Матрица 1 3: Размер матрицы. Что это такое?

Содержание

Типы и размеры матриц камер видеонаблюдения

Светочувствительная матрица — важнейший элемент видеокамеры, который обеспечивает качество изображения на 90%. Представляет собой интегральную микросхему, состоящую из фотодиодов. Сенсор генерирует видеопоток, преобразуя проецируемое в него оптическое изображение в аналоговые электрические импульсы. В сетевых видеокамерах эти импульсы сразу преобразовываются в цифровой поток данных за счет наличия в системе АЦП, сразу обрабатывающего сигнал.

Сенсоры имеют ряд характеристик, важнейшие из которых — вид, разрешение и размер матрицы камеры видеонаблюдения. От этих параметров зависит быстродействие устройства, уровень его энергозатратности, а также конечное качество воспроизводимого камерой видео.

Типы матриц, которые используют в современных камерах видеонаблюдения

  • CCD (ПЗС). Характеризуются лучшей светочувствительностью, обеспечивают хорошую цветопередачу и низкий уровень шума на изображении. Это достигается за счет последовательного считывания зарядов в каждой ячейке сенсора. Однако принцип действия таких матриц слишком медленный и не удовлетворяет современное видеонаблюдение с большими разрешениями и высокой кадровой частотой. Кроме того, такие сенсоры энергозатратны, дороже в производстве и сложнее в эксплуатации. В современных цифровых камерах важно какая матрица используется. Поэтому, чтобы не тормозить процесс передачи видеопотока, технологию CCD практически не применяют;
  • Live-MOS. Разработка компании Panasonic. Применяется для трансляций «живого» изображения за счет технологии, которая позволяет упрощенно организовать передачу сигналов управления и преобразование света в электрические импульсы. Для технологии характерно меньшее напряжение электропитания, перегрев и уровень шумовых помех;
  • CMOS (КМОП). Главное достоинство — более низкое энергопотребление. Ячейки в сенсоре считываются в произвольном порядке, что позволяет избежать размытия изображения при съемке движущихся объектов. Камерой с типом матрицы CMOS гораздо проще управлять, поскольку большая часть электроники расположена на ячейке. Однако такая конструкция сенсора уменьшает светочувствительную площадь.

Для современного видеонаблюдения в соотношении быстродействия, энергопотребления и цены КМОП матрицы предпочтительнее. Поэтому крупнейшие производители камер сосредоточились на закупке или производстве собственных CMOS сенсоров. Например, компании Hikvision и Dahua разрабатывают собственные светочувствительные элементы, которые использует при производстве оборудования. В топовых видеокамерах Dahua DH-SD50430I-HC-S2 или HIKVISION DS-2CD2942F используются именно КМОП матрицы.

DH-SD50430I-HC-S2

Видеокамера HDCVI Скоростная купольная поворотная 4Мп разрешения

DS-2CD2942F

Панорамная купольная камера Fish Eye с высоким разрешением до 4Мп

ПЗС или КМОП матрица?

Размеры матриц видеокамер наблюдения

Физические размеры матриц выражаются условной длиной, приведенной к диагонали видикона.

Видикон — родоначальник современной фото- и видеотехники. Его диаметр равнялся 1 условному дюйму при рабочей диагонали 16 мм. «Видиконовый дюйм» принят стандартом для определения типоразмера матрицы. Таким образом, если указано, что сенсор имеет размер 1/2”, это значит, что его диагональ равна 8 мм.

Современные видеокамеры чаще всего используют следующие типоразмеры: 1/2”; 1/3”; 1/4”; 1/6” и реже 1/10”.

На что влияет размер матрицы в камере?
От диагонали сенсора напрямую зависит качество изображения. Чем больше размер матрицы, тем крупнее у нее пиксели, следовательно, они улавливают большее количество света и расположены менее густо. Это позволяет уменьшить уровень помех, наводок и паразитных шумов. Кроме того, крупные сенсоры дают большие углы обзора для оптики с одинаковым фокусным расстоянием.

Какой размер матрицы лучше для видеокамеры

Это зависит от конкретных задач, стоящих перед видеонаблюдением. Важно помнить, что при выборе устройства характеристики нужно рассматривать комплексно. Например, хорошее разрешение при маленьком размере сенсора дадут плохое изображение. Кроме того, чем больше матрица, тем она дороже. Поэтому при выборе видеокамеры необходимо рассматривать вариант, в котором будут учитываться оптимальное соотношение трех показателей, удовлетворяющих потребности видеонаблюдения — это цена, разрешение и типоразмер.

DS-2CD2143G0-IS | Продукты | Hikvision Russia

Матрица 1/3’’ Progressive Scan CMOS
Чувствительность Цвет: 0.01лк@(F1.2,AGC вкл.)
Ч/Б: 0.018лк@(F2.0,AGC вкл.), 0лк с ИК
Скорость электронного затвора 1/3с ~ 1/100,000с, поддержка медленного затвора
Объектив 2.8мм, 4мм, 6мм, 8мм@F2.0
Крепление объектива M12
Угол обзора объектива 2.8мм : по горизонтали: 98°, по вертикали: 55°, подиагонали: 114°
4мм: по горизонтали: 78°, по вертикали: 42°, подиагонали: 93°
6мм: по горизонтали: 48°, по вертикали: 27°, подиагонали: 54°
8мм: по горизонтали: 37°, по вертикали: 21°, по диагонали: 44°
Режим «День/ночь» Механический ИК-фильтр
Регулировка угла установки Поворот: 0 ° - 355 °; наклон: 0 ° - 75 °; вращение: 0 ° - 355 °
Видеосжатие Основной поток: H.265/H.264
Дополнительный поток: H.265/H.264/MJPEG
Третий поток: H.265/H.264
Профиль H.264 Main Profile/ High Profile
Профиль H.265 Main Profile
Битрейт видео 32 кбит/с– 16 Мбит/с
Аудиосжатие G.711/G.722.1/G.726/MP2L2/PCM
Битрейт аудио 64кбит/с(G.711) / 16кбит/с(G.722.1) / 16кбит/с(G.726) / 32-192кбит/с(MP2L2)
Максимальное разрешение 2560×1440
Основной поток 25 к/с (2560 × 1440, 2304 × 1296, 1920 × 1080)
Дополнительный поток
25 к/с (640 × 480, 640 × 360, 320 × 240)
Третий поток 25 к/с (1280 × 720, 640 × 360, 352 × 288)
SVC Поддерживается
Настройки изображения Насыщенность, яркость, контраст, резкость, режим коридора, зеркалирование и маска приватности настраиваются через клиентское ПО или веб-браузер
Улучшение изображения 120дБ WDR, 3D DNR, BLC, 1 регион ROI для каждого потока
Переключение «День/ночь» Авто/ по расписанию/ по тревоге
Сетевое хранение
NAS (Поддержка NFS,SMB/CIFS), ANR
Протоколы TCP/IP, ICMP, HTTP, HTTPS, FTP, DHCP, DNS, DDNS, RTP, RTSP, RTCP, PPPoE, NTP, UPnP™, SMTP, SNMP, IGMP, 802.1X, QoS, IPv6, Bonjour
Безопасность Аутентификация пользователя, водяные знаки, фильтрация IP-адресов, анонимный доступ
Совместимость ONVIF(PROFILE S,PROFILE G), ISAPI
Срабатывание тревоги Smart-функции, разрыв сети, конфликт IP-адресов, ошибкиавторизации, ошибки хранилища
Действия по тревоге Уведомление клиента, отправка email, загрузка на FTP, активация канала записи
Клиент iVMS-4200, Hik-Connect, iVMS-5200
Веб-браузер IE8+, Chrome 31.0-44, Firefox 30.0-51, Safari 8.0+
Сетевой интерфейс 1 RJ45 10M/100M Ethernet
Аудиовход 1 вход (линейный, микрофонный)
Аудиовыход 1 аудиовыход (монозвук)
Тревожные интерфейсы 1 вход/1 выход
Фильтрация шумов окружающей среды Поддерживается
Частота дискретизации 8кГц/ 16кГц/ 32 кГц/ 44.1 кГц/ 48 кГц
Локальное хранилище Слот для microSD/SDHC/SDXC до 128Гб
Кнопка сброса настроек Есть
Питание DC12В ± 25%/PoE(802.3af)
Потребляемая мощность 7.5Вт макс.
Рабочие условия -40 °C…+60 °C, влажность 95% или меньше (без конденсата)
Цвет Белый, черный
Защита IP67, IK10, Подавитель напряжения переходных процессов TVS 2000В для грозозащиты
Дальность действия ИК-подсветки До 30м
Материал корпуса Металл
Размеры Ø111 × 82.4мм
Вес 0,61кг

Функция МОПРЕД - Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование MDETERM  в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).

Синтаксис

МОПРЕД(массив)

Аргументы функции МОПРЕД описаны ниже.

Замечания

  • Массив может быть задан как интервал ячеек, например A1:C3, как массив констант, например {1;2;3:4;5;6:7;8;9}, как имя для интервала или массива.

  • Функция МОПРЕД возвращает значение ошибки #ЗНАЧ! в случаях, указанных ниже.

    • Если какая-либо ячейка в массиве пуста или содержит текст.

    • Если количество строк в массиве не равно количеству столбцов.

  • Определитель матрицы — это число, вычисляемое на основе значений элементов массива. Для массива A1:C3, состоящего из трех строк и трех столбцов, определитель вычисляется следующим образом:

МОПРЕД(A1:C3)
равно A1*(B2*C3-B3*C2) + A2*(B3*C1-B1*C3) + A3*(B1*C2-B2*C1)

  • Определители матриц обычно используются при решении систем уравнений с несколькими неизвестными.

  • Функция МОПРЕД производит вычисления с точностью примерно 16 значащих цифр, что может в некоторых случаях приводить к незначительным ошибкам. Например, определитель сингулярной матрицы отличается от нуля на 1E-16.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные

Данные

Данные

Данные

1

3

8

5

1

3

6

1

1

1

1

0

7

3

10

2

Формула

Описание

Результат

=МОПРЕД(A2:D5)

Определитель приведенной выше матрицы.

88

=МОПРЕД({3;6;1:1;1;0:3;10;2})

Определитель матрицы, представленной в виде массива констант.

1

=МОПРЕД({3;6:1;1})

Определитель матрицы в массиве констант.

-3

=МОПРЕД({1;3;8;5:1;3;6;1})

Возвращает сообщение об ошибке, так как массив имеет разное количество строк и столбцов.

#ЗНАЧ!

4. Умножение матриц

Важно: Мы можем умножать матрицы только в том случае, если количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй матрице.

Пример 1

a) Умножение матрицы 2 × 3 на матрицу 3 × 4 возможно, и это дает матрицу 2 × 4 в качестве ответа.

b) Допускается умножение матрицы 7 × 1 на матрицу 1 × 2; это дает матрицу 7 × 2

c) НЕЛЬЗЯ умножить матрицу 4 × 3 на матрицу 2 × 3.

Как умножить 2 матрицы

Сначала мы используем буквы, чтобы увидеть, что происходит. Позже мы увидим пример чисел.

В качестве примера возьмем обычную матрицу 2 × 3, умноженную на матрицу 3 × 2.

`[(a, b, c), (d, e, f)] [(u, v), (w, x), (y, z)]`

Ответом будет матрица 2 × 2.

Умножаем и складываем элементы следующим образом. Мы обрабатываем по 1-й строке первой матрицы, поэлементно умножая на 1-й столбец второй матрицы.Складываем получившихся продуктов . Наш ответ находится в позиции a 11 (вверху слева) матрицы ответов.

Мы делаем аналогичный процесс для 1-й строки первой матрицы и 2-го столбца второй матрицы. Результат помещается на позиции a 12 .

Теперь о 2-й строке первой матрицы и 1-м столбце второй матрицы. Результат помещается на позиции a 21 .

Наконец, мы делаем вторую строку первой матрицы и второй столбец второй матрицы. Результат помещается на позиции a 22 .

Итак, результат умножения наших двух матриц будет следующим:

`[(a, b, c), (d, e, f)] [(u, v), (w, x), (y, z)]` `= [(au + bw + cy, av + bx + cz), (du + ew + fy, dv + ex + fz)] `

Теперь давайте посмотрим на числовой пример.

Пользователи телефона

ПРИМЕЧАНИЕ: Если вы разговариваете по телефону, вы можете прокрутить любые широкие матрицы на этой странице вправо или влево, чтобы увидеть все выражение.

Пример 2

Умножить:

`((0, -1,2), (4,11,2)) ((3, -1), (1,2), (6,1))`

Ответ

Это 2 × 3 умножить на 3 × 2, что даст нам 2 × 2 отвечать.

`((0, -1,2), (4,11,2)) ((3, -1), (1,2), (6,1))`

`= ((0xx3 + -1xx1 + 2xx6,0xx-1 + -1xx2 + 2xx1), (4xx3 + 11xx1 + 2xx6,4xx -1 + 11xx2 + 2xx1))`

`= ((0-1 + 12,0-2 + ​​2), (12 + 11 + 12, -4 + 22 + 2))`

`= ((11,0), (35,20))`

Наш ответ - матрица 2 × 2.

