{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

Squared Distance — обзор

7.2.1 Модель линейной регрессии

Основное уравнение прогнозирования выражает линейную зависимость между независимой переменной ( x , предикторная переменная) и зависимой переменной ( y , критериальная переменная или ответ человека)

(1)y=mx+b

, где м — наклон зависимости, а b — точка пересечения y . (См. Рисунок 7.11.)

Рисунок 7.11.Линейная зависимость между независимой переменной ( x ) и зависимой переменной ( y ).

Чтобы построить это уравнение, нам сначала понадобится набор из x-y точек выборки. Хотя подходят любые две переменные шкалы отношений, чаще всего x-y точек сочетают настройку независимой переменной шкалы отношений ( x ) с измеренным значением реакции человека на зависимую переменную ( y ). Поскольку мы имеем дело с людьми, изменчивость неизбежна, поэтому маловероятно, что точки выборки будут лежать на прямой.Они разбегутся. Если модель хороша, точки будут достаточно близки к прямой линии. Насколько близко — ключевой вопрос.

Поиск наиболее подходящей прямой линии включает в себя процесс, известный в статистике как линейная регрессия . Цель состоит в том, чтобы найти коэффициенты m и b в уравнении 1 для линии, которые минимизируют квадраты расстояний ( наименьших квадратов ) точек от линии. ⁷ Результатом является уравнение предсказания — уравнение, которое дает наилучшую оценку y в терминах x .Конечно, модель основана на точках выборки, используемых при построении уравнения. Если данные хорошие и модель верна, должно появиться хорошее уравнение прогноза. Существует также встроенное предположение о том, что связь является линейной, что не обязательно так. Давайте рассмотрим пример в HCI.

В рамках эксперимента по изучению ввода текста с помощью стилуса на программных клавиатурах Маккензи и Чжан (2001) также задались вопросом, можно ли предсказать скорость ввода с помощью стилуса на основе скорости пользователя при слепой печати на стандартной клавиатуре.В эксперименте приняли участие 12 человек. Участникам дали предварительный тест, чтобы измерить их скорость слепой печати. Во время эксперимента участники вводили текст с помощью стилуса и мягкой клавиатуры Qwerty, отображаемой на ЖК-планшете и дигитайзере. Предтестовая скорость слепой печати (независимая переменная) и экспериментально измеренная скорость постукивания стилусом (зависимая переменная) приведены на рис. 7.12а для каждого участника.

Рисунок 7.12. Взаимосвязь между скоростью постукивания стилусом и скоростью слепой печати: (а) Данные.(б) Диаграмма рассеяния.

Часто перед построением прогнозного уравнения задается более простой вопрос: существует ли связь между двумя переменными? Для этого примера вопрос заключается в следующем: быстро ли печатающие с быстрым касанием быстро нажимают стилусом? ⁸ Визуализация данных в виде диаграммы рассеивания помогает (см. рис. 7.12b). Да, похоже, есть связь. Например, самый медленный наборщик, P12 со скоростью 19 слов в минуту, также был довольно медленным при постукивании стилусом (13.1 сл/мин). Для 12 точек на рисунке коэффициент корреляции равен r = 0,5228. ⁹ Это скромная положительная корреляция.

Следующим шагом является построение уравнения прогнозирования — наиболее точного уравнения прямой линии, предсказывающего скорость постукивания стилусом ( y ) на основе скорости печати вслепую ( x ). Это легко сделать с помощью приложения для работы с электронными таблицами, такого как Microsoft Excel. ¹⁰ Для данных на рис. 7.12а уравнение прогноза выглядит следующим образом:

(2)y=0.1342 x+15,037

Рисунок 7.13 представляет собой улучшенную версию диаграммы на рисунке 7.12b. Помимо разброса точек, он показывает линию для уравнения прогноза вместе с уравнением и квадратом коэффициента корреляции, R ² = 0,2733. (По соглашению R ² задается в верхнем регистре, r в нижнем регистре.) R ² интерпретируется как величина вариации данных, которая объясняется моделью. Обычно выражается в процентах.Таким образом, модель в уравнении 2 объясняет около 27 процентов вариаций данных на рис. 7.12а. Это не очень много, так что в данном случае модель в лучшем случае является скромным предсказателем скорости нажатия стилуса по скорости слепой печати. ¹¹

Рисунок 7.13. Диаграмма рассеяния на рис. 7.12b украшена линией линейной регрессии, уравнением прогнозирования, квадратом коэффициента корреляции ( R ² ) и пунктирными линиями, показывающими 95% доверительный интервал.

Одним из преимуществ прогностической модели является возможность прогнозировать результат на основе значения предиктора, который фактически никогда не посещался.Обратите внимание на рис. 7.12а, что ни у одного из участников скорость слепой печати не превышала 60 слов в минуту. Тем не менее, мы можем предположить, что пользователь со скоростью слепого набора 60 слов в минуту будет иметь скорость постукивания стилусом: на рис. 7.12а этот прогноз явно связан с некоторой неопределенностью. Стандартная ошибка оценки ( SE ) является полезной статистикой для измерения этой неопределенности. SE устанавливает доверительные интервалы вокруг прогноза.Для данных на рисунке 7.12a SE = 3,39 сл/мин. ¹² Значения в пределах -1,96 SE и +1,96 SE прогноза находятся в пределах 95% доверительного интервала. Таким образом, для разработанной здесь модели с вероятностью 95 % пользователь, чья скорость слепого набора составляет 60 слов в минуту, будет иметь скорость постукивания стилусом от 23,1 – (1,96 × 3,39) = 16,4 слов/мин до 23,1 + (1,96 × 3,39) = 29,7 слов в минуту. Пунктирные линии, показывающие окно достоверности 95%, включены в рисунок 7.13.

