Разрядность числа это: Десятичная система счисления, классы и разряды чисел

Содержание

Десятичная система счисления, классы и разряды чисел

Так как десятичная система счисления поместная, то число зависит не только от записанных в нем цифр, но и от места записи каждой цифры.

Определение: Место записи цифры в числе называется разрядом числа.

Например, число состоит из трех цифр: 1, 0 и 3. Поместная, или разрядная, система записи позволяет из этих трех цифр составить трехразрядные числа: 103, 130, 301, 310 и двухразрядные числа: 013, 031. Приведенные числа расположены в порядке возрастания: каждое предыдущее число меньше последующего.

Следовательно, цифры, которые используются для записи числа, не определяют полностью это число, а служат только инструментом его записи.

Само число строится с учетом разрядов, в которых записана та или иная цифра, т. е. нужная цифр должна еще и занимать нужное место в записи числа.

Правило. Разряды натуральных чисел именуются справа налево от 1 к большему числу, каждый разряд имеет свой номер и место в записи числа.

Наиболее употребляемые числа имеют до 12 разрядов. Числа, имеющие более 12 разрядов, относятся к груп­пе больших чисел.

Количество занятых цифрами мест при условии, что цифра наибольшего разряда не 0, определяет разрядность числа. О числе можно сказать, что оно: однозначное (одноразрядное), например 5; двузначное (двухразрядное), например 15; трехзначное (трехраз­рядное), например 551, и т. д.

Кроме порядкового номера каждый из разрядов имеет свое наименование: разряд единиц (1-й), разряд десятков (2-й), разряд сотен (3-й), разряд единиц тысяч (4-й), разряд десятков тысяч (5-й) и т. д. Каждые три разряда, начиная с первого, объединены в классы. Каждый класс тоже имеет свой порядковый номер и наименование.

Например, первые 3 разряда (от 1-го до 3-го включительно) — это класс единиц с порядковым номером 1; третий класс — это класс миллионов, он включает 7-й, 8-й и 9-й

разряды.

Приведем структуру разрядного построения числа, или таблицу разрядов и классов.

Таблица разрядов и классов чисел
Классы Разряды
1-й класс   единицы
  • 1-й разряд    единицы
  • 2-й разряд   десятки
  • 3-й разряд   сотни
2-й класс    тысячи
  • 1-й разряд    единицы тысяч
  • 2-й разряд   десятки тысяч
  • 3-й разряд   сотни тысяч
3-й класс    миллионы
  • 1-й разряд    единицы миллионов
  • 2-й разряд   десятки миллионов
  • 3-й разряд   сотни миллионов
4-й класс    миллиарды
  • 1-й разряд    единицы миллиардов
  • 2-й разряд   десятки миллиардов
  • 3-й разряд   сотни миллиардов

Число 127 432 706 408 — двенадцатиразрядное и чи­тается так: сто двадцать семь миллиардов четыреста тридцать два миллиона семьсот шесть тысяч четыреста восемь. Это многозначное число четвертого класса. Три разряда каждого класса читаются как трехзначные числа: сто двадцать семь, четыреста тридцать два, семьсот шесть, четы­реста восемь. К каждому классу трехзначного числа добавляется наименование класса: «миллиардов», «милли­онов», «тысяч».

У класса единиц наименование опускается (подра­зумевается «единиц»).

Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Большие числа используются только в специфи­ческих отраслях Знаний (астрономии, физике, электро­нике и т. д.).

Приведем ознакомительно названия классов от пятого до девятого: единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — септиллионы.


Разряды для начинающих

Наш первый урок назывался числа. Мы рассмотрели лишь малую часть этой темы. На самом деле тема чисел достаточно обширна. В ней много тонкостей и нюансов, много хитростей и интересных фишек.

Сегодня мы продолжим тему чисел, но опять же не будем рассматривать её всю, чтобы не затруднять обучение лишней информацией, которая на первых порах не особо то и нужна. Мы поговорим о разрядах.

Что такое разряд?

Если говорить простым языком, то разряд это позиция цифры в числе или место, где располагается цифра. Возьмём для примера число 635. Это число состоит из трёх цифр: 6, 3 и 5.

Разряды надо читать справа налево. В числе 635 на первой позиции располагается цифра 5, на второй позиции – цифра 3, на третьей позиции – цифра 6.

Позиция, где располагается цифра 5, называется разрядом единиц

Позиция, где располагается цифра 3, называется разрядом десятков

Позиция, где располагается цифра 6, называется разрядом сотен

Каждый из нас слышал со школы такие вещи как «единицы», «десятки», «сотни». Разряды помимо того, что играют роль позиции цифры в числе, сообщают нам некоторую информацию о самом числе. В частности, разряды сообщают нам вес числа. Они сообщают сколько в числе единиц, сколько десятков и сколько сотен.

Вернёмся к нашему числу 635. В разряде единиц располагается пятёрка. О чём это говорит? А говорит это о том, что разряд единиц содержит пять единичек. Выглядит это так:

В разряде десятков располагается тройка. Это говорит о том, что разряд десятков содержит три десятка. Выглядит это так:

В разряде сотен располагается шестёрка. Это говорит о том, что в разряде сотен располагаются шесть сотен. Выглядит это так:

Если сложить число получившихся единиц, число десятков и число сотен, то получим наше изначальное число 635

Существуют и более старшие разряды такие как разряд тысяч, разряд десятков тысяч, разряд сотен тысяч,  разряд миллионов и так далее. Такие большие числа мы будем рассматривать редко, но тем не менее о них тоже желательно знать.

Например, в числе 1 645 832 разряд единиц содержит 2 единицы, разряд десятков — 3 десятка, разряд сотен — 8 сотен, разряд тысяч — 5 тысяч, разряд десятков тысяч — 4 десятка тысяч, разряд сотен тысяч — 6 сотен тысяч, разряд миллионов — 1 миллион.

На первых этапах изучения разрядов желательно разбираться сколько единиц, десятков, сотен содержит то или иное число. К примеру, число 9 содержит 9 единиц. Число 12 содержит две единицы и один десяток. Число 123 содержит три единицы, два десятка и одну сотню.


Группировка предметов

После подсчета каких-нибудь предметов, разряды можно использовать для группировки этих предметов. К примеру, если мы насчитали во дворе 35 кирпичей, то можно использовать разряды для группировки этих кирпичей. В случае группировки предметов, разряды можно читать слева направо. Так, цифра 3 в числе 35 будет говорить о том, что в числе 35 содержатся три десятка. А это значит, что 35 кирпичей можно сгруппировать три раза по десять штук.

Итак, сгруппируем кирпичи три раза по десять штук:

Получилось тридцать кирпичей. Но осталось еще пять единиц кирпичей. Их мы назовем как «пять единиц»

Получилось три десятка и пять единиц кирпичей.

А если бы мы не стали группировать кирпичи на десятки и единицы, то можно было бы сказать, что число 35 содержит тридцать пять единиц. Такая группировка тоже была бы допустимой:

Аналогично можно рассуждать и про другие числа. К примеру, о числе 123. Ранее мы сказали, что это число содержит три единицы, два десятка и одну сотню. Но можно ещё сказать, что это число  содержит 123 единицы. Более того, можно сгруппировать это число и другим образом, сказав что оно содержит 12 десятков и 3 единицы.

Слова единицы, десятки, сотни, заменяют собой множимые 1, 10 и 100. К примеру, в разряде единиц числа 123 располагается цифра 3. С помощью множимого 1 можно записать, что эта единица содержится в разряде единиц три раза:

1 × 3 = 3

Далее в разряде десятков числа 123 располагается цифра 2. С помощью множимого 10 можно записать, что эта десятка содержится в разряде десятков два раза:

10 × 2 = 20

Далее в разряде сотен числа 123 располагается цифра 1. С помощью множимого 100 можно записать, что эта сотня содержится в разряде сотен один раз:

100 × 1 = 100

Если сложить полученные результаты 3, 20 и 100, то получим число 123

3 + 20 + 100 = 123

То же самое будет происходить если мы скажем, что число 123 содержит 12 десятков и 3 единицы. Другими словами, десятки будут сгруппированы 12 раз:

10 × 12 = 120

А единицы три раза:

1 × 3 = 3

Это можно понять на следующем примере. Если имеется 123 яблока, то можно сгруппировать первые 120 яблок 12 раз по 10 штук:

Получилось сто двадцать яблок. Но осталось еще три яблока. Их мы назовем как «три единицы»

Если сложить полученные результаты 120 и 3, снова получим число 123

120 + 3 = 123

Ещё можно сгруппировать 123 яблока на одну сотню, два десятка и три единицы.

Сгруппируем сотню:

Сгруппируем два десятка:

Сгруппируем три единицы:

Если сложить полученные результаты 100, 20 и 3, снова получим число 123

100 + 20 + 3 = 123

Ну и наконец, рассмотрим последнюю возможную группировку, где яблоки не будут распределяться на десятки и сотни, а будут собраны вместе. В таком случае число 123 будет читаться как «сто двадцать три единицы». Такая группировка тоже будет допустимой:

1 × 123 = 123


Пример 3. Прочитать число 523 всеми возможными способами.

Число 523 можно прочесть, как 3 единицы, 2 десятка и 5 сотен:

1 × 3 = 3 (три единицы)

10 × 2 = 20 (два десятка)

100 × 5 = 500 (пять сотен)

3 + 20 + 500 = 523

Ещё  можно прочесть, как 3 единицы 52 десятка:

1 × 3 = 3 (три единицы)

10 × 52 = 520 (пятьдесят два десятка)

3 + 520 = 523

Ещё число 523 можно прочесть, как 523 единицы:

1 × 523 = 523 (пятьсот двадцать три единицы)


Где применить разряды?

Разряды существенно облегчают некоторые вычисления. Представьте, что вы у доски и решаете задачу. Вы почти закончили задачу, осталось только вычислить последнее выражение и получить ответ. Выражение, которое надо вычислить, выглядит следующим образом:

Калькулятора под рукой нет, а хочется быстро записать ответ и удивить всех скоростью своих вычислений. Всё просто, если отдельно сложить единицы, отдельно десятки и отдельно сотни. Начинать нужно с разряда единиц. В первую очередь после знака равно (=) необходимо мысленно поставить три точки. Вместо этих точек будет располагаться новое число (наш ответ):

Теперь начинаем складывать. В разряде единиц числа 632 располагается цифра 2, а в разряде единиц числа 264 — цифра 4. Это означает, разряд единиц числа 632 содержит две единицы, а разряд единиц числа 264 содержит четыре единицы. Складываем 2 и 4 единицы — получаем 6 единиц. Записываем цифру 6 в разряде единиц нового числа (нашего ответа):

Далее складываем десятки. В разряде десятков числа 632 располагается цифра 3, а в разряде десятков числа 264 — цифра 6. Это означает, что разряд десятков числа 632 содержит три десятка, а разряд десятков числа 264 содержит шесть десятков. Складываем 3 и 6 десятков — получаем 9 десятков. Записываем цифру 9 в разряде десятков нового числа (нашего ответа):

Ну и в завершении складываем отдельно сотни. В разряде сотен числа 632 располагается цифра 6, а в разряде сотен числа 264 — цифра 2. Это означает, что разряд сотен числа 632 содержит шесть сотен, а разряд сотен числа 264 содержит две сотни. Складываем 6 и 2 сотни, получаем 8 сотен. Записываем цифру 8 в разряде сотен нового числа (нашего ответа):

Таким образом, если к числу 632 прибавить 264, получается 896. Конечно, вы вычислите подобное выражение быстрее и окружающие начнут удивляться вашим способностям. Они будут думать, что вы быстро вычисляете большие числа, а на самом деле вы вычисляли маленькие. Согласитесь, что маленькие числа вычислять легче, чем большие.


Переполнение разряда

Разряд характеризуется одной цифрой от 0 до 9. Но иногда при вычислении числового выражения в середине решения может произойти переполнение разряда.

Например, при сложении чисел 32 и 14 переполнения не происходит. Сложение единиц этих чисел даст 6 единиц в новом числе. А сложение десятков этих чисел даст 4 десятка в новом числе. Получится ответ 46 или шесть единиц и четыре десятка.

А вот при сложении чисел 29 и 13 произойдёт переполнение. Сложение единиц этих чисел даёт 12 единиц, а сложение десятков 3 десятка. Если в новом числе в разряде единиц записать полученные 12 единиц, а в разряде десятков записать полученные 3 десятка, то получится ошибка:

Значение выражения 29 + 13 равно 42, а не 312. Как же следует поступать при переполнении? В нашем случае переполнение случилось в разряде единиц нового числа. При сложении девяти и трёх единиц у нас получилось 12 единиц. А в разряд единиц можно записывать только цифры в диапазоне от 0 до 9.

Дело в том, что 12 единиц это не просто «двенадцать единиц». По другому это число можно прочитать как «две единицы и один десяток». Разряд единиц предназначен только для единиц. Десяткам там не место. Здесь и заключается наша ошибка. Сложив 9 единиц и 3 единицы мы получили 12 единиц, которые по-другому можно назвать двумя единицами и одним десятком. Записав две единицы и один десяток в одном разряде, мы допустили ошибку, которая в итоге привела к неправильному ответу.

Чтобы исправить ситуацию, две единицы нужно записать в разряде единиц нового числа, а оставшийся десяток перенести на следующий разряд десятков. После сложения десятков в примере 29 + 13, мы прибавим к полученному результату тот десяток, который остался при сложении единиц.

Итак, из 12 единиц две единицы запишем в разряде единиц нового числа, а один десяток перенесем на следующий разряд

Как видно на рисунке, 12 единиц мы представили как 1 десяток и 2 единицы. Две единицы мы записали в разряде единиц нового числа. А один десяток перенесли к разрядам десятков. Этот десяток мы прибавим к результату сложения десятков чисел 29 и 13. Чтобы не забыть о нем, мы надписали его над десятками числа 29.

Теперь складываем десятки. Два десятка плюс один десяток будет три десятка, плюс один десяток, который остался от предыдущего сложения. В результате в разряде десятков получаем четыре десятка:


Пример 2. Сложить по разрядам числа 862 и 372.

Начинаем с разряда единиц. В разряде единиц числа 862 располагается цифра 2, в разряде единиц числа 372 — также цифра 2. Это означает, что разряд единиц числа 862 содержит две единицы, и разряд единиц числа 372 также содержит две единицы. Складываем 2 единицы плюс 2 единицы — получаем 4 единицы. Записываем цифру 4 в разряде единиц нового числа:

Далее складываем десятки. В разряде десятков числа 862 располагается цифра 6, а в разряде десятков числа 372 — число 7. Это означает, что разряд десятков числа 862 содержит шесть десятков, а разряд десятков числа 372 содержит семь десятков. Складываем 6 десятков и 7 десятков — получаем 13 десятков. Произошло переполнение разряда. 13 десятков это десятка повторенная 13 раз. А если повторить десятку 13 раз, то получится число 130

10 × 13 = 130

Число 130 состоит из трех десятков и одной сотни. Три десятка мы запишем в разряде десятков нового числа, а одну сотню отправим на следующий разряд:

Как видно на рисунке, 13 десятков (число 130) мы представили как 1 сотню и 3 десятка. Три десятка мы записали в разряде десятков нового числа. А одну сотню перенесли к разрядам сотен. Эту сотню мы прибавим к результату сложения сотен чисел 862 и 372. Чтобы не забыть о ней, мы надписали её над сотнями числа 862.

Теперь складываем сотни. Восемь сотен плюс три сотни будет одиннадцать сотен плюс одна сотня, которая осталась от предыдущего сложения. В результате в разряде сотен получаем двенадцать сотен:

Здесь также происходит переполнение разряда сотен, но это не приводит к ошибке, поскольку решение завершено. При желании с 12 сотнями можно провести те же действия, что мы провели с 13 десятками.

12 сотен это сотня, повторенная 12 раз. А если повторить сотню 12 раз, то получится 1200

100 × 12 = 1200

В числе 1200 две сотни и одна тысяча. Две сотни записываются в разряд сотен нового числа, а одна тысяча перенеслась к разряду тысяч.


Теперь рассмотрим примеры на вычитание. Для начала вспомним, что такое вычитание. Это операция, которая позволяет от одного числа вычесть другое. Вычитание состоит из трёх параметров: уменьшаемого, вычитаемого и разности. Вычитать тоже нужно по разрядам.

Пример 3. Вычесть из числа 65 число 12.

Начинаем с разряда единиц. В разряде единиц числа 65 располагается цифра 5, а в разряде единиц числа 12 — цифра 2. Это означает, что разряд единиц числа 65 содержит пять единиц, а разряд единиц числа 12 содержит две единицы. Вычтем из пяти единиц две единицы, получим три единицы. Записываем цифру 3 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. В разряде десятков числа 65 располагается цифра 6, а в разряде десятков числа 12 — цифра 1. Это означает, что разряд десятков числа 65 содержит шесть десятков, а разряд десятков числа 12 содержит один десяток. Вычтем из шести десятков один десяток, получим пять десятков. Записываем цифру 5 в разряде десятков нового числа:


Пример 4. Вычесть из числа 32 число 15

В разряде единиц числа 32 содержится две единицы, а в разряде единиц числа 15 — пять единиц. От двух единиц не вычесть пять единиц, поскольку две единицы меньше, чем пять единиц.

Сгруппируем 32 яблока так, чтобы в первой группе было три десятка яблок, а во второй — оставшиеся две единицы яблок:

Итак, нам нужно из этих 32 яблок вычесть 15 яблок, то есть вычесть пять единиц и один десяток яблок. Причем вычесть по разрядам.

От двух единиц яблок нельзя вычесть пять единиц яблок. Чтобы выполнить вычитание, две единицы должны взять несколько яблок у соседней группы (разряда десятков). Но нельзя брать сколько хочется, поскольку десятки строго упорядочены по десять штук. Разряд десятков может дать двум единицам только один целый десяток.

Итак, берём один десяток из разряда десятков и отдаём его двум единицам:

К двум единицам яблок теперь присоединился один десяток яблок. Получается 12 единиц яблок. А от двенадцати можно вычесть пять, получится семь. Записываем цифру 7 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. Поскольку разряд десятков отдал единицам один десяток, сейчас он имеет не три, а два десятка. Поэтому вычитаем из двух десятков один десяток. Останется один десяток. Записываем цифру 1 в разряде десятков нового числа:

Чтобы не забывать, что в каком-то разряде был взят один десяток (либо сотня либо тысяча), над этим разрядом принято ставить точку.


Пример 5. Вычесть из числа 653 число 286

В разряде единиц числа 653 содержится три единицы, а в разряде единиц числа 286 — шесть единиц. От трёх единиц не вычесть шесть единиц, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Ставим точку над разрядом десятков, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда один десяток:

Взятый один десяток и три единицы вместе образуют тринадцать единиц. От тринадцати единиц можно вычесть шесть единиц, получится семь единиц. Записываем цифру 7 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. Раньше разряд десятков числа 653 содержал пять десятков, но мы взяли с него один десяток, и теперь в разряде десятков содержатся четыре десятка. Из четырех десятков не вычесть восемь десятков, поэтому берем одну сотню у разряда сотен. Ставим точку над разрядом сотен, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда одну сотню:

Взятая одна сотня и четыре десятка вместе образуют четырнадцать десятков. От четырнадцати десятков можно вычесть восемь десятков, получится шесть десятков. Записываем цифру 6 в разряде десятков нового числа:

Теперь вычитаем сотни. Раньше разряд сотен числа 653 содержал шесть сотен, но мы взяли с него одну сотню, и теперь в разряде сотен содержатся пять сотен. Из пяти сотен можно вычесть две сотни, получается три сотни. Записываем цифру 3 в разряде сотен нового числа:

Намного сложнее вычитать из чисел вида 100, 200, 300, 1000, 10000. То есть числа, у которых на конце нули. Чтобы выполнить вычитание, каждому разряду приходится занимать десятки/сотни/ тысячи у следующего разряда. Давайте посмотрим, как это происходит.

Пример 6. Вычесть из числа 200 число 84

В разряде единиц числа 200 содержится ноль единиц, а в разряде единиц числа 84 — четыре единицы. От нуля не вычесть четыре единицы, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Ставим точку над разрядом десятков, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда один десяток:

Но в разряде десятков нет десятков, которые мы могли бы взять, поскольку там тоже ноль. Чтобы разряд десятков смог дать нам один десяток, мы должны взять для него одну сотню у разряда сотен. Ставим точку над разрядом сотен, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда одну сотню для разряда десятков:

Взятая одна сотня это десять десятков. От этих десяти десятков мы берём один десяток и отдаём его единицам. Этот взятый один десяток и прежние ноль единиц вместе образуют десять единиц. От десяти единиц можно вычесть четыре единицы, получится шесть единиц. Записываем цифру 6 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. Чтобы вычесть единицы мы обратились к разряду десятков за одним десятком, но на тот момент этот разряд был пуст. Чтобы разряд десятков смог дать нам один десяток, мы взяли одну сотню у разряда сотен. Эту одну сотню мы назвали «десять десятков». Один десяток мы отдали единицам. Значит на данный момент в разряде десятков содержатся не десять, а девять десятков. От девяти десятков можно вычесть восемь десятков, получится один десяток. Записываем цифру 1 в разряде десятков нового числа:

Теперь вычитаем сотни. Для разряда десятков мы брали у разряда сотен одну сотню. Значит сейчас в разряде сотен содержатся не две сотни, а одна. Поскольку в вычитаемом разряд сотен отсутствует, мы переносим эту одну сотню в разряд сотен нового числа:

Получили окончательный ответ 116.

Естественно, выполнять вычитание таким традиционным методом довольно сложно, особенно на первых порах. Поняв сам принцип вычитания, можно воспользоваться нестандартными способами.

Первый способ заключается в том, чтобы уменьшить число, у которого на конце нули на одну единицу. Далее из полученного результата вычесть вычитаемое и к полученной разности прибавить единицу, которую изначально вычли из уменьшаемого. Давайте решим предыдущий пример этим способом:

Уменьшаемое здесь это число 200. Уменьшим это число на единицу. Если от 200 вычесть 1 получится 199. Теперь в примере 200 − 84 вместо числа 200 записываем число 199 и решаем пример 199 − 84. А решение этого примера не составляет особого труда. Единицы вычтем из единиц, десятки из десятков, а сотню просто перенесем к новому числу, поскольку в числе 84 нет сотен:

Получили ответ 115. Теперь к этому ответу прибавляем единицу, которую мы изначально вычли из числа 200

Получили окончательный ответ 116.


Пример 7. Вычесть из числа 100000 число 91899

Вычтем из 100000 единицу, получим 99999

Теперь из 99999 вычитаем 91899

К полученному результату 8100 прибавим единицу, которую мы вычли из 100000

Получили окончательный ответ 8101.


Второй способ вычитания заключается в том, чтобы рассматривать цифру, находящуюся в разряде, как самостоятельное число. Решим несколько примеров этим способом.

Пример 8. Вычесть из числа 75 число 36

Будем считать, что каждая цифра в разряде это самостоятельное число.

Итак, в разряде единиц числа 75 располагается число 5, а в разряде единиц числа 36 располагается число 6. Из пяти не вычесть шести, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков.

В разряде десятков располагается число 7. Берем от этого числа одну единицу и мысленно дописываем её слева от числа 5

А поскольку от числа 7 взята одна единица, это число уменьшится на одну единицу и обратится в число 6

Теперь в разряде единиц числа 75 располагается число 15, а в разряде единиц числа 36 число 6. Из 15 можно вычесть 6, получится 9. Записываем число 9 в разряде единиц нового числа:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде десятков. Раньше там располагалось число 7, но мы взяли с этого числа одну единицу, поэтому сейчас там располагается число 6. А в разряде десятков числа 36 располагается число 3. Из 6 можно вычесть 3, получится 3. Записываем число 3 в разряде десятков нового числа:


Пример 9. Вычесть из числа 200 число 84

Будем считать, что каждая цифра в разряде это самостоятельно число.

Итак, в разряде единиц числа 200 располагается ноль, а в разряде единиц числа 84 — располагается четыре. От нуля не вычесть четыре, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков. Но в разряде десятков тоже ноль. Ноль не сможет дать нам единицу. В таком случае за следующее принимаем число 20.

Берём одну единицу от числа 20 и мысленно дописываем её слева от нуля, располагающегося в разряде единиц. А поскольку от числа 20 взята одна единица, это число обратится в число 19

Теперь в разряде единиц располагается число 10. Десять минус четыре равно шесть. Записываем число 6 в разряде единиц нового числа:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде десятков. Раньше там располагался ноль, но этот ноль вместе со следующей цифрой 2 образовал число 20, от которого мы брали одну единицу. В результате число 20 обратилось в число 19. Получается, что теперь в разряде десятков числа 200 располагается число 9, а в разряде десятков числа 84 располагается число 8. Девять минус восемь равно одному. Записываем число 1 в разряде десятков нашего ответа:

Переходим к следующему числу, находящемуся к разряду сотен. Раньше там располагалось число 2, но это число вместе с цифрой 0 мы приняли за число 20, от которого взяли одну единицу. В результате число 20 обратилось в число 19. Получается, что теперь в разряде сотен числа 200 располагается число 1, а в числе 84 разряд сотен пустой, поэтому мы переносим эту единицу к новому числу:

Этот метод поначалу кажется сложным и лишенным всякого смысла, но на деле он самый лёгкий. В основном мы будем им пользоваться при сложении и вычитании чисел в столбик.


Сложение в столбик

Сложение в столбик это школьная операция, которую помнят многие, но не мешает вспомнить её ещё раз. Сложение в столбик происходит по разрядам — единицы складываются с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями, тысячи с тысячами.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Сложить 61 и 23.

Сначала записываем первое число, а под ним второе число так, чтобы единицы и десятки второго числа оказались под единицами и десятками первого числа. Всё это соединяем знаком сложения (+) по вертикали:

Теперь единицы первого числа складываем с единицами второго числа, а десятки первого числа складываем с десятками второго числа:

Получили 61 + 23 = 84.


Пример 2. Сложить 108 и 60

Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками:

Теперь складываем единицы первого числа с единицами второго числа, десятки первого числа с десятками второго числа, сотни первого числа с сотнями второго числа. Но сотня есть только у первого числа 108. В этом случае цифра 1 из разряда сотен добавляется к новому числу (нашему ответу). Как говорили в школе «сносится»:

Видно, что мы снесли цифру 1 к нашему ответу.

Когда речь идёт о сложении, нет разницы в каком порядке записывать числа. Наш пример вполне можно было записать и так:

Первая запись, где число 108 было наверху, более удобнее для вычисления. Человек вправе выбирать любую запись, но обязательно нужно помнить, что единицы надо записывать строго под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. Другими словами, следующие записи будут неправильными:

Если вдруг при сложении соответствующих разрядов получится число, которое не помещается в разряд нового числа, то необходимо записать одну цифру из младшего разряда, а оставшуюся перенести на следующий разряд.

Речь в данном случае идет о переполнении разряда, о котором мы говорили ранее. Например, при сложении 26 и 98 получается 124. Давайте посмотрим, как это получилось.

Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками:

Складываем единицы первого числа с единицами второго числа: 6+8=14. Получили число 14, которое не вместится в разряд единиц нашего ответа. В таких случаях мы сначала вытаскиваем из 14 цифру, находящуюся в разряде единиц и записываем её в разряде единиц нашего ответа. В разряде единиц числа 14 располагается цифра 4. Записываем эту цифру в разряде единиц нашего ответа:

А куда девать цифру 1 из числа 14? Здесь начинается самое интересное. Эту единицу мы переносим на следующий разряд. Она будет добавлена к разряду десятков нашего ответа.

Складываем десятки с десятками. 2 плюс 9 равно 11, плюс добавляем единицу, которая досталась нам от числа 14. Добавив к 11 нашу единицу, мы получим число 12, которое и запишем в разряде десятков нашего ответа. Поскольку это конец решения, здесь уже не стоит вопрос о том, вместится ли полученный ответ в разряд десятков. 12 мы записываем целиком, образуя окончательный ответ.

Получили ответ 124.

Говоря традиционным методом сложения, при сложении 6 и 8 единиц получилось 14 единиц. 14 единиц это 4 единицы и 1 десяток. Четыре единицы мы записали в разряде единиц, а один десяток отправили на следующий разряд (к разрядам десятков). Затем сложив 2 десятка и 9 десятков, мы получили 11 десятков, плюс добавили 1 десяток, который остался при сложении единиц. В результате получили 12 десятков. Эти двенадцать десятков мы записали целиком, образуя окончательный ответ 124.

Этот простенький пример демонстрирует школьную ситуацию, в которой говорят «четыре пишем, один в уме». Если вы будете решать примеры и у вас после сложения разрядов останется цифра, которую надо держать в уме, запишите её над тем разрядом, куда она будет потом добавлена. Это позволит вам не забыть о ней:


Пример 2. Сложить числа 784 и 548

Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями:

Складываем единицы первого числа с единицами второго числа: 4+8=12. Число 12 не вмещается в разряд единиц нашего ответа, поэтому мы из 12 вынимаем цифру 2 из разряда единиц и записываем её в разряд единиц нашего ответа. А цифру 1 переносим на следующий разряд:

Теперь складываем десятки. Складываем 8 и 4 плюс единица, которая осталась от предыдущей операции (единица осталась от 12, на рисунке она выделена синим цветом). Складываем 8+4+1=13. Число 13 не вместится в разряд десятков нашего ответа, поэтому мы запишем цифру 3 в разряде десятков, а единицу перенесём на следующий разряд:

Теперь складываем сотни. Складываем 7 и 5 плюс единица, которая осталась от предыдущей операции: 7+5+1=13. Записываем число 13 в разряд сотен:


Вычитание в столбик

Пример 1. Вычтем из числа 69 число 53.

Запишем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками. Затем вычитаем по разрядам. Из единиц первого числа вычитаем единицы второго числа. Из десятков первого числа вычитаем десятки второго числа:

Получили ответ 16.


Пример 2. Найти значение выражения 95 − 26

Записываем в столбик данное выражение:

Разряд единиц числа 95 содержит 5 единиц, а разряд единиц числа 26 содержит 6 единиц. От пяти единиц нельзя вычесть шесть единиц, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Этот десяток и имеющиеся пять единиц вместе составляют 15 единиц. Из 15 единиц можно вычесть 6 единиц, получится 9 единиц. Записываем цифру 9 в разряде единиц нашего ответа:

Теперь вычитаем десятки. Разряд десятков числа 95 раньше содержал 9 десятков, но мы взяли с этого разряда один десяток, и сейчас он содержит 8 десятков. А разряд десятков числа 26 содержит 2 десятка. Из восьми десятков можно вычесть два десятка, получится шесть десятков. Записываем цифру 6 в разряде десятков нашего ответа:

Воспользуемся нестандартным способом вычитания при котором каждая цифра, входящая в число, рассматривается как отдельное число. При вычитании больших чисел в столбик этот способ очень удобен.

В разряде единиц уменьшаемого располагается число 5. А в разряде единиц вычитаемого число 6. Из пятёрки не вычесть шестёрку. Поэтому берем одну единицу у числа 9. Взятая единица мысленно дописывается слева от пятёрки. А поскольку у числа 9 мы взяли одну единицу, это число уменьшится на одну единицу:

В результате пятёрка обращается в число 15. Теперь можно из 15 вычесть 6. Получается 9. Записываем число 9 в разряде единиц нашего ответа:

Переходим к разряду десятков. Раньше там располагалось число 9, но поскольку мы взяли у него одну единицу оно обратилось в число 8. В разряде десятков второго числа располагается число 2. Восемь минус два будет шесть. Записываем число 6 в разряде десятков нашего ответа:


Пример 3. Найдем значение выражения 2412 − 2317

Записываем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 2412 располагается число 2, а в разряде единиц числа 2317 располагается число 7. Из двойки не вычесть семёрку, поэтому берем единицу у следующего числа 1. Взятую единицу мысленно дописываем слева от двойки:

В результате двойка обращается в число 12. Теперь можно из 12 вычесть 7. Получается 5. Записываем цифру 5 в разряде единиц нашего ответа:

Переходим к десяткам. В разряде десятков числа 2412 раньше располагалось число 1, но поскольку мы взяли у него одну единицу, оно обратилось в 0. А в разряде десятков числа 2317 располагается число 1. Из нуля не вычесть единицу. Поэтому берем одну единицу у следующего числа 4. Взятую единицу мысленно дописываем слева от нуля. А поскольку у числа 4 мы взяли одну единицу, это число уменьшится на одну единицу:

В результате ноль обращается в число 10. Теперь можно из 10 вычесть 1. Получается 9. Записываем цифру 9 в разряде десятков нашего ответа:

В разряде сотен числа 2412 раньше располагалось число 4, но сейчас там располагается число 3. В разряде сотен числа 2317 также располагается число 3. Три минус три равно нулю. То же самое и с разрядами тысяч в обоих числах. Два минус два равно нулю. А если разность старших разрядов равна нулю, то этот ноль не записывают. Поэтому окончательным ответом будет число 95.


Пример 4. Найти значение выражения 600 − 8

Запишем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 600 располагается ноль, а в разряде единиц числа 8 само это число. Из нуля не вычесть восьмерку, поэтому берем единицу у следующего числа. Но следующее число это тоже ноль. Тогда за следующее число принимаем число 60. Берем одну единицу у этого числа и мысленно дописываем её слева от нуля. А поскольку у числа 60 мы взяли одну единицу, это число уменьшится на одну единицу:

Теперь в разряде единиц располагается число 10. Из 10  можно вычесть 8, получится 2. Записываем число 2 в разряде единиц нового числа:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде десятков. В разряде десятков раньше располагался ноль, но сейчас там располагается число 9, а во втором числе разряд десятков отсутствует. Поэтому число 9 переносится к новому числу:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде сотен. В разряде сотен раньше располагалось число 6, но сейчас там располагается число 5, а во втором числе разряд сотен отсутствует. Поэтому число 5 переносится к новому числу:


Пример 5. Найти значение выражения 10000 − 999

Запишем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 10000 располагается 0, а в разряде единиц числа 999 располагается число 9. Из нуля не вычесть девятку, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков. Но в следующем разряде тоже ноль. Тогда за следующее число принимаем 1000 и берем от этого числа единицу:

Следующее число в данном случае было 1000. Взяв у него единицу, мы обратили его в число 999. А взятую единицу дописали слева от нуля.

Дальнейшее вычисление не составило особого труда. Десять минус девять равно одному. Вычитание чисел, находящихся в разряде десятков обоих чисел дало ноль. Вычитание чисел, находящихся в разряде сотен обоих чисел тоже дало ноль. А девятка из разряда тысяч была перенесена к новому числу:


Пример 6. Найти значение выражения 12301­ − 9046

Запишем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 12301 располагается число 1, а в разряде единиц числа 9046 располагается число 6. Из единицы не вычесть шесть, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков. Но в следующем разряде располагается ноль. Ноль ничего нам дать не сможет. Тогда за следующее число принимаем 1230 и берем от этого числа единицу:

Следующее число в данном случае было 1230. Взяв у него единицу, мы обратили его в число 1229. А взятую единицу мысленно дописали слева от единицы, находящейся в разряде единиц.

Дальнейшее вычисление не составило особого труда. Одиннадцать минус шесть равно пять. Вычитание чисел, находящихся в разряде десятков обоих чисел дало число 5. Вычитание чисел, находящихся в разряде сотен обоих чисел дало число 2. Вычитание чисел, находящихся в разряде тысяч обоих чисел дало число 3.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Выполните сложение:

Решение:

Задание 2. Выполните сложение:

Решение:

Задание 3. Выполните сложение:

Решение:

Задание 4. Выполните сложение:

Решение:

Задание 5. Выполните сложение:

Решение:

Задание 6. Выполните сложение:

Решение:

Задание 7. Выполните сложение:

Решение:

Задание 8. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 9. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 10. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 11. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 12. Выполните вычитание:

Решение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

§ Разряды и классы. Класс единиц, тысяч и миллионов

Для записи чисел люди придумали десять знаков, которые называются цифрами. Это: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

С помощью десяти цифр можно записать любое натуральное число.

От количества знаков (цифр) в числе зависит его название.

Число, состоящее из одного знака (цифры), называется однозначным. Наименьшее однозначное натуральное число — «1» , наибольшее — «9».

Число, состоящее из двух знаков (цифр), называется двузначным. Наименьшее двузначное число — «10», наибольшее — «99» .

Числа, записанные с помощью двух, трёх, четырёх и более цифр, называются двузначными, трёхзначными, четырёхзначными или многозначными. Наименьшее трёхзначное число — «100», наибольшее — «999».

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определённое место — позицию.

Запомните!

Разряд — это место (позиция), на котором в записи числа стоит цифра.

Одна и та же цифра в записи числа может иметь разные значения в зависимости от того, в каком разряде она стоит.

Разряды отсчитываются с конца числа.

Разряд единиц — это самый младший разряд, которым заканчивается любое число.

Цифра «5» — означает «5» единиц, если пятёрка стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц).

Разряд десятков — это разряд, который стоит перед разрядом единиц.

Цифра «5» — означает «5» десятков, если она стоит на предпоследнем месте (в разряде десятков).

Разряд сотен — это разряд, который стоит перед разрядом десятков. Цифра «5» означает «5» сотен, если она стоит на третьем месте от конца числа (в разряде сотен).

Запомните!

Если в числе отсутствует какой-либо разряд, то в записи числа на его месте будет стоять цифра «0» (ноль).

Пример. В числе «807» содержится 8 сотен, 0 десятков и 7 единиц — такая запись называется разрядным составом числа.

807 = 8 сотен 0 десятков 7 единиц

Каждые 10 единиц любого разряда образуют новую единицу более высокого разряда. Например, 10 единиц образуют 1 десяток, а 10 десятков образуют 1 сотню.

Таким образом, значение цифры от разряда к разряду (от единиц к десяткам, от десятков к сотням) увеличивается в 10 раз. Поэтому система счёта (счисления), которую мы используем, называется десятичной системой счисления.

Классы и разряды

В записи числа разряды, начиная справа, группируются в классы по три разряда в каждом.

Класс единиц или первый класс — это класс, который образуют первые три разряда (справа от конца числа): разряд единиц, разряд десятков и разряд сотен.

Пример.

Числа Класс единиц (первый класс)
сотни десятки единицы
6 6
34 3 4
148 1 4 8
Числа Класс единиц (первый класс)
сотни десятки единицы
6 6
34 3 4
148 1 4 8

Класс тысяч или второй класс — это класс, который образуют следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Пример.

Числа Класс тысяч (второй класс) Класс единиц (первый класс)
сотни тысяч десятки тысяч единицы тысяч сотни десятки единицы
5 234 5 2 3 4
12 803 1 2 8 0 3
356 149 3 5 6 1 4 9
Числа Класс тысяч (второй класс) Класс единиц (первый класс)
сотни тысяч десятки тысяч единицы тысяч сотни десятки единицы
12 803 1 2 8 0 3
356 149 3 5 6 1 4 9

Напоминаем, что 10 единиц разряда сотен (из класса единиц) образуют одну тысячу (единицу следующего разряда: единицу тысяч в классе тысяч).

10 сотен = 1 тысяча

Класс миллионов или третий класс — это класс, который образуют следующие три разряда: единицы миллионов, десятки миллионов и сотни миллионов.

Единица разряда миллионов — это один миллион или тысяча тысяч (1 000 тысяч). Один миллион можно записать в виде числа «1 000 000».

Десять таких единиц образуют новую разрядную единицу — десять миллионов «10 000 000»

Десять десятков миллионов образуют новую разрядную единицу — сто миллионов или в записи цифрами «100 000 000».

Пример.

Числа Класс миллионов (третий класс) Класс тысяч (второй класс) Класс единиц (первый класс)
сотни миллионов десятки миллионов единицы миллионов сотни тысяч десятки тысяч единицы тысяч сотни десятки единицы
8 345 216 8 3 4 5 2 1 6
93 785 342 9 3 7 8 5 3 4 2
134 590 720 1 3 4 5 9 0 7 2 0
Числа Класс миллионов (третий класс) Класс тысяч (второй класс) Класс единиц (первый класс)
сотни миллионов десятки миллионов единицы миллионов сотни тысяч десятки тысяч единицы тысяч сотни десятки единицы
8 345 216 8 3 4 5 2 1 6
93 785 342 9 3 7 8 5 3 4 2
134 590 720 1 3 4 5 9 0 7 2 0

Как прочитать многозначное число

Запомните!

Чтобы прочитать многозначное число, надо назвать по очереди слева направо число единиц каждого класса и добавить название класса.

Не произносят название класса единиц, а также название класса, все три цифры которого нули.

Например, число «134 590 720» читаем: сто тридцать четыре миллиона пятьсот девяносто тысяч семьсот двадцать.

Число «418 000 547» читаем: четыреста восемнадцать миллионов пятьсот сорок семь.

На нашем сайте для проверки своих результатов вы можете воспользоваться калькулятором разложения числа на разряды онлайн.

Важно!

Чтобы легче запомнить, как читать и записывать многозначные числа, советуем использовать выше приведённую «Таблицу классов и разрядов».


Сумма разрядных слагаемых натурального числа

Представленная статья посвящена интересной теме о натуральных числах. Для того, чтобы выполнять некоторые действия, необходимо представлять исходные выражения как сложение нескольких чисел – другим языком, раскладывать числа по разрядам. Обратный процесс также очень важен для решения упражнений и задач.

В данном разделе детально рассмотрим типичные примеры для лучшего усвоения информации. Мы также научимся преобразовывать натуральные числа и записывать их в другом виде.

Каким образом можно разложить число по разрядам?

Исходя из названия статьи, можно сделать вывод, что этот параграф посвящен таким математическим терминам, как «сумма» и «слагаемые». Перед тем, как приступить к изучению данной информации, следует подробно изучить тему, чтобы иметь понятие о натуральных числах.

Приступим к работе и рассмотрим основные понятия о разрядных слагаемых.

Определение 1

Разрядные слагаемые – это определенные числа, которые состоят из нулей и единственной цифры, отличной от нуля. Натуральные числа 5, 10, 400, 200 относятся к данной категории, а числа 144, 321, 5 540, 16 441 – не относятся.

Количество разрядных слагаемых у представленного числа равняется тому числу, сколько цифр, отличных от нуля, содержится в записи. Если представить число 61 как сумму разрядных слагаемых, так как 6 и 1 отличаются от 0. Если разложить число 55050 как сумму разрядных слагаемых, то оно представлено как сумма 3 слагаемых. Три пятерки, представленные в записи, отличны от нуля.

Определение 2

Следует помнить, что все разрядные слагаемые числа содержат разное количество знаков в своей записи.

Определение 3

Сумма разрядных слагаемых натурального числа равна этому числу.

Перейдем к понятию разрядных слагаемых.

Определение 4

Разрядные слагаемые– это такие натуральные числа, в записи которых содержится цифра, отличная от нуля. Количество чисел должно быть равно количеству цифр, не равных нулю. Все слагаемые числа могут записываться с различным количеством знаков. Если мы раскладываем число по разрядам, то сумма слагаемых числа всегда будет равна этому числу.

Проанализировав понятие, можно сделать вывод, что однозначные и многозначные числа (полностью состоящие из нулей за исключением первой цифры) нельзя представить в качестве суммы. Это происходит потому, что данные числа сами будут разрядными слагаемыми для каких-то чисел. За исключением данных чисел, все остальные примеры могут раскладываться на слагаемые.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Как раскладывать числа?

Чтобы разложить число как сумму разрядных слагаемых, необходимо вспомнить, что натуральные числа связаны с количеством некоторых предметов. В записи числа разряды зависят от количества единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. Если вы возьмем, например, число 58, то может отметить, что он отвечает 5 десяткам и 8 единицам. Число 134 400 соответствует 1 сотне тысяч, 3 десяткам тысяч, 4тысячам и 4 сотням. Можно представить эти числа в виде равенств – 50+8=58 и 134 400=100 000+30 000+4 000+400. В данных примерах мы наглядно увидели, как можно разложить число в виде разрядных слагаемых.

Смотря на этот пример, мы сможем любое натуральное число представить в виде суммы разрядных слагаемых.

Приведем еще один пример. Представим натуральное число 25 в виде суммы разрядных слагаемых. Число 25соответствует 2 десяткам и 5 единицам, поэтому 25=20+5. А вот сумма 17+8 не является суммой разрядных слагаемых числа 25, так как в ней не может быть двух чисел, состоящих из одинакового количества знаков.

Мы разобрали основные понятия. Разрядные слагаемые получили свое название из-за того, что каждое принадлежит к определенному разряду.

Как найти натуральное число, если известна сумма разрядных слагаемых?

Для того, чтобы разобрать данный пример, проанализируем обратную задачу. Представим, что нам известна сумма разрядных слагаемых. Нам необходимо найти данное натуральное число.

Например, сумма 200+30+8 разложено по разрядам числа 238, а сумма 3 000 000+20 000+2 000+500 соответствует натуральному числу 3 022 500. Таким образом, мы легко можем определить натуральное число, если нам известна его сумма резервных слагаемых.

Еще один способ нахождения натурального числа – это сложение в столбцах разрядных слагаемых. Данный пример не должен вызвать у вас сложности во время выполнения. Поговорим об этом подробнее.

Пример 1

Необходимо определить исходное число, если известна сумма разрядных слагаемых 200 000+40 000+50+5. Перейдем к решению. Необходимо записать числа 200 000, 40 000, 50 и 5 для сложения в столбик:

Осталось сложить числа по столбцам. Для этого нужно помнить, что сумма нулей равна нулю, а сумма нулей и натурального числа равна этому натуральному числу.

Получаем:

Выполнив сложение, мы получим натуральное число 240 055, сумма разрядных слагаемых которого имеет вид 200 000+40 000+50+5.

Поговорим еще об одном моменте. Если мы научимся раскладывать числа и представлять их в виде суммы разрядных слагаемых, то мы также сможем представлять натуральные число в виде суммы слагаемых, не являющихся разрядными.

Пример 2

Разложение по разрядам числа 725 будет представлено как 725=700+20+5, а сумму разрядных слагаемых 700+20+5 можно представить как (700+20)+5=720+5 или 700+(20+5)=700+25, или (700+5)+20=705+20.

Иногда сложные вычисления можно немного упростить. Рассмотрим еще небольшой пример для закрепления информации.

Пример 3

Выполним вычитание чисел 5 677 и 670. Для начала представим число 5677 в виде суммы разрядных слагаемых: 5 677=5 000+600+70+7. Выполнив действие, мы можем сделать вывод, что. сумме (5 000+7)+(600+70)=5 007+670. Тогда 5 677−670=(5 007+670)−670=5 007+(670−670)=5 007+0=5 007.

Функция ДЕС.В.ВОСЬМ

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ДЕС.В.ВОСЬМ в Microsoft Excel.

Описание

Преобразует десятичное число в восьмеричное.

Синтаксис

ДЕС.В.ВОСЬМ(число;[разрядность])

Аргументы функции ДЕС.В.ВОСЬМ описаны ниже.

  • Число    — обязательный аргумент. Преобразуемое десятичное число. Если оно отрицательное, то разрядность игнорируется и функция ДЕС.В.ВОСЬМ возвращает 10-знаковое (30-битное) восьмеричное число, в котором самый старший бит — это знаковый бит. Остальные 29 бит — биты значения. Отрицательные числа представляются в дополнительных кодах.

  • Разрядность    Необязательный. Количество знаков в записи числа. Если разрядность опущена, функция ДЕС.В.ВОСЬМ использует минимально необходимое количество знаков. Разрядность используется, чтобы приписать возвращаемому значению ведущие нули.

Замечания

  • Если «число» < -536 870 912 или «число» > 536 870 911, функция ДЕС.В.ВОСЬМ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

  • Если значение аргумента «число» числом не является, функция ДЕС.В.ВОСЬМ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

  • Если функции ДЕС.В.ВОСЬМ требуется больше знаков, чем указанная разрядность, возвращается значение ошибки #ЧИСЛО!.

  • Если значение аргумента «разрядность» не является целым числом, оно усекается.

  • Если значение аргумента «разрядность» не является числом, функция ДЕС.В.ВОСЬМ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

  • Если аргумент «разрядность» имеет отрицательное значение, функция ДЕС.В.ВОСЬМ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Формула

Описание

Результат

=ДЕС.В.ВОСЬМ(58;3)

Преобразует десятичное число 58 в восьмеричное

072

=ДЕС.В.ВОСЬМ(-100)

Преобразует десятичное в восьмеричное.

7777777634

Что такое единицы первого и второго разряда. Разряды и классы чисел по математике — что это? Числа и цифры

Так как десятичная система счисления поместная, то число зависит не только от записанных в нем цифр, но и от места записи каждой цифры.

Определение: Место записи цифры в числе называется разрядом числа.

Например, число состоит из трех цифр: 1, 0 и 3. Поместная, или разрядная, система записи позволяет из этих трех цифр составить трехразрядные числа: 103, 130, 301, 310 и двухразрядные числа: 013, 031. Приведенные числа расположены в порядке возрастания: каждое предыдущее число меньше последующего.

Следовательно, цифры, которые используются для записи числа, не определяют полностью это число, а служат только инструментом его записи.

Само число строится с учетом разрядов , в которых записана та или иная цифра, т. е. нужная цифр должна еще и занимать нужное место в записи числа.

Правило. Разряды натуральных чисел именуются справа налево от 1 к большему числу, каждый разряд имеет свой номер и место в записи числа.

Наиболее употребляемые числа имеют до 12 разрядов. Числа, имеющие более 12 разрядов, относятся к груп­пе больших чисел.

Количество занятых цифрами мест при условии, что цифра наибольшего разряда не 0, определяет разрядность числа. О числе можно сказать, что оно: однозначное (одноразрядное), например 5; двузначное (двухразрядное), например 15; трехзначное (трехраз­рядное), например 551, и т. д.

Кроме порядкового номера каждый из разрядов имеет свое наименование: разряд единиц (1-й), разряд десятков (2-й), разряд сотен (3-й), разряд единиц тысяч (4-й), разряд десятков тысяч (5-й) и т. д. Каждые три разряда, начиная с первого, объединены в классы . Каждый класс тоже имеет свой порядковый номер и наименование.

Например, первые 3 разряда (от 1-го до 3-го включительно) — это класс единиц с порядковым номером 1; третий класс — это класс миллионов, он включает 7-й, 8-й и 9-й разряды .

Приведем структуру разрядного построения числа, или таблицу разрядов и классов.

Число 127 432 706 408 — двенадцатиразрядное и чи­тается так: сто двадцать семь миллиардов четыреста тридцать два миллиона семьсот шесть тысяч четыреста восемь. Это многозначное число четвертого класса. Три разряда каждого класса читаются как трехзначные числа: сто двадцать семь, четыреста тридцать два, семьсот шесть, четы­реста восемь. К каждому классу трехзначного числа добавляется наименование класса: «миллиардов», «милли­онов», «тысяч».

У класса единиц наименование опускается (подра­зумевается «единиц»).

Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Большие числа используются только в специфи­ческих отраслях Знаний (астрономии, физике, электро­нике и т. д.).

Приведем ознакомительно названия классов от пятого до девятого: единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — септиллионы.

Для записи чисел люди придумали десять знаков, которые называются цифрами. Это: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

С помощью десяти цифр можно записать любое натуральное число.

Натуральные числа

От количества (цифр) в числе зависит его название:

  • Число, состоящее из одного знака (цифры), называется однозначным. Наименьшее однозначное натуральное число — «1» , наибольшее — «9».
  • Число, состоящее из двух знаков (цифр), называется двузначным. Наименьшее двузначное число — «10», наибольшее — «99» .
  • Числа, записанные с помощью двух, трёх, четырёх и более цифр, называются двузначными, трёхзначными, четырёхзначными или многозначными. Наименьшее трёхзначное число — «100», наибольшее — «999».

Запомните! Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определённое место — позицию.

Разрядность чисел

Разряд — это место (позиция), на котором в записи числа стоит цифра.

Одна и та же цифра в записи числа может иметь разные значения в зависимости от того, в каком разряде она стоит.

Разряды отсчитываются с конца числа.

Разряд единиц — это самый младший разряд, которым заканчивается любое число.

Цифра «5» — означает «5» единиц, если пятёрка стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц).

Разряд десятков — это разряд, который стоит перед разрядом единиц.

Цифра «5» — означает «5» десятков, если она стоит на предпоследнем месте (в разряде десятков).

Разряд сотен — это разряд, который стоит перед разрядом десятков. Цифра «5» означает «5» сотен, если она стоит на третьем месте от конца числа (в разряде сотен).

Запомните! Если в числе отсутствует какой-либо разряд, то в записи числа на его месте будет стоять цифра «0» (ноль).

Пример. В числе «807» содержится 8 сотен, 0 десятков и 7 единиц — такая запись называется разрядным составом числа .807 = 8 сотен 0 десятков 7 единиц

Каждые 10 единиц любого разряда образуют новую единицу более высокого разряда. Например, 10 единиц образуют 1 десяток, а 10 десятков образуют 1 сотню.

Таким образом, значение цифры от разряда к разряду (от единиц к десяткам, от десятков к сотням) увеличивается в 10 раз. Поэтому система счёта (счисления), которую мы используем, называется десятичной системой счисления.

Классы и разряды

В записи числа разряды, начиная справа, группируются в классы по три разряда в каждом.

Класс единиц или первый класс — это класс, который образуют первые три разряда (справа от конца числа): разряд единиц, разряд десятков и разряд сотен .

Числа Класс единиц (первый класс)
Сотни Десятки Единицы
6 6
34 3 4
148 1 4 8

Класс тысяч или второй класс — это класс, который образуют следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Числа Класс тысяч (второй класс) Класс единиц (первый класс)
Сотни тысяч Десятки тысяч Единицы тысяч Сотни Десятки Единицы
5 234 5 2 3 4
12 893 1 2 8 9 3
356 149 3 5 6 1 4 9

Напоминаем, что 10 единиц разряда сотен (из класса единиц) образуют одну тысячу (единицу следующего разряда: единицу тысяч в классе тысяч).10 сотен = 1 тысяча

Класс миллионов или третий класс — это класс, который образуют следующие три разряда: единицы миллионов, десятки миллионов и сотни миллионов.

Единица разряда миллионов — это один миллион или тысяча тысяч (1 000 тысяч). Один миллион можно записать в виде числа «1 000 000».

Десять таких единиц образуют новую разрядную единицу — десять миллионов «10 000 000»

Десять десятков миллионов образуют новую разрядную единицу — сто миллионов или в записи цифрами «100 000 000».

Числа Класс миллионов (третий класс) Класс тысяч (второй класс) Класс единиц (первый класс)
Сотни Десятки Единицы Сотни Десятки Единицы Сотни Десятки Единицы
8 345 216 8 3 4 5 2 1 6
93 785 342 9 3 7 8 5 3 4 2
134 598 721 1 3 4 5 9 8 7 2 1

Как прочитать многозначное число

Не произносят название класса единиц, а также название класса, все три цифры которого нули.

Например, число «134 590 720» читаем: сто тридцать четыре миллиона пятьсот девяносто тысяч семьсот двадцать.

Число «418 000 547» читаем: четыреста восемнадцать миллионов пятьсот сорок семь.

На нашем сайте для проверки своих результатов вы можете воспользоваться калькулятором разложения числа на разряды онлайн.Важно!

1. Числа второго десятка (двадцаток).

2. Числа первой сотни.

3. Числа первой тысячи.

4. Многозначные числа.

5. Системы счисления.

1. Числа второго десятка (двадцаток)

Числа второго десятка (11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20) -двузначные числа.

Для записи двузначного числа используются две цифры. Первая цифра справа в записи двузначного числа называется цифрой первого разряда или разряда единиц, вторая цифра справа — цифрой второго разряда или разряда десятков.

Числа второго десятка во всех учебниках математики для начальных классов рассматриваются отдельно от других двузначных чисел. Это объясняется тем, что названия чисел второго десятка противоречат способу их записи. Поэтому многие дети некоторое время путают порядок записи цифр в числах второго десятка, хотя называть их при этом могут правильно.

Например, при записи на слух числа 12 (две-на-дцать) ребенок первым словом слышит «две(а)», поэтому он может записать цифры в таком порядке 21, но прочитать эту запись как «двенадцать».

Формирование представления о двузначных числах строится на основе понятия «разряд».

Понятие разряда является базовым в десятичной системе счисления. Под разрядом понимается определенное место в записи числа в позиционной системе счисления (разряд — это позиция цифры в записи числа).

Каждая позиция в этой системе имеет свое название и свое условное значение: цифра, стоящая на первой позиции справа, означает количество единиц в числе; цифра, стоящая на второй позиции справа, означает количество десятков в числе и т. д.

Цифры от 1 до 9 называют значащими, а нуль является незначащей цифрой. При этом его роль в записи двузначных и других многозначных чисел очень важна: нуль в записи двузначного (и т. д.) числа означает, что число содержит обозначенный нулем разряд, но значащих цифр в нем нет, т. е. наличие нуля справа в числе 20, обозначает, что цифра 2 должна восприниматься как символ десятков, и при этом число содержит только два целых десятка; запись 23 будет означать, что кроме 2 целых десятков число содержит еще 3 единицы, дополнительно к целым десяткам.

Понятие «разряд» играет большую роль в системе изучения нумерации, а также является основой для освоения так называемых «нумерационных» случаев сложения и вычитания, в которых действия производятся целыми разрядами:

27 — 20 365 — 300

Умение узнавать и выделять в числах разряды является основой умения раскладывать числа на разрядные слагаемые: 34 = 30 + 4.

Для чисел второго десятка понятие «разрядный состав» совпада­ет с понятием «десятичный состав». Для двузначных чисел, содержащих более одного десятка — эти понятия не совпадают. Для числа 34 десятичный состав — это 3 десятка и 4 единицы. Для числа 340 разрядный состав — это 300 и 40, а десятичный — это 34 десятка.

Знакомство с числами второго десятка (11-20) удобно начинать со способа их образования и названия чисел, сопровождая его сначала моделью на палочках, а затем чтением числа по модели:

Запоминание названий двузначных чисел в этом случае не бу­дет затруднено для детей противоречащей названию записью: 11, 13,17. (Ведь в соответствии с традицией чтения в европейских письменностях слева направо в названии этих чисел сначала должна была бы идти цифра десятков, а потом цифры единиц!) В связи с такой особенностью чисел второго десятка, многие дети в первом классе долго путаются при записи их на слух и чтении по записи. Раннее введение символики играет в данном случае отрицательную роль как для запоминания названий чисел второго десятка, так и для понимания их структуры. Для формирования правильного представления о структуре двузначного числа следует всегда класть десятки слева, а единицы справа. Таким образом ребенок зафиксирует во внутреннем плане правильный образ понятия, без специальных многословных и не всегда понятных ему объяснений.

На следующем этапе предлагаем ребенку соотнесение вещественной модели и символической записи:

один-на-дцать три-на-дцать сем-на-дцать

Затем переходим на графические модели и к чтению чисел по графической модели:

а затем символическая запись разрядного состава чисел второго десятка:

В дальнейшем в школе вводят понятие разряда и знакомят детей с понятием «разрядные слагаемые»:

37 = 30 + 7; 624 = 600 + 20 + 4.

Использование десятичной модели вместо разрядной для знакомства со всеми двузначными числами позволяет без введения понятия «разряд» познакомить ребенка как со способом образования этих чисел, так и научить его читать число по модели (и наоборот, строить модель по названию числа), а затем и записывать:

При изучении детьми чисел второго порядка рекомендуем педагогу использовать следующие виды заданий:

1) на способ образования чисел второго десятка:

Покажи тринадцать палочек. Сколько это десятков и сколько еще отдельных палочек?

2) на принцип образования натурального ряда чисел:

Сделай рисунок к задаче и реши ее устно. «В городе было 10 кинотеатров. Построили еще 1. Сколько кинотеатров стало в городе?»

Уменьши на 1: 16, 11, 13, 20

Увеличь на 1:19, 18, 14, 17

Найди значение выражения: 10+ 1; 14+ 1; 18- 1;20- 1.

(Во всех случаях можно ссылаться на то, что добавление 1 ведет к получению числа последующего, а уменьшение на 1 — к получению числа предыдущего.)

3) на поместное значение цифры в записи числа:

Что обозначает каждая цифра в записи числа: 15, 13, 18, 11, 10,20?

(В записи числа 15 цифра 1 обозначает количество десятков, а цифра 5 — количество единиц. В записи числа 20 цифра 2 обозначает, что в числе 2 десятка, а цифра 0 обозначает, что в первом разряде единиц нет.)

4) на место числа в ряду чисел:

Вставь пропущенные числа: 12………16 17 … 19 20

Вставь пропущенные числа: 20 … 18 17………13 … 11

(При выполнении задания ссылаются на порядок чисел при счете.)

5) на разрядный (десятичный) состав:

10 + 3 = … 13-3 = … 13-10 = …

12=10 + … 15 = … + 5

При выполнении задания ссылаются на разрядную (десятичную) модель числа из десятка (пучка палочек) и единиц (отдельных палочек),

6) на сравнение чисел второго десятка:

Какое из чисел больше: 13 или 15? 14 или 17? 18 или 14? 20 или 12?

При выполнении задания можно сравнивать две модели чисел из палочек (количественная модель), или ссылаться на порядок следования чисел при счете (меньшее число называют при счете раньше), или опираться на процесс присчитывания и отсчитывания (присчитывая к 13 две единицы получим 15, значит 15 боль­ше, чем 13).

Сравнивая числа второго десятка с однозначными числами, сле­дует ссылаться на то, что все однозначные числа меньше, чем дву­значные:

Назови самое большое и самое маленькое из этих чисел: 12 6 18 10 7 20.

При сравнении чисел второго десятка удобно пользоваться линейкой.

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Сравнивая длины соответствующих отрезков, ребенок нагляд­но определяет постановку знака сравнения: 17

С помощью этого урока мы изучим разряды счётных слагаемых. Вначале повторим соотношение счётных единиц. Вспомним, что такое разряды, к какому разряду относятся сотни, десятки и единицы. Решим много разнообразных и интересных заданий на закрепление материла. После этого урока вы легко определите, к какому разряду относят единицы, десятки и сотни в трёхзначном числе. Вы также без труда будете переводить единицы измерения длины в более мелкие или более крупные значения. Не теряйте ни минуты. Вперёд — учиться и постигать новые горизонты!

При записи числа каждая счётная единица записывается на своём месте (табл. 1).

Таблица 1. Запись трёхзначных чисел

Разряды считаются справа налево, начиная с первого разряда — единицы. Второй разряд — десятки. И третий разряд — сотни.

Запишите числа, отложенные на счётах, (рис. 2, 3, 4) и прочитайте их.

Рис. 2. Числа

Рис. 4. Числа

Рис. 3. Числа

Решение : 1. На счётах отложено семь единиц, два десятка и три сотни. Получается число триста двадцать семь.

2. В следующем числе (рис. 3) единицы отсутствуют. Если нет какого-либо разряда, можно поставить ноль. Всё число — триста двадцать.

3. На рисунке 4 в числе семь единиц, нет десятков и три сотни. Получается число триста семь.

2. Во второй величине пятьсот сорок сантиметров. В этом числе 5 сотен — 5 м и 4 десятка — 4 дм, а единицы отсутствуют, следовательно, сантиметров не будет.

540 см = 5 м 4 дм

3. Восемьдесят шесть миллиметров. В одном сантиметре десять миллиметров, значит, в этой величине будет восемь сантиметров и шесть миллиметров.

86 мм = 8 см 6 мм

4. В последнем числе (42 дм) видно четыре десятка и известно, что в 1 м — 10 дм.

42 дм = 4 м 2 дм

Выразите данные величины в более мелких единицах измерения:

2. 2 дм 8 мм

Решение : 1. Для решения задания воспользуемся рисунком 5, на котором изображена взаимосвязь между единицами измерения длины.

1 м 75 см = 175 см

2. Переведём второе число.

2 дм 8 мм = 208 мм

Список литературы

  1. Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2012. — 112 с.: ил. — (Школа России).
  2. Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В. Математика, 3 класс. — М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
  3. Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. — М.: Ювента.
  1. All-schools.pp.ua ().
  2. Urokonline.com ().
  3. Uchu24.ru ().

Домашнее задание

  1. Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 2 / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2012., стр. 44, 45 № 1-7.
  2. Выразите в миллиметрах

Для записи чисел люди придумали десять знаков, которые называются цифрами. Это: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

С помощью десяти цифр можно записать любое натуральное число .

От количества знаков (цифр) в числе зависит его название.

Число, состоящее из одного знака (цифры), называется однозначным. Наименьшее однозначное натуральное число — «1 » , наибольшее — «9 ».

Число, состоящее из двух знаков (цифр), называется двузначным. Наименьшее двузначное число — «10 », наибольшее — «99 » .

Числа, записанные с помощью двух, трёх, четырёх и более цифр, называются двузначными, трёхзначными, четырёхзначными или многозначными. Наименьшее трёхзначное число — «100 », наибольшее — «999 ».

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определённое место — позицию.

Запомните!

Разряд — это место (позиция), на котором в записи числа стоит цифра.

Одна и та же цифра в записи числа может иметь разные значения в зависимости от того, в каком разряде она стоит.

Разряды отсчитываются с конца числа.

Разряд единиц — это самый младший разряд, которым заканчивается любое число.

Цифра «5 » — означает «5 » единиц, если пятёрка стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц).

Разряд десятков — это разряд, который стоит перед разрядом единиц.

Цифра «5 » — означает «5 » десятков, если она стоит на предпоследнем месте (в разряде десятков).

Разряд сотен — это разряд, который стоит перед разрядом десятков. Цифра «5 » означает «5 » сотен, если она стоит на третьем месте от конца числа (в разряде сотен).

Запомните!

Если в числе отсутствует какой-либо разряд, то в записи числа на его месте будет стоять цифра «0 » (ноль).

Пример. В числе «807 » содержится 8 сотен, 0 десятков и 7 единиц — такая запись называется разрядным составом числа .

807 = 8 сотен 0 десятков 7 единиц

Каждые 10 единиц любого разряда образуют новую единицу более высокого разряда. Например, 10 единиц образуют 1 десяток, а 10 десятков образуют 1 сотню.

Таким образом, значение цифры от разряда к разряду (от единиц к десяткам, от десятков к сотням) увеличивается в 10 раз. Поэтому система счёта (счисления), которую мы используем, называется десятичной системой счисления.

Классы и разряды

В записи числа разряды, начиная справа, группируются в классы по три разряда в каждом.

Класс единиц или первый класс — это класс, который образуют первые три разряда (справа от конца числа): разряд единиц, разряд десятков и разряд сотен .

Класс тысяч или второй класс — это класс, который образуют следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Числа Класс тысяч (второй класс) Класс единиц (первый класс)
сотни тысяч десятки тысяч единицы тысяч сотни десятки единицы
5 234 5 2 3 4
12 803 1 2 8 0 3
356 149 3 5 6 1 4 9

Напоминаем, что 10 единиц разряда сотен (из класса единиц) образуют одну тысячу (единицу следующего разряда: единицу тысяч в классе тысяч).

10 сотен = 1 тысяча

Класс миллионов или третий класс — это класс, который образуют следующие три разряда: единицы миллионов, десятки миллионов и сотни миллионов.

Единица разряда миллионов — это один миллион или тысяча тысяч (1 000 тысяч). Один миллион можно записать в виде числа «1 000 000 ».

Десять таких единиц образуют новую разрядную единицу — десять миллионов « 10 000 000 »

Десять десятков миллионов образуют новую разрядную единицу — сто миллионов или в записи цифрами «100 000 000 ».

Числа Класс тысяч (второй класс) Класс единиц (первый класс)
сотни миллионов десятки миллионов единицы миллионов сотни тысяч десятки тысяч единицы тысяч сотни десятки единицы
8 345 216 8 3 4 5 2 1 6
93 785 342 9 3 7 8 5 3 4 2
134 590 720 1 3 4 5 9 0 7 2 0
Числа Класс миллионов (третий класс) Класс тысяч (второй класс) Класс единиц (первый класс)
сотни миллионов десятки миллионов единицы миллионов сотни тысяч десятки тысяч единицы тысяч сотни десятки единицы
8 345 216 8 3 4 5 2 1 6
93 785 342 9 3 7 8 5 3 4 2
134 590 720 1 3 4 5 9 0 7 2 0

Как прочитать многозначное число

Запомните!

Не произносят название класса единиц, а также название класса, все три цифры которого нули.

Например, число «134 590 720 » читаем: сто тридцать четыре миллиона пятьсот девяносто тысяч семьсот двадцать.

Число «418 000 547 » читаем: четыреста восемнадцать миллионов пятьсот сорок семь.

На нашем сайте для проверки своих результатов вы можете воспользоваться калькулятором разложения числа на разряды онлайн .

Важно!

Информатика и ИКТ — Представление информации

Представление числовой информации

Целые числа

Для представления целых чисел в компьютере существуют два представления: беззнаковое (для неотрицательных чисел) и знаковое.

В беззнаковом целом все разряды используются для двоичной записи числа. Соответственно, в n-разрядной сетке можно представить числа от 0 до 2n-1. (Для 1-байтного беззнакового целого диапазон значений будет от 0 до 255; для 2-байтного — от 0 до 65535).

Если нужно представлять не только положительные, но и отрицательные значения, обычно используют дополнительный код. Он имеет следующие особенности:

  • старший («знаковый») разряд отрицательного числа имеет значение 1, а положительного — 0;
  • число 0 (ноль) имеет единственное представление, в котором все разряды равны нулю;
  • сложение чисел со знаком в дополнительном коде выполняется так же, как сложение чисел без знака, включая знаковый разряд, который при сложении ничем не отличается от других разрядов.

Для положительных чисел дополнительный код совпадает с прямым (т.е. фактически его двоичной записью).

Для отрицательных — 2n-|m|, где m — кодируемое число, n — количество разрядов в сетке.

Фактически, дополнительный код — это число, которое нужно добавить к модулю исходного, чтобы достичь переполнения разрядной сетки. От этого и происходит название «дополнительный».

Для получения дополнительного кода отрицательного числа следует сделать следующее:

  1. Записать модуль числа в прямом коде.
  2. Инвертировать каждый разряд получившейся записи (заменить нули на единицы, а единицы — на нули). Получится так называемый «обратный код».
  3. Прибавить к результату единицу.

Пример работы с числами в дополнительном коде

Запишем в дополнительном 8-разрядном коде числа 72 и -46. Затем найдем их сумму и преобразуем результат в десятичную запись.

1 число.

7210 = 10010002. Запись в восьмиразрядной сетке: 01001000.

2 число.

-4610 = -1011102.

  1. Записываем модуль числа в 8-разрядной сетке: 00101110.
  2. Инвертируем разряды полученной записи: 11010001.
  3. Прибавляем к результату единицу:

Таким образом получаем запись в дополнительном коде: 11010010.

Сложим полученные числа:

Перенос из старшего разряда выходит за разрядную сетку и просто отбрасывается: 00011010.

Полученное число переведем в десятичную систему счисления:

110102 = 2610.

Действительно, 72 — 46 = 26.

Числа с плавающей точкой

Для представления вещественных (действительных) чисел в современных компьютерах принят способ представления с плавающей точкой (запятой). Этот способ представления опирается на нормализованную (ее еще называют экспоненциальной) запись действительных чисел.

Нормализованная запись отличного от нуля действительного числа — это запись вида a = m * Pq, где q — целое число, а m — правильная P-ичная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю, то есть

1/P ≤ m < 1.

При этом m называют мантиссой, а q — порядком числа.

Примеры:

3,1415926 = 0, 31415926 ⋅ 101;

1250000=0,125 ⋅ 107;

0,123456789 = 0,123456789 ⋅ 100;

0,000076 = 0,76 ⋅ 10-4;

1000,00012 = 0,100000012 ⋅ 24. (порядок записан в десятичной системе)

Для хранения чисел с плавающей точкой в компьютерах обычно отводится 4, 8 или 10 байт.

Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа.

Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего до наибольшего представимого числа.

Найти в Интернет более подробную информацию о кодировании чисел

Кодирование текстовой информации

Текст — это последовательность символов (букв, цифр, знаков препинания, математических знаков и т.д.). Как и любая другая информация, в компьютере текст представляется двоичным кодом. Для этого каждому символу ставится в соответствие некоторое положительное число, двоичная запись которого и будет записана в память компьютера. Соответствие между символом и его кодом определяется кодовой таблицей.

Современные кодовые таблицы ведут начало от американского стандартного кода обмена информацией ASCII (American Standard Code for Information Interchange). Он был семибитным и, соответственно, позволял представить 27=128 различных символов. Таблица включала буквы латинского алфавита, цифры, основные знаки и управляющие символы (перевод строки, возврат каретки, табуляция и др.).

В дальнейшем широкое распространение получили восьмибитные кодировки, в которых каждый символ текста был представлен полным байтом. В большинстве из них первые 128 кодов повторяли таблицу ASCII, а следующие («верхняя половина кодовой таблицы») использовались для представления символов национальных алфавитов и полиграфических знаков.

Во многих случаях для одного и того же языка было создано несколько кодировок. Например, для кодирования русскоязычных текстов достаточно широко использовалось (и до сих пор в некоторых случаях используются) пять кодировок:

  • KOI8-r (Код Обмена Информацией 8-битный Русский). Основные сферы использования — компьютеры с операционными системами Unix/Linux, электронная почта, редко — сайты.
  • CP-866 (Code Page 866). Тексты, созданные на компьютерах, работавших под MS-DOS (и совместимыми операционными системами), сеть FidoNet.
  • CP-1251 (также Windows-1251). Документы, созданные под MS Windows. Сайты.
  • MacCyrillic (Кириллическая кодировка Mac OS). Документы, созданные под классической Mac OS.
  • ISO-8859-5 (5 таблица стандарта 8859 International Organization for Standardization). Единственная 8-битная кириллическая кодировка, имеющая статус международного стандарта. На практике в России почти не встречается. Используется в Болгарии и Сербии на Unix, а также для русскоязычных текстов в западных странах.

Основные недостатки восьмибитных кодировок:

  • Множественные варианты кодировок для одного и того же языка и, как следствие, проблемы с переносом текстов между компьютерами, использующими разные варианты.
  • Невозможность использования в одном тексте (без дополнительных программных ухищрений) разных систем письма (за исключением сочетаний базового латинского алфавита с каким-либо иным алфавитным письмом).
  • Невозможность использования для языков с иероглифической системой письма.

Для устранения этих недостатков в 1991 году был предложен стандарт Unicode («Юникод»). Он включает универсальный набор символов (UCS, Universal Character Set) и форматы машинного представления их кодов (UTF, Unicode Transformation Format).

Первая версия Юникода представляла собой кодировку с фиксированным размером символа в 16 бит, то есть общее число кодов было 216 (65 536). Отсюда происходит практика обозначения символов четырьмя шестнадцатеричными цифрами (например, U+0410). При этом в Юникоде планировалось кодировать не все существующие символы, а только те, которые необходимы в повседневном обиходе.

В дальнейшем было принято решение расширить набор символов за счет различных способов кодирования. Поскольку в ряде систем уже началось использование 16-битной версии Unicode, за основными символами сохранили принятые в ней коды (образовавшие «основную многоязычную плоскость»), а для более редко применяемых назначили «суррогатные пары» — четырехбайтные коды. Эта система кодирования получила обозначение UTF-16. В UTF-16 можно отобразить только 220+216−2048 (1112064) символов, это число и было выбрано в качестве окончательной величины кодового пространства Юникода. Но и этого более чем достаточно — сейчас используется немногим более 100000 кодовых позиций. Unicode включает символы практически всех современных, а также многих древних систем письма.

Для обеспечения совместимости со старыми системами, использовавшими 8-битное кодирование, была разработана система кодирования UTF-8. Она использует коды переменной длины: для символов, входящих в ASCII, применяются коды длиной 1 байт, полностью совпадающие с кодами ASCII. Для остальных символов — коды длиной от 2 до 4 байт (теоретически, до 6).

Существует также UTF-32, в которой для записи любого символа используется 4 байта. Из-за очень неэкономного расхода памяти (в 2-4 раза больше, чем UTF-8, и почти вдвое больше, чем UTF-16) на практике она используется достаточно редко.

В Интернет наибольшее распространение получила система кодирования UTF-8, в MS Windows преимущественно используют UTF-16, в Unix-подобных ОС (включая Linux и Mac OS X) — в основном UTF-8.

Кодирование графической и звуковой информации

В отличие от чисел и текста, графическая и звуковая информация по своей природе — аналоговая (т.е. представляется непрерывным изменением некоторой величины). Компьютер же может работать только с дискретной («разрывной», представляемой скачкообразными изменениями). Поэтому непосредственно закодировать изображение или звук невозможно.

И для одного, и для другого вида информации существуют два способа представления: либо искусственно разбить на малые элементы, либо описать правила формирования.

Изображение

Что такое тест Digit Span?

Можете ли вы запомнить номер телефона на достаточно долгое время, чтобы записать его? Как насчет двух телефонных номеров одновременно?

Digit Span проверяет вашу способность запоминать последовательность чисел, которые появляются на экране по одному. Когда вы услышите звуковой сигнал, щелкните по номерам, которые вы только что видели, по порядку. Если правильно вспомнить все числа, то следующая последовательность будет на одно число длиннее. Если вы ошиблись, то следующая последовательность будет на один номер короче.После трех ошибок тест закончится.

В этом тесте:

  • Точность имеет значение; после трех ошибок тест заканчивается. Однако неправильные ответы не вычитаются из вашего балла, который представляет собой максимальное количество цифр, которое вы правильно запомнили.

  • Скорость не имеет значения. У вас есть столько времени, сколько вы хотите ответить, но это может быть трудно вспомнить, если вы будете ждать слишком долго!

Итак, чтобы набрать максимальное количество очков, обратите особое внимание и наберите самую длинную строку цифр, которую вы можете запомнить.

Видеоинструкция.


Советы по производительности:

  • Размах цифр можно увеличить с помощью правильных стратегий. Поэкспериментируйте со своим мысленным подходом к тесту, чтобы найти подходящие вам стратегии.

  • Для большинства людей «разбиение на части» является эффективной стратегией — вместо того, чтобы думать о каждой цифре отдельно, подумайте о группах цифр, которые образуют меньшее количество значимых единиц (фрагментов).

  • Например, вместо того, чтобы думать о 1 4 2 8 5 7 как о шести цифрах, можно было бы легче вспомнить его как о трех числах — 14, 28 и 57.Это непросто и требует большой практики, чтобы овладеть им.

Оценка домена

Ваш результат в этом тесте влияет на:

Это верно, возможно, удивительно, что это больше связано с вербальными способностями, чем с памятью. Вклад каждого теста в каждую категорию производительности основан на «факторном анализе», в котором изучается, как тесты имеют тенденцию сгущаться при измерении огромного набора данных. Результаты были опубликованы в Neuron в 2012 году (Hampshire, Highfield, Parkin, & Owen, 2012).Точный вклад каждого теста в каждую категорию производительности может измениться по мере сбора большего количества данных.

Наука, лежащая в основе диапазона цифр, показывает, почему он больше связан с вербальными способностями, чем с одной лишь кратковременной памятью. Ученые называют кратковременную память или рабочую память когнитивной системой, которая позволяет временно хранить информацию и манипулировать ею. Согласно одной влиятельной когнитивной теории, эта система имеет специализированные компоненты, один из которых, «фонологическая петля», лежит в основе способностей вербальной рабочей памяти (Baddeley & Hitch, 1974).Фонологический цикл состоит из словесной системы хранения и репетиционной системы. Выполняя этот тест, вы можете мысленно репетировать последовательность цифр в том виде, в каком они появляются на экране; это репетиционная система в действии. Это позволяет перекодировать визуальные входные данные, чтобы они могли войти в ваш краткосрочный словесный запас, а также обновляет распадающиеся представления — без обновления цифр вербально о них скоро забудут.

Мы изучаем, как мозг запоминает вербальную информацию почти десять лет.Наше исследование показало, что, когда вы выполняете задачу по размаху пальцев, активируются области лобной коры головного мозга.

В одном исследовании (Owen et al, 2000) участникам приходилось вспоминать цифры в представленном порядке (прямой вызов) или в обратном порядке (обратный вызов), причем обратный вызов был гораздо более сложной задачей. Мы обнаружили, что обе задачи задействовали среднюю вентролатеральную лобную кору, но только когда участники вспоминали в обратном порядке, активировалась средне-дорсалатеральная лобная кора.Обе эти задачи требовали вербальной рабочей памяти, но в мозгу наблюдались разные паттерны активации. На основании этого мы пришли к выводу, что активность лобных долей в этой задаче связана с типом выполняемого процесса памяти (то есть, хранение, переупорядочивание) и не зависит от типа запоминаемой информации (то есть вербальной памяти).

Считается, что у среднего взрослого человека размах цифр равен 7 (плюс-минус 2; Miller, 1956). Как упоминалось выше, одним из наиболее изученных методов улучшения вербальной памяти является использование стратегии «разбиения на части», при которой элементы перекодируются в значимые единицы или «фрагменты».«В одном исследовании, обучая добровольцев использовать сложные стратегии разбиения на части в течение 20 месяцев, ученые смогли увеличить диапазон цифр с 7 до огромных 79 элементов (Ericcson et al, 1980)!

Наши коллеги изучили лежащая в основе мозговая активность, участвующая в разбиении на фрагменты. Когда стратегии перекодирования использовались для запоминания последовательностей цифр, повышенная активация наблюдалась в латеральной префронтальной и задней теменной коре. На основании этого мы предположили, что эта префронтально-теменная сеть лежит в основе стратегического перекодирования в рабочей памяти ( Bor et al., 2004, 2006).

Речевая рабочая память используется для решения многих повседневных задач, от запоминания телефонного номера, когда вы вводите его в свой телефон, до понимания длинных и сложных предложений. Думаю об этом; как вы могли понять целое предложение, если не могли запомнить слова в начале достаточно долго, чтобы соединиться со словами в конце! Вербальная рабочая память также считается одним из элементов, лежащих в основе интеллекта, поэтому задача определения диапазона цифр является общим компонентом многих тестов IQ, включая широко используемую WAIS (шкалу интеллекта взрослых Векслера).Успешное выполнение задачи на диапазон цифр также тесно связано со способностями к изучению языка; Поэтому улучшение вашей вербальной памяти может помочь вам выучить новый язык или расширить словарный запас.

Некоторые люди даже сделали спорт, увеличивая размах пальцев. Каждый год чемпионат мира по запоминанию проверяет, сколько цифр можно запомнить в различных типах игр. В конкурсе 2015 года, когда ему дали час на запоминание цифр, нынешний рекордсмен мира Алекс Маллен вспомнил 3029 цифр!

Достижение 3029 цифр, вероятно, невозможно для обычного человека, но некоторые стратегии (например, разбиение на части, описанное выше), наряду с оптимизацией образа жизни, могут увеличить количество цифр.Стресс и упражнения могут сказаться не сразу; Результаты исследований, посвященных их непосредственному влиянию на Digit Span, противоречивы. Однако правильное количество сна может сразу повысить ваши результаты. В одном исследовании (Sadeh, Gruber, & Raviv, 2003) дети, которых просили увеличить продолжительность сна всего на один час, значительно повысили их показатели Digit Span. Попробуйте изменить свой собственный график сна, чтобы увидеть, как меняется Digit Span.

  • Baddeley, A. D., & Hitch, G.(1974). Рабочая память. В Г. А. Бауэре (ред.), Последние достижения в обучении и мотивации, Vol. 8. Нью-Йорк: Academic Press.

  • Бор., Д., Камминг, Н., Скотт, К. Э. М., & Оуэн, А. М. (2004). Участие префронтальной коры в стратегиях вербального кодирования. Европейский журнал нейробиологии, 19 (12), 3365-3370. Прочтите реферат

  • Бор Д. и Оуэн А. М. (2007). Общая префронтально-теменная сеть для мнемонических и математических стратегий перекодирования в рабочей памяти.Cerebral Cortex, 17, 778-786. Скачать PDF

  • Эриксон, К. А., Чейз, В. Г., и Фаллон, С. (1980). Приобретение навыка памяти. Наука, 208, 181-1182.

  • Миллер Г. А. (1956). Магическое число семь, плюс-минус два: некоторые ограничения нашей способности обрабатывать информацию. Психологическое обозрение, 63, 81-97.

  • Оуэн, А. М., Ли, А. К. Х., и Уильямс, Э. Дж. (2000). Разделяющие аспекты вербальной рабочей памяти в лобной доле человека: еще одно свидетельство «специфической для процесса» модели латеральной лобной организации.Психобиология, 28 (2), 146-155. Прочтите реферат

  • Садех А., Грубер Р. и Равив А. (2003). Влияние ограничения и продления сна на детей школьного возраста: какое значение имеет час. Развитие ребенка, 74 (2), 444-455. Скачать PDF

  • Тауб, Х. (1972). Сравнение молодых взрослых и пожилых групп по разным задачам. Психология развития, 6, 60-65.

Объем краткосрочной памяти | tutor2u

Миллер (1956) опубликовал знаменитую статью под названием « Магическое число семь, плюс или минус два» , в которой он проанализировал существующие исследования краткосрочной памяти.Он сказал, что мы можем хранить семь «предметов» в краткосрочной памяти плюс-минус два. Миллер считал, что наша кратковременная память хранит «фрагменты» информации, а не отдельные числа или буквы.

Это может объяснить, почему мы можем отзывать такие элементы, как номера мобильных телефонов, которые содержат более 7 цифр.Когда мы пытаемся запомнить номер телефона, который состоит из 11 цифр, мы разбиваем информацию на группы, например: 0767… 819… 45… 34, поэтому нам нужно запомнить только четыре фрагмента информации, а не 11 отдельных цифр.

Оценка:

Теория Миллера (1956) подтверждается психологическими исследованиями. Например, Jacobs (1887) провел эксперимент с использованием теста на размах цифр, чтобы проверить емкость кратковременной памяти для чисел и букв. Джейкобс использовал выборку из 443 студенток (в возрасте от 8 до 19 лет) из Университетской школы Северного Лондона.Участники должны были повторить последовательность цифр или букв в том же порядке, и количество цифр / букв постепенно увеличивалось, пока участники больше не могли вспомнить последовательность. Джейкобс обнаружил, что в среднем у студента было 7,3 буквы и 9,3 слова, что подтверждает идею Миллера о 7 +/- 2.

Хотя теория Миллера (1956) подтверждается психологическими исследованиями, он не уточнил, насколько большим может быть каждый «кусок» информации, и поэтому мы не можем сделать вывод о точной емкости кратковременной памяти.Следовательно, необходимы дальнейшие исследования для определения каждого размера информационных «блоков», чтобы понять точную емкость кратковременной памяти.

Наконец, в исследовании краткосрочной памяти Миллера (1956) не учитывались другие факторы, влияющие на емкость. Например, возраст также может влиять на кратковременную память, и исследование Джейкобса (1887) подтвердило, что кратковременная память постепенно улучшается с возрастом.

битов и байтов

битов и байтов




битов и байтов

Вот что-то вроде словаря компьютерных модных словечек, с которыми вы встретитесь. в использовании компьютера:

Bit
Компьютерные процессоры могут только определить, включен ли провод.К счастью, они могут смотреть сразу на множество проводов (см. Шину), и реагировать на сложную последовательность включений и выключений довольно изощренно. способами. Чтобы преобразовать эти шаблоны во что-то осмысленное людям, мы считаем, что провод, который идет, как «1» и провод, который отключен, чтобы быть «0». Тогда мы можем посмотреть на проводах, ведущих в компьютер, и прочтите что-то вроде 00110111 00010000. Мы не знаем, что это означает для процессора, это просто узор. Каждое место в шаблоне — это бит, который может быть 1 или 0.Если для процессора это означает число, биты составляют двоичное число.

Двоичные числа
В наши дни большинство из нас считает десятками. Использовались древние культуры считать по 5, 12 или 24, но за последнюю тысячу лет, счет десятками был нормой. когда вы видите число 145, вы просто знаете, что он включает одну группу из десяти десятков, плюс четыре группы из десяти и еще пять. Десять десятков — это сто или десять в квадрате. 10 сотни — это тысяча, или десять до третьего. Есть шаблон здесь.Каждая цифра представляет собой число десятков в степени. позиции цифры, если вы начинаете отсчет с ноль и считайте справа налево.

Если вы сделаете то же самое с битами, которые могут быть только 1 или 0, каждая позиция в списке битов представляет некоторую степень двойки. 1001 означает одну восьмерку плюс отсутствие четверок, плюс отсутствие двоек, плюс одну дополнительную. Это называется двоичной записью. Вы можете преобразовывать числа из двоичного запись в десятичную систему счисления, но это бывает редко.

байтов
Такие числа, как 00110111 10110000, намного легче читать, если вы помещаете пробелы каждые 8 ​​бит.В десятичной системе счисления мы используем запятые. каждые три цифры по той же причине. Нет ничего особенного около 8 бит, просто так началось. Оборудование есть легче построить, если вы последовательно сгруппируете провода из одного куска к другому. Некоторое старое оборудование использовалось для группировки проводов по 10 секунд, но в 70-х годах идея работы в группах по 8 человек действительно взяла верх, особенно в дизайне интегральных схем. Кто-то сделал шутка о группе, несущей байт данных, и термин застрявший. Иногда вы слышите группу из четырех битов, называемую полубайтом.

Наибольшее число, которое вы можете представить с помощью 8 бит, — это 11111111, или 255 в десятичной системе счисления. Поскольку 00000000 — самый маленький, вы может представлять 256 вещей байтом. (Помните, укус — это просто шаблон. Это может быть буква или оттенок зеленого.) биты в байте имеют числа. Самый правый бит — это бит 0, а Левая часть — это бит 7. У этих двух битов тоже есть имена. Крайний правый младший значащий бит или lsb. Это наименее важно, потому что его изменение меньше всего влияет на значение.Который это MSB? (Байты в большем количестве также могут называться наименьшими значительный и наиболее значительный.)

Шестнадцатеричные числа
Даже с пробелом 00110111 10110000 довольно трудно читать. Разработчики программного обеспечения часто используют шестнадцатеричный код для представления бинарные паттерны. Шестнадцатеричный был создан путем взятия десятичного числа к бинарной идее и идя другим путем. Кто-то добавил шесть цифр на обычные 0-9, поэтому число до 15 может быть представлено единый символ.Поскольку их нужно было набирать на обычной клавиатуре, были использованы буквы A-F. Один из них может представлять четыре бита стоит, поэтому байт записывается как две шестнадцатеричные цифры. 00110111 10110000 становится 37B0.

Вот удобная таблица:
Шестнадцатеричное десятичное
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 8
9 1001 9
A 1010 10
B 1011 11
C 1100 12
D 1101 13
E 1110 14
F 1111 15

С тремя разными схемами легко перепутать числа.1000 можно перевести в тысячу, восемь или четыре тысячи и девяносто шесть. Вы должны указать, какую систему вы используете. Тот факт, что вы все еще иногда видите устаревшую систему под названием восьмеричный (цифры 0-7. Вы можете решить) добавляет к потенциалу для путаницы. Шестнадцатеричные числа можно указывать записью их 1000hex 1000h или 0x1000. Двоичные числа можно записать в 1000 байт. . Восьмеричные числа были записаны с дополнительным ведущим 0. Десятичные числа числа не указаны, если нет возможности путаница, например, один на странице шестнадцатеричных чисел.

Buss
В электрических системах — провод, который подключается более чем к двум. устройств называется шиной. Обычно у вас есть шина питания, которая подает ток на все части, которые в нем нуждаются, и заземление шина, которая возвращает ток к источнику питания. (Все текущие пути должны быть туда и обратно.)

В компьютерной инженерии понятие шины было расширено. для обозначения группы проводов, по которым данные передаются по системе. Обычно проводов достаточно для обработки от одного до четырех байтов.В размер этих автобусов имеет большое влияние на эффективность система. 32-битная шина может обрабатывать числа вдвое длиннее (что означает От 2 до 16 больше), чем 16-битная шина.

Последовательные данные
Вы можете отправлять большие числа по узкой шине, если вы отправляете их кусками. Если у вас восьмибитная шина, вы можете послать байты один после другого, и процессор может соединить байты. Этот может быть отключен с помощью одиночной проводной шины. Затем биты приходят один в время — это называется последовательной передачей данных.

Память
От компьютера не было бы много пользы, если бы он не мог хранить данные. На протяжении многих лет существовало множество схем хранения данных, но то, как это делается сегодня, требует подключения транзисторов, чтобы они оставаться включенным при включении и оставаться выключенным при выключении. Транзистор потом можно немного хранить. Транзисторы организованы в группы. из 8, поэтому каждая группа может хранить байт. Единая интегральная схема может иметь миллионы таких групп.

Каждый член группы подключен к одному проводу данных автобус.Некоторые другие провода могут дать группе команду скопировать состояние шины, или подключить их выходы к шине, так что автобус отражает то, что находится в этой группе. Эти другие провода фактически вторая шина называлась адресной шиной. Манипулируя адресную шину, центральный процессор может выбрать, какой именно группа транзисторов (или область памяти) для чтения или изменения. В количество проводов в адресной шине определяет, сколько памяти места, которые он мог бы адресовать.

Этот тип памяти называется RAM для оперативной памяти.Поскольку транзисторы должны оставаться включенными, все данные исчезают при отключении питания. Некоторые компьютеры могут сохранять память никогда по-настоящему не выключаясь. У них есть батарея, которой хватает мощность транзисторов памяти, которую они не забывают.

Другой вид памяти называется ПЗУ, это постоянная память. Существуют различные типы этого, но самый распространенный из них похож на массив предохранителей. Все, что взорвано, представляют собой 0. Ничто не может изменить то, что находится в памяти только для чтения, чтобы любая программа или данные там доступен сразу после включения компьютера.

Приводы
Поскольку память очищается при отключении питания, есть должна быть какая-то механическая система для хранения данных между заданиями. Носитель, используемый для хранения данных, может отличаться от магнитной ленты. на оптические диски, а некоторые устройства позволяют легко снял и заменил. Большинство этих систем хранения включают в себя некоторые вид вращающегося диска. Существует продуманная схема хранения трек данных на диске — байты сгруппированы