Матрица 1 2: Размер матрицы. Что это такое?

Содержание

Матрица камеры

Матрица камеры (светочувствительный сенсор) является основным элементом камеры видеонаблюдения. Представлена в виде интегральной схемы из фотодиодов. Основная задача матрицы — преобразование в аналоговый электрический сигнал или в поток цифровых данных проецированного на нее оптического изображения. По большей степени, качество итогового изображения напрямую зависит от матрицы видеокамеры. Объясняется это тем, что такая немаловажная часть камеры видеонаблюдения как процессор отвечает только за оцифровку полученного изображения. Если же изначально на процессор поступило плохое изображение от матрицы, то процессор будет оцифровывать видео изначально плохого качества. Зачастую производители выпускают одинаковые по характеристикам камеры , но с разными типами матриц. По итогу Вы получите абсолютно два разных по качеству изображения. Цена на такие камеры может разниться до 35%.
Итак, какую же матрицу выбрать ?  

Типы матриц камер: CCD матрицы и CMOS матрицы камер

Различают два типа матриц, применяемых в камерах видеонаблюдения:
  • CCD матрица (ПЗС — прибор с зарядовой связью) 
  • CMOS (КМОП — комплементарная структура металл-оксид-полупроводник) 
Изначально считалось, что CCD матрицы превосходят по всем параметрам CMOS матрицы. И всегда производят классификацию по двум вышеуказанным типам. В действительности же развитие технологий CMOS матриц шагнуло далеко вперед и на сегодняшний день они мало чем отличаются от CCD матриц. И как итог развития —  на сегодняшний день практически во всех камерах видеонаблюдения применяются CMOS матрицы с высоким разрешением. Данные два типа матриц различаются как по устройству, так и по принципу действия.

Сравнение матриц CCD и CMOS формата
Несмотря на все плюсы CCD матриц на сегодняшний день они практически не применяются в камерах видеонаблюдения. Основными критериями ухода с рынка стали высокая цена производства и медленный принцип действия CCD матриц. С нарастающими требованиями к системам видеонаблюдения по скорости обработки информации принцип последовательного считывания заряда по ячейкам стал неактуален для рынка камер видеонаблюдения. А высокая конкурентная среда на рынке заставила многих производителей пересмотреть экономическую составляющую производства и это стало ключевым фактором исключения CCD матриц с рынка камер видеонаблюдения. 



Обзор матриц камер: производители матриц 

  • ON Semiconductor Corporation
  • Omnivision Technologies Inc.
  • Samsung Electronics
  • Sony Corporation
  • Silicon Optronics (SOI)
Компания Silicon Optronics является компанией второго эшелона. Мировые бренды камер видеонаблюдения используют при производстве матрицы компаний первого эшелона либо собственного производства.  

Размер матрицы
Размер матрицы — условное соотношение длины матрицы к одному Видикону.
Размер матрицы измеряется в дюймах и указывается в соотношении дроби 1/2″, 1/2,8″, 1/3″, 1/4″, 1/6″  и т.д. Но в качестве дюйма выступает именно Видикон или так называемый «Видиконовый дюйм».
Видикон (Видиконовый дюйм) — условный дюйм при диагонали 16мм.
Таким образом если производитель пишет, что размер матрицы 1/2″, то подразумевается, что ее диагональ равна 8мм.
Соответствие дюймов и фактических размеров матрицы можно взять из таблицы:

Формат   1”  ½” 1/3”  ¼”
Высота, мм 9,6 4,8 3,6 2,4
Ширина, мм 12,8 6,4 4,8 3,2


При одинаковом количестве пикселей у большей матрицы больше каждый отдельно взятый пиксель, а значит в общем матрица получает больше света. Также пиксели расположены дальше друг от друга и как следствие создается меньшее влияние взаимных помех и ниже уровень паразитных шумов.

Разрешение матрицы видеокамеры и светочувствительность матрицы камер
Итоговое изображение, полученное в результате преобразования цифрового потока напрямую зависит от матрицы. Поэтому не стоит пренебрегать этим параметром при выборе. Принято считать, что чем больше размер матрицы, тем лучше: тем больше света получает и как следствие меньше шумов, четче картинка и больше угол обзора. Однако правильнее считать за основу не размер матрицы, а размер одной ячейки — пикселя. Поэтому правильнее считать размер матрицы в сочетании с количеством пикселей. 

При прочих равных — камера с одинаковым размером матрицы, но с разным количеством пикселей будет иметь кардинально разные изображения. Существует зависимость — чем больше пикселей при одинаковом размере матрицы, тем меньше света они получают, а значит тем хуже итоговое изображение.

Основной характеристикой при выборе матрицы является светочувствительность. Единица измерения светочувствительности — 1 Люкс (Лк) или иными словами производная одного Люмена (единица измерения светового потока) на единицу измерения площади (квадратный метр). Простыми словами Люмен — минимальное количество света, необходимое для четкого и качественного изображения. Существует зависимость: чем меньше значение светочувствительности, тем позднее камера переходит в черно-белый режим. Камеры видеонаблюдения и их светочувствительность стоит подбирать под определенные задачи и расположение.

 

Какая матрица лучше?
Во-первых, изначально надо определить конкретные задачи и условия, в которых будет использоваться камера видеонаблюдения. Во-вторых, характеристики камер надо рассматривать в совокупности, а не отдельно взятую характеристику. Например большее количество пикселей при одинаковом размере матрицы дадут худшее изображение. Ну и помните — чем больше размер матрицы, тем дороже она стоит. Подбирайте оборудование с оптимальным соотношением цена/качество.

Надеемся наша статья была Вам полезна и вы разобрались что такое матрица камеры видеонаблюдения, какие типы матриц бывают. Узнали основные характеристики — размер, светочувствительность и разрешение матрицы.

Надеемся, наша статья была Вам полезна.

С уважением группа «Гарант»

Матрицы. Виды матриц

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством

n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2,…m; j=1,2,…n).

Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется

нулевой матрицей . Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a11, a22 ,…, ann образуют главную диагональ матрицы. Например:

В случае m×n -матриц элементы aii ( i=1,2,…,min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a1n

, a2n-1 ,…, an1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E n, где n — порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка

n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i>j . Например:

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i<j. Например:

Cтроки матрицы A образуют пространство строк матрицы и обозначаются через R(AT).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x— вектор длины n — образует

нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

 Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

 Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

AT=−A.

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

 Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

C=A+(-1)B.

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

C=A-B.

 Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

A0=E,

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.

  Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=AT называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

aij=aji ;   i=1,2,…n,   j=1,2,…n


Определитель матрицы.

Навигация по странице:

Определитель матрицы или детерминант матрицы — это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.

Определение.

Определителем матрицы n×n будет число:
det(A) = Σ(-1)N(α12,…,αn)·aα11·aα22·…·aαnn
12,…,αn)
где (α12,…,αn) — перестановка чисел от 1 до n, N(α12,…,αn) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n.

Обозначение

Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).

Свойства определителя матрицы

  1. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

  2. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

  3. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

  4. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.

  5. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:

    det(A) = det(AT)

  6. Определитель обратной матрицы:

    det(A-1) = det(A)-1

  7. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

  8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

  9. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

  10. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

    a11a12…a1na21a22…a2n….k·ai1k·ai2…k·ain….an1an2…ann = k·a11a12…a1na21a22…a2n….ai1ai2…ain….an1an2…ann

  11. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:

    B = k·A   =>   det(B) = kn·det(A)

    где A матрица n×n, k — число.
  12. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

    a11a12…a1na21a22…a2n….bi1 + ci1bi2 + ci2…bin + cin….an1an2…ann = a11a12…a1na21a22…a2n….bi1bi2…bin….an1an2…ann + a11a12…a1na21a22…a2n….ci1ci2…cin….an1an2…ann

  13. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

  14. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

    det(A·B) = det(A)·det(B)


Методы вычисления определителя матрицы

Вычисление определителя матрицы 1×1

Правило:

Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы:

∆ = |a11| = a11


Вычисление определителя матрицы 2×2

Правило:

Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:
∆ =   = a11·a22 — a12·a21

Пример 1.

Найти определитель матрицы A
A = 
57
-41

Решение:

det(A) =   = 5·1 — 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Вычисление определителя матрицы 3×3

Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
+

∆ = 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =

=  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 — a13·a22·a31 — a11·a23·a32 — a12·a21·a33

Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:
∆ = 
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
 =

=  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 — a13·a22·a31 — a11·a23·a32 - a12·a21·a33

Пример 2.

Найти определитель матрицы A = 571-410203

Решение:

det(A) = 571-410203 = 5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 — 1·1·2 — 5·0·0 — 7·(-4)·3 = 15 + 0 + 0 — 2 — 0 + 84 = 97

Вычисление определителя матрицы произвольного размера

Разложение определителя по строке или столбцу

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:
n
det(A) = Σaij·Aij — разложение по i-той строке
j = 1

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:
n
det(A) = Σaij·Aij — разложение по j-тому столбцу
i = 1

При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример 3.

Найти определитель матрицы A
A = 
241
021
211

Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:

= 2·(-1)1+1· 2111 + 0·(-1)2+1· 4111 + 2·(-1)3+1· 4121 =

= 2·(2·1 — 1·1) + 2·(4·1 — 2·1) = 2·(2 — 1) + 2·(4 — 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6


Пример 4.

Найти определитель матрицы A

A = 2411020021134023

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):

det(A) = 2411020021134023 = — 0· 411113023 + 2· 211213423 — 0· 241213403 + 0· 241211402 =

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 — 1·1·4 — 2·3·2 — 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 — 4 — 12 — 6) = 2·0 = 0


Приведение определителя к треугольному виду

Правило:

Используя свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами 8 — 11, определитель приводится к треугольному виду, и тогда его значение будет равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример 5.

Найти определитель матрицы A приведением его к треугольному виду

A = 2411021021134023

Решение:

det(A) = 2411021021134023

Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку, умноженную на 2:

det(A) = 241102102 — 21 — 41 — 13 — 14 — 2·20 — 4·22 — 1·23 — 1·2 = 241102100-3020-801

Получим нули во втором столбце под главной диагональю. Для этого поменяем местами 2-ой и 3-тий столбцы (при этом детерминант сменит знак на противоположный):

det(A) = — 2141012000-3200-81

Получим нули в третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец, умноженный на 8:

det(A) = — 214 + 1·81012 + 0·8000-3 + 2·8200-8 + 1·81 = — 211210120001320001 = -2·1·13·1 = -26


Теорема Лапласа

Теорема:

Пусть ∆ — определитель n-ого порядка. Выберем в нем произвольные k строк (столбцов), причем k < n. Тогда сумма произведений всех миноров k-ого порядка, которые содержатся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Присоединяйтесь

© 2011-2021 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне [email protected]

Матрица фильм все части 1 2 3 смотреть онлайн по порядку бесплатно в хорошем качестве hd 1080

Матрица 1999
«Никто не может сказать, что такое Матрица. Вы должны увидеть это сами». — говорит Морфеус.Он разговаривает с Нео, компьютерным мастером с пустым лицом, который собирается пройти сквозь зазеркалье. Из мира конца 20-го века, каким он его знает, в настоящую, постапокалиптическую «пустыню реальности».Это реальность, когда роботы управляют планетой и держат людей подключенными к матрице виртуальной реальности. Они живут в мире снов, в то время как их энергия питает машины.Морфеус думает, что Нео — это Тот, кто является мессией, который разрушит Матрицу и воскресит человечество. В этом убеждена и один из борцов за свободу Тринити. Но Нео не уверен, и ему придется столкнуться с пагубным, могущественным подлым матриксным агентом Смитом, чтобы выяснить это.

Матрица: Перезагрузка 2003
Нео остался в реальном мире. Преследуемый кошмаром, в котором его возлюбленная, Тринити убита, он входит в конструкцию Матрицы виртуальной реальности, чтобы отыскать всезнающего Оракула.
Между тем, Сион в опасности. Машинная армия из 250 000 роботов-убийц приближается к подземному городу, в котором находятся остатки человечества.
Морфеус убежден, что Нео может спасти его, но для этого «Избранный» должен найти источник Матрицы, а это непростое дело со многими врагами на пути.

