и упрощенно:

или в виде полиномиальных членов в скобках:

или те же биты в десятичном формате, что и:

градусов полинома — это степень старшего ненулевого коэффициент.В приведенном выше примере показан многочлен «степени 5»; обратите внимание, что полином 5-й степени занимает 6 бит.

Унифицированный многочлен определяется как имеющий 1 как коэффициент наивысшего порядка, как в этом примере.

3. Полиномами можно манипулировать, используя обычные арифметические правила, в частности, степени полинома складываются при умножении, как и ожидалось.

Пример 1: произведение (110011) x (10) = (1100110) можно записать как:

4.Полиномы всегда используют сложение по модулю 2, как описано выше.

Пример 2: Произведение (11) x (11) может быть вычислено как:

              11
            х 11
            ----
              11
           + 110
            ----
             101 Примечание по модулю 2 сложение
 

Обратите внимание, что этот результат не равен «3 x 3 = 9», так как это , а не для обычной двоичной арифметики!

5.Правила для вычитания следуют из сложения (поскольку 1 + 1 = 0, тогда 0-1 = 1) и также эквивалентны операции исключающее ИЛИ, как:

       0 - 0 = 0 0 - 1 = 1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0
 

Следовательно, вычитание аналогично сложению в GF (2).

6. С учетом этих правил можно выполнить деление на , например (x ² + 1) / (x + 1) или (101) / (11):

 1 1 частное = x + 1
              ________
          1 1) 1 0 1
                1 1
               ----
                  1 1 Примечание по модулю 2 вычитания
                  1 1
                  ----
                    0 остаток = 0
 

Следовательно: x ² + 1 = (x + 1) (x + 1).

Полином (x + 1) — это коэффициент x ² + 1.

Многочлен, не имеющий множителей, кроме 1, сам называется неприводимым. полином или, что эквивалентно, простой полином , аналогично простому целому числу.

Заметим еще раз, что (101) — это , а не , целое число 5 и многочлен (101) не является простым!

Таблица полиномиальных множителей

Обзор простых чисел

простых целых чисел {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37 …} не имеют делителей, кроме 1 и самих себя.

Чтобы определить, является ли такое число, как 37, простым, нужно можно было бы протестировать со всеми возможными факторами от 2 до 36. На практике после проверки 2 необходимо испытать только нечетные потенциальные факторы. В любом случае тестирование можно остановить, когда будет получен квадратный корень из числа. Некоторые Наблюдения могут помочь при проверке вручную:

• Количество, кратное 2, проверяется путем проверки, поскольку эти целые числа четные (младший бит равен 0).
• Количество, кратное 3, проверяется путем осмотра, поскольку цифры в этих целых числах складываются, чтобы получить кратное 3.
• Количество, кратное 5, проверяется путем проверки, поскольку эти целые числа должны заканчиваться на 0 или 5.

Например, чтобы проверить, является ли число 37 простым, проверьте только {2,3,5} (путем проверки) и остановитесь после получения квадратного корня из 37.

Аналогично, чтобы проверить, является ли число 137 простым, проверьте только {2,3,5,7,9,11}. (Хотя 9 можно было пропустить после исключения 3 как множителя.)

Таким образом, необходимо проводить тестирование только с простыми числами до квадратного корня.

Следует отметить, что разложение на множители очень больших целых чисел представляет собой сложная вычислительная задача, для решения которой не существует радикальных сокращений, позволяющих упростить задачу.

• Кратные из (10) = x проверяются путем проверки, так как наименьший член полинома не равен 1.
• Кратное на (11) = x + 1 проверяется путем проверки, так как эти многочлены имеют четное количество членов.

Пример 3:

Определите, является ли многочлен P (x) неприводимым, где P (x) = x ⁶ + x ⁵ + x ² + x = (1100110)

1. При осмотре, поскольку наименьший член равен 0, тогда (10) = x является множителем.

2. Поскольку число членов четное (4), то (11) = x + 1 также является множителем.

По любому из этих тестов многочлен P (x) не является простым.В дальнейших расчетах нет необходимости.

Проверка: многочлен P (x) = (1100110) имеет множители P (x) = (10) (11) (11) (11) (11) (11)

Пример 4:

Полностью разложить на множители многочлен P (x) = x ⁵ + x ⁴ + x ³ + x ² + x + 1 = (111111).

1. При осмотре, поскольку наименьший член равен 1, то (10) = x не является множителем.

2. При осмотре, поскольку число членов четное (6), то (11) = x + 1 является множителем.

Проконсультируйтесь с испытательным отделом. Как и ожидалось, деление на (x + 1) дает нулевой остаток, и находится множитель. Этот многочлен не является простым.

      Частное 10101 = x  4  + x  2  + 1
   --------
11) 111111
     11
     -
      011
       11
       -
        011
         11
         -
         00 остаток = 0
 

Теперь необходимо проверить дополнительные множители частного q (x) = x ⁴ + x ² +1 = (10101).

1. При осмотре, поскольку наименьший член равен 1, то (10) = x не является множителем.

2. При проверке, поскольку существует нечетное (3) количество членов, то (11) = x + 1 не является множителем.

3. Наибольший член равен x ⁴ , члены до x ² должны быть проверены (соответствует квадратному корню).