Умножение матриц 2 × 2

Процесс одинаков для матрицы любого размера. Мы умножаем на строк первой матрицы и на столбцов второй матрицы поэлементно. Затем мы добавляем продукты:

`((a, b), (c, d)) ((e, f), (g, h))` `= ((ae + bg, af + bh), (ce + dg, cf + dh )) `

В этом случае мы умножаем матрицу 2 × 2 на матрицу 2 × 2 и в результате получаем матрицу 2 × 2.

Пример 3

Умножить:

`((8,9), (5, -1)) ((- 2,3), (4,0))`

Ответ

`((8,9), (5, -1)) ((- 2,3), (4,0))`

`= ((8 xx -2 + 9xx4,8xx3 + 9xx0), (5xx-2 + -1xx4,5xx3 + -1xx0))`

`= ((-16 + 36,24 + 0), (- 10+ -4,15 + 0))`

`= ((20,24), (- 14,15))`

Матрицы и системы одновременных линейных уравнений

Теперь мы видим, как написать систему линейных уравнений, используя умножение матриц.

Пример 4

Система уравнений

−3 x + y = 1

6 x -3 y = −4

можно записать как:

`((-3,1), (6, -3)) ((x), (y)) = ((1), (- 4))`

Матрицы

идеально подходят для компьютерного решения задач, потому что компьютеры легко формируют массивы . Мы можем опустить алгебраические символы. Компьютеру требуются только первая и последняя матрицы для решения системы, как мы увидим в разделе «Матрицы и линейные уравнения».

Примечание 1 - Обозначение

Care с записью умножением матриц .

Следующие выражения имеют различных значений:

AB - это матричное умножение

A × B - перекрестное произведение , которое возвращает вектор

A * B используется в компьютерной нотации, но не на бумаге

A B точечное произведение , которое возвращает скаляр .

[Дополнительную информацию о векторных и скалярных величинах см. В главе «Вектор».]

Примечание 2 - Коммутативность умножения матриц

Есть ли `AB = BA`?

Посмотрим, правда ли это на примере.

Пример 5

Если

`A = ((0, -1,2), (4,11,2))`

и

`B = ((3, -1), (1,2), (6,1))`

найдите AB, и BA.

Ответ

Мы выполнили AB выше, и ответ был:

`AB = ((0, -1,2), (4,11,2)) ((3, -1), (1,2), (6,1))`

`= ((11,0), (35,20))`

Теперь BA - это (3 × 2) (2 × 3), что даст 3 × 3:

`BA = ((3, -1), (1,2), (6,1)) ((0, -1,2), (4,11,2))`

`= ((0-4, -3-11,6-2), (0 + 8, -1 + 22,2 + 4), (0 + 4, -6 + 11,12 + 2))`

`= ((-4, -14,4), (8,21,6), (4,5,14))`

Итак, в этом случае AB НЕ равно BA.

Фактически, для большинства матриц нельзя изменить порядок умножения и получить тот же результат.

В общем случае при умножении матриц закон коммутативности не выполняется, т.е. AB BA . Есть два распространенных исключения:

.
  • Идентификационная матрица: IA = AI = A .?
  • , обратный матрицы: A -1 A = AA -1 = I.

В следующем разделе мы узнаем, как найти обратную матрицу.

Пример 6 - Умножение на идентификационную матрицу

Учитывая, что

`A = ((- 3,1,6), (3, -1,0), (4,2,5))`

найдите AI .

Ответ

`AI = ((-3,1,6), (3, -1,0), (4,2,5)) ((1,0,0), (0,1,0), (0 , 0,1)) `

`= ((- 3 + 0 + 0,0 + 1 + 0,0 + 0 + 6), (3 + 0 + 0,0 + -1 + 0,0 + 0 + 0), (4 + 0 + 0,0 + 2 + 0,0 + 0 + 5)) `

`= ((- 3,1,6), (3, -1,0), (4,2,5))`

`= A`

Мы видим, что умножение на единичную матрицу не меняет значения исходной матрицы.

То есть

AI = A

Упражнения

1. Если возможно, найдите BA и AB .

`A = ((- 2,1,7), (3, -1,0), (0,2, -1))`

`B = (4 \ \ -1 \ \ \ 5)`

Ответ

`BA = (4 \ \ -1 \ \ \ 5) ((- 2,1,7), (3, -1,0), (0,2, -1))`

`= (-8 + (- 3) +0 \ \ \ 4 + 1 + 10 \ \ \ 28 + 0 + (- 5))`

`= (- 11 \ \ 15 \ \ 23)`

AB невозможно.(3 × 3) × (1 × 3).

2. Определите, если B = A -1 , учитывая:

`A = ((3, -4), (5, -7))`

`B = ((7,4), (5,3))`

Ответ

Если B = A -1 , то AB = I.

`AB = ((3, -4), (5, -7)) ((7,4), (5,3))`

`= ((21-20,12-12), (35-35,20-21))`

`= ((1,0), (0, -1))`

`! = I`

Таким образом, B НЕ является противоположностью A.2 + 0)) `

`= ((1,0), (0,1))`

`= I`

4. Оцените следующее умножение матриц, которое используется для управления движением роботизированного механизма.

`((cos \ 60 °, -sin \ 60 °, 0), (sin \ 60 °, cos \ 60 °, 0), (0,0,1)) ((2), (4), ( 0)) `

Ответ

`((cos \ 60 °, -sin \ 60 °, 0), (sin \ 60 °, cos \ 60 °, 0), (0,0,1)) ((2), (4), ( 0)) `

`= ((2 (0,5) -4 (0,866) +0), (2 (0,866) +4 (0,5) +0), (0 + 0 + 0))`

`= ((- 2,464), (3,732), (0))`

Интерпретация этого заключается в том, что рука робота движется из позиция (2, 4, 0) в позицию (-2.46, 3.73, 0). То есть это перемещается в плоскости x-y , но его высота остается на уровне z = 0 . Матрица 3 × 3, содержащая sin и Значения cos говорят, на сколько градусов нужно переместиться.

Интерактивные элементы умножения матриц

Нахождение произведения двух матриц

Помимо умножения матрицы на скаляр, мы можем умножить две матрицы. Нахождение продукта двух матриц возможно только тогда, когда внутренние размеры одинаковы, что означает, что количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.Если [latex] A [/ latex] представляет собой матрицу [latex] \ text {} m \ text {} \ times \ text {} r \ text {} [/ latex] и [latex] B [/ latex] является [latex] \ text {} r \ text {} \ times \ text {} n \ text {} [/ latex] матрица, тогда матрица продукта [latex] AB [/ latex] представляет собой [latex] \ text {} m \ text {} \ times \ text {} n \ text {} [/ latex] матрица. Например, продукт [latex] AB [/ latex] возможен, потому что количество столбцов в [latex] A [/ latex] совпадает с количеством строк в [latex] B [/ latex]. Если внутренние размеры не совпадают, товар не определен.