Матрица: Революция 2003
Спаситель мира, в котором доминируют машины, Нео, находится в состоянии комы. Тем временем родине человечества угрожают скопления зловещих, похожих на кальмаров, стражей, идущих в направлении Сиона. Морфеус и Тринити идут за Нео, и вынуждены заключить сделку с раздражающе культурным Меровингом, чтобы найти его. Тем временем агент Смит нашел способ сбежать из Матрицы в своем бесконечном стремлении уничтожить Нео.. Если вам понравился Матрица все фильмы смотреть онлайн, можете оставлять свои отзыв об фильме и поставить оценку этой франшизе. Приятного просмотра.

DS-2CD2123G0-IS | Продукты | Hikvision Russia

Матрица 1/2.8’’ Progressive Scan CMOS
Чувствительность Цвет: 0.01лк@(F1.2,AGC вкл.)
Ч/Б: 0.028лк@(F2.0,AGC вкл.), 0лк с ИК
Скорость электронного затвора 1/3с ~ 1/100,000с, поддержка медленного затвора
Объектив 2.8мм, 4мм, 6мм, 8мм@F2.0
Крепление объектива M12
Угол обзора объектива 2.8мм : по горизонтали: 114°, по вертикали: 62°, по диагонали: 135°
4мм: по горизонтали: 86°, по вертикали: 46°, по диагонали: 102°
6мм: по горизонтали: 54°, по вертикали: 30°, по диагонали: 62°
8мм: по горизонтали: 43°, по вертикали: 23°, по диагонали: 50°
Режим «День/ночь» Механический ИК-фильтр
Регулировка угла установки Поворот: 0 ° — 355 °; наклон: 0 ° — 75 °; вращение: 0 ° — 355 °
Видеосжатие Основной поток: H.265/H.264
Дополнительный поток: H.265/H.264/MJPEG
Третий поток: H.265/H.264
Профиль H.264 Main Profile/ High Profile
Профиль H.265 Main Profile
Битрейт видео 32 кбит/с– 16 Мбит/с
Аудиосжатие G.711/G.722.1/G.726/MP2L2/PCM
Битрейт аудио 64кбит/с(G.711) / 16кбит/с(G.722.1) / 16кбит/с(G.726) / 32-192кбит/с(MP2L2)
Максимальное разрешение 1920×1080
Основной поток 25 к/с (1920 × 1080, 1280 × 960, 1280×720)
Дополнительный поток 25 к/с (640 × 360, 352 × 288)
Третий поток 25 к/с (1280×720, 640 × 360, 352 × 288)
SVC Поддерживается
Настройки изображения Насыщенность, яркость, контраст, резкость, режим коридора, зеркалирование и маска приватности настраиваются через клиентское ПО или веб-браузер
Улучшение изображения 120дБ WDR, 3D DNR, BLC, 1 регион ROI для каждого потока
Переключение «День/ночь» Авто/ по расписанию/ по тревоге
Детекция движения Обнаружение пересечения линии, вторжения в область
Распознавание объектов Обнаружение лиц
Сетевое хранение NAS (Поддержка NFS,SMB/CIFS), ANR
Протоколы TCP/IP, ICMP, HTTP, HTTPS, FTP, DHCP, DNS, DDNS, RTP, RTSP, RTCP, PPPoE, NTP, UPnP™, SMTP, SNMP, IGMP, 802.1X, QoS, IPv6, Bonjour
Безопасность Аутентификация пользователя, водяные знаки, фильтрация IP-адресов, анонимный доступ
Совместимость ONVIF(PROFILE S,PROFILE G), ISAPI
Срабатывание тревоги Smart-функции, разрыв сети, конфликт IP-адресов, ошибкиавторизации, ошибки хранилища
Действия по тревоге Уведомление клиента, отправка email, загрузка на FTP, активация канала записи
Клиент iVMS-4200, Hik-Connect, iVMS-5200
Веб-браузер IE8+, Chrome 31.0-44, Firefox 30.0-51, Safari 8.0+
Сетевой интерфейс 1 RJ45 10M/100M Ethernet
Аудиовход 1 вход (линейный, микрофонный)
Аудиовыход 1 аудиовыход (монозвук)
Тревожные интерфейсы 1 вход/ 1 выход
Фильтрация шумов окружающей среды Поддерживается
Частота дискретизации 8кГц/ 16кГц/ 32 кГц/ 44.1 кГц/ 48 кГц
Локальное хранилище Слот для microSD/SDHC/SDXC до 128Гб
Кнопка сброса настроек Есть
Питание DC12В ± 25%/PoE(802.3af)
Потребляемая мощность 7.5Вт макс.
Рабочие условия -40 °C…+60 °C, влажность 95% или меньше (без конденсата)
Цвет Белый, черный
Защита IP67, IK10, Подавитель напряжения переходных процессов TVS 2000В для грозозащиты
Дальность действия ИК-подсветки До 30м
Материал корпуса Металл
Размеры Ø111 × 82.4мм
Вес 0,61кг

HiWatch DS-I200 (2,8 mm) 2Мп, компактная сетевая камера, матрица 1/2.8″ CMOS,ИК-подсветка до 30

Дарим аналоговые камеры HiWatch!

Получите в подарок камеру HiWatch! Купите пять аналоговых камер одной модели с любым объективом и получите шестую бесплатно. В подарок предназначаются камеры той же модели, что и купленные. Пример: покупаете DS-T206 и получаете в подарок DS-T206. Период действия акции — с 10 мая по 31 июля 2018 г. Условия акции* Право на участие в акции принадлежит покупателям,…

Уличная вандалостойкая IP-видеокамера ActiveCam AC-D8123ZIR3 с моторизированным объективом

2Мп модель ActiveCam AC-D8123ZIR3 поставляется в сферическом вандалостойком (IK10) корпусе, защищенном от неблагоприятных погодных воздействий по стандарту IP66, что в совокупности с рабочими температурами от -40°C до +60°C позволяет инсталлировать устройство на улице. Камера комплектуется моторизированной оптикой, открывающей возможности масштабирования сцены и удаленной подстройки фокуса….

Обновление TRASSIR 4 Поддержка нового кодека, протоколов NetWork UPS

Вышло обновление профессионального программного комплекса TRASSIR 4. Теперь TRASSIR 4 поддерживает прогрессивное сжатие кодеком H.265, что позволяет при неизменном качестве изображения существенно экономить дисковое пространство регистратора / карты памяти за счет снижения битрейта. Помимо этого снижение битрейта заметно уменьшает нагрузку на сеть. Второе существенное изменение коснулось…

2Мп IP-камеры HiWatch с новыми возможностями

Безопасность справедливо занимает важнейшие позиции в нашей жизни. Благодаря своей демократичной стоимости и достойному функционалу решения HiWatch делают ее максимально эффективной и одновременно доступной как для коммерческих организаций, так и для частного использования. Компания DSSL представляет линейку новых моделей HiWatch DS-I200 (мини-буллет), DS-I202 (мини-купол), DS-I203…

Как выбрать камеру видеонаблюдения!!!

Прежде чем осуществить выбор камеры, следует определиться с местом установки – это будет помещение или улица. Уличная или камера наружного наблюдения, а также внутренняя камера может отражать черно-белое или цветное изображение. Черно-белые видеокамеры значительно уступают цветным по качеству и техническим характеристикам, и, хотя разница в цене меж ними незначительна, все-таки черно-белая…

ВНИМАНИЕ !!! Новый адрес.

Хотим сообщить что компания ООО «Системы Защиты» с 01.03.2017 г., переезжает в новый офис по адресу: 680000, г. Хабаровск, ул. Запарина, 3

«»» БЕЗОПАСНИК в Хабаровске «»»

В настоящее время наша компания является официальным партнером компании «БЕЗОПАСНИК» в г. Хабаровске. «БЕЗОПАСНИК» — входит в группу компаний «DSSL»: Digital Security Systems Lab – производителя и поставщика систем видеонаблюдения – ведущего игрока на рынке России с 2002 года и разработчика всемирно известного программного обеспечения «TRASSIR». В 2016 году Компания DSSL приняла…

Фиксируй происходящее в любом помещении вместе с ActiveCam AC-D5123IR3

Для осуществления видеофиксации внутри помещений чаще всего используются фиксированные камеры наблюдения. Однако на большой площади для полного видеопокрытия приходится инсталлировать несколько устройств. На порядок эффективнее установить миниатюрную PTZ-модель и, заместив ею несколько стандартных решений, обозревать с помощью одной камеры крупные помещения крупного офиса или загородного дома….

Распознавание лиц – новые возможности TRASSIR 4

Совсем недавно сама мысль зафиксировать и сопровождать определенного человека с помощью камер видеонаблюдения была из разряда чего-то фантастического. Компания DSSL представляет набор новых интеллектуальных модулей TRASSIR Face Detector , Face Search и Face Recognition , позволяющих не только распознавать лицо человека, попавшего в кадр, но и отлеживать его перемещения на объекте, а…

Доступная безопасность: новая линейка IP-камер HiWatch

Безопасность – важный аспект жизни и она в априори должна быть доступна! Компания DSSL, крупнейший дистрибьютор HikVision, представляет обновленную линейку из 7 бюджетных IP-видеокамер HiWatch: DS-I110 , DS-I113 , DS-I114 , DS-I126 , DS-I128 , DS-I110 и DS-I223 . Линейка представлена 1, 1.3 и 2Мп устройствами в форм-факторах буллет, купол, сфера и кубик, сочетающими…

Видеоконтроль дома и в офисе? ActiveCam AC-D7121IR1 – отличный функционал в компактном дизайне

Компания DSSL представляет обновленную модель ActiveCam AC-D7121IR1 , способную вести трансляцию видеопотока с разрешением FullHD в реальном времени. Камера комплектуется фиксированным объективом 2.8/4 мм, механическим ИК-фильтром и ИК-подсветкой с дальностью действия до 10 м. На «борту» присутствуют встроенные динамик и микрофон, а также тревожные вход/выход. Для исправления изъянов…

Бюджетные NVR бренда HiWatch с PoE-инжектором

Оборудование HiWatch прочно завоевало популярность на российском рынке в сегменте камер видеонаблюдения. Достойный функционал и демократичная стоимость – вот основные преимущества бренда. Компания DSSL, крупнейший дистрибьютор продуктов торговой марки HiWatch, представляет линейку бюджетных сетевых видеорегистраторов DS-N104 , DS-N108 , DS-N116 , DS-N104P и DS-N108P ….

Бюджетные IP-камеры 1-2Мп ActiveCam Eco для серьезных задач

Погоня за самыми последними технологиями и высоким разрешением зачастую бывает неоправданной. Для большинства задач обеспечения безопасности достаточно 1-2 Мп и базового набора функционала. В качестве бонуса клиент получает еще и существенную экономию бюджета. В унисон сказанному компания DSSL, ведущий российский разработчик и интегратор профессиональных решений охранного телевидения,…

1080p HD-TVI камеры HiWatch – оптимальный баланс цены и функционала

Ценовая доступность и функциональные возможности – вот два основных критерия, оптимальное соотношение которых побеждает при выборе оборудования видеонаблюдения. Созданный HikVision бренд HiWatch полностью соответствует этим параметрам, весь ассортимент торговой марки нацелен в сторону малого и среднего бизнеса. Не отступая от концепции, крупнейший дистрибьютор HiWatch, компания DSSL,…

ВНИМАНИЕ НОВИНКИ!!!!

Продукция HiWatch доказала свою надежность благодаря IP-камерам HiWatch. Выход на рынок линейки TVI-камер только укрепил позиции бренда. Гибридные видеорегистраторы HiWatch являются логичным продолжением расширения ассортимента. Компания представляет 6 новых моделей TVI/AHD регистраторов: DS-h204G , DS-h208G , DS-h216G , DS-h204Q , DS-h208Q и DS-h216Q . Новинки…

Внимание!!! Подключение Вашей АПС к ЕДДС «112» по самой выгодной цене!