Обычно сообщают о моделях линейной регрессии, дающих уравнение и R ² .Доверительные интервалы и SE обычно не приводятся, хотя есть и исключения (Chung and Hossain, 2008; Johnsen, Raij, Stevens, Lind, and Lok, 2007; MacKenzie and Buxton, 1994). Иногда стандартная ошибка указывается отдельно для коэффициентов наклона и пересечения в модели линейной регрессии (Accot and Zhai, 2001; Cao et al., 2008; Pastel, 2006). Давайте перейдем к популярной модели прогнозирования в HCI, закону Фиттса.

Евклидово расстояние в квадрате — обзор

Далее нас интересует матрица расстояний для всех пар Δ формы m×n с использованием квадрата евклидова расстояния в качестве меры сходства:

(6. 4)Δij=dist(Xtest(i),Xtrain(j))=∑k=0d−1(Xtest(i)[k]−Xtrain(j)[k])2,

, где i∈{0, …,m−1} и j∈{0,…,n−1}. Мы видим, что временная сложность алгоритма O(m⋅d⋅n) почти на три порядка выше, чем его сложность памяти, равная O(m⋅n), поскольку количество пикселей на изображение d=784 достаточно велико. Следовательно, мы ожидаем, что эта программа будет масштабироваться значительно лучше, чем рассмотренные ранее примеры сложения векторов и матричного умножения векторов. Более того, если мы перепишем уравнение(6.4) путем разложения его в терминах биномиальной теоремы ]⋅Xtrain(j)[k])+∑k=0d−1(Xtrain(j)[k])2.

Мы наблюдаем разложение на два члена самодействия (первый и последний), которые зависят только либо от индекса i , либо j , и третий член смешения (средний), зависящий как от i , так и от j , которые на самом деле плотное матричное умножение матриц. Следовательно, обсуждаемые методы распараллеливания могут также применяться к другим постепенно накапливаемым мерам подобия, таким как коэффициент корреляции Пирсона двух z-нормализованных (исчезающее среднее значение и единичная дисперсия) случайных величин x(i) и y(j)

( 6. 6)ρ(x(i),y(j))=∑k=0d−1x(i)[k]⋅y(j)[k](средний член),

кросс-энтропия и дивергенция Кульбака – Лейблера векторов вероятностей p(i) и q(j)

(6.7)H(p(i),q(j))=−∑k=0d−1p(i)[k]⋅log⁡(q(j )[k]),KLD(p(i)||q(j))=∑k=0d−1p(i)[k]⋅log⁡(p(i)[k]/q(j)[k ]),

и расстояние Хэмминга между парами строк s(i) и t(j) фиксированной длины d

(6.8)Ham(s(i),t(j))=∑k=0d −1{0if s(i)[k]==t(j)[k]1else.

Общим для всех вышеупомянутых парных показателей является то, что они могут быть вычислены независимо для фиксированной комбинации индексов (i,j).Более того, их окончательное значение вычисляется как сумма индивидуальных вкладов для каждого значения k . В результате у нас есть в основном два варианта распараллеливания: либо мы распараллеливаем набор независимых индексов (i,j), либо выполняем параллельную редукцию суммы по внутреннему индексу k . Эффективность распараллеливания зависит от размерности матриц данных m,n,d. Далее мы будем называть распараллеливание внешних циклов «крупнозернистым» распараллеливанием, а внутренних — «мелкозернистым». ”

Формула Евклидова расстояния – вывод, примеры

Прежде чем приступить к изучению формулы евклидова расстояния, давайте посмотрим, что такое евклидово расстояние. В координатной геометрии евклидово расстояние – это расстояние между двумя точками. Чтобы найти две точки на плоскости, измеряется длина отрезка, соединяющего две точки. Мы выводим формулу евклидова расстояния, используя теорему Пифагора. Давайте изучим формулу евклидова расстояния вместе с несколькими решенными примерами.

Что такое формула евклидова расстояния?

Формула Евклидова расстояния, как следует из ее названия, дает расстояние между двумя точками (или) расстояние по прямой линии. Предположим, что \((x_1,y_1)\) и \((x_2,y_2)\) — две точки на двумерной плоскости. Вот формула Евклидова расстояния.

Формула Евклидова расстояния

Формула Евклидова расстояния говорит:

d = √[ (х\(_2\) – х\(_1\)) ² + (у\(_2\) – у\(_1\)) ² ]

где,

• (x\(_1\), y\(_1\)) — координаты одной точки.
• (x\(_2\), y\(_2\))  – координаты другой точки.
90 187 d – это расстояние между (x\(_1\), y\(_1\)) и (x\(_2\), y\(_2\)).

Вывод формулы евклидова расстояния

Чтобы вывести формулу евклидова расстояния, рассмотрим две точки A (x\(_1\), y\(_1\)) и B (x\(_2\), y\(_2\)) и предположим, что d — расстояние между ними. Соедините A и B отрезком линии. Чтобы вывести формулу, построим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна АВ.Для этого мы проводим горизонтальные и вертикальные линии от A и B, которые встречаются в C, как показано ниже.

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику ABC. Тогда мы получаем,

AB ²  = AC ²  + BC ²

d ² = (х\(_2\) – х\(_1\)) ² + (у\(_2\) – у\(_1\)) ²

Извлечение квадратного корня с обеих сторон,

d = √[ (х\(_2\) – х\(_1\)) ² + (у\(_2\) – у\(_1\)) ² ]

Отсюда выводится формула Евклидова расстояния.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Забронировать бесплатный пробный урок

Мы увидим больше применений формулы Евклидова расстояния в разделе ниже.

Примеры использования формулы евклидова расстояния

Пример 1:  Найдите расстояние между точками P(3, 2) и Q(4, 1).

Решение:

Дано:

 P(3, 2) = \((x_1,y_1)\)

Q(4, 1) = \((x_2,y_2)\)

Используя формулу Евклидова расстояния,

d = √[(x\(_2\) – x\(_1\)) ²  + (y\(_2\) – y\(_1\)) ² ]

PQ = √[(4 – 3) ²  + (1 – 2) ² ]

PQ = √[(1) ²  + (-1) ² ]

PQ = √2 единицы.

Ответ: Евклидово расстояние между точками A(3, 2) и B(4, 1) составляет √2 единицы.

Пример 2:  Докажите, что точки A(0, 4), B(6, 2) и C(9, 1) лежат на одной прямой.

Решение:

Чтобы доказать коллинеарность данных трех точек, достаточно доказать, что сумма расстояний между двумя парами точек равна расстоянию между третьей парой. Мы найдем расстояние между каждой парой точек, используя формулу Евклидова расстояния.

AB = √[(6 – 0) ²  + (2 – 4) ² ] = √[36 + 4] = √40 = 2√10

до н.э. = √[(9 – 6) ²  + (1 – 2) ² ] = √[9 + 1] = √10 

CA = √[(0 – 9) ²  + (4 – 1) ² ] = √[81 + 9] = √90 = 3√10

Здесь мы видим, что

АВ + ВС = СА

(это потому, что 2√10 + √10 = 3√10).

Ответ: Мы доказали, что A, B и C коллинеарны.

Пример 3: Убедитесь, что точки A(√3, 1), B(0, 0) и C(2, 0) являются вершинами равностороннего треугольника.

Решение: 

Три вершины A, B и C являются вершинами равностороннего треугольника тогда и только тогда, когда AB = BC = CA.

Дано:

А(√3, 1) = \((x_1,y_1)\)

Б(0, 0) = \((х_2,у_2)\)

С(2, 0) = \((х_3,у_3)\)

Используя формулу Евклидова расстояния,

AB = √[(x\(_2\) – x\(_1\)) ²  + (y\(_2\) – y\(_1\)) ² ]

= √[(0 – √3) ²  + (0-1) ² ] 

= √(3 + 1)

= √4

= 2

BC = √[(x\(_3\) – x\(_2\)) ²  + (y\(_3\) – y\(_2\)) ² ]

= √[(2-0) ²  + (0-0) ² ]

= √(4 + 0)

= √4

= 2

CA = √[(x\(_3\) – x\(_1\)) ²  + (y\(_3\) – y\(_1\)) ² ]

= √[(2 — √3) ² + (0 – 1 ) ² ]

= √(9 + 25)

= √34

Здесь AB = BC ≠ CA.

Ответ: A, B и C НЕ являются вершинами равностороннего треугольника.

Часто задаваемые вопросы о формуле евклидова расстояния

Что такое формула евклидова расстояния?

Формула Евклидова расстояния используется для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости. Эта формула говорит, что расстояние между двумя точками (x\(_1\), y\(_1\)) и (x\(_2\), y\(_2\)) равно d = √[(x ₂  – х ₁ ) ²  + (у ₂  – у ₁ ) ² ].

Как вывести формулу евклидова расстояния?

Чтобы вывести формулу евклидова расстояния, рассмотрим две точки A(x\(_1\), y\(_1\)) и B(x\(_2\), y\(_2\)) и соединим их линией сегмент. Затем проведите горизонтальные и вертикальные линии от A и B до точки C. Тогда ABC — прямоугольный треугольник, и, следовательно, мы можем применить к нему теорему Пифагора. Тогда мы получаем

AB ²  = AC ²  + BC ²

d ² = (x\(_2\) – x\(_1\))2 + (y\(_2\) – y\(_1\)) ²

Извлечение квадратного корня с обеих сторон,

d = √[ (х\(_2\) – х\(_1\)) ² + (у\(_2\) – у\(_1\)) ² ]

Для получения подробной информации нажмите здесь.

Каковы применения формулы Евклидова расстояния?

Формула Евклидова расстояния используется для нахождения длины отрезка по двум точкам на плоскости. Нахождение расстояния помогает доказать, что заданные вершины образуют квадрат, прямоугольник и т. д. (или) доказать, что заданные вершины образуют равносторонний треугольник, прямоугольный треугольник и т. д.

В чем разница между формулой евклидова расстояния и формулой манхэттенского расстояния?

Для любых двух точек (x\(_1\), y\(_1\)) и (x\(_2\), y\(_2\)) на плоскости 

• Формула Евклидова расстояния говорит, что расстояние между указанными выше точками равно d = √[ (x\(_2\) – x\(_1\)) ² + (y\(_2\) – y\(_1 \)) ² ].
• Формула манхэттенского расстояния говорит, что расстояние между указанными выше точками равно d = |x\(_2\) — x\(_1\)| + |у\(_2\) — у\(_1\)|.

Расстояние между 2 точками

Краткое пояснение

Когда мы знаем горизонтальных и вертикальных расстояний между двумя точками, мы можем вычислить расстояние по прямой линии следующим образом:

расстояние = √ a ² + b ²  

Представьте, что вы знаете расположение двух точек (А и В), как здесь.

Какое расстояние между ними?

Мы можем провести линии вниз от A и вдоль от B, чтобы получился прямоугольный треугольник.

И с небольшой помощью Пифагора мы знаем, что:

а ² + б ² = в ²

Теперь обозначьте координаты точек A и B.

x _A означает координату x точки A
y _A означает координату y точки A

Горизонтальное расстояние a равно (x _A − x _B )

Вертикальное расстояние b равно (y _A − y _B )

Теперь мы можем найти c (расстояние между точками):

Начните с:c ² = a ² + b ²

Поместите в вычисления для a и b:c ² = (x _A − x _B ) ² + (y _A − y _B ) ^{2 2 2}

Квадратный корень из обеих сторон: c = √(x _A − x _B ) ² + (y _A − y _B ) ²

Примеры

Пример 1

Заполните значения: с = √(9 − 3) ² + (7 − 2) ²

Рассчитать: с = √6 ² + 5 ²
с = √36 + 25
с = √61
с = 7. 8102…

Пример 2

Неважно, в каком порядке расположены точки, потому что возведение в квадрат удаляет все отрицательные числа:

Заполните значения: с = √(3 − 9) ² + (2 − 7) ²

Рассчитать: c = √(−6) ² + (−5) ²
c = √36 + 25
c = √61
c = 7,8102…

Пример 3

А вот еще пример с некоторыми отрицательными координатами… все еще работает:

Заполните значения: c = √(−3 − 7) ² + (5 − (−1)) ²

Рассчитать: c = √(−10) ² + 6 ²
c = √100 + 36
c = √136
c = 11,66…

(Примечание: √136 можно упростить до 2√34, если хотите)

Попробуйте сами

Перетащите точки:

изображения / dist2pts. js

Три или более размеров

Отлично работает в 3-х (или более!) измерениях.

Возведите в квадрат разницу для каждой оси , затем суммируйте их и извлеките квадратный корень:

Расстояние = √ (x _A — x _B ) ² + (Y _A — Y _B ) ² + (Z _A — Z _B ) ²

Пример: расстояние между двумя точками (8,2,6) и (3,5,7):

= √(8−3) ² + (2−5) ² + (6−7) ²
  = √5 ² + (−3) ² + (−1) ²
  = √25 + 9 + 1
  = √35

Что примерно 5.9

Подробнее о теореме Пифагора в 3D

513, 514, 1148, 1149, 2994, 2995, 2996, 2997, 4034, 4035

Квадратное евклидово расстояние: статистический тест для оценки изменения растительного сообщества

. gov означает, что это официально.
Веб-сайты федерального правительства часто заканчиваются на .gov или .mil. Прежде чем делиться конфиденциальной информацией, убедитесь, что вы находитесь на сайте федерального правительства.

Сайт защищен.
https:// гарантирует, что вы подключаетесь к официальному веб-сайту и что любая предоставленная вами информация шифруется и передается безопасно.

Первичная(ые) станция(и):

Тихоокеанская юго-западная исследовательская станция

Источник:

Рез. Примечание PSW-RN-416. Олбани, Калифорния: Министерство сельского хозяйства США, Лесная служба, Тихоокеанская юго-западная исследовательская станция. 4 стр

Описание

Описаны концепции и процедура оценки изменения растительного сообщества с использованием функции сходства квадрата евклидова расстояния (SED). Анализы основаны на концепции, согласно которой евклидовы расстояния составляют выборку из совокупности расстояний между единицами выборки (СЕ) для определенного количества раз и СЕ.При разных временах расстояния будут внутрикластерными или межкластерными. Межкластерные расстояния представляют собой контрольную обработку. Если сообщества различаются между временами, популяция будет содержать кластеры (области высокой плотности с короткими расстояниями между СЕ), которые разделены областями низкой плотности (большие расстояния между СЕ). Средние квадраты внутри и между годами, полученные в результате анализа дисперсии для каждого вида (sp) в матрице данных, могут использоваться для вычисления средних расстояний внутри кластера и между кластерами.Многомерный ANOV A дает проверку гипотезы о том, что среднее расстояние внутри кластера равно среднему расстоянию между кластерами при общей частоте ошибок, примерно равной ex. Статистическое распределение SED представляет собой распределение линейной комбинации независимых случайных величин хи-квадрат. Знание этого распределения и использование обычных приближений делает возможной и надежной оценку приблизительных доверительных интервалов для средних межкластерных и внутрикластерных расстояний и их разности.Можно изучить доверительные интервалы и принять решение относительно любого указанного изменения в сообществе. Приводится простой пример, позволяющий изучить вычислительные методы.

Цитата

Рэтлифф, Рэймонд Д. ; Мори, Сильвия Р. 1993. Евклидово расстояние в квадрате: статистический тест для оценки изменения растительного сообщества. Рез. Примечание PSW-RN-416. Олбани, Калифорния: Министерство сельского хозяйства США, Лесная служба, Тихоокеанская юго-западная исследовательская станция.4 стр

Процитировано

Примечания к публикации

• Мы рекомендуем вам также распечатать эту страницу и приложить ее к распечатке статьи, чтобы сохранить полную информацию о цитировании.
• Эта статья была написана и подготовлена ​​государственными служащими США в официальное время и поэтому находится в открытом доступе.

https://www.fs.usda.gov/treesearch/pubs/32547

Как работает инверсная взвешенная интерполяция расстояния — ArcGIS Pro

Доступно с лицензией Geostatistical Analyst.

Интерполяция, взвешенная по обратному расстоянию (IDW), явно предполагает, что объекты, находящиеся близко друг к другу, более похожи, чем те, которые находятся дальше друг от друга. Чтобы спрогнозировать значение для любого неизмеренного местоположения, IDW использует измеренные значения, окружающие прогнозируемое местоположение.Ближайшие к прогнозируемому местоположению измеренные значения оказывают большее влияние на прогнозируемое значение, чем те, которые находятся дальше. IDW предполагает, что каждая измеренная точка имеет локальное влияние, которое уменьшается с расстоянием. Он дает больший вес точкам, ближайшим к местоположению прогноза, и веса уменьшаются в зависимости от расстояния, отсюда и название «взвешенное обратное расстояние». Веса, присвоенные точкам данных, показаны в следующем примере:

Окно Weights содержит список весов, присвоенных каждой точке данных, которая используется для создания прогнозируемого значения в месте, отмеченном перекрестием.

Узнайте больше о методах интерполяции, доступных в ArcGIS Geostatistical Analyst. . В результате с увеличением расстояния веса быстро уменьшаются. Скорость уменьшения весов зависит от значения p . Если p = 0, уменьшение с расстоянием не происходит, и поскольку все веса λ _i одинаковы, прогноз будет средним значением всех значений данных в окрестности поиска.По мере увеличения p веса удаленных точек быстро уменьшаются. Если значение p очень велико, на прогноз будут влиять только ближайшие окружающие точки.

Geostatistical Analyst использует значения степени, большие или равные 1. Когда p = 2, метод известен как взвешенная интерполяция с обратным квадратом расстояния. Значение по умолчанию — p = 2, хотя нет теоретического обоснования предпочтения этого значения по сравнению с другими, и влияние изменения p следует исследовать путем предварительного просмотра выходных данных и изучения статистики перекрестной проверки.

Окрестность поиска

Поскольку объекты, расположенные близко друг к другу, больше похожи друг на друга, чем объекты, расположенные дальше, по мере удаления местоположений измеренные значения будут мало связаны со значением прогнозируемого местоположения. Для ускорения расчетов можно исключить более удаленные точки, которые мало повлияют на прогноз. В результате общепринятой практикой является ограничение количества измеренных значений путем указания области поиска. Форма окрестности ограничивает, как далеко и где искать измеренные значения, которые будут использоваться в прогнозе.Другие параметры соседства ограничивают места, которые будут использоваться в этой фигуре. На следующем изображении пять измеренных точек (соседей) будут использоваться при прогнозировании значения для местоположения без измерения, желтая точка.

На форму окрестности влияют входные данные и поверхность, которую вы пытаетесь создать. Если в ваших данных нет направленных влияний, вы захотите рассмотреть точки одинаково во всех направлениях. Для этого вы определите область поиска как круг.Однако, если в ваших данных есть влияние направления, например преобладающий ветер, вы можете захотеть скорректировать его, изменив форму окрестности поиска на эллипс с большой осью, параллельной ветру. Поправка на это влияние направления оправдана, поскольку вы знаете, что места с наветренной стороны от прогнозируемого местоположения будут более похожими на удаленных расстояниях, чем местоположения, перпендикулярные ветру, но расположенные ближе к прогнозируемому местоположению.

После указания формы соседства вы можете ограничить, какие местоположения данных внутри формы должны использоваться.Вы можете определить максимальное и минимальное количество локаций для использования, а также разделить район на сектора. Если вы разделите окрестности на сектора, к каждому сектору будут применены максимальное и минимальное ограничения.

Точки, выделенные в окне просмотра данных, показывают местоположения и веса, которые будут использоваться для прогнозирования местоположения в центре эллипса (положение перекрестия). Окрестность поиска ограничена внутренней частью эллипса. В приведенном ниже примере двум красным точкам будет присвоен вес более 10 процентов.В восточном секторе одной точке (коричневой) будет присвоен вес от 5 до 10 процентов. Остальные точки в окрестности поиска получат меньшие веса.

Когда использовать IDW

Поверхность, рассчитанная с использованием IDW, зависит от выбора значения степени ( p ) и стратегии поиска соседства. IDW — это точный интерполятор, в котором максимальное и минимальное значения (см. диаграмму ниже) на интерполированной поверхности могут встречаться только в точках выборки.

Выходная поверхность чувствительна к кластеризации и наличию выбросов. IDW предполагает, что моделируемое явление обусловлено локальными вариациями, которые можно зафиксировать (смоделировать), определив адекватную окрестность поиска. Поскольку IDW не дает стандартных ошибок прогнозирования, обоснование использования этой модели может быть проблематичным.

Похожие темы

Отзыв по этой теме?

4 измерения расстояния для машинного обучения

Последнее обновление: 19 августа 2020 г.

Меры расстояния играют важную роль в машинном обучении.

Они обеспечивают основу для многих популярных и эффективных алгоритмов машинного обучения, таких как k-ближайших соседей для обучения с учителем и кластеризация k-средних для обучения без учителя.

В зависимости от типов данных необходимо выбирать и использовать различные меры расстояния. Таким образом, важно знать, как реализовать и рассчитать ряд различных популярных мер расстояния и интуицию для полученных результатов.

В этом руководстве вы познакомитесь с мерами расстояния в машинном обучении.

После прохождения этого урока вы будете знать:

• Роль и важность мер расстояния в алгоритмах машинного обучения.
• Как реализовать и рассчитать меры Хэмминга, Евклида и Манхэттена.
• Как реализовать и вычислить расстояние Минковского, обобщающее меры евклидова и манхэттенского расстояния.

Начните свой проект с моей новой книги «Мастерство машинного обучения с Python», включающей пошаговых руководств и файлов исходного кода Python для всех примеров.

Давайте начнем.

Измерение расстояния для машинного обучения
Фото принца Роя, некоторые права защищены.

Обзор учебника

Это руководство разделено на пять частей. они:

1. Роль мер расстояния
2. Расстояние Хэмминга
3. Евклидово расстояние
4. Расстояние до Манхэттена (такси или городской квартал)
5. Расстояние Минковского

Роль мер расстояния

Меры расстояния играют важную роль в машинном обучении.

Мера расстояния — это объективная оценка, которая суммирует относительную разницу между двумя объектами в проблемной области.

Чаще всего эти два объекта представляют собой строки данных, которые описывают предмет (например, человека, машину или дом) или событие (например, покупку, претензию или диагноз).

Возможно, наиболее вероятно, что вы столкнетесь с мерами расстояния, когда вы используете определенный алгоритм машинного обучения, который использует меры расстояния в своей основе. Наиболее известным алгоритмом этого типа является алгоритм k ближайших соседей, или сокращенно KNN.

В алгоритме KNN для новых примеров выполняется классификация или регрессионный прогноз путем вычисления расстояния между новым примером (строкой) и всеми примерами (строками) в обучающем наборе данных. Затем выбираются k примеров в наборе обучающих данных с наименьшим расстоянием, и делается прогноз путем усреднения результата (мода метки класса или среднее значение реального значения для регрессии).

KNN принадлежит к более широкой области алгоритмов, называемых обучением на основе конкретных случаев или обучением на основе примеров, большинство из которых аналогичным образом используют меры расстояния.Другим популярным алгоритмом на основе экземпляров, который использует меры расстояния, является алгоритм квантования вектора обучения или LVQ, который также можно рассматривать как тип нейронной сети.

алгоритм самоорганизующейся карты, или SOM, также использует меры расстояния и может использоваться для контролируемого или неконтролируемого обучения. Другим алгоритмом обучения без учителя, который в своей основе использует меры расстояния, является алгоритм кластеризации K-средних.

При обучении на основе экземпляров обучающие примеры сохраняются дословно, а функция расстояния используется для определения того, какой член обучающего набора находится ближе всего к неизвестному тестовому экземпляру.Как только ближайший обучающий экземпляр найден, его класс прогнозируется для тестового экземпляра.

— стр. 135, Интеллектуальный анализ данных: практические инструменты и методы машинного обучения, 4-е издание, 2016 г.

Краткий список некоторых из наиболее популярных алгоритмов машинного обучения, использующих в своей основе меры расстояния, выглядит следующим образом:

• K-Ближайшие соседи
• Обучение векторному квантованию (LVQ)
• Самоорганизующаяся карта (SOM)
• Кластеризация K-средних

Существует множество методов на основе ядра, которые также можно считать алгоритмами на основе расстояния. Возможно, наиболее широко известным методом ядра является алгоритм опорных векторов, или сокращенно SVM.

Знаете ли вы другие алгоритмы, использующие меры расстояния?
Дайте мне знать в комментариях ниже.

При вычислении расстояния между двумя примерами или строками данных возможно использование разных типов данных для разных столбцов примеров. Пример может иметь действительные значения, логические значения, категориальные значения и порядковые значения. Для каждого из них могут потребоваться разные меры расстояния, которые суммируются в одну оценку расстояния.

Числовые значения могут иметь разный масштаб. Это может сильно повлиять на вычисление меры расстояния, и часто рекомендуется нормализовать или стандартизировать числовые значения перед вычислением меры расстояния.

Числовая ошибка в задачах регрессии также может считаться расстоянием. Например, ошибка между ожидаемым значением и прогнозируемым значением — это одномерная мера расстояния, которую можно суммировать или усреднить по всем примерам в тестовом наборе, чтобы получить общее расстояние между ожидаемыми и прогнозируемыми результатами в наборе данных. Расчет ошибки, такой как среднеквадратическая ошибка или средняя абсолютная ошибка, может напоминать стандартную меру расстояния.

Как мы видим, меры расстояния играют важную роль в машинном обучении. Вот, пожалуй, четыре наиболее часто используемых показателя расстояния в машинном обучении:

• Расстояние Хэмминга
• Евклидово расстояние
• Манхэттен Расстояние
• Расстояние Минковского

Какие другие меры расстояния вы использовали или слышали?
Дайте мне знать в комментариях ниже.

Вам необходимо знать, как вычислять каждую из этих мер расстояния при реализации алгоритмов с нуля, и понимать, что вычисляется при использовании алгоритмов, использующих эти меры расстояния.

Давайте рассмотрим каждый по очереди.

Расстояние Хэмминга

Расстояние Хэмминга вычисляет расстояние между двумя двоичными векторами, также называемыми двоичными строками или битовыми строками для краткости.

Скорее всего, вы столкнетесь с битовыми строками при горячем кодировании категориальных столбцов данных.

Например, если столбец имеет категории « красный », « зеленый » и « синий », вы можете сразу закодировать каждый пример как битовую строку с одним битом для каждого столбца.

• красный = [1, 0, 0]
• зеленый = [0, 1, 0]
• синий = [0, 0, 1]

Расстояние между красным и зеленым можно рассчитать как сумму или среднее количество битовых различий между двумя битовыми строками. Это расстояние Хэмминга.

Для строк с горячим кодированием может быть более целесообразно суммировать их до суммы битовых различий между строками, которая всегда будет равна 0 или 1.

• HammingDistance = сумма от i до N abs(v1[i] – v2[i])

Для строк битов, которые могут иметь много битов 1, более распространено вычисление среднего количества битовых различий, чтобы получить оценку расстояния Хэмминга от 0 (идентичные) до 1 (все разные).

• HammingDistance = (сумма от i до N абс(v1[i] – v2[i])) / N

Мы можем продемонстрировать это на примере вычисления расстояния Хэмминга между двумя битовыми строками, приведенными ниже.

# вычисление расстояния Хэмминга между битовыми строками # рассчитать расстояние Хэмминга определение hamming_distance(a, b): возвращаемая сумма (abs (e1 — e2) для e1, e2 в zip (a, b)) / len (a) # определить данные строка1 = [0, 0, 0, 0, 0, 1] строка2 = [0, 0, 0, 0, 1, 0] # рассчитать расстояние расстояние = hamming_distance (строка1, строка2) печать(расстояние)

При выполнении примера сообщается расстояние Хэмминга между двумя битовыми строками.

Мы видим, что между строками есть две разницы, или 2 из 6 битовых позиций различаются, что в среднем (2/6) составляет около 1/3 или 0,333.

Мы также можем выполнить те же вычисления, используя функцию hamming() из SciPy. Полный пример приведен ниже.

# вычисление расстояния Хэмминга между битовыми строками импорт Хэмминга из scipy.spatial.distance # определить данные строка1 = [0, 0, 0, 0, 0, 1] строка2 = [0, 0, 0, 0, 1, 0] # рассчитать расстояние расстояние = Хэмминг (строка1, строка2) печать(расстояние)

Запустив пример, мы видим, что получили тот же результат, что подтверждает нашу ручную реализацию.

Евклидово расстояние

Евклидово расстояние вычисляет расстояние между двумя векторами с действительными значениями.

Скорее всего, вы будете использовать евклидово расстояние при вычислении расстояния между двумя строками данных, которые имеют числовые значения, такие как значения с плавающей запятой или целые числа.

Если столбцы имеют значения с разным масштабом, перед вычислением евклидова расстояния обычно нормализуют или стандартизируют числовые значения во всех столбцах. В противном случае столбцы с большими значениями будут доминировать в показателе расстояния.

Хотя есть и другие возможные варианты, большинство обучающихся на основе примеров используют евклидово расстояние.

— стр. 135, Интеллектуальный анализ данных: практические инструменты и методы машинного обучения, 4-е издание, 2016 г.

Евклидово расстояние рассчитывается как квадратный корень из суммы квадратов разностей между двумя векторами. 2

Этот расчет связан с нормой вектора L2 и эквивалентен сумме квадратов ошибок и сумме квадратов ошибок при добавлении квадратного корня.

Мы можем продемонстрировать это на примере вычисления евклидова расстояния между двумя действительными векторами, приведенными ниже.

# расчет евклидова расстояния между векторами из математического импорта sqrt # рассчитать евклидово расстояние определение евклидового_расстояния (а, б): вернуть sqrt (сумма ((e1-e2) ** 2 для e1, e2 в zip (a, b))) # определить данные ряд1 = [10, 20, 15, 10, 5] строка2 = [12, 24, 18, 8, 7] # рассчитать расстояние расстояние = евклидово_расстояние (строка1, строка2) печать(расстояние)

При выполнении примера отображается евклидово расстояние между двумя векторами.

Мы также можем выполнить те же вычисления, используя функцию euclidean() из SciPy. Полный пример приведен ниже.

# расчет евклидова расстояния между векторами из scipy.spatial.distance импорт евклидов # определить данные ряд1 = [10, 20, 15, 10, 5] строка2 = [12, 24, 18, 8, 7] # рассчитать расстояние расстояние = евклидово (строка1, строка2) печать(расстояние)

Запустив пример, мы видим, что получили тот же результат, что подтверждает нашу ручную реализацию.

Расстояние до Манхэттена (такси или расстояние до городского квартала)

Манхэттенское расстояние, также называемое расстоянием такси или расстоянием городского квартала, вычисляет расстояние между двумя векторами с действительными значениями.

Возможно, это более полезно для векторов, описывающих объекты на единой сетке, например, шахматную доску или городские кварталы. Название такси для меры относится к интуитивному пониманию того, что вычисляет мера: кратчайший путь, по которому такси может пройти между городскими кварталами (координаты в сетке).

Возможно, имеет смысл вычислять манхэттенское расстояние вместо евклидова расстояния для двух векторов в целочисленном пространстве признаков.

Манхэттенское расстояние рассчитывается как сумма абсолютных разностей между двумя векторами.

• ManhattanDistance = сумма от i до N sum |v1[i] – v2[i]|

Манхэттенское расстояние связано с нормой вектора L1 и метрикой абсолютной ошибки суммы и средней абсолютной ошибки.

Мы можем продемонстрировать это на примере вычисления манхэттенского расстояния между двумя целочисленными векторами, приведенными ниже.

# расчет манхэттенского расстояния между векторами из математического импорта sqrt # рассчитать манхэттенское расстояние определение manhattan_distance(a, b): возвращаемая сумма (abs (e1-e2) для e1, e2 в zip (a, b)) # определить данные ряд1 = [10, 20, 15, 10, 5] строка2 = [12, 24, 18, 8, 7] # рассчитать расстояние расстояние = расстояние_манхэттена (строка1, строка2) печать(расстояние)

При выполнении примера отображается манхэттенское расстояние между двумя векторами.

Мы также можем выполнить те же вычисления, используя функцию cityblock() из SciPy. Полный пример приведен ниже.

# расчет манхэттенского расстояния между векторами из scipy.spatial.distance импортировать городской квартал # определить данные ряд1 = [10, 20, 15, 10, 5] строка2 = [12, 24, 18, 8, 7] # рассчитать расстояние расстояние = городской квартал (строка1, строка2) печать(расстояние)

Запустив пример, мы видим, что получили тот же результат, что подтверждает нашу ручную реализацию.

Расстояние Минковского

Расстояние Минковского вычисляет расстояние между двумя векторами с действительными значениями. (1 шт.)

Где « p » — параметр заказа.

Если для p установлено значение 1, вычисление будет таким же, как и для манхэттенского расстояния. Когда p установлено равным 2, оно совпадает с евклидовым расстоянием.

• p=1 : Манхэттенское расстояние.
• p=2 : Евклидово расстояние.

Промежуточные значения обеспечивают контролируемый баланс между двумя показателями.

Обычно расстояние Минковского используется при реализации алгоритма машинного обучения, который использует меры расстояния, поскольку он дает контроль над типом меры расстояния, используемой для действительных векторов, с помощью гиперпараметра « p », который можно настроить.

Мы можем продемонстрировать это вычисление на примере вычисления расстояния Минковского между двумя действительными векторами, перечисленными ниже.

# расчет расстояния Минковского между векторами из математического импорта sqrt # рассчитать расстояние Минковского def minkowski_distance(a, b, p): возвращаемая сумма (abs (e1-e2) ** p для e1, e2 в zip (a, b)) ** (1/p) # определить данные ряд1 = [10, 20, 15, 10, 5] строка2 = [12, 24, 18, 8, 7] # рассчитать расстояние (p=1) расстояние = minkowski_distance (строка1, строка2, 1) печать (расстояние) # рассчитать расстояние (p=2) расстояние = minkowski_distance (строка1, строка2, 2) печать(расстояние)

При выполнении примера сначала вычисляется и печатается расстояние Минковского с p , установленным на 1, чтобы получить манхэттенское расстояние, затем с p , установленным на 2, чтобы получить евклидово расстояние, соответствующее значениям, рассчитанным на тех же данных из предыдущих разделов. .

Мы также можем выполнить те же вычисления, используя функцию minkowski_distance() из SciPy. Полный пример приведен ниже.

# расчет расстояния Минковского между векторами из scipy.spatial импортировать minkowski_distance # определить данные ряд1 = [10, 20, 15, 10, 5] строка2 = [12, 24, 18, 8, 7] # рассчитать расстояние (p=1) расстояние = minkowski_distance (строка1, строка2, 1) печать (расстояние) # рассчитать расстояние (p=2) расстояние = minkowski_distance (строка1, строка2, 2) печать(расстояние)

Запустив пример, мы видим, что получаем те же результаты, что подтверждает нашу ручную реализацию.

Дополнительное чтение

В этом разделе содержится больше ресурсов по теме, если вы хотите углубиться.

Книги

API

Артикул

Резюме

В этом руководстве вы узнали о мерах расстояния в машинном обучении.

В частности, вы узнали:

• Роль и важность мер расстояния в алгоритмах машинного обучения.
• Как реализовать и рассчитать меры Хэмминга, Евклида и Манхэттена.
• Как реализовать и вычислить расстояние Минковского, обобщающее меры евклидова и манхэттенского расстояния.

Есть вопросы?
Задавайте свои вопросы в комментариях ниже, и я постараюсь ответить.

Откройте для себя быстрое машинное обучение в Python!

Разработка собственных моделей за считанные минуты

… всего несколькими строками кода scikit-learn

Узнайте, как в моей новой электронной книге:
Мастерство машинного обучения с помощью Python

Охватывает учебные пособия для самостоятельного изучения и комплексные проекты , такие как:
Загрузка данных , визуализация , моделирование , настройка и многое другое.

alexxlab