Рисунок 1

Мы умножаем записи [latex] A [/ latex] на записи [latex] B [/ latex] в соответствии с определенным шаблоном, как описано ниже. Процесс умножения матрицы на становится более понятным при работе с задачами с действительными числами.

Чтобы получить записи в строке [latex] i [/ latex] из [latex] AB, \ text {} [/ latex], мы умножаем записи в строке [latex] i [/ latex] из [latex] A [/ латекс] по столбцу [латекс] j [/ латекс] в [латекс] B [/ латекс] и доп. Например, для заданных матриц [латекс] A [/ latex] и [latex] B, \ text {} [/ latex], где размеры [latex] A [/ latex] равны [latex] 2 \ text {} \ times \ text {} 3 [/ latex], а размеры [latex] B [/ latex] равны [latex] 3 \ text {} \ times \ text {} 3, \ text {} [/ latex] продукт [ latex] AB [/ latex] будет матрицей [latex] 2 \ text {} \ times \ text {} 3 [/ latex].

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill {a} _ {11} & \ hfill {a} _ {12} & \ hfill {a} _ {13} \\ \ hfill {a} _ {21} & \ hfill {a} _ {22} & \ hfill {a} _ {23} \ end {array} \ right] \ text {и} B = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill {b} _ {11} & \ hfill {b} _ {12} & \ hfill {b} _ {13} \\ \ hfill {b} _ {21} & \ hfill {b} _ {22} & \ hfill {b} _ {23} \\ \ hfill {b} _ {31} & \ hfill {b} _ {32} & \ hfill {b} _ {33} \ end {array} \ справа] [/ латекс]

Умножьте и сложите, как показано ниже, чтобы получить первую запись матрицы произведения [латекс] AB [/ латекс].

  1. Чтобы получить запись в строке 1, столбце 1 [latex] AB, \ text {} [/ latex] умножьте первую строку в [latex] A [/ latex] на первый столбец в [latex] B [/ латекс], и доп.

    [латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} {a} _ {11} & {a} _ {12} & {a} _ {13} \ end {array} \ right] \ cdot \ left [\ begin {array} {c} {b} _ {11} \\ {b} _ {21} \\ {b} _ {31} \ end {array} \ right] = {a} _ {11} \ cdot {b} _ {11} + {a} _ {12} \ cdot {b} _ {21} + {a} _ {13} \ cdot {b} _ {31} [/ latex]

  2. Чтобы получить запись в строке 1, столбце 2 [latex] AB, \ text {} [/ latex] умножьте первую строку [latex] A [/ latex] на второй столбец в [latex] B [/ latex ], и добавить.

    [латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} {a} _ {11} & {a} _ {12} & {a} _ {13} \ end {array} \ right] \ cdot \ left [\ begin {array} {c} {b} _ {12} \\ {b} _ {22} \\ {b} _ {32} \ end {array} \ right] = {a} _ {11} \ cdot {b} _ {12} + {a} _ {12} \ cdot {b} _ {22} + {a} _ {13} \ cdot {b} _ {32} [/ latex]

  3. Чтобы получить запись в строке 1, столбце 3 [latex] AB, \ text {} [/ latex] умножьте первую строку [latex] A [/ latex] на третий столбец в [latex] B [/ latex ], и добавить.

    [латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} {a} _ {11} & {a} _ {12} & {a} _ {13} \ end {array} \ right] \ cdot \ left [\ begin {array} {c} {b} _ {13} \\ {b} _ {23} \\ {b} _ {33} \ end {array} \ right] = {a} _ {11} \ cdot {b} _ {13} + {a} _ {12} \ cdot {b} _ {23} + {a} _ {13} \ cdot {b} _ {33} [/ latex]

Так же поступаем и получаем второй ряд [латекс] АВ [/ латекс].Другими словами, строка 2 [латекса] A [/ latex] умножается на столбец 1 [latex] B [/ latex]; строка 2 [латекса] A [/ latex] умножена на столбец 2 [латекса] B [/ latex]; строка 2 [латекса] A [/ latex] умножается на столбец 3 [латекса] B [/ latex]. По завершении матрица продуктов будет

.

[латекс] AB = \ left [\ begin {array} {c} \ begin {array} {l} {a} _ {11} \ cdot {b} _ {11} + {a} _ {12} \ cdot {b} _ {21} + {a} _ {13} \ cdot {b} _ {31} \\ \ end {array} \\ {a} _ {21} \ cdot {b} _ {11} + {a} _ {22} \ cdot {b} _ {21} + {a} _ {23} \ cdot {b} _ {31} \ end {array} \ begin {array} {c} \ begin { массив} {l} {a} _ {11} \ cdot {b} _ {12} + {a} _ {12} \ cdot {b} _ {22} + {a} _ {13} \ cdot {b } _ {32} \\ \ end {array} \\ {a} _ {21} \ cdot {b} _ {12} + {a} _ {22} \ cdot {b} _ {22} + {a } _ {23} \ cdot {b} _ {32} \ end {array} \ begin {array} {c} \ begin {array} {l} {a} _ {11} \ cdot {b} _ {13 } + {a} _ {12} \ cdot {b} _ {23} + {a} _ {13} \ cdot {b} _ {33} \\ \ end {array} \\ {a} _ {21 } \ cdot {b} _ {13} + {a} _ {22} \ cdot {b} _ {23} + {a} _ {23} \ cdot {b} _ {33} \ end {array} \ справа] [/ латекс]

Общее примечание: свойства умножения матриц

Для матриц [latex] A, B, \ text {} [/ latex] и [latex] C [/ latex] выполняются следующие свойства.

  • Умножение матриц ассоциативно: [latex] \ left (AB \ right) C = A \ left (BC \ right) [/ latex].
  • Умножение матриц является распределительным: [latex] \ begin {array} {l} \ begin {array} {l} \\ C \ left (A + B \ right) = CA + CB, \ end {array} \ hfill \ \ \ left (A + B \ right) C = AC + BC. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Обратите внимание, что умножение матриц не коммутативно.

Пример 8: Умножение двух матриц

Умножить матрицу [латекс] A [/ латекс] и матрицу [латекс] B [/ латекс].

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {array} \ right] \ text {and} B = \ left [\ begin {array} {cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \ end {array} \ right] [/ latex]

Решение

Сначала проверяем размеры матриц. Матрица [латекс] A [/ latex] имеет размеры [латекс] 2 \ times 2 [/ latex], а матрица [latex] B [/ latex] имеет размеры [латекс] 2 \ times 2 [/ latex]. Внутренние размеры такие же, поэтому мы можем выполнить умножение. Изделие будет иметь размеры [латекс] 2 \ умножить на 2 [/ латекс].

Выполняем описанные ранее операции.

Рисунок 2

Пример 9: Умножение двух матриц

Дано [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B: [/ латекс]

  1. Найдите [латекс] AB [/ латекс].
  2. Найдите [латекс] BA [/ латекс].

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {l} \ begin {array} {ccc} -1 & 2 & 3 \ end {array} \ hfill \\ \ begin {array} {ccc} 4 & 0 & 5 \ end {array} \ hfill \ end {array} \ right] \ text {and} B = \ left [\ begin {array} {c} 5 \\ -4 \\ 2 \ end {array} \ begin {array } {c} -1 \\ 0 \\ 3 \ end {array} \ right] [/ latex]

Решение

  1. Размеры [латекса] A [/ latex] равны [latex] 2 \ text {} \ times \ text {} 3 [/ latex], а размеры [latex] B [/ latex] - [latex] 3 \ text {} \ times \ text {} 2, \ text {} [/ latex] эти матрицы можно перемножать, потому что количество столбцов в [latex] A [/ latex] совпадает с количеством строк в [latex] Б [/ латекс].В результате получится матрица [latex] 2 \ text {} \ times \ text {} 2 [/ latex], количество строк в [latex] A [/ latex] по количеству столбцов в [latex] B [/латекс].

    [латекс] \ begin {array} {l} \ hfill \\ AB = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -1 & \ hfill 2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 4 & \ hfill 0 & \ hfill 5 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 5 & \ hfill -1 \\ \ hfill -4 & \ hfill 0 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 \ end { массив} \ right] \ hfill \\ \ text {} = \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill -1 \ left (5 \ right) +2 \ left (-4 \ right) +3 \ left (2 \ right) & \ hfill -1 \ left (-1 \ right) +2 \ left (0 \ right) +3 \ left (3 \ right) \\ \ hfill 4 \ left (5 \ right) +0 \ left (-4 \ right) +5 \ left (2 \ right) & \ hfill 4 \ left (-1 \ right) +0 \ left (0 \ right) +5 \ left (3 \ right) \ end { массив} \ right] \ hfill \\ \ text {} = \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill -7 & \ hfill 10 \\ \ hfill 30 & \ hfill 11 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex]

  2. Размеры [латекса] B [/ latex] равны [латексу] 3 \ times 2 [/ latex], а размеры [latex] A [/ latex] - [латекса] 2 \ times 3 [/ latex].Внутренние размеры совпадают, поэтому продукт определен и будет матрицей [латекс] 3 \ умножить на 3 [/ латекс].

    [латекс] \ begin {array} {l} \ hfill \\ BA = \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 5 & \ hfill -1 \\ \ hfill -4 & \ hfill 0 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -1 & \ hfill 2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 4 & \ hfill 0 & \ hfill 5 \ end { массив} \ right] \ hfill \\ \ text {} = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 5 \ left (-1 \ right) + - 1 \ left (4 \ right) & \ hfill 5 \ left (2 \ right) + - 1 \ left (0 \ right) & \ hfill 5 \ left (3 \ right) + - 1 \ left (5 \ right) \\ \ hfill -4 \ left (-1 \ right) +0 \ left (4 \ right) & \ hfill -4 \ left (2 \ right) +0 \ left (0 \ right) & \ hfill -4 \ left (3 \ right) +0 \ left (5 \ right) \\ \ hfill 2 \ left (-1 \ right) +3 \ left (4 \ right) & \ hfill 2 \ left (2 \ right) +3 \ left (0 \ right) & \ hfill 2 \ left (3 \ right) +3 \ left (5 \ right) \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ text {} = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -9 & \ hfill 10 & \ hfill 10 \\ \ hfill 4 & \ hfill -8 & \ hfill -12 \\ \ hfill 10 & \ hfill 4 & \ hfill 21 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex]

Анализ решения

Обратите внимание, что продукты [латекс] AB [/ латекс] и [латекс] BA [/ латекс] не равны.

[латекс] AB = \ left [\ begin {array} {cc} -7 & 10 \\ 30 & 11 \ end {array} \ right] \ ne \ left [\ begin {array} {ccc} -9 & 10 & 10 \ \ 4 & -8 & -12 \\ 10 & 4 & 21 \ end {array} \ right] = BA [/ latex]

Это иллюстрирует тот факт, что умножение матриц не коммутативно.

Вопросы и ответы

Можно ли определить

AB , но не BA ?

Да, рассмотрим матрицу A с размерностью [латекс] 3 \ times 4 [/ latex] и матрицу B с размерностью [latex] 4 \ times 2 [/ latex].Для продукта AB внутренние измерения равны 4, и продукт определен, но для продукта BA внутренние измерения равны 2 и 3, поэтому продукт не определен.

Пример 10: Использование матриц в реальных задачах

Вернемся к задаче, представленной в начале этого раздела. В приведенной ниже таблице представлены потребности в оборудовании двух футбольных команд.

Wildcats Грязевые кошки
Цели 6 10
Шарики 30 24
Трикотажные изделия 14 20

У нас также указаны цены на оборудование, указанные в таблице ниже.

Цель $ 300
Мяч $ 10
Джерси $ 30

Преобразуем данные в матрицы. Таким образом, матрица потребности в оборудовании записывается как

.

[латекс] E = \ left [\ begin {array} {c} 6 \\ 30 \\ 14 \ end {array} \ begin {array} {c} 10 \\ 24 \\ 20 \ end {array} \ справа] [/ латекс]

Матрица затрат записывается как

[латекс] C = \ left [\ begin {array} {ccc} 300 & 10 & 30 \ end {array} \ right] [/ latex]

Производим матричное умножение, чтобы получить стоимость оборудования.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ hfill \\ \ hfill \\ CE = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 300 & \ hfill 10 & \ hfill 30 \ end {array} \ right] \ cdot \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 6 & \ hfill 10 \\ \ hfill 30 & \ hfill 24 \\ \ hfill 14 & \ hfill 20 \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ text { } = \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 300 \ left (6 \ right) +10 \ left (30 \ right) +30 \ left (14 \ right) & \ hfill 300 \ left (10 \ вправо) +10 \ влево (24 \ вправо) +30 \ влево (20 \ вправо) \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ text {} = \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 2,520 и \ hfill 3,840 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex]

Общая стоимость оборудования для Wildcats составляет 2520 долларов, а общая стоимость оборудования для Mud Cats составляет 3840 долларов.

Как сделать: для данной матричной операции оцените ее с помощью калькулятора.


  1. Сохраните каждую матрицу как матричную переменную [latex] \ left [A \ right], \ left [B \ right], \ left [C \ right], .. [/ latex].
  2. Введите операцию в калькулятор, вызывая при необходимости каждую матричную переменную.
  3. Если операция определена, калькулятор представит матрицу решения; если операция не определена, отобразится сообщение об ошибке.

Пример 11: Использование калькулятора для выполнения матричных операций

Найдите [латекс] AB-C [/ латекс] из

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -15 & \ hfill 25 & \ hfill 32 \\ \ hfill 41 & \ hfill -7 & \ hfill -28 \\ \ hfill 10 & \ hfill 34 & \ hfill -2 \ end {array} \ right], B = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 45 & \ hfill 21 & \ hfill -37 \\ \ hfill -24 & \ hfill 52 & \ hfill 19 \\ \ hfill 6 & \ hfill -48 & \ hfill -31 \ end {array} \ right], \ text {и} C = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -100 & \ hfill -89 & \ hfill -98 \\ \ hfill 25 & \ hfill -56 & \ hfill 74 \\ \ hfill -67 & \ hfill 42 & \ hfill -75 \ end {array} \ right] [/ latex].

Решение

На матричной странице калькулятора мы вводим матрицу [латекс] A [/ latex] выше как матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex], матрицу [latex] B [/ latex] выше как матричная переменная [latex] \ left [B \ right] [/ latex] и матрица [latex] C [/ latex] выше как матричная переменная [latex] \ left [C \ right] [/ latex].

На главном экране калькулятора мы вводим задачу и при необходимости вызываем каждую матричную переменную.

[латекс] \ влево [A \ вправо] \ раз \ влево [B \ вправо] - \ влево [C \ вправо] [/ латекс]

Калькулятор дает нам следующую матрицу.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -983 & \ hfill -462 & \ hfill 136 \\ \ hfill 1,820 & \ hfill 1,897 & \ hfill -856 \\ \ hfill -311 & \ hfill 2,032 & \ hfill 413 \ end {array} \ right] [/ latex]

Определитель матрицы 3x3 - ChiliMath

Стандартная формула для поиска определителя матрицы 3 × 3 представляет собой разбиение более мелких задач определителя 2 × 2 , с которыми очень легко справиться. Если вам нужно что-то напомнить, прочтите мой другой урок о том, как найти определитель 2 × 2.Предположим, нам дана квадратная матрица A, где

Определитель матрицы A вычисляется как

Вот ключевые моменты:

  • Обратите внимание, что элементы верхней строки, а именно a, b и c, служат в качестве скаляров. умножители на соответствующую матрицу 2 на 2.
  • Скаляр a умножается на матрицу 2 × 2 оставшихся элементов, созданную, когда вертикальные и горизонтальные отрезки линии проходят через a.
  • Тот же процесс применяется для построения матриц 2 × 2 для скалярных умножителей b и c.

Определитель матрицы 3 x 3 (анимированный)


Примеры того, как найти определитель матрицы 3 x 3

Пример 1: Найдите определитель матрицы 3 x 3 ниже.

Приведенная ниже настройка поможет вам найти соответствие между общими элементами формулы и элементами реальной проблемы.

Применяя формулу,


Пример 2: Вычислите определитель матрицы 3 × 3 ниже.

Будьте очень осторожны при замене значений в правильные места в формуле. Распространенные ошибки возникают, когда учащиеся становятся неосторожными на начальном этапе подстановки значений.

Вдобавок убедитесь, что ваша арифметика верна. В противном случае одна ошибка в вычислении приведет к неверному ответу.

Так как,

наше вычисление определителя становится…


Пример 3: Найдите определитель матрицы 3 × 3 ниже.

Наличие нуля (0) в первой строке должно значительно упростить наши вычисления. Помните, что эти элементы в первой строке действуют как скалярные множители. Следовательно, умножение нуля на что-либо приведет к исчезновению всего выражения.

Вот снова настройка, показывающая соответствующее числовое значение каждой переменной в формуле.

Используя формулу, мы имеем…


Практика с рабочими листами

Вас также может заинтересовать:

Детерминанты матрицы 2 × 2

Операции с матрицей в R

Операции с матрицами в R

Методы многомерной статистики


Матричные операции в R

R - это пакет статистического программирования с открытым исходным кодом, богатый векторными и матричными операторами.Есть версии of R, доступный для Windows, Mac OS и Unix, который можно бесплатно загрузить через Интернет.

Матрица
  # матричная функция
# R хочет, чтобы данные вводились столбцами, начиная с первого столбца
# 1-й аргумент: c (2,3, -2,1,2,2) значения элементов, заполняющих столбцы
# 2nd arg: 3 количество строк
# 3-й аргумент: 2 количество столбцов

> А

     [, 1] [, 2]
[1,] 2 1
[2,] 3 2
[3,] -2 2  
- это что-то вроде матрицы
 > есть.матрица (A) 

[1] ИСТИНА

 > is.vector (A) 

[1] FALSE 
Умножение на скаляр
 > с

     [, 1] [, 2]
[1,] 6 3
[2,] 9 6
[3,] -6 6  
Сложение и вычитание матриц
 > B

     [, 1] [, 2]
[1,] 1 1
[2,] 4 2
[3,] -2 1

 > С

     [, 1] [, 2]
[1,] 3 2
[2,] 7 4
[3,] -4 3

 > D

     [, 1] [, 2]
[1,] 1 0
[2,] -1 0
[3,] 0 1    
Умножение матриц
 > D

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 3
[2,] -2 2 1

 > С

     [, 1] [, 2]
[1,] 1 10
[2,] 0 4

 > С

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 4 7
[2,] 2 7 11
[3,] -8 2 -4

 > D

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 3

 > С

     [, 1] [, 2]
[1,] 1 10

 > С

Ошибка в A% *% D: несоответствующие аргументы       
Транспонирование матрицы
 > В

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 3 -2
[2,] 1 2 2

 > ATT

     [, 1] [, 2]
[1,] 2 1
[2,] 3 2
[3,] -2 2   

Общие векторы

Единичный вектор

 > U

     [, 1]
[1,] 1
[2,] 1
[3,] 1  

Нулевой вектор

 > Я

     [, 1]
[1,] 0
[2,] 0
[3,] 0  

Общие матрицы

Матрица единиц

 > U

     [, 1] [, 2]
[1,] 1 1
[2,] 1 1
[3,] 1 1  

Нулевая матрица

 > Я

     [, 1] [, 2]
[1,] 0 0
[2,] 0 0
[3,] 0 0  

Диагональная матрица

 > S

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 4
[2,] 3 2 2
[3,] -2 2 3

 > D

[1] 2 2 3

 > D

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 0 0
[2,] 0 2 0
[3,] 0 0 3    

Идентификационная матрица

 > Я

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 1  

Симметричная матрица

 > С

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 5
[2,] 1 3 4
[3,] 5 4 -2

 > КТ

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 5
[2,] 1 3 4
[3,] 5 4-2   
Обратная матрица
 > А

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 4 2 2
[2,] 4 6 8
[3,] -2 2 4


 > AI

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 1.0 -0,5 0,5
[2,] -4,0 2,5 -3,0
[3,] 2,5 -1,5 2,0

 > А% *% AI 

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 1

 > AI% *% A 

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 1   
Инверсия и определитель матрицы
 > С

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 6
[2,] 1 3 4
[3,] 6 4 -2

 > CI

           [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 0.2156863 -0,254 0,13725490
[2,] -0,2549020 0,39215686 0,01960784
[3,] 0,1372549 0,01960784 -0,041

 > д

[1] -102    
Ранг матрицыM / h5>
 > А

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 4
[2,] 3 2 7
[3,] -2 2 0

 > matA

[1] 3

 > А

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 4
[2,] 3 2 6
[3,] -2 2 -4

 > matA

[1] 2

# Примечание столбец 3 - это 2 раза столбец 1     
Количество строк и столбцов
 > X

     [, 1] [, 2]
[1,] 3 2
[2,] 2 -2
[3,] 4 6
[4,] 3 1

 > тусклый (X) 

[1] 4 2

 > г

[1] 4

 > с

[1] 2    
Вычисление сумм столбцов и строк
  # обратите внимание на верхний регистр S

> А

     [, 1] [, 2]
[1,] 2 1
[2,] 3 2
[3,] -2 2

 > с

[1] 3 5

 > г

[1] 3 5 0

 > а

[1] 8     
Вычисление средних значений столбцов и строк
  # обратите внимание на прописную букву M

> см

[1] 1.000000 1.666667

 > пм

[1] 1,5 2,5 0,0

 > м

[1] 1,333333    
Горизонтальная конкатенация
 > А 

     [, 1] [, 2]
[1,] 2 1
[2,] 3 2
[3,] -2 2

 > B

     [, 1] [, 2]
[1,] 1 1
[2,] 3 4
[3,] 2 2

 > С

     [, 1] [, 2] [, 3] [, 4]
[1,] 2 1 1 1
[2,] 3 2 3 4
[3,] -2 2 2 2   
Вертикальная конкатенация (добавляется)
 > С

     [, 1] [, 2]
[1,] 2 1
[2,] 3 2
[3,] -2 2
[4,] 1 1
[5,] 3 4
[6,] 2 2  

Интернет-страница многомерного курса

Phil Ender, 13jul07, 23feb05

Wolfram | Примеры альфа: матрицы


Свойства матрицы

Исследуйте различные свойства данной матрицы.

Вычислить свойства матрицы:

Другие примеры


Матричная арифметика

Сложение, вычитание и умножение векторов и матриц.

{{2, -1, 1}, {0, -2, 1}, {1, -2, 0}}.{x, y, z}

Другие примеры


След

Вычислить след или сумму членов на главной диагонали матрицы.

Вычислить след матрицы:

Другие примеры


Детерминант

Вычислить определитель квадратной матрицы.

Вычислить определитель матрицы:

Другие примеры


Обратный

Обратить квадратную обратимую матрицу или найти псевдообратную неквадратную матрицу.

Вычислить обратную матрицу:

Другие примеры


Уменьшение строк

Привести матрицу к уменьшенной форме эшелона строк.

уменьшение строки {{2, 1, 0, -3}, {3, -1, 0, 1}, {1, 4, -2, -5}}

Другие примеры


Собственные значения и собственные векторы

Вычислить собственную систему заданной матрицы.

Вычислить собственные значения матрицы:

Вычислить собственные векторы матрицы:

Вычислить характеристический полином матрицы:

Другие примеры


Другие матричные операции

Выполняет различные операции с матрицами, например сопряженное транспонирование.

Вычислите транспонирование матрицы:

Вычислить ранг матрицы:

Вычислить нулевое значение матрицы:

Вычислить адъюгат матрицы:

Другие примеры


Диагонализация

Найдите диагонализацию квадратной матрицы.

Другие примеры


Другие примеры

Матричные разложения

Преобразует матрицу в указанное разложение.

Вычислите LU-разложение квадратной матрицы:

Вычислите разложение по сингулярным числам:

Другие примеры


Другие примеры

Геометрические преобразования

Найдите матричные представления для геометрических преобразований.

Вычислите матрицу вращения 2 x 2:

Вычислите матрицу отражения 3 x 3:

Другие примеры


Типы матриц

Найдите информацию о различных типах матриц.

Определите, есть ли у матрицы указанное свойство:

Получите информацию о типе матрицы:

Другие примеры

Вычислить определитель матрицы Пошаговое решение математических задач


Мы знаем, что не каждая система линейных уравнений имеет единственное решение.Иногда система n уравнений от n переменных не имеет решения или бесконечное множество решений. В этом разделе мы вводим определитель матрица. В следующем разделе мы увидим, что определитель можно использовать чтобы определить, имеет ли система уравнений единственное решение.

Каждой квадратной матрице A соответствует действительное число, называемое определителем A, написано | A |.

Определитель матрицы 2 x 2 A,


определяется как

ПРИМЕЧАНИЕ Обратите внимание, что матрицы заключены в квадратные скобки, а определители обозначаются вертикальными полосами.Кроме того, матрица представляет собой массив чисел, но ее определитель - это одно число.

ОЦЕНКА A 2 X 2 ДЕТЕРМИНАНТ

Если

, затем

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ А 3 X 3 МАТРИЦА

Определитель матрицы 3 x 3 A,


определяется как

Простой метод вычисления определителей 3 X 3 находится путем перестановки и факторинг условий, приведенных выше, чтобы получить


Каждая из величин в скобках представляет определитель 2 X 2 матрица, которая является частью матрицы 3 x 3, остающейся, когда строка и столбец множитель исключается, как показано ниже.

Эти определители матриц 2 X 2 называются минорами элемента в матрица 3 x 3. Обозначение M ij представляет определитель матрица, которая получается при удалении строки i и столбца j. Следующий список дает некоторые из миноров из приведенной выше матрицы.

В матрице 4 x 4 миноры являются определителями матриц 3 x 3, а n x Матрица n имеет миноры, которые являются определителями (n - 1) X (n - 1) матрицы.
Чтобы найти определитель матрицы 3 X 3 или больше, сначала выберите любую строку или столбец. Затем необходимо умножить минор каждого элемента в этой строке или столбце. на + l или - 1, в зависимости от того, сумма номеров строк и столбцов числа четные или нечетные. Произведение младшего и числа +1 или - l равно называется кофактором .

КОФАКТОР Пусть M ij будет второстепенным для элемента au в матрице n x n . Кофактор ij , написано A ij , это:



Наконец, определитель матрицы n x n находится следующим образом.

ПОИСК ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТРИЦЫ
Умножьте каждый элемент в любой строке или столбце матрицы на его кофактор. В сумма этих продуктов дает значение определителя. эта сумма продуктов называется расширением по данной строке или столбцу.

НАЙТИ КОФАКТОР ЭЛЕМЕНТА
Для матрицы

найдите кофактор каждого из следующих элементов.

(a) 6
Поскольку 6 находится в первой строке и первом столбце матрицы, i = 1 и j = 1.

Кофактор: (-1) 1 + 1 * (-6) = 1 * (-6) = -6.

(b) 3
Здесь i = 2 и j = 3.

Кофактор (-1) 2 + 3 * 10 = (-1) * 10 = -10.

(c) 8
Имеем i = 2 и j = l.


Кофактор: (-1) 2 + 1 * (-8) = (-1) * (-8) = 8.

ОЦЕНКА ДЕТЕРМИНАНТА 3 X 3
Оценить

во втором столбце.


Чтобы найти этот определитель, сначала получите миноры каждого элемента во втором столбец.


Теперь найдите сомножитель каждого из этих младших.

Определитель находится путем умножения каждого сомножителя на его соответствующий элемент матрицы и нахождение суммы этих произведений.

ВНИМАНИЕ: Будьте очень осторожны, чтобы отслеживать все отрицательные знаки, когда оценивая детерминанты. Работайте осторожно, записывая каждый шаг, как в Примеры.Пропуск шагов часто приводит к ошибкам в этих вычислениях.

Точно такой же ответ можно найти, используя любую строку или столбец матрицы. Одна из причин, по которой столбец 2 использовался в примере 3, заключается в том, что он содержит элемент 0, так что рассчитывать M 32 и A 32 толком не пришлось над. Быстро понять, что нули могут быть очень полезны при работе с детерминанты.
Вместо вычисления (-1) i + j для данного элемента следующие можно использовать доски для проверки знаков:


Знаки чередуются для каждой строки и столбца, начиная с + в первом строка, позиция первого столбца.Таким образом, эти массивы знаков можно воспроизвести как нужный. Если мы расширим матрицу 3 X 3 около строки 3, например, первый второстепенный будет иметь знак +, связанный с ним, второй второстепенный знак - и третий минор а + знак. Эти массивы знаков могут быть расширены таким образом для определителей матриц 5 × 5, 6 × 6 и более крупных.

ОЦЕНКА ДЕТЕРМИНАНТА 4 X 4
Оценить

Расширение на младшие около четвертой строки дает

Каждый из четырех определяющих факторов в примере 4 должен быть оценен путем раскрытия три несовершеннолетних, требующих большой работы, чтобы получить окончательную стоимость.Всегда ищите строка или столбец с наибольшим количеством нулей для упрощения работы. В следующем разделе мы ввести несколько свойств, упрощающих вычисление определителей. К счастью, детерминанты больших матриц можно оценить быстро и легко с помощью компьютера или некоторых калькуляторов.

Умножение матриц

- Бесплатная справка по математике

Вы, наверное, уже знаете, что такое матрица, если вас интересует умножение матриц.Однако быстрый пример не повредит. Матрица - это просто двумерная группа чисел. Вместо списка, называемого вектором, матрица представляет собой прямоугольник, как показано ниже:

Вы можете установить переменную как матрицу так же, как вы можете установить переменную как число. В этом случае x - это матрица, содержащая эти четыре числа (в определенном порядке). Теперь предположим, что у вас есть две матрицы, которые нужно умножить. Умножение чисел довольно просто, но как это сделать для матрицы?

Вот ключевой момент: Вы не можете просто умножить каждое число на соответствующее число в другой матрице .Умножение матриц не похоже на сложение или вычитание. Это сложнее, но общий процесс освоить несложно. Вот сначала пример, а потом я объясню, что я сделал :

Пример

Решение:

Вы, наверное, задаетесь вопросом, как вообще я получил этот ответ. Что ж, вы вправе так думать. Умножение матриц - непростая задача для изучения, и вам нужно быть внимательными, чтобы избежать одной или двух ошибок по неосторожности.Вот процесс:

  • Шаг 1. Переместитесь через верхнюю строку первой матрицы и вниз по первому столбцу второй матрицы:

  • Шаг 2: Умножьте каждое число из верхней строки первой матрицы на число в первом столбце второй матрицы. В данном случае это означает умножение 1 * 2 и 6 * 9. Затем возьмите сумму этих значений (2 + 54):

  • Шаг 3. Вставьте полученное значение в матрицу ответов.Поскольку мы умножаем 1-ю строку и 1-й столбец, наш ответ помещается в этот слот в матрице ответов:

  • Шаг 4: Повторите для других строк и столбцов. Это означает, что вам нужно пройти по первой строке первой матрицы и на этот раз по второму столбцу второй матрицы. Затем вторая строка первой матрицы и первый столбец второй, и, наконец, нижняя часть первой матрицы и правый столбец второй матрицы:

  • Шаг 5: Вставьте все эти значения в матрицу ответов.Я только что показал вам, как делать верхний левый и нижний правый. Если вы работаете с двумя другими числами, вы получите 1 * 2 + 6 * 7 = 44 и 3 * 2 + 8 * 9 = 78. Вставьте их в матрицу ответов в соответствующие позиции, и вы получите:

Теперь я знаю, о чем вы думаете. Это было действительно сложно !!! Ну, так будет казаться, пока вы не привыкнете к процессу. Это может помочь вам записать всю свою работу и даже нарисовать стрелки, чтобы запомнить, в каком направлении вы двигаетесь в строках и столбцах. Просто не забудьте, что нужно умножить каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы .

Что делать, если матрицы не квадраты? Затем вам нужно добавить еще один шаг. Для умножения двух матриц матрица слева должна иметь столько столбцов, сколько строк в матрице справа. Таким образом, вы можете сопоставить каждую пару во время умножения. Размер окончательной матрицы определяется строками в левой матрице и столбцами в правой. Вот что я делаю:

Записываю размеры матриц. Левая матрица имеет 2 строки и 3 столбца, поэтому мы ее и пишем.Строки, столбцы в указанном порядке. Другая матрица представляет собой матрицу 3x1, потому что у нее 3 строки и только 1 столбец. Если числа в середине совпадают, вы можете умножать. Внешние числа дают вам размер ответа. Даже если вы все испортите, вы в конце концов разберетесь, потому что не сможете размножаться.

Важное напоминание: умножение матриц не коммутативно. Это означает, что вы не можете изменить порядок и ожидать того же результата ! Обычное умножение говорит нам, что 4 * 3 = 3 * 4, но это не умножение в обычном смысле.

Наконец, вот пример с неравномерными размерами матрицы, чтобы подвести итог:

Пример:

Если вам нужна дополнительная помощь в умножении матриц, посетите нашу доску справочных сообщений по математике, прочитайте еще один урок по умножению матриц или поищите в Google больше уроков по умножению матриц.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *