения, почти параллельны.Это приближение позволяет выполнить серию тригонометрических операций, которые приводят к уравнениям для минимумов, созданных деструктивной интерференцией.

или

Когда лучи летят прямо, они остаются в фазе и достигается центральный максимум. Однако, когда лучи проходят под углом θθ относительно исходного направления луча, каждый луч проходит разное расстояние до экрана, и они могут приходить в фазе или противофазе. Таким образом, луч из центра проходит на расстояние λ / 2λ / 2 дальше, чем луч от верхнего края щели, они прибывают в противофазе и создают деструктивные помехи.Точно так же для каждого луча между верхом и центром щели есть луч между центром и низом щели, который проходит расстояние λ / 2λ / 2 дальше до общей точки на экране и, таким образом, деструктивно мешает. . Симметрично под прямым лучом будет еще один минимум под тем же углом.

Рисунок 17.13 Уравнения для дифракционной картины с одной щелью, где λ — длина волны света, D — ширина щели, θθ — угол между линией от щели до минимума и линией, перпендикулярной экрану, L — это расстояние от щели до экрана, y — расстояние от центра рисунка до минимума, а м — ненулевое целое число, указывающее порядок минимума.

Ниже мы суммируем уравнения, необходимые для последующих расчетов.

Скорость света в вакууме c , длина волны света λλ и его частота f связаны следующим образом.

Длина волны света в среде λnλn по сравнению с его длиной волны в вакууме λλ равна

Чтобы рассчитать положение конструктивной интерференции для двойной щели, разница в длине пути должна быть целым числом, кратным м длины волны.λλ

dsinθ = mλ, для m = 0,1, −1,2, −2,… (конструктивно), dsinθ = mλ, для m = 0,1, −1,2, −2,… (конструктивно),

где d — расстояние между прорезями, а θθ — угол между линией от прорезей до максимума и линией, перпендикулярной к преграде, в которой расположены прорези. Чтобы рассчитать положение деструктивной интерференции для двойной щели, разница в длине пути должна быть полуцелым числом, кратным длине волны:

dsinθ = (m + ½) λ, для m = 0,1, −1,2, −2,… (деструктивно).dsinθ = (m + ½) λ, для m = 0,1, −1,2, −2,… (деструктивно).

Для дифракционной картины с одной щелью ширина щели D , расстояние первого ( м = 1) минимума деструктивной интерференции y , расстояние от щели до экрана L , а длина волны λλ равна

Также для дифракции на одной щели

, где θθ — угол между линией от прорези до минимума и линией, перпендикулярной экрану, а м. — это порядок минимума.

Рабочий пример

Пересечение с двумя щелями

Предположим, вы пропускаете свет гелий-неонового лазера через две щели, разделенные расстоянием 0,0100 мм, и обнаруживаете, что третья яркая линия на экране формируется под углом 10,95º относительно падающего луча. Какая длина волны света?

СТРАТЕГИЯ

Третья яркая линия обусловлена ​​конструктивной интерференцией третьего порядка, что означает, что м = 3. Вам дано d = 0,0100 мм и θθ = 10.95º. Таким образом, длину волны можно найти с помощью уравнения dsinθ = mλdsinθ = mλ для конструктивной интерференции.

Решение

Уравнение dsinθ = mλdsinθ = mλ. Решение для длины волны λλ дает

17.2λ = dsinθm.λ = dsinθm.

Подстановка известных значений дает

17,3 λ = (0,0100 мм) (sin 10,95 °) 3 = 6,33 × 10-4 мм = 633 нм. Λ = (0,0100 мм) (sin 10,95 °) 3 = 6,33 × 10-4 мм = 633 нм.

Обсуждение

В трехзначном формате 633 нм — это длина волны света, излучаемого обычным гелий-неоновым лазером.Не случайно этот красный цвет похож на тот, который излучают неоновые огни. Однако более важным является тот факт, что для измерения длины волны можно использовать интерференционные картины. Янг сделал это для видимых длин волн. Его аналитическая техника до сих пор широко используется для измерения электромагнитных спектров. Для заданного порядка угол конструктивной интерференции увеличивается с увеличением λλ, поэтому можно получить спектры (измерения интенсивности в зависимости от длины волны).

Рабочий пример

Дифракция на одной щели

Видимый свет с длиной волны 550 нм падает на одну щель и дает второй минимум дифракции под углом 45 °.0 ° относительно направления падения света. Какая ширина щели?

СТРАТЕГИЯ

Исходя из данной информации и предполагая, что экран находится далеко от щели, вы можете использовать уравнение Dsinθ = mλDsinθ = mλ, чтобы найти D .

Решение

Приведены величины λλ = 550 нм, м, = 2 и θ2θ2 = 45,0 °. Решение уравнения Dsinθ = mλDsinθ = mλ для D и замена известных значений дает

17,4D = mλsinθ = 2 (550 нм) sin45.0 ° = 1,56 × 10−6 м. D = mλsinθ = 2 (550 нм) sin45,0 ° = 1,56 × 10−6 м.

Обсуждение

Вы видите, что щель узкая (она всего в несколько раз больше длины волны света). Это согласуется с тем фактом, что свет должен взаимодействовать с объектом, сравнимым по размеру с его длиной волны, чтобы проявлять значительные волновые эффекты, такие как эта дифракционная картина с одной щелью.

No related posts.