Следовательно, необходимо протестировать не более следующих «нечетных» многочленов:

 а. (11): x + 1 = (выполнено осмотром)
       б.(101): x  2  + 1 = (x + 1) (x + 1).
       c. (111): х  2  + х + 1
 

И единственный оставшийся тест с x ² + x + 1 = (111):

        111 частное = x  2  + x + 1
    -------
111) 10101
      111
      ---
       100
       111
       ---
        111
        111
        ---
        000 остаток = 0
 

Деление (1011111) / (111) = (111) с остатком 0

Следовательно, многочлен P (x) = (111111) имеет множители P (x) = (11) (111) (111).

Пример 5:

Полином разложите на множители многочлен P (x) = x ⁶ + x ⁵ + 1 = (1100001).

1. При осмотре, поскольку наименьший член равен 1, то (10) = x не является множителем.

2. При проверке, поскольку существует нечетное (3) количество членов, то (11) = x + 1 не является множителем.

3. Наивысший член — x ⁶ , члены до x ³ должны быть протестированным (соответствует квадратному корню).

Необходимо протестировать не более следующих «нечетных» многочленов:

 а.(11): x + 1 = (выполнено осмотром)
       б. (101): x  2  + 1 = (x + 1) (x + 1).
       c. (111): х  2  + х + 1
       d. (1001): x  3  + 1 = (x + 1) (x  2  + x + 1)
       е. (1011): х  3  + х + 1
       f. (1101): х  3  + х  2  + 1
       грамм. (1111): x  3  + x  2  + x + 1 = (x + 1) (x  2  +1)
 

Где некоторых тестовых разделов можно было бы избежать, если пропустить очевидные факторизуемые термины, как показано выше.

        10110
    ---------
111) 1100001
      111
      ---
       0100
        111
        ---
         110
         111
         ---
          011 = остаток
 

          1110
     ---------
1011) 1100001
       1011
       ----
        1110
        1011
        ----
         101
         1011
         ----
          0011 = остаток
 

         1001
     ---------
1101) 1100001
       1101
       ----
        001001
          1101
          ----
          0100 = остаток
 

Поскольку все возможные множители P (x) были проверены с точностью до квадратного корня из P (x), то P (x) неприводимо.

Обратите внимание, что на самом деле для проверки этого многочлена шестой степени потребовалось всего три длинных деления.

Онлайн-инструмент факторинга

Таблица простых многочленов

Определение: Простой многочлен P (x) степени N является примитивным, если P (x) является множителем x ^M +1 для M = 2 ^N -1 и не меньше M .

В GF (2) выражение x ^M +1 эквивалентно x ^M -1, и это определение может быть записано в любой форме.

Пример 6:
Примитивный многочлен — Многочлен P (x) = x ³ + x + 1 = (1011) степени 3 является простым. Пусть M = 2 ³ -1 = 7. Поскольку P (x) множитель x ⁷ + 1 = (10000001), но не множитель меньшего x ^M +1, то P (x) примитивен.

Пример 7:
Простой, но не примитивный многочлен — Многочлен P (x) = x ⁴ + x ³ + x ² + x + 1 = (11111) степени 4 является простым.Пусть M = 2 ⁴ -1 = 15. Хотя P (x) является множителем x ¹⁵ + 1 = (1000000000000001), он также является множителем меньшего x ⁵ + 1 = (100001) и P (x) не является примитивным.

Таблица факторов х ^N +1

Обратите внимание на значение 11 (выделено) при выполнении деления ниже. Это значение по сути, это , сдвинутое на через P (x). Это уже было отметил, что вычитание эквивалентно XOR. Следовательно, деление сводится к сдвигу 11 по P (x) и выполнению XOR операция, если старший бит обоих значений равен 1.

 1 0 1 1 1 1 1 = x  6  + x  4  + x  3  + x  2  + x + 1
          -----------------
      1 1) 1 1 1 0 0 0 0 1
            1 1 XOR
              ---
              0 1
              1 1 нет!
              ---
              0 1 0
                1 1 XOR
              -----
                  1 0
                  1 1 XOR
                  ---
                    1 0
                    1 1 XOR
                    ---
                      1 0
                      1 1 XOR
                      ---
                        1 1
                        1 1 XOR
                        ---
                          0 остаток = 0
 

Массив полей Галуа — MATLAB gf

Приобретите свою гитару Nash GF-2 у Humbucker Music, крупнейшего дилера Nash в мире, который постоянно продает более 200 гитар Nash.

Вес: 7 фунтов. 8 унций
Серийный номер: HBM-698

Lollar использует детали, изготовленные на заказ, созданные в соответствии с их собственными характеристиками.В звукоснимателях из фольги Lollar Gold используются вставки из фольги, штампованные вручную, по одной, даже заклепки, удерживающие звукосниматель, изготавливаются по индивидуальному заказу. Как и во всех звукоснимателях Lollar, каждый аспект конструкции был тщательно изучен и протестирован на предмет правильного звучания и долговечности.

Lollar’s Gold Foil — звукосниматель с одной катушкой необычайной четкости и мощности. Ожидайте кристально чистых верхних частот с множеством явных гармонических обертонов и широким динамическим диапазоном, который может заставить типичный ламповый усилитель избавиться от грязи, сохраняя при этом все детали и трехмерность, которые вы ожидаете от Lollar.

alexxlab