[латекс] AB = \ left [\ begin {array} {c} \ begin {array} {l} {a} _ {11} \ cdot {b} _ {11} + {a} _ {12} \ cdot {b} _ {21} + {a} _ {13} \ cdot {b} _ {31} \\ \ end {array} \\ {a} _ {21} \ cdot {b} _ {11} + {a} _ {22} \ cdot {b} _ {21} + {a} _ {23} \ cdot {b} _ {31} \ end {array} \ begin {array} {c} \ begin { массив} {l} {a} _ {11} \ cdot {b} _ {12} + {a} _ {12} \ cdot {b} _ {22} + {a} _ {13} \ cdot {b } _ {32} \\ \ end {array} \\ {a} _ {21} \ cdot {b} _ {12} + {a} _ {22} \ cdot {b} _ {22} + {a } _ {23} \ cdot {b} _ {32} \ end {array} \ begin {array} {c} \ begin {array} {l} {a} _ {11} \ cdot {b} _ {13 } + {a} _ {12} \ cdot {b} _ {23} + {a} _ {13} \ cdot {b} _ {33} \\ \ end {array} \\ {a} _ {21 } \ cdot {b} _ {13} + {a} _ {22} \ cdot {b} _ {23} + {a} _ {23} \ cdot {b} _ {33} \ end {array} \ справа] [/ латекс]

Общее примечание: свойства умножения матриц

Для матриц [latex] A, B, \ text {} [/ latex] и [latex] C [/ latex] выполняются следующие свойства.

• Умножение матриц ассоциативно: [latex] \ left (AB \ right) C = A \ left (BC \ right) [/ latex].
• Умножение матриц является распределительным: [latex] \ begin {array} {l} \ begin {array} {l} \\ C \ left (A + B \ right) = CA + CB, \ end {array} \ hfill \ \ \ left (A + B \ right) C = AC + BC. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Обратите внимание, что умножение матриц не коммутативно.

Пример 8: Умножение двух матриц

Умножить матрицу [латекс] A [/ латекс] и матрицу [латекс] B [/ латекс].

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {array} \ right] \ text {and} B = \ left [\ begin {array} {cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \ end {array} \ right] [/ latex]

Решение

Сначала проверяем размеры матриц. Матрица [латекс] A [/ latex] имеет размеры [латекс] 2 \ times 2 [/ latex], а матрица [latex] B [/ latex] имеет размеры [латекс] 2 \ times 2 [/ latex]. Внутренние размеры такие же, поэтому мы можем выполнить умножение. Изделие будет иметь размеры [латекс] 2 \ умножить на 2 [/ латекс].

Выполняем описанные ранее операции.

Рисунок 2

Пример 9: Умножение двух матриц

Дано [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B: [/ латекс]

1. Найдите [латекс] AB [/ латекс].
2. Найдите [латекс] BA [/ латекс].

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {l} \ begin {array} {ccc} -1 & 2 & 3 \ end {array} \ hfill \\ \ begin {array} {ccc} 4 & 0 & 5 \ end {array} \ hfill \ end {array} \ right] \ text {and} B = \ left [\ begin {array} {c} 5 \\ -4 \\ 2 \ end {array} \ begin {array } {c} -1 \\ 0 \\ 3 \ end {array} \ right] [/ latex]

Решение

1. Размеры [латекса] A [/ latex] равны [latex] 2 \ text {} \ times \ text {} 3 [/ latex], а размеры [latex] B [/ latex] — [latex] 3 \ text {} \ times \ text {} 2, \ text {} [/ latex] эти матрицы можно перемножать, потому что количество столбцов в [latex] A [/ latex] совпадает с количеством строк в [latex] Б [/ латекс].В результате получится матрица [latex] 2 \ text {} \ times \ text {} 2 [/ latex], количество строк в [latex] A [/ latex] по количеству столбцов в [latex] B [/латекс].

   [латекс] \ begin {array} {l} \ hfill \\ AB = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -1 & \ hfill 2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 4 & \ hfill 0 & \ hfill 5 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 5 & \ hfill -1 \\ \ hfill -4 & \ hfill 0 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 \ end { массив} \ right] \ hfill \\ \ text {} = \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill -1 \ left (5 \ right) +2 \ left (-4 \ right) +3 \ left (2 \ right) & \ hfill -1 \ left (-1 \ right) +2 \ left (0 \ right) +3 \ left (3 \ right) \\ \ hfill 4 \ left (5 \ right) +0 \ left (-4 \ right) +5 \ left (2 \ right) & \ hfill 4 \ left (-1 \ right) +0 \ left (0 \ right) +5 \ left (3 \ right) \ end { массив} \ right] \ hfill \\ \ text {} = \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill -7 & \ hfill 10 \\ \ hfill 30 & \ hfill 11 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex]

2. Размеры [латекса] B [/ latex] равны [латексу] 3 \ times 2 [/ latex], а размеры [latex] A [/ latex] — [латекса] 2 \ times 3 [/ latex].Внутренние размеры совпадают, поэтому продукт определен и будет матрицей [латекс] 3 \ умножить на 3 [/ латекс].

   [латекс] \ begin {array} {l} \ hfill \\ BA = \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 5 & \ hfill -1 \\ \ hfill -4 & \ hfill 0 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -1 & \ hfill 2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 4 & \ hfill 0 & \ hfill 5 \ end { массив} \ right] \ hfill \\ \ text {} = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 5 \ left (-1 \ right) + — 1 \ left (4 \ right) & \ hfill 5 \ left (2 \ right) + — 1 \ left (0 \ right) & \ hfill 5 \ left (3 \ right) + — 1 \ left (5 \ right) \\ \ hfill -4 \ left (-1 \ right) +0 \ left (4 \ right) & \ hfill -4 \ left (2 \ right) +0 \ left (0 \ right) & \ hfill -4 \ left (3 \ right) +0 \ left (5 \ right) \\ \ hfill 2 \ left (-1 \ right) +3 \ left (4 \ right) & \ hfill 2 \ left (2 \ right) +3 \ left (0 \ right) & \ hfill 2 \ left (3 \ right) +3 \ left (5 \ right) \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ text {} = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -9 & \ hfill 10 & \ hfill 10 \\ \ hfill 4 & \ hfill -8 & \ hfill -12 \\ \ hfill 10 & \ hfill 4 & \ hfill 21 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex]

Анализ решения

Обратите внимание, что продукты [латекс] AB [/ латекс] и [латекс] BA [/ латекс] не равны.

[латекс] AB = \ left [\ begin {array} {cc} -7 & 10 \\ 30 & 11 \ end {array} \ right] \ ne \ left [\ begin {array} {ccc} -9 & 10 & 10 \ \ 4 & -8 & -12 \\ 10 & 4 & 21 \ end {array} \ right] = BA [/ latex]

Это иллюстрирует тот факт, что умножение матриц не коммутативно.

Вопросы и ответы

Можно ли определить

Да, рассмотрим матрицу A с размерностью [латекс] 3 \ times 4 [/ latex] и матрицу B с размерностью [latex] 4 \ times 2 [/ latex].Для продукта AB внутренние измерения равны 4, и продукт определен, но для продукта BA внутренние измерения равны 2 и 3, поэтому продукт не определен.

Пример 10: Использование матриц в реальных задачах

Вернемся к задаче, представленной в начале этого раздела. В приведенной ниже таблице представлены потребности в оборудовании двух футбольных команд.

У нас также указаны цены на оборудование, указанные в таблице ниже.

Преобразуем данные в матрицы. Таким образом, матрица потребности в оборудовании записывается как

[латекс] E = \ left [\ begin {array} {c} 6 \\ 30 \\ 14 \ end {array} \ begin {array} {c} 10 \\ 24 \\ 20 \ end {array} \ справа] [/ латекс]

Матрица затрат записывается как

[латекс] C = \ left [\ begin {array} {ccc} 300 & 10 & 30 \ end {array} \ right] [/ latex]

Производим матричное умножение, чтобы получить стоимость оборудования.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ hfill \\ \ hfill \\ CE = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 300 & \ hfill 10 & \ hfill 30 \ end {array} \ right] \ cdot \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 6 & \ hfill 10 \\ \ hfill 30 & \ hfill 24 \\ \ hfill 14 & \ hfill 20 \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ text { } = \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 300 \ left (6 \ right) +10 \ left (30 \ right) +30 \ left (14 \ right) & \ hfill 300 \ left (10 \ вправо) +10 \ влево (24 \ вправо) +30 \ влево (20 \ вправо) \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ text {} = \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 2,520 и \ hfill 3,840 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex]

Общая стоимость оборудования для Wildcats составляет 2520 долларов, а общая стоимость оборудования для Mud Cats составляет 3840 долларов.

Как сделать: для данной матричной операции оцените ее с помощью калькулятора.

1. Сохраните каждую матрицу как матричную переменную [latex] \ left [A \ right], \ left [B \ right], \ left [C \ right], .. [/ latex].
2. Введите операцию в калькулятор, вызывая при необходимости каждую матричную переменную.
3. Если операция определена, калькулятор представит матрицу решения; если операция не определена, отобразится сообщение об ошибке.

Пример 11: Использование калькулятора для выполнения матричных операций

Найдите [латекс] AB-C [/ латекс] из

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -15 & \ hfill 25 & \ hfill 32 \\ \ hfill 41 & \ hfill -7 & \ hfill -28 \\ \ hfill 10 & \ hfill 34 & \ hfill -2 \ end {array} \ right], B = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 45 & \ hfill 21 & \ hfill -37 \\ \ hfill -24 & \ hfill 52 & \ hfill 19 \\ \ hfill 6 & \ hfill -48 & \ hfill -31 \ end {array} \ right], \ text {и} C = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -100 & \ hfill -89 & \ hfill -98 \\ \ hfill 25 & \ hfill -56 & \ hfill 74 \\ \ hfill -67 & \ hfill 42 & \ hfill -75 \ end {array} \ right] [/ latex].

Решение

На матричной странице калькулятора мы вводим матрицу [латекс] A [/ latex] выше как матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex], матрицу [latex] B [/ latex] выше как матричная переменная [latex] \ left [B \ right] [/ latex] и матрица [latex] C [/ latex] выше как матричная переменная [latex] \ left [C \ right] [/ latex].

На главном экране калькулятора мы вводим задачу и при необходимости вызываем каждую матричную переменную.

[латекс] \ влево [A \ вправо] \ раз \ влево [B \ вправо] — \ влево [C \ вправо] [/ латекс]

Калькулятор дает нам следующую матрицу.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -983 & \ hfill -462 & \ hfill 136 \\ \ hfill 1,820 & \ hfill 1,897 & \ hfill -856 \\ \ hfill -311 & \ hfill 2,032 & \ hfill 413 \ end {array} \ right] [/ latex]

Определитель матрицы 3×3 — ChiliMath

Стандартная формула для поиска определителя матрицы 3 × 3 представляет собой разбиение более мелких задач определителя 2 × 2 , с которыми очень легко справиться. Если вам нужно что-то напомнить, прочтите мой другой урок о том, как найти определитель 2 × 2.Предположим, нам дана квадратная матрица A, где

Определитель матрицы A вычисляется как

Вот ключевые моменты:

• Обратите внимание, что элементы верхней строки, а именно a, b и c, служат в качестве скаляров. умножители на соответствующую матрицу 2 на 2.

• Скаляр a умножается на матрицу 2 × 2 оставшихся элементов, созданную, когда вертикальные и горизонтальные отрезки линии проходят через a.

• Тот же процесс применяется для построения матриц 2 × 2 для скалярных умножителей b и c.

Определитель матрицы 3 x 3 (анимированный)

Примеры того, как найти определитель матрицы 3 x 3

Пример 1: Найдите определитель матрицы 3 x 3 ниже.

Приведенная ниже настройка поможет вам найти соответствие между общими элементами формулы и элементами реальной проблемы.

Применяя формулу,

Пример 2: Вычислите определитель матрицы 3 × 3 ниже.

Будьте очень осторожны при замене значений в правильные места в формуле. Распространенные ошибки возникают, когда учащиеся становятся неосторожными на начальном этапе подстановки значений.

Вдобавок убедитесь, что ваша арифметика верна. В противном случае одна ошибка в вычислении приведет к неверному ответу.

Так как,

наше вычисление определителя становится…

Пример 3: Найдите определитель матрицы 3 × 3 ниже.

Наличие нуля (0) в первой строке должно значительно упростить наши вычисления. Помните, что эти элементы в первой строке действуют как скалярные множители. Следовательно, умножение нуля на что-либо приведет к исчезновению всего выражения.

Вот снова настройка, показывающая соответствующее числовое значение каждой переменной в формуле.

Используя формулу, мы имеем…

Вас также может заинтересовать:

Детерминанты матрицы 2 × 2

Операции с матрицей в R

Методы многомерной статистики

R — это пакет статистического программирования с открытым исходным кодом, богатый векторными и матричными операторами.Есть версии of R, доступный для Windows, Mac OS и Unix, который можно бесплатно загрузить через Интернет.

Матрица

  # матричная функция
# R хочет, чтобы данные вводились столбцами, начиная с первого столбца
# 1-й аргумент: c (2,3, -2,1,2,2) значения элементов, заполняющих столбцы
# 2nd arg: 3 количество строк
# 3-й аргумент: 2 количество столбцов

> А

     [, 1] [, 2]
[1,] 2 1
[2,] 3 2
[3,] -2 2  

— это что-то вроде матрицы

 > есть.матрица (A) 

[1] ИСТИНА

 > is.vector (A) 

[1] FALSE 

Умножение на скаляр

 > с

     [, 1] [, 2]
[1,] 6 3
[2,] 9 6
[3,] -6 6  

Сложение и вычитание матриц

 > B

     [, 1] [, 2]
[1,] 1 1
[2,] 4 2
[3,] -2 1

 > С

     [, 1] [, 2]
[1,] 3 2
[2,] 7 4
[3,] -4 3

 > D

     [, 1] [, 2]
[1,] 1 0
[2,] -1 0
[3,] 0 1    

Умножение матриц

 > D

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 3
[2,] -2 2 1

 > С

     [, 1] [, 2]
[1,] 1 10
[2,] 0 4

 > С

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 4 7
[2,] 2 7 11
[3,] -8 2 -4

 > D

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 3

 > С

     [, 1] [, 2]
[1,] 1 10

 > С

Ошибка в A% *% D: несоответствующие аргументы       

Транспонирование матрицы

 > В

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 3 -2
[2,] 1 2 2

 > ATT

     [, 1] [, 2]
[1,] 2 1
[2,] 3 2
[3,] -2 2   

Общие векторы

Единичный вектор

 > U

     [, 1]
[1,] 1
[2,] 1
[3,] 1  

Нулевой вектор

 > Я

     [, 1]
[1,] 0
[2,] 0
[3,] 0  

Общие матрицы

Матрица единиц

 > U

     [, 1] [, 2]
[1,] 1 1
[2,] 1 1
[3,] 1 1  

Нулевая матрица

 > Я

     [, 1] [, 2]
[1,] 0 0
[2,] 0 0
[3,] 0 0  

Диагональная матрица

 > S

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 4
[2,] 3 2 2
[3,] -2 2 3

 > D

[1] 2 2 3

 > D

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 0 0
[2,] 0 2 0
[3,] 0 0 3    

Идентификационная матрица

 > Я

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 1  

Симметричная матрица

 > С

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 5
[2,] 1 3 4
[3,] 5 4 -2

 > КТ

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 5
[2,] 1 3 4
[3,] 5 4-2   

Обратная матрица

 > А

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 4 2 2
[2,] 4 6 8
[3,] -2 2 4


 > AI

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 1.0 -0,5 0,5
[2,] -4,0 2,5 -3,0
[3,] 2,5 -1,5 2,0

 > А% *% AI 

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 1

 > AI% *% A 

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 1   

Инверсия и определитель матрицы

 > С

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 6
[2,] 1 3 4
[3,] 6 4 -2

 > CI

           [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 0.2156863 -0,254 0,13725490
[2,] -0,2549020 0,39215686 0,01960784
[3,] 0,1372549 0,01960784 -0,041

 > д

[1] -102    

Ранг матрицыM / h5>

 > А

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 4
[2,] 3 2 7
[3,] -2 2 0

 > matA

[1] 3

 > А

     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 2 1 4
[2,] 3 2 6
[3,] -2 2 -4

 > matA

[1] 2

# Примечание столбец 3 - это 2 раза столбец 1     

Количество строк и столбцов

 > X

     [, 1] [, 2]
[1,] 3 2
[2,] 2 -2
[3,] 4 6
[4,] 3 1

 > тусклый (X) 

[1] 4 2

 > г

[1] 4

 > с

[1] 2    

Вычисление сумм столбцов и строк

  # обратите внимание на верхний регистр S

> А

     [, 1] [, 2]
[1,] 2 1
[2,] 3 2
[3,] -2 2

 > с

[1] 3 5

 > г

[1] 3 5 0

 > а

[1] 8     

Вычисление средних значений столбцов и строк

  # обратите внимание на прописную букву M

> см

[1] 1.000000 1.666667

 > пм

[1] 1,5 2,5 0,0

 > м

[1] 1,333333    

Горизонтальная конкатенация

 > А 

     [, 1] [, 2]
[1,] 2 1
[2,] 3 2
[3,] -2 2

 > B

     [, 1] [, 2]
[1,] 1 1
[2,] 3 4
[3,] 2 2

 > С

     [, 1] [, 2] [, 3] [, 4]
[1,] 2 1 1 1
[2,] 3 2 3 4
[3,] -2 2 2 2   

Вертикальная конкатенация (добавляется)

 > С

     [, 1] [, 2]
[1,] 2 1
[2,] 3 2
[3,] -2 2
[4,] 1 1
[5,] 3 4
[6,] 2 2  

Интернет-страница многомерного курса