Мы предлагаем Вам подключение Ваших автоматизированных охранно-пожарных систем к Единой Дежурно-Диспетчерской Службе «112» по самым выгодным ценам! Данная услуга включает в себя монтаж и подключение оборудования с выводом сигнала о пожаре на пульт Единой Дежурно-Диспетчерской Службе (ЕДДС). Совместимость со всеми типами АПС! Индивидуальный подход к каждому клиенту! О стоимости данной услуги Вы…

Мы переехали на Гамарника, 51

Компания «Системы Защиты» переехала по новому адресу: ул.Гамарника, 51 — куда каждый может приехать и приобрести то, что ему нужно!

ПРОЕКТ В ПОДАРОК!

Клиент, заказавший монтаж сигнализации или оповещения в компании «Системы Защиты» — получает проектную документацию бесплатно!

Установка линии АТС в офисах

Компания «Системы Защиты» устанавливает линии АТС в офисах при наличии в них технической возможности.

Добро пожаловать на сайт!

Добро пожаловать в интернет-магазин компании «СИСТЕМЫ ЗАЩИТЫ». У нас вы найдете любое оборудование и комплектующие в широком ассортименте для системы видеонаблюдения, охранной и пожарной сигнализации и др. Удобная оплата и доставка — сделают покупки приятными и выгодными! Также, мы рады вас видеть в нашем магазине, расположенном в самом центре города — на ул. Гамарника, 51.

Произведение двух матриц: формула, решения, свойства

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j-го столбца матрицы В.

Из этого определения следует формула элемента матрицы C:

Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B, если

,

.

Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:

На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B, произведения которых складываются для получения элемента матрицы C.

В результате получаем элементы произведения матриц:

 

Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:

.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .

Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:

Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:

В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .

Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C, которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:

а) 2 Х 10 и 10 Х 5;

б) 10 Х 2 и 2 Х 5;

в) 4 Х 4 и 4 Х 10.

Решение:

а) 2 Х 5;

б) 10 Х 5;

в) 4 Х 10.

Пример 3. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 2, число столбцов в матрице B — 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 2 X 2.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Найденное произведение матриц: .


Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 5. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 2, число столбцов в матрице B — 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 2 X 1.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 6. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 3, число столбцов в матрице B — 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 3 X 3.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Найденное произведение матриц: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 7. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 1, число столбцов в матрице B — 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 1 X 1.

Вычисляем элемент матрицы C = AB.

Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в соответствующей статье в блоке «Компьютеры и программирование».

Возведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n-ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:

Пример 8. Дана матрица . Найти A² и A³.

Решение:

Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 9. Дана матрица

Найти произведение данной матрицы и транспонированной матрицы , произведение транспонированной матрицы и данной матрицы.

Правильное решение и ответ.

Свойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А , т.е. АЕ = ЕА = А .              

Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.

Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы

на единичную матрицу справа и слева.

Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где


единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С = АЕ :


                                                                                               

Получается, что АЕ = А .

Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :



Доказано: ЕА = А .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Свойство 2. Произведение матрицы А на нуль-матрицу является нуль-матрицей. Это свойство очевидно, так как все элементы нуль-матрицы равны нулю.

Свойство 3. Произведение матриц некоммутативно:
.

Для этого достаточно показать, что равенство АВ = ВА не выполняется для каких-либо двух матриц.

Пример 11. Найти произведения матриц АВ и ВА, если

,

,

и убедиться в том, что эти произведения не равны друг другу:

.

Решение. Находим:

И действительно, найденные произведения не равны:
.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Свойство 4. Произведение матриц ассоциативно: (АВ)С = А(ВС) .

Свойство 5. Для произведения матриц выполняется дистрибутивный закон: (А + В) С = АС + ВС , С (А + В) = СА + СВ .

Свойство 6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: если С = АВ , то

.

Поделиться с друзьями

Начало темы «Матрицы»

Продолжение темы «Матрицы»

Другие темы линейной алгебры

Обращение матрицы

Пожалуйста, прочтите сначала наше Введение в матрицы.

Что такое обратная матрица?

Так же, как число имеет обратное …


, обратное число (примечание: 1 8 также можно записать 8 -1 )

… матрица имеет обратное значение :


Обратная матрица

Мы пишем A -1 вместо 1 A , потому что мы не делим на матрицу!

И есть другие сходства:

Когда мы умножаем число на его , обратное , получаем 1 :

8 × 1 8 = 1

Когда мы умножаем матрицу на ее , обратную , мы получаем Identity Matrix (которая похожа на «1» для матриц):

А × А -1 = I

То же самое, когда сначала идет обратное:

1 8 × 8 = 1

A -1 × A = I

Идентификационная матрица

Мы только что упомянули «Матрицу идентичности».Это матричный эквивалент числа «1»:

.

I =

Матрица идентификации 3×3

  • Это «квадрат» (в нем столько же строк, что и столбцов),
  • Он имеет 1 с по диагонали и 0 с по всей остальной части.
  • Его символ — заглавная буква I .

Матрица идентичности может иметь размер 2 × 2 или 3 × 3, 4 × 4 и т. Д.

Определение

Вот определение:

Аргумент A равен A -1 только тогда, когда:

AA -1 = A -1 A = I

Иногда обратного нет вообще.

(Примечание: написание AA -1 означает A, умноженное на A -1 )

Матрица 2×2

Хорошо, как рассчитать обратное?

Ну, для матрицы 2×2 обратное значение:

Другими словами: меняет местами позиций a и d, помещает негативов перед b и c, а делит всего на ad − bc .

Примечание: ad − bc называется определителем.

Давайте попробуем пример:



Как мы узнаем, что это правильный ответ?

Помните, что должно быть правдой следующее: AA -1 = I

Итак, давайте посмотрим, что произойдет, если мы умножим матрицу на ее обратную:

=

4 × 0.6 + 7 × −0,24 × −0,7 + 7 × 0,4 2 × 0,6 + 6 × −0,22 × −0,7 + 6 × 0,4


=

2,4−1,4−2,8 + 2,8 1,2–1,2–1,4 + 2,4


И, привет !, мы получили Матрицу идентичности!
Так должно быть правильно.

Также должно быть , что: A -1 A = I

Почему бы вам не попробовать их умножить? Посмотрите, получите ли вы также Identity Matrix:

Зачем нужен инверс?

Потому что с матрицами мы не делим ! Серьезно, нет понятия деления матрицей.

Но мы можем умножить на обратное , что даст то же самое.

Представьте, что мы не можем делить на числа …

… и кто-то спрашивает «Как мне поделиться 10 яблоками с 2 людьми?»

Но мы можем взять , обратное из 2 (что составляет 0,5), поэтому мы ответим:

10 × 0,5 = 5

Получают по 5 яблок.

То же самое можно сделать и с матрицами:

Допустим, мы хотим найти матрицу X, и мы знаем матрицы A и B:

XA = B

Было бы неплохо разделить обе стороны на A (чтобы получить X = B / A), но помните, что мы не можем разделить .

Но что, если мы умножим обе стороны на A -1 ?

XAA -1 = BA -1

И мы знаем, что AA -1 = I, поэтому:

XI = BA -1

Мы можем удалить I (по той же причине мы можем удалить «1» из 1x = ab для чисел):

X = BA -1

И у нас есть ответ (при условии, что мы можем вычислить A -1 )

В этом примере мы очень внимательно следили за правильностью умножения, потому что в случае с матрицами порядок умножения имеет значение.AB почти никогда не совпадает с BA.

Пример из реальной жизни: автобус и поезд

Группа поехала на автобусе по цене 3 доллара за ребенка и 3,20 доллара за взрослого на общую сумму 118,40 доллара.

Они вернулись на поезд по цене 3,50 доллара за ребенка и 3,60 доллара за взрослого, итого 135,20 доллара.

Сколько детей и сколько взрослых?

Во-первых, давайте настроим матрицы (будьте осторожны, чтобы строки и столбцы были правильными!):

Это как в примере выше:

XA = B

Итак, чтобы решить эту проблему, нам нужна обратная величина к «A»:

−1 = 1 3 × 3.6−3,5 × 3,2


Теперь у нас есть обратное, которое мы можем решить с помощью:

X = BA -1


=

118,4 × −9 + 135,2 × 8118,4 × 8,75 + 135,2 × −7,5


Было 16 детей и 22 взрослых!

Ответ кажется почти волшебным. Но он основан на хорошей математике.

Подобные вычисления (но с использованием гораздо больших матриц) помогают инженерам проектировать здания, используются в видеоиграх и компьютерной анимации, чтобы вещи выглядели трехмерными, и во многих других местах.

Это также способ решения систем линейных уравнений.

Расчеты производятся компьютером, но люди должны понимать формулы.

Порядок важен

Скажем, в данном случае мы пытаемся найти «X»:

AX = B

Это отличается от приведенного выше примера! X теперь после A.

Для матриц порядок умножения обычно меняет ответ. Не предполагайте, что AB = BA, это почти никогда не верно.

Так как же решить эту проблему? Используя тот же метод, но впереди поставьте A -1 :

.

A -1 AX = A -1 B

И мы знаем, что A -1 A = I, поэтому:

IX = A -1 B

Мы можем удалить I:

X = A -1 B

И у нас есть ответ (при условии, что мы можем вычислить A -1 )

Почему бы нам не попробовать наш пример с автобусом и поездом, но с данными, настроенными таким образом.

Это можно сделать таким образом, но мы должны быть осторожны при настройке.

Вот как это выглядит как AX = B:

Выглядит так аккуратно! Я думаю, что предпочитаю это так.

Также обратите внимание, как строки и столбцы меняются местами в
(«транспонировано») по сравнению с предыдущим примером.

Для ее решения нам понадобится обратная величина к «A»:

−1 = 1 3 × 3,6−3,2 × 3,5


Он похож на обратный, который мы получили раньше, но
Transposed (строки и столбцы поменялись местами).

Теперь мы можем решить, используя:

X = A -1 B


=

−9 × 118,4 + 8 × 135,2 8,75 × 118,4 — 7,5 × 135,2


Тот же ответ: 16 детей и 22 взрослых.

Итак, матрицы — это мощная вещь, но их нужно правильно настраивать!

Обратное может не существовать

Во-первых, для инверсии матрица должна быть «квадратной» (то же количество строк и столбцов).

Но также определитель не может быть нулем (или мы закончим делением на ноль).Как насчет этого:


24−24? Это равно 0, а 1/0 не определено .
Мы не можем идти дальше! Эта матрица не имеет инверсии.

Такая матрица называется «сингулярной»,
что происходит только тогда, когда определитель равен нулю.

И это имеет смысл … посмотрите на числа: вторая строка просто удваивает первую строку, и не добавляет никакой новой информации .

И определитель 24−24 позволяет нам узнать об этом факте.

(Представьте, что в нашем примере с автобусом и поездом цены на поезд были ровно на 50% выше, чем на автобусе: так что теперь мы не можем найти никаких различий между взрослыми и детьми. Должно быть что-то, что их отличало бы. )

Большие матрицы

Обратное к 2×2 равно easy … по сравнению с более крупными матрицами (такими как 3×3, 4×4 и т. Д.).

Для этих больших матриц есть три основных метода вычисления обратного:

Заключение

  • Обратное значение A — это A -1 , только если AA -1 = A -1 A = I
  • Чтобы найти обратную матрицу 2×2: поменять местами позиций a и d, поставить негативов перед b и c и разделить на определитель (ad-bc).
  • Иногда обратного нет вообще

Матричный калькулятор мощности

(экспоненциальный) — онлайн-инструмент

Поиск инструмента

Мощность матрицы

Инструмент для вычисления экспоненциальной матрицы в алгебре. Мощность матрицы заключается в возведении в степень матрицы (умножении на себя).

Результаты

Мощность матрицы

— dCode

Тэги: Matrix

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Ответы на вопросы (FAQ)

Как рассчитать матрицу мощности n?

$ M $ — квадратная матрица сайта $ m $ ($ m $ строк и $ m $ столбцов).2 = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} \ times \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 7 & 10 \ \ 15 & 22 \ end {bmatrix} $$

Размер результирующей матрицы идентичен исходной матрице M; то есть $ m $ строк и $ m $ столбцов.

Расчет мощности матрицы работает только для квадратных матриц (2×2, 3×3, 4×4, 5×5 и т. Д. Из-за ограничений на умножение «> матричных произведений) и используется для некоторых матриц, таких как стохастические матрицы.{1 / n} $ эквивалентен корню $ n $ -й степени.

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код «Matrix Power» в Интернете. За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), алгоритма «Matrix Power», апплета или фрагмента (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или «Matrix Power »функции (вычисление, преобразование, решение, дешифрование / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.)) и все загрузки данных, скрипты, копирование-вставка или доступ к API для «Matrix Power» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! Остальное: dCode можно использовать бесплатно.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / Комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

степень, экспонента, квадрат, матрица

Ссылки


Источник: https: // www.{-1} = а / а = 1 \).

NB: Иногда вы получаете очень маленькие недиагональные значения (например, 1.341e-13 ). Функция zapsmall () округляет их до 0.

  ## [, 1] [, 2] [, 3]
## [1,] 1 0 0
## [2,] 0 1 0
## [3,] 0 0 1  

3. Обратный —

рефлексивный : inv (inv (A)) = A

Дважды взяв обратное, вы вернетесь к тому, с чего начали.

  ## [, 1] [, 2] [, 3]
## [1,] 5 1 0
## [2,] 3 -1 2
## [3,] 4 0 -1  

4.

inv (A) является симметричным тогда и только тогда, когда A симметричен
  ## [, 1] [, 2] [, 3]
## [1,] 0,0625 0,6875 0,25
## [2,] 0,0625 -0,3125 0,25
## [3,] 0,1250 -0,6250 -0,50  
  ## [1] ЛОЖЬ  
  is_symmetric_matrix (inv (t (A)))  
  ## [1] ЛОЖЬ  

Вот симметричный случай:

  B <- матрица (c (4, 2, 2,
                  2, 3, 1,
                  2, 1, 3), nrow = 3, byrow = TRUE)
   inv (B)  
  ## [, 1] [, 2] [, 3]
## [1,] 0.50 -0,25 -0,25
## [2,] -0,25 0,50 0,00
## [3,] -0,25 0,00 0,50  
  ## [, 1] [, 2] [, 3]
## [1,] 0,50 -0,25 -0,25
## [2,] -0,25 0,50 0,00
## [3,] -0,25 0,00 0,50  
  ## [1] ИСТИНА  
  is_symmetric_matrix (inv (t (B)))  
  ## [1] ИСТИНА  
  all.equal (inv (B), inv (t (B)))  
  ## [1] ИСТИНА  

Дополнительные свойства обратной матрицы

1.матрица, обратная диагонали = диагональ (1 / диагональ)

В этих простых примерах часто бывает полезно показать результаты матричных вычислений в виде дробей, используя MASS :: fractions () .

  D <- diag (c (1, 2, 4))
   inv (D)  
  ## [, 1] [, 2] [, 3]
## [1,] 1 0,0 0,00
## [2,] 0 0,5 0,00
## [3,] 0 0,0 0,25  
  МАССА :: фракции (diag (1 / c (1, 2, 4)))  
  ## [, 1] [, 2] [, 3]
## [1,] 1 0 0
## [2,] 0 1/2 0
## [3,] 0 0 1/4  

2.Обратное обратное:

inv (inv (A)) = A
  A <- матрица (c (1, 2, 3, 2, 3, 0, 0, 1, 2), nrow = 3, byrow = TRUE)
   AI <- inv (A)
   inv (AI)  
  ## [, 1] [, 2] [, 3]
## [1,] 1 2 3
## [2,] 2 3 0
## [3,] 0 1 2  

3. инверсия

транспонирования : inv (t (A)) = t (inv (A))
  ## [, 1] [, 2] [, 3]
## [1,] 1,50 -1,0 0,50
## [2,] -0.25 0,5 -0,25
## [3,] -2,25 1,5 -0,25  
  ## [, 1] [, 2] [, 3]
## [1,] 1,50 -1,0 0,50
## [2,] -0,25 0,5 -0,25
## [3,] -2,25 1,5 -0,25  

4. инверсия скалярной * матрицы:

inv (k * A) = (1 / k) * inv (A)
  ## [, 1] [, 2] [, 3]
## [1,] 0,3 -0,05 -0,45
## [2,] -0,2 0,10 0,30
## [3,] 0,1 -0,05 -0,05  
  ## [, 1] [, 2] [, 3]
## [1,] 0,3 -0,05 -0.45
## [2,] -0,2 0,10 0,30
## [3,] 0,1 -0,05 -0,05  

5. инверсия матричного произведения:

inv (A * B) = inv (B)% *% inv (A)
  B <- матрица (c (1, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 4, 1), nrow = 3, byrow = TRUE)
   C <- B [, 3: 1]
   А% *% В  
  ## [, 1] [, 2] [, 3]
## [1,] 9 20 10
## [2,] 5 13 12
## [3,] 5 11 4  
  ## [, 1] [, 2] [, 3]
## [1,] 4,0 -1.50 -5,50
## [2,] -2,0 0,70 2,90
## [3,] 0,5 -0,05 -0,85  
  ## [, 1] [, 2] [, 3]
## [1,] 4,0 -1,50 -5,50
## [2,] -2,0 0,70 2,90
## [3,] 0,5 -0,05 -0,85  

Это распространяется на любое количество членов: обратное произведение - произведение обратных чисел в обратном порядке. {- 1} \).

  AI <- инв. (A)
МАССА :: дроби (AI)  
  ## [, 1] [, 2]
## [1,] 2/3 -1/3
## [2,] -1/3 2/3  
  ## [1] 0,3333  

Теперь постройте строки \ (A \) как векторы \ (a_1, a_2 \) от начала координат в 2D-пространстве. Как показано в виньетке ("det-ex1") , определяющим фактором является площадь параллелограмма, определяемая этими векторами.

  номинал (мар = c (3,3,1,1) +. 1)
xlim <- c (-1,3)
ylim <- c (-1,3)
plot (xlim, ylim, type = "n", xlab = "X1", ylab = "X2", asp = 1)
сумма <- A [1,] + A [2,]
# рисуем параллелограмм, определяемый строками A
многоугольник (rbind (c (0,0), A [1,], sum, A [2,]), col = rgb (1,0,0 ,.{-1} = I \). 

Можно задаться вопросом, зависят ли эти свойства от симметрии \ (A \), поэтому вот еще один пример для матрицы A <- matrix (c (2, 1, 1, 1), nrow = 2) , где \ (\ det (A) = 1 \).

  (A <- матрица (c (2, 1, 1, 1), nrow = 2))  
  ## [, 1] [, 2]
## [1,] 2 1
## [2,] 1 1  
  ## [, 1] [, 2]
## [1,] 1 -1
## [2,] -1 2  

Площади двух параллелограммов одинаковы, потому что \ (\ det (A) = \ det (A ^ {- 1}) = 1 \).

7.1: Собственные значения и собственные векторы матрицы

Спектральная теория относится к изучению собственных значений и собственных векторов матрицы. Это имеет фундаментальное значение во многих областях и является предметом нашего исследования в этой главе.

Определение собственных векторов и собственных значений

В этом разделе мы будем работать со всем набором комплексных чисел, обозначенных \ (\ mathbb {C} \). Напомним, что действительные числа \ (\ mathbb {R} \) содержатся в комплексных числах, поэтому обсуждения в этом разделе применимы как к действительным, так и к комплексным числам.

Чтобы проиллюстрировать идею, лежащую в основе того, что будет обсуждаться, рассмотрим следующий пример.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): собственные векторы и собственные значения

Пусть \ [A = \ left (\ begin {array} {rrr} 0 & 5 & -10 \\ 0 & 22 & 16 \\ 0 & -9 & -2 \ end {array} \ right) \] Вычислить продукт \ (AX \) для \ [X = \ left (\ begin {array} {r} 5 \\ -4 \\ 3 \ end {array} \ right), X = \ left (\ begin {array} {r} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {array} \ right) \] Что вы заметили в \ (AX \) в каждом из этих продуктов?

Решение

Сначала вычислите \ (AX \) для \ [X = \ left (\ begin {array} {r} 5 \\ -4 \\ 3 \ end {array} \ right) \]

Этот продукт указан в \ [AX = \ left (\ begin {array} {rrr} 0 & 5 & -10 \\ 0 & 22 & 16 \\ 0 & -9 & -2 \ end {array} \ right ) \ left (\ begin {array} {r} -5 \\ -4 \\ 3 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {r} -50 \\ -40 \\ 30 \ end {array} \ right) = 10 \ left (\ begin {array} {r} -5 \\ -4 \\ 3 \ end {array} \ right) \]

В этом случае произведение \ (AX \) привело к вектору, который в \ (10 ​​\) раз умножен на вектор \ (X \).Другими словами, \ (AX = 10X \).

Посмотрим, что будет в следующем продукте. Вычислить \ (AX \) для вектора \ [X = \ left (\ begin {array} {r} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {array} \ right) \]

Этот продукт указан в \ [AX = \ left (\ begin {array} {rrr} 0 & 5 & -10 \\ 0 & 22 & 16 \\ 0 & -9 & -2 \ end {array} \ right ) \ left (\ begin {array} {r} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {r} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array } \ right) = 0 \ left (\ begin {array} {r} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {array} \ right) \]

В этом случае произведение \ (AX \) привело к вектору, равному \ (0 \), умноженному на вектор \ (X \), \ (AX = 0X \).

Возможно, эта матрица такова, что \ (AX \) приводит к \ (kX \) для каждого вектора \ (X \). Однако рассмотрим \ [\ left (\ begin {array} {rrr} 0 & 5 & -10 \\ 0 & 22 & 16 \\ 0 & -9 & -2 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {r} 1 \\ 1 \\ 1 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {r} -5 \\ 38 \\ -11 \ end {array} \ right ) \] В этом случае \ (AX \) не привел к вектору вида \ (kX \) для некоторого скаляра \ (k \).

В первых двух произведениях, вычисленных в примере [exa: eigenvectorsandeigenvalues], есть что-то особенное.Обратите внимание, что для каждого \ (AX = kX \), где \ (k \) - некоторый скаляр. Когда это уравнение выполняется для некоторых \ (X \) и \ (k \), мы называем скаляр \ (k \) собственным значением \ (A \). Мы часто используем специальный символ \ (\ lambda \) вместо \ (k \) при обращении к собственным значениям. В примере [exa: eigenvectorsandeigenvalues] значения \ (10 ​​\) и \ (0 \) являются собственными значениями для матрицы \ (A \), и мы можем обозначить их как \ (\ lambda_1 = 10 \) и \ (\ lambda_2 = 0 \).

Когда \ (AX = \ lambda X \) для некоторого \ (X \ neq 0 \), мы называем такой \ (X \) собственным вектором матрицы \ (A \).Собственные векторы оператора \ (A \) связаны с собственным значением. Следовательно, если \ (\ lambda_1 \) является собственным значением \ (A \) и \ (AX = \ lambda_1 X \), мы можем пометить этот собственный вектор как \ (X_1 \). Еще раз отметим, что для того, чтобы быть собственным вектором, \ (X \) должен быть ненулевым.

Собственные векторы имеют также геометрическое значение. Когда у вас есть вектор , отличный от нуля, , который при умножении на матрицу дает другой вектор, параллельный первому или равный 0 , этот вектор называется собственным вектором матрицы.{n} \) - ненулевой вектор , для которого

\ [AX = \ lambda X \ label {eigen1} \] для некоторого скаляра \ (\ lambda. \) Тогда \ (\ lambda \) называется собственным значением матрицы \ (A \) и \ (X \) называется собственным вектором \ (A \), связанным с \ (\ lambda \), или \ (\ lambda \) - собственным вектором \ (A \).

Набор всех собственных значений матрицы \ (n \ times n \) \ (A \) обозначается \ (\ sigma \ left (A \ right) \) и упоминается как спектр матрицы \ ( А. \)

Собственные векторы матрицы \ (A \) - это те векторы \ (X \), для которых умножение на \ (A \) дает вектор в том же или противоположном направлении по отношению к \ (X \).Поскольку нулевой вектор \ (0 \) не имеет направления, это не имело бы смысла для нулевого вектора. Как отмечалось выше, \ (0 \) никогда не может быть собственным вектором.

Рассмотрим собственные векторы подробнее. Предположим, что \ (X \) удовлетворяет [eigen1]. Тогда \ [\ begin {array} {c} AX - \ lambda X = 0 \\ \ mbox {или} \\ \ left (A- \ lambda I \ right) X = 0 \ end {array} \] для некоторых \ (X \ neq 0. \) Точно так же вы можете написать \ (\ left (\ lambda IA ​​\ right) X = 0 \), что обычно используется. Следовательно, когда мы ищем собственные векторы, мы ищем нетривиальные решения этой однородной системы уравнений!

Напомним, что решения однородной системы уравнений состоят из основных решений и линейных комбинаций этих основных решений.{-1} 0 \\ & = & 0 \ end {align} \] Утверждает, что \ (X = 0 \). Однако мы потребовали, чтобы \ (X \ neq 0 \). Следовательно, \ (\ left (\ lambda I - A \ right) \) не может иметь обратного!

Напомним, что если матрица необратима, то ее определитель равен \ (0 \). Следовательно, мы можем заключить, что \ [\ det \ left (\ lambda I - A \ right) = 0 \ label {eigen2} \] Обратите внимание, что это эквивалентно \ (\ det \ left (A- \ lambda I \ right) = 0 \).

Выражение \ (\ det \ left (\ lambda IA ​​\ right) \) является многочленом (от переменной \ (x \)), называемым характеристическим многочленом для \ (A \) , и \ (\ det \ left (\ lambda IA ​​\ right) = 0 \) называется характеристическим уравнением .По этой причине мы можем также называть собственные значения \ (A \) характеристическими значениями , но первое часто используется по историческим причинам.

Следующая теорема утверждает, что корни характеристического многочлена являются собственными значениями \ (A \). Таким образом, когда выполняется [eigen2], \ (A \) имеет ненулевой собственный вектор.

Теорема \ (\ PageIndex {1} \): существование собственного вектора

Пусть \ (A \) - матрица \ (n \ times n \) и предположим, что \ (\ det \ left (\ lambda I - A \ right) = 0 \) для некоторого \ (\ lambda \ in \ mathbb { C} \).{n} \) такая, что \ (AX = \ lambda X \).

Проба

Для матрицы \ (A \) и матрицы \ (n \ times n \) метод разложения Лапласа показывает, что \ (\ det \ left (\ lambda I - A \ right) \) является полиномом степени \ (n . \) Таким образом, уравнение [eigen2] имеет решение \ (\ lambda \ in \ mathbb {C} \) по фундаментальной теореме алгебры. Тот факт, что \ (\ lambda \) является собственным значением, оставлен в качестве упражнения.

Нахождение собственных векторов и собственных значений

Теперь, когда собственные значения и собственные векторы определены, мы изучим, как их найти для матрицы \ (A \).

Сначала рассмотрим следующее определение.

Определение \ (\ PageIndex {2} \): Кратность собственного значения

Пусть \ (A \) - матрица \ (n \ times n \) с характеристическим многочленом, заданным как \ (\ det \ left (\ lambda I - A \ right) \). Тогда кратность собственного значения \ (\ lambda \) оператора \ (A \) - это количество раз, которое \ (\ lambda \) встречается как корень этого характеристического многочлена. 2 \).2 = 0 \) и решите относительно \ (\ lambda \). Мы находим, что \ (\ lambda = 2 \) - корень, встречающийся дважды. Следовательно, в этом случае \ (\ lambda = 2 \) является собственным значением \ (A \) с кратностью, равной \ (2 \).

Теперь мы подробно рассмотрим, как найти собственные значения и собственные векторы для матрицы \ (A \). Используемые шаги кратко описаны в следующей процедуре.

Процедура \ (\ PageIndex {1} \): поиск собственных значений и собственных векторов

Пусть \ (A \) будет \ (n \ times n \) матрицей.

  1. Сначала найдите собственные значения \ (\ lambda \) оператора \ (A \), решив уравнение \ (\ det \ left (\ lambda I -A \ right) = 0 \).
  2. Для каждого \ (\ lambda \) найдите основные собственные векторы \ (X \ neq 0 \), найдя базовые решения для \ (\ left (\ lambda I - A \ right) X = 0 \).

Чтобы проверить свою работу, убедитесь, что \ (AX = \ lambda X \) для каждого \ (\ lambda \) и связанного с ним собственного вектора \ (X \). 2 + \ lambda - 6 = 0 \]

Решая это уравнение, находим, что \ (\ lambda_1 = 2 \) и \ (\ lambda_2 = -3 \).

Теперь нам нужно найти основные собственные векторы для каждого \ (\ lambda \). Сначала мы найдем собственные векторы для \ (\ lambda_1 = 2 \). Мы хотим найти все векторы \ (X \ neq 0 \) такие, что \ (AX = 2X \). Это решения \ ((2I - A) X = 0 \). \ [\ begin {выровнено} \ left (2 \ left (\ begin {array} {rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {array} \ right) - \ left (\ begin {array} {rr} -5 & 2 \\ -7 & 4 \ end {array} \ right) \ right) \ left (\ begin {array} {c} x \\ y \ end {array} \ right) & = & \ left ( \ begin {array} {r} 0 \\ 0 \ end {array} \ right) \\ \\ \ left (\ begin {array} {rr} 7 & -2 \\ 7 & -2 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {c} x \\ y \ end {array} \ right) & = & \ left (\ begin {array} {r} 0 \\ 0 \ end {array} \ вправо) \ конец {выровнено} \]

Расширенная матрица для этой системы и соответствующая ей задаются как \ [\ left (\ begin {array} {rr | r} 7 & -2 & 0 \\ 7 & -2 & 0 \ end {array} \ right) \ rightarrow \ cdots \ rightarrow \ left (\ begin {array} {rr | r} 1 & - \ frac {2} {7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) \]

Решением является любой вектор вида \ [\ left (\ begin {array} {c} \ frac {2} {7} s \\ s \ end {array} \ right) = s \ left (\ begin { массив} {r} \ frac {2} {7} \\ 1 \ end {array} \ right) \]

Умножая этот вектор на \ (7 \), мы получаем более простое описание решения этой системы, заданное как \ [t \ left (\ begin {array} {r} 2 \\ 7 \ end {array} \ right) \]

Это дает основной собственный вектор для \ (\ lambda_1 = 2 \) как \ [\ left (\ begin {array} {r} 2 \\ 7 \ end {array} \ right) \]

Для проверки убедимся, что \ (AX = 2X \) для этого основного собственного вектора.

\ [\ left (\ begin {array} {rr} -5 & 2 \\ -7 & 4 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {r} 2 \\ 7 \ end { массив} \ right) = \ left (\ begin {array} {r} 4 \\ 14 \ end {array} \ right) = 2 \ left (\ begin {array} {r} 2 \\ 7 \ end {array } \ right) \]

Это то, что мы хотели, поэтому мы знаем, что этот основной собственный вектор верен.

Затем мы повторим этот процесс, чтобы найти основной собственный вектор для \ (\ lambda_2 = -3 \). Мы хотим найти все векторы \ (X \ neq 0 \) такие, что \ (AX = -3X \).Это решения \ (((- 3) I-A) X = 0 \). \ [\ begin {align} \ left ((-3) \ left (\ begin {array} {rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {array} \ right) - \ left (\ begin {array} {rr} -5 & 2 \\ -7 & 4 \ end {array} \ right) \ right) \ left (\ begin {array} {c} x \\ y \ end {array} \ right) & = & \ left (\ begin {array} {r} 0 \\ 0 \ end {array} \ right) \\ \ left (\ begin {array} {rr} 2 & -2 \\ 7 & -7 \ end {array } \ right) \ left (\ begin {array} {c} x \\ y \ end {array} \ right) & = & \ left (\ begin {array} {r} 0 \\ 0 \ end {array} \ right) \ end {align} \]

Расширенная матрица для этой системы и соответствующая ей задаются как \ [\ left (\ begin {array} {rr | r} 2 & -2 & 0 \\ 7 & -7 & 0 \ end {array} \ right) \ rightarrow \ cdots \ rightarrow \ left (\ begin {array} {rr | r} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) \]

Решением является любой вектор вида \ [\ left (\ begin {array} {c} s \\ s \ end {array} \ right) = s \ left (\ begin {array} {r} 1 \\ 1 \ end {array} \ right) \]

Это дает основной собственный вектор для \ (\ lambda_2 = -3 \) как \ [\ left (\ begin {array} {r} 1 \\ 1 \ end {array} \ right) \]

Чтобы проверить, мы проверяем, что \ (AX = -3X \) для этого основного собственного вектора.

\ [\ left (\ begin {array} {rr} -5 & 2 \\ -7 & 4 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {r} 1 \\ 1 \ end { массив} \ right) = \ left (\ begin {array} {r} -3 \\ -3 \ end {array} \ right) = -3 \ left (\ begin {array} {r} 1 \\ 1 \ конец {массив} \ right) \]

Это то, что мы хотели, поэтому мы знаем, что этот основной собственный вектор верен.

Ниже приведен пример использования процедуры [proc: findeigenvaluesvectors] для матрицы \ (3 \ times 3 \).

Пример \ (\ PageIndex {3} \): найти собственные значения и собственные векторы

Найдите собственные значения и собственные векторы для матрицы \ [A = \ left (\ begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 \\ 2 & 14 & 2 \\ -4 & -8 & 6 \ end { массив} \ справа) \]

Решение

Мы будем использовать процедуру [proc: findeigenvaluesvectors].Сначала нам нужно найти собственные значения \ (A \). Напомним, что они являются решениями уравнения \ [\ det \ left (\ lambda I - A \ right) = 0 \]

В этом случае уравнение имеет вид \ [\ det \ left (\ lambda \ left (\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array } \ right) - \ left (\ begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 \\ 2 & 14 & 2 \\ -4 & -8 & 6 \ end {array} \ right) \ right) = 0 \]

, что становится

\ [\ det \ left (\ begin {array} {ccc} \ lambda - 5 & 10 & 5 \\ -2 & \ lambda - 14 & -2 \\ 4 & 8 & \ lambda - 6 \ end {array } \ right) = 0 \]

Используя расширение Лапласа, вычислите этот определитель и упростите.{2} \] Следовательно, \ (\ lambda_2 = 10 \) - собственное значение кратности два.

Теперь, когда мы нашли собственные значения для \ (A \), мы можем вычислить собственные векторы.

Сначала мы найдем основные собственные векторы для \ (\ lambda_1 = 5. \). Другими словами, мы хотим найти все ненулевые векторы \ (X \) так, чтобы \ (AX = 5X \). Для этого необходимо решить уравнение \ (\ left (5 I - A \ right) X = 0 \) для \ (X \) следующим образом. \ [\ left (5 \ left (\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right) - \ left (\ begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 \\ 2 & 14 & 2 \\ -4 & -8 & 6 \ end {array} \ right) \ right) \ left (\ begin {array} {r } x \\ y \\ z \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {r} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array} \ right) \]

То есть вам нужно найти решение для \ [\ left (\ begin {array} {rrr} 0 & 10 & 5 \\ -2 & -9 & -2 \\ 4 & 8 & -1 \ end {array } \ right) \ left (\ begin {array} {r} x \\ y \\ z \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {r} 0 \\ 0 \\ 0 \ конец {массив} \ right) \]

К настоящему времени это знакомая проблема.Вы настраиваете расширенную матрицу и сокращаете строку, чтобы получить решение. Таким образом, матрица, которую вы должны уменьшить по строкам, это \ [\ left (\ begin {array} {rrr | r} 0 & 10 & 5 & 0 \\ -2 & -9 & -2 & 0 \\ 4 & 8 & -1 & 0 \ end {array} \ right) \] Это \ [\ left (\ begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & - \ frac {5} {4} & 0 \\ 0 & 1 & \ frac {1} {2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) \]

, поэтому решением будет любой вектор вида \ [\ left (\ begin {array} {c} \ frac {5} {4} s \\ - \ frac {1} {2} s \\ s \ end {массив} \ right) = s \ left (\ begin {array} {r} \ frac {5} {4} \\ - \ frac {1} {2} \\ 1 \ end {array} \ right) \ ] где \ (s \ in \ mathbb {R} \).Если мы умножим этот вектор на \ (4 \), мы получим более простое описание решения этой системы в виде \ [t \ left (\ begin {array} {r} 5 \\ -2 \\ 4 \ end {array} \ right) \ label {basiceigenvect} \] где \ (t \ in \ mathbb {R} \). Здесь основной собственный вектор задается как \ [X_1 = \ left (\ begin {array} {r} 5 \\ -2 \\ 4 \ end {array} \ right) \]

Обратите внимание, что мы не можем допустить здесь \ (t = 0 \), потому что это приведет к нулевому вектору, а собственные векторы никогда не будут равны 0! Помимо этого значения, любой другой выбор \ (t \) в [basiceigenvect] приводит к собственному вектору.

Хорошая идея проверить свою работу! Для этого мы возьмем исходную матрицу и умножим ее на базовый собственный вектор \ (X_1 \). Мы проверяем, получаем ли мы \ (5X_1 \). \ [\ left (\ begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 \\ 2 & 14 & 2 \\ -4 & -8 & 6 \ end {array} \ right) \ left (\ begin { массив} {r} 5 \\ -2 \\ 4 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {r} 25 \\ -10 \\ 20 \ end {array} \ right) = 5 \ left (\ begin {array} {r} 5 \\ -2 \\ 4 \ end {array} \ right) \] Это то, что мы хотели, поэтому мы знаем, что наши вычисления были правильными.

Затем мы найдем основные собственные векторы для \ (\ lambda_2, \ lambda_3 = 10. \) Эти векторы являются основными решениями уравнения \ [\ left (10 \ left (\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right) - \ left (\ begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 \\ 2 & 14 & 2 \\ -4 & -8 & 6 \ end {array} \ right) \ right) \ left (\ begin {array} {r} x \\ y \\ z \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {r} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array} \ right) \] То есть вы должны найти решения для \ [\ left (\ begin {array} {rrr} 5 & 10 & 5 \\ -2 & -4 & -2 \\ 4 & 8 & 4 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {c} x \\ y \\ z \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {r} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array} \ right) \]

Рассмотрим расширенную матрицу \ [\ left (\ begin {array} {rrr | r} 5 & 10 & 5 & 0 \\ -2 & -4 & -2 & 0 \\ 4 & 8 & 4 & 0 \ end {array} \ right) \] Для этой матрицы \ [\ left (\ begin {array} {rrr | r} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) \], поэтому собственные векторы имеют форму \ [\ left (\ begin {array} {c} -2s-t \\ s \\ t \ end {array} \ справа) = s \ left (\ begin {array} {r} -2 \\ 1 \\ 0 \ end {array} \ right) + t \ left (\ begin {array} {r} -1 \\ 0 \ \ 1 \ end {array} \ right) \] Обратите внимание, что вы не можете выбрать \ (t \) и \ (s \) оба равными нулю, потому что это приведет к нулевому вектору, а собственные векторы никогда не будут равны нулю.

Здесь есть два основных собственных вектора, заданных как \ [X_2 = \ left (\ begin {array} {r} -2 \\ 1 \\ 0 \ end {array} \ right), X_3 = \ left (\ begin {array} {r} -1 \\ 0 \\ 1 \ end {array} \ right) \]

Выбор любой (ненулевой) линейной комбинации \ (X_2 \) и \ (X_3 \) также приведет к собственному вектору для собственного значения \ (\ lambda = 10. \) Как и в случае для \ (\ lambda = 5 \ ), всегда проверяйте свою работу! Для первого основного собственного вектора мы можем проверить \ (AX_2 = 10 X_2 \) следующим образом. \ [\ left (\ begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 \\ 2 & 14 & 2 \\ -4 & -8 & 6 \ end {array} \ right) \ left (\ begin { массив} {r} -1 \\ 0 \\ 1 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {r} -10 \\ 0 \\ 10 \ end {array} \ right) = 10 \ left (\ begin {array} {r} -1 \\ 0 \\ 1 \ end {array} \ right) \] Это то, что мы хотели.Проверка второго базового собственного вектора, \ (X_3 \), оставлена ​​в качестве упражнения.

Важно помнить, что для любого собственного вектора \ (X \), \ (X \ neq 0 \). Тем не менее, собственные значения могут быть равны нулю. Это показано в следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): нулевое собственное значение

Пусть \ [A = \ left (\ begin {array} {rrr} 2 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \ end {array} \ right) \] Найдите собственные значения и собственные векторы оператора \ (A \).{2} +8 \ lambda = 0 \). Вы можете убедиться, что решениями являются \ (\ lambda_1 = 0, \ lambda_2 = 2, \ lambda_3 = 4 \). Обратите внимание, что, хотя собственные векторы никогда не могут равняться \ (0 \), возможно, что собственное значение будет равно \ (0 \).

Теперь найдем основные собственные векторы. Для \ (\ lambda_1 = 0 \) нам нужно решить уравнение \ (\ left (0 I - A \ right) X = 0 \). Это уравнение становится \ (- AX = 0 \), и поэтому расширенная матрица для поиска решений задается как \ [\ left (\ begin {array} {rrr | r} -2 & -2 & 2 & 0 \\ -1 & -3 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \ end {array} \ right) \] Это \ [\ left (\ begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) \] Следовательно, собственные векторы имеют вид \ (t \ left (\ begin { array} {r} 1 \\ 0 \\ 1 \ end {array} \ right) \), где \ (t \ neq 0 \), а основной собственный вектор задается как \ [X_1 = \ left (\ begin {array} {r} 1 \\ 0 \\ 1 \ end {array} \ right) \]

Мы можем проверить правильность этого собственного вектора, проверив выполнение уравнения \ (AX_1 = 0 X_1 \).Продукт \ (AX_1 \) определяется как \ [AX_1 = \ left (\ begin {array} {rrr} 2 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \ end { массив} \ right) \ left (\ begin {array} {r} 1 \\ 0 \\ 1 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {r} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array} \ right) \]

Это явно равно \ (0X_1 \), поэтому уравнение выполняется. Следовательно, \ (AX_1 = 0X_1 \) и, значит, \ (0 \) является собственным значением \ (A \).

Вычисление других основных собственных векторов оставлено в качестве упражнения.

В следующих разделах мы исследуем способы упростить этот процесс поиска собственных значений и собственных векторов с помощью свойств специальных типов матриц.

Собственные значения и собственные векторы для специальных типов матриц

Есть три специальных вида матриц, которые мы можем использовать для упрощения процесса нахождения собственных значений и собственных векторов. В этом разделе мы обсудим похожие матрицы, элементарные матрицы, а также треугольные матрицы. {- 1} BP \]. Тогда \ (A \) и \ (B \) называются аналогичными матрицами .{-1} BPX = \ lambda X \] и поэтому \ [BPX = \ lambda PX \]

Поскольку \ (P \) взаимно однозначно и \ (X \ neq 0 \), отсюда следует, что \ (PX \ neq 0 \). Здесь \ (PX \) играет роль собственного вектора в этом уравнении. Таким образом, \ (\ lambda \) также является собственным значением \ (B \). Аналогичным образом можно проверить, что любое собственное значение матрицы \ (B \) также является собственным значением матрицы \ (A \), и, следовательно, обе матрицы имеют одинаковые собственные значения по желанию.

Доказательство второго утверждения аналогично и оставлено как упражнение.

Обратите внимание, что это доказательство также демонстрирует, что собственные векторы \ (A \) и \ (B \) будут (в общем случае) быть разными .В доказательстве мы видим, что \ (AX = \ lambda X \), а \ (B \ left (PX \ right) = \ lambda \ left (PX \ right) \). Следовательно, для собственного значения \ (\ lambda \), \ (A \) будет иметь собственный вектор \ (X \), а \ (B \) будет иметь собственный вектор \ (PX \).

Второй специальный тип матриц, который мы обсуждаем в этом разделе, - это элементарные матрицы. Напомним из определения [def: elementarymatricesandrowops], что элементарная матрица \ (E \) получается применением одной строковой операции к единичной матрице.

Можно использовать элементарные матрицы для упрощения матрицы перед поиском ее собственных значений и собственных векторов.Это показано в следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {5} \): упрощение с использованием элементарных матриц

Найдите собственные значения для матрицы \ [A = \ left (\ begin {array} {rrr} 33 & 105 & 105 \\ 10 & 28 & 30 \\ -20 & -60 & -62 \ end {array} \ справа) \]

Решение

Эта матрица имеет большие числа, поэтому мы хотели бы максимально упростить ее перед вычислением собственных значений.

Мы сделаем это с помощью строковых операций.Сначала добавьте \ (2 \) раза вторую строку к третьей строке. Для этого умножьте слева \ (A \) на \ (E \ left (2,2 \ right) \). Затем умножьте справа \ (A \) на обратное к \ (E \ left (2,2 \ right) \), как показано. \ [\ left (\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {rrr } 33 & 105 & 105 \\ 10 & 28 & 30 \\ -20 & -60 & -62 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {rrr} 33 & -105 & 105 \\ 10 & -32 & 30 \\ 0 & 0 & -2 \ end {array} \ right) \] По лемме [lem: similarmatrices] результирующая матрица имеет те же собственные значения, что и \ (A \), где здесь матрица \ (E \ left (2,2 \ right) \) играет роль \ (P \).

Мы делаем этот шаг снова, как показано ниже. На этом шаге мы используем элементарную матрицу, полученную добавлением \ (- 3 \) раз второй строки к первой строке. \ [\ left (\ begin {array} {rrr} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} { rrr} 33 & -105 & 105 \\ 10 & -32 & 30 \\ 0 & 0 & -2 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {rrr} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {rrr} 3 & 0 & 15 \\ 10 & -2 & 30 \\ 0 & 0 & -2 \ end {array} \ right) \ label {elemeigenvalue} \] Снова по лемме [lem: similarmatrices] эта результирующая матрица имеет те же собственные значения, что и \ (A \).На этом этапе мы можем легко найти собственные значения. Пусть \ [B = \ left (\ begin {array} {rrr} 3 & 0 & 15 \\ 10 & -2 & 30 \\ 0 & 0 & -2 \ end {array} \ right) \] Затем мы найти собственные значения \ (B \) (и, следовательно, \ (A \)), решив уравнение \ (\ det \ left (\ lambda I - B \ right) = 0 \). Вы должны убедиться, что это уравнение принимает вид \ [\ left (\ lambda +2 \ right) \ left (\ lambda +2 \ right) \ left (\ lambda - 3 \ right) = 0 \] Решение этого уравнения приводит к собственным значениям \ (\ lambda_1 = -2, \ lambda_2 = -2 \) и \ (\ lambda_3 = 3 \).Следовательно, это также собственные значения \ (A \).

Используя элементарные матрицы, мы смогли создать матрицу, для которой поиск собственных значений был проще, чем для \ (A \). На этом этапе вы можете вернуться к исходной матрице \ (A \) и решить \ (\ left (\ lambda I - A \ right) X = 0 \), чтобы получить собственные векторы \ (A \).

Обратите внимание, что при умножении справа на элементарную матрицу вы выполняете операцию столбца, определенную элементарной матрицей. В [elemeigenvalue] умножение на элементарную матрицу справа просто включает в себя трижды взятие первого столбца и прибавление ко второму.Таким образом, без ссылки на элементарные матрицы, переход к новой матрице в [elemeigenvalue] можно проиллюстрировать как \ [\ left (\ begin {array} {rrr} 33 & -105 & 105 \\ 10 & -32 & 30 \\ 0 & 0 & -2 \ end {array} \ right) \ rightarrow \ left (\ begin {array} {rrr} 3 & -9 & 15 \\ 10 & -32 & 30 \\ 0 & 0 & - 2 \ end {array} \ right) \ rightarrow \ left (\ begin {array} {rrr} 3 & 0 & 15 \\ 10 & -2 & 30 \\ 0 & 0 & -2 \ end {array} \ right ) \]

Третий специальный тип матриц, который мы рассмотрим в этом разделе, - это треугольная матрица.Напомним определение [def: triangularmatrices], которое гласит, что верхняя (нижняя) треугольная матрица содержит все нули ниже (выше) главной диагонали. Помните, что определение определителя треугольной матрицы - это простая процедура, состоящая из произведения элементов на главной диагонали. Оказывается, существует также простой способ найти собственные значения треугольной матрицы.

В следующем примере мы продемонстрируем, что собственные значения треугольной матрицы - это элементы на главной диагонали.

Пример \ (\ PageIndex {6} \): собственные значения для треугольной матрицы

Пусть \ (A = \ left (\ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 6 \ end {array} \ right). \) Найдите собственные значения из \ (A \).

Решение

Нам нужно решить уравнение \ (\ det \ left (\ lambda I - A \ right) = 0 \) следующим образом \ [\ begin {align} \ det \ left (\ lambda I - A \ right) = \ det \ left (\ begin {array} {ccc} \ lambda -1 & -2 & -4 \\ 0 & \ lambda -4 & -7 \\ 0 & 0 & \ lambda -6 \ end {array} \ right ) = \ влево (\ лямбда -1 \ вправо) \ влево (\ лямбда -4 \ вправо) \ влево (\ лямбда -6 \ вправо) = 0 \ конец {выровнено} \]

Решение уравнения \ (\ left (\ lambda -1 \ right) \ left (\ lambda -4 \ right) \ left (\ lambda -6 \ right) = 0 \) для \ (\ lambda \) приводит к собственные значения \ (\ lambda_1 = 1, \ lambda_2 = 4 \) и \ (\ lambda_3 = 6 \).Таким образом, собственные значения - это элементы на главной диагонали исходной матрицы.

Тот же результат верен для нижнетреугольных матриц. Для любой треугольной матрицы собственные значения равны элементам на главной диагонали. Чтобы найти собственные векторы треугольной матрицы, воспользуемся обычной процедурой.

В следующем разделе мы исследуем важный процесс, связанный с собственными значениями и собственными векторами матрицы.

Инверсия матрицы 2x2

В этом уроке мы будем иметь дело только с квадратными матрицами 2 × 2 .Я подготовил пять (5) рабочих примеров, чтобы проиллюстрировать процедуру решения или нахождения обратной матрицы с использованием метода формул .

Чтобы дать вам общее представление, две матрицы являются инверсными друг другу, если их произведение представляет собой единичную матрицу . Единичная матрица размером 2 × 2 - это матрица с нулями всюду, но с единицей на диагонали. Это выглядит так.

Важно знать, как матрица и ее обратная матрица связаны результатом их произведения.Итак,

  • Если матрица A 2 × 2 является обратимой и умножается на ее обратную (обозначается символом A −1 ), в результате получается матрица идентичности, обозначаемая I. Чтобы проиллюстрировать эту концепцию, см. диаграмму ниже.
  • Фактически, я могу переключить порядок или направление умножения между матрицами A и A −1 , и я все равно получу матрицу идентичности I. Это означает, что обратимые матрицы коммутативны.

Как найти обратную матрицу? Формула довольно проста. Пока вы следуете ему, проблем быть не должно. Вот так.

Формула для нахождения обратной матрицы 2 × 2

Учитывая матрицу A

Обратное значение рассчитывается по формуле

, где \ color {red} {\ rm {det}} \, A читается как определитель матрицы A.

Несколько замечаний по поводу формулы:

  • Записи \ color {blue} a и \ color {blue} d из матрицы A меняются местами в зависимости от позиции в формуле.
  • Записи \ color {blue} b и \ color {blue} c из матрицы A остаются на своих текущих позициях, однако их знаки меняются местами. Другими словами, ставьте отрицательные символы перед записями b и c.
  • Поскольку \ color {red} {\ rm {det}} \, A - это просто число, то \ large {1 \ over {{\ rm {det}} A}} также является числом, которое будет служить скалярный множитель к матрице

См. Мой отдельный урок по скалярному умножению матриц.


Примеры того, как найти обратную матрицу 2 × 2

Пример 1: Найдите обратную матрицу 2 × 2 ниже, если она существует.

Формула требует от нас найти определитель данной матрицы. Ты помнишь, как это делать? Если нет, ничего страшного. Просмотрите приведенную ниже формулу, как найти определитель матрицы 2 × 2.

Итак, определитель матрицы A равен

Чтобы найти обратное, мне просто нужно подставить значение {\ rm {det}} A = - 1 в формулу, выполнить некоторую «реорганизацию» записей и, наконец, выполнить скалярное умножение.

  • Вот снова формула для нахождения обратной матрицы 2 × 2.
  • Теперь найдем матрицу, обратную матрице A.

Давайте затем проверим, правильна ли наша обратная матрица, выполнив матричное умножение A и A −1 двумя способами, и посмотрим, получаем ли мы матрицу идентичности.

Так как умножение обоих способов генерирует матрицу идентичности, то мы гарантируем, что обратная матрица, полученная с помощью формулы, является правильным ответом!


Пример 2: Найдите обратную матрицу 2 × 2 ниже, если она существует.

Сначала найдите определитель матрицы B.

Во-вторых, подставьте в формулу значение det B = 1 , а затем реорганизуйте элементы матрицы B, чтобы они соответствовали формуле.

Я предоставлю вам проверить, что

Другими словами, матричное произведение B и B -1 в любом направлении дает матрицу идентичности.


Пример 3: Найдите матрицу, обратную матрице ниже, если она существует.

Это отличный пример, потому что определитель не равен ни +1, ни -1, что обычно приводит к обратной матрице, имеющей рациональные или дробные элементы. Я должен признать, что большинство задач, поставленных учителями ученикам об обратной матрице 2 × 2, аналогично этой.

Шаг 1 : Найдите определитель матрицы C.

  • Формула для определения определителя
  • Ниже представлено анимированное решение для вычисления определителя матрицы C

Шаг 2 : Определитель матрицы C равен −2.Подставьте значение в формулу, затем упростите, чтобы получить обратную матрицу C.

Шаг 3 : Проверьте правильность вычисленной обратной матрицы, выполнив умножение левой и правой матриц для получения матрицы идентичности.

Да, матричное умножение работает в обоих случаях, как показано ниже.

Первый случай:

Второй случай:


Пример 4: Найдите матрицу, обратную матрице ниже, если она существует.

В наших предыдущих трех примерах нам удалось найти инверсию заданных 2 \ умноженных на 2 матриц.Я не хочу, чтобы у вас сложилось впечатление, что все матрицы 2 \ 2 имеют обратные.

В этом примере я хочу проиллюстрировать, когда данная матрица 2 \ умноженная на 2 не имеет инверсии. Как это случилось?

Если мы снова рассмотрим формулу, станет очевидным, что эта ситуация может возникнуть, когда определитель данной матрицы равен нулю , потому что 1, деленное на ноль, не определено . Итак, неопределенный член, распределенный по каждой записи матрицы, не имеет никакого смысла.

Вернемся к задаче определения определителя матрицы D.

Следовательно, , обратная матрице D, не существует , потому что определитель D равен нулю. Это наш окончательный ответ!


Пример 5: Найдите матрицу, обратную матрице ниже, если она существует.

Шаг 1 : Найдите определитель матрицы E.

Шаг 2 : Реорганизуйте элементы матрицы E, чтобы они соответствовали формуле, и замените решенное значение определителя матрицы E.Распределите значение \ large {1 \ over {{\ rm {det}} E}} по элементам матрицы E, затем упростите, если возможно.

Шаг 3 : Проверьте свой ответ, убедившись, что вы получили матрицу идентичности в обоих сценариях.

Первый сценарий:

Второй сценарий:


Практика с рабочими листами

Возможно, вас заинтересует:

Функция, обратная абсолютному значению

Функция, обратная постоянной

Обратная экспоненциальная функция

Функция, обратная линейной

Обратная логарифмическая функция

Обратная квадратичная функция

Обратная рациональная функция

Функция, обратная квадратному корню

Матричная алгебра

Матричная алгебра

Матричная алгебра

Что такое единичная матрица?

Что такое скаляр?

Что такое обратная матрица?

Когда (для какой матрицы) транспонированная матрица равна исходной матрице?

Произвести умножение матриц.

Учитывая матрицу и матричную операцию, определите содержимое результирующей матрицы (например, SSCP, ковариация, корреляция).

Определения

«Матрица - это прямоугольник размером n на k, состоящий из чисел или символов, обозначающих числа» (Pedhazur, 1997, p. 983). Размер матрицы называется ее порядком и обозначается строками и столбцами. По соглашению, строки всегда упоминаются первыми. Таким образом, матрица порядка 3 на 2 с именем A может выглядеть так:

A

=

Матрица с именем B порядка 4 на 4 может выглядеть так:

B

=

Обычно матрицы в тексте печатаются жирным шрифтом .

Элементы (элементы) матрицы упоминаются по имени матрицы в нижнем регистре с заданной строкой и столбцом (опять же, строка идет первой). Например, a 31 = 2, b 22 = 1. Как правило, a ij означает элемент A в i-й строке и j-м столбце. По соглашению, элементы печатаются курсивом .

транспонирование матрицы получается путем обмена строками и столбцами, так что первая строка становится первым столбцом и так далее.Транспонирование матрицы обозначается одинарной кавычкой и называется простым числом. Например, A '(простое число):

A

=

A '=

Обратите внимание, что A '- это не просто A , «перевернутое» на бок (если это так, мы увидим в первом столбце 1 3 вместо 3 1). Это как если бы карточки или доски с номерами для каждого ряда были вытянуты 1 на 1 и размещены в порядке транспонирования. Транспонирование B:

B

=

B '=

(Для некоторых матриц транспонирование равно исходной матрице.)

Если n = k, количество строк равно количеству столбцов, а матрица квадрат . Квадратная матрица может быть симметричной или асимметричной . Симметричная матрица обладает тем свойством, что элементы выше и ниже главной диагонали одинаковы, так что element (i, j) = element (j, i), как в нашей матрице B . (Главная или главная диагональ в матрице B состоит из элементов, все равны 1.) В случае квадратной симметричной матрицы транспонированная матрица является исходной матрицей.Корреляционная матрица всегда будет квадратной симметричной матрицей, поэтому транспонирование будет равно оригиналу.

Вектор-столбец - это числовая матрица размером n на 1. Например:

(Я собираюсь использовать прямоугольники для матриц, а не стандартные скобки из-за проблем с форматированием.) Итак, b - вектор-столбец. Вектор-строка представляет собой числовую матрицу размером 1 на k. Например,

Итак, b '- вектор-строка.Обратите внимание, что b ' - это транспонирование b . По соглашению векторы печатаются строчными буквами жирным шрифтом, а векторы-строки представлены как транспонированные векторы-столбцы.

Диагональная матрица - это квадратная симметричная матрица, имеющая нули везде, кроме главной диагонали. Например:

С

=

12

0

0

0

10

0

0

0

5

C - диагональная матрица.

Особенно важная диагональная матрица называется единичной матрицей, I . Эта диагональная матрица имеет единицы на главной диагонали.

Я

=

1

0

0

0

1

0

0

0

1

I - единичная матрица.Бывает, что корреляционная матрица, в которой все переменные ортогональны, является единичной матрицей.

Скаляр - это матрица с одним элементом. Например

d

- скаляр.

Матричные операции

Сложение и вычитание

Матрицы можно складывать и вычитать тогда и только тогда, когда они одного порядка (идентичны по количеству строк и столбцов). Матрицы, на которых допустима операция, называются соответствующими операции.

Нам повезло, потому что сложение и вычитание матриц просто означает сложение или вычитание соответствующих элементов двух матриц.

Дополнение

4

+

6

=

10

1

2

3

5

3

8

х

л

z

Дополнение

1

2

+

3

4

=

4

6

1

2

5

6

6

8

1

2

7

8

8

10

Х

Y

Z

Вычитание

1

2

3

4

=

-2

-2

1

2

5

6

-4

-4

1

2

7

8

-6

-6

Х

Y

Z

Умножение

В отличие от сложения и вычитания матриц, умножение матриц не является прямым расширением обычного умножения.Умножение матриц включает как умножение, так и добавление элементов. Если мы умножим вектор-строку на вектор-столбец, мы получим скаляр.

Чтобы получить это, мы сначала умножаем соответствующие элементы, а затем складываем их.

b1

=

а1

а2

a3

в2

а1b1

+ a2b2

+ a3b3

b3

а '

б

с

Для числового примера:

0

=

=

1

2

3

2

0 + 4 + 12

16

4

Результат умножения двух таких векторов называется скалярным произведением.Скалярные произведения имеют множество статистических приложений. Например, сумму переменной можно найти, поместив эту переменную в вектор-столбец и предварительно умножив ее на вектор-строку, состоящий из единиц.

Например,

7

1

1

1

8

=

7 + 8 + 9

=

24

9

1'x

= S X

Мы можем найти сумму перекрестных произведений по таким операциям:

1

2

4

6

3

=

2 + 12 + 30

=

44

5

x'y

= S XY

И если мы вычтем среднее значение из вектора-столбца, мы можем найти сумму квадратов:

–1

–1

0

1

0

=

1 + 0 + 1

=

2

1

x'x

= S x 2

В отличие от обычного умножения, матричное умножение не является симметричным, так что, как правило, x'y не равно y'x , то есть предварительное и последующее умножение обычно не дает одинакового результата.В общем, первая матрица будет порядка r1xc1, а вторая - порядка r2xc2.

Чтобы соответствовать умножению, c1 должно быть равно r2. Порядок результирующей матрицы будет r1xc2. Внутренние числа должны быть равны, чтобы произошло умножение. Если да, то результат будет порядка внешних чисел. Некоторые примеры

А (1 ул )

Б (2 nd )

AB

рядов

Cols

рядов

Cols

рядов

Cols

1

5

5

1

1

1

1

10

10

1

1

1

1

6

5

1

DNC

5

1

1

5

5

5

3

2

2

3

3

3

3

3

2

3

DNC

2

4

4

3

2

3

То, что происходит при умножении матриц, зависит от порядка матриц (хотя последовательность шагов всегда одинакова).

Если мы умножим вектор-столбец на вектор-строку, мы получим матричное произведение векторов, а не скаляр.

Пример

1

1

-2

0

2

1

-2

0

=

2

-4

0

3

3

-6

0

а

б '

=

К

3x1

1x3

3x3

Возьмите первую строку a (1), умножьте на первый столбец b (1) установите результат на c 1,1 .Возьмите вторую строку a (2), умножьте на 1 st столбец b (1), установите результат как c 2,1 и т. Д.

Тот же самый шаблон используется для матриц большего порядка, за исключением того, что для каждой комбинации мы умножаем и складываем. Например

2

1

7

8

9

3

1

2

3

4

9

11

13

4

2

3

2

1

14

16

18

А

Б

К

3x2

2x3

3x3

Чтобы получить значения C

(2) 2+ (1) 3 = 7 (1,1)

(2) 3+ (1) 2 = 8

(1,2)

(2) 4+ (1) 1 = 9

(1,3)

(3) 2+ (1) 3 = 9

(2,1)

(3) 3+ (1) 2 = 11

(2,2)

(3) 4+ (1) 1 = 13

(2,3)

(4) 2+ (2) 3 = 14

(3,1)

(4) 3+ (2) 2 = 16

(3,2)

(4) 4+ (2) 1 = 18

(3,3)

Идите по строкам первой матрицы и столбцам второй.Чтобы получить c (1,1), возьмите первую строку и первый столбец, умножьте соответствующие элементы и сложите.

Умножение матриц полезно для нахождения матрицы сумм квадратов и перекрестных произведений (матрица SSCP).

Мы можем найти либо исходную оценку, либо сумму оценок отклонений квадратов и перекрестных произведений. Первые необработанные баллы:

1

2

0

1

2

2

3

2

2

2

3

2

26

37

14

2

3

4

3

4

2

2

4

2

37

58

20

0

2

2

2

0

0

3

3

2

14

20

12

2

4

0

2

2

0

X '

Х

SSCP

3x6

6x3

3x3

Содержание матрицы SSCP

Теперь отклонение оценок от тех же данных:

-1

-1

-1

-1

0

0

1

0

0

0

0

1

2

1

2

-1

0

1

0

1

-1

0

1

1

1

4

2

-1

1

1

1

-1

-1

1

0

1

2

2

6

0

1

-1

0

-1

-1

X '

Х

SSCP

3x6

6x3

3x3

Содержание матрицы SSCP

Если мы умножаем или делим матрицу на скаляр, каждый элемент матрицы умножается (делится) на этот скаляр.Если мы разделим каждый элемент в приведенной выше матрице SSCP на 6 (размер выборки), мы получим

2/6

1/6

2/6

0,33

,17

0,33

1/6

4/6

2/6

=

.17

,66

0,33

2/6

2/6

6/6

0,33

0,33

1

Матрица SSCP, деленная на N (или N-1), называется матрицей вариации-ковариации.В нем у нас есть дисперсии по диагонали и ковариации по главной диагонали.

Если мы дополнительно разделим на стандартное отклонение для каждой строки и каждого столбца, мы получим матрицу корреляции:

Корреляционная матрица для наших данных:

Детерминанты

Определитель - это необычное свойство или значение матрицы. Мы (ну, фактически, компьютер) будем находить детерминанты корреляции, дисперсии-ковариации или матриц суммы квадратов и перекрестных произведений (SSCP).Вы можете думать о детерминанте как о мере свободы изменения или отсутствия предсказуемости в матрице (я говорю это, чтобы дать вам некоторое представление о том, что это такое, даже если оно не совсем правильное или точное). Помимо общего представления о том, что это такое, и окружающей его номенклатуре, вам необходимо знать (а), что определитель используется при нахождении обратной матрицы (обсуждается в следующем разделе) и (б) что это означает, когда определитель нуль.

Определитель матрицы Записано

det ( A ) = | A | или

Определитель обозначен вертикальными линиями вместо скобок.Определитель трудно вычислить, если матрица не имеет порядок 2x2. В этом случае определитель будет всего лишь a 11 ( a 22 ) - a 21 ( a 12 ). В нашем примере выше определитель будет 1 (1) - (. 5) (. 5) = 0,75.

Большой детерминант означает, что есть свобода изменения; нулевой определитель означает, что нет свободы варьирования, в матрице есть полная предсказуемость.Например, если бы корреляция между двумя нашими показателями была 1,0, то определитель корреляционной матрицы был бы (1) (1) - (1) (1) = 0. Определитель нулевых результатов, когда существует линейная зависимость в матрица. То есть, если одна переменная является линейной комбинацией других переменных в матрице, определитель будет равен нулю. Например, предположим, что я хочу использовать удовлетворенность работой для прогнозирования текучести кадров. У меня есть пять шкал удовлетворенности работой из JDI (известный показатель описания работы): работа, оплата, продвижение по службе, супервизия и коллеги.Теперь предположим, что я хочу спрогнозировать текучесть кадров из этих пяти плюс общее удовлетворение. Если я суммирую пять шкал, чтобы обозначить общее удовлетворение, общая сумма будет линейной комбинацией пяти шкал (общая = работа + оплата + промо + супер + работа).

Если я помещу все шесть шкал в корреляционную матрицу, у нее будет нулевой определитель. Матрица с нулевым определителем называется сингулярным числом . Как скоро будет объяснено, это в некотором роде плохо. Сингулярные матрицы создают для нас неприятные проблемы.Матрица будет сингулярной, если любые две переменные в матрице идеально коррелированы (либо r = 1, либо r = -1). Матрица также будет сингулярной, если любая переменная в матрице идеально предсказывается любой комбинацией других переменных в матрице. То есть, если мы выберем любую одну переменную в качестве зависимой переменной и используем любую комбинацию других переменных в матрице для вычисления линейной регрессии и найдем R 2 равным 1,0, матрица будет сингулярной. У сингулярной матрицы нет обратной .

1

0

0

0

1

0

| A |

= 1

0

0

1

А

1

.5

,25

,5

1

,25

| B |

= 0,69

.25

,25

1

Б

1

1

0

1

1

0

| C |

= 0

0

0

1

К

Обратите внимание, что определитель для A больше, чем для B , потому что у A больше свободы для изменения и, конечно, определитель для C равен нулю, потому что две из переменных идеально подходят коррелирован.

Инверсная матрица

Обратное является матричным аналогом деления действительных чисел. В действительных числах x -1 равно 1 / x. А в действительных числах, если мы умножим x на x -1 , мы получим (x) (1 / x) = 1. Только квадратная матрица может иметь обратную. Обратное имеет свойство: когда мы умножаем матрицу на обратную, результатом является единичная матрица, I . Другими словами, AA -1 = A -1 A = I .Это особенное во многих отношениях. Во-первых, обычно бывает, что предварительное умножение и постумножение двух матриц дает один и тот же результат ( AX обычно не равно XA ). Во-вторых, единичная матрица обладает тем свойством, что ее умножение на любую соответствующую матрицу дает ту же матрицу. То есть AI = IA = A . Умножение матрицы на единичную матрицу аналогично действительной операции умножения числа или переменной на 1: результирующий результат идентичен входному числу.Вот почему обратная матрица аналогична делению числа на себя в действительных числах. В вещественных числах, когда вы делите число на обратное (обратное), результат равен 1. Когда вы умножаете матрицу на обратную, результат будет I . В обоих случаях (1 и I ) при умножении на что-то исходное значение остается неизменным.

1

,5

,25

1

0

0

1

.5

,25

,5

1

,25

0

1

0

,5

1

,25

,25

,25

1

0

0

1

.25

,25

1

Б

Я

BI

1

.5

,25

1,36

-.64

-.18

1

0

0

,5

1

,25

-.64

1,36

-.18

0

1

0

,25

,25

1

-.18

-.18

1,36

0

0

1

Б

Б -1

BB -1

Проверьте умножение.

БИ (1,1) = 1 + 0 + 0; BI (2,1) = 0,5 + 0 + 0; BI (3,1) = 0,25 + 0 + 0 и т. Д. BB -1 (1,1) = (1) 1,36-5 (0,46) - 0,25 (0,18) = 1; BB -1 (2,1) = 0,5 (1,36) - (1) .64-0,25 (0,18) = 0 и т. Д.

Третья, основная причина, по которой мы заботимся об этом, заключается в том, что обратное используется при нахождении весов b и b из матриц данных. Если мы умножим корреляционную матрицу на ее обратную, мы получим единичную матрицу I . Это позволяет нам умножить обе части уравнения на обратное, чтобы решить матричное уравнение (точно так же, как деление обеих сторон уравнения в обычной алгебре).

Обратное выражение позволяет нам найти веса b .

Во всяком случае, обратного нет, когда матрица сингулярна (когда определитель равен нулю). Когда нет обратного, мы не можем найти веса b . Итак, если у нас есть сингулярная матрица, мы не можем выполнять множественную регрессию.

Примыкание к матрице

Позволять А знак равно [ а я j ] быть квадратная матрица порядка п .Сопряженный к матрице А транспонированная матрица кофакторов А . Обозначается прил. А . Сопряженная матрица также называется сопряженной матрицей.

Пример:

Найдите сопряженный к матрице.

А знак равно [ 3 1 - 1 2 - 2 0 1 2 - 1 ]

Чтобы найти сопряженную матрицу, сначала найдите матрицу сомножителей данной матрицы.Затем найдите транспонирование матрицы кофакторов.

Кофактор 3 знак равно А 11 знак равно | - 2 0 2 - 1 | знак равно 2

Кофактор 1 знак равно А 12 знак равно - | 2 0 1 - 1 | знак равно 2

Кофактор - 1 знак равно А 13 знак равно | 2 - 2 1 2 | знак равно 6

Кофактор 2 знак равно А 21 год знак равно - | 1 - 1 2 - 1 | знак равно - 1

Кофактор - 2 знак равно А 22 знак равно | 3 - 1 1 - 1 | знак равно - 2

Кофактор 0 знак равно А 23 знак равно - | 3 1 1 2 | знак равно - 5

Кофактор 1 знак равно А 31 год знак равно | 1 - 1 - 2 0 | знак равно - 2

Кофактор 2 знак равно А 32 знак равно - | 3 - 1 2 0 | знак равно - 2

Кофактор - 1 знак равно А 33 знак равно | 3 1 2 - 2 | знак равно - 8

Кофакторная матрица А является [ А я j ] знак равно [ 2 2 6 - 1 - 2 - 5 - 2 - 2 - 8 ]

Теперь найдите транспонирование А я j .

а d j А знак равно ( А я j ) Т знак равно [ 2 - 1 - 2 2 - 2 - 2 6 - 5 - 8 ]

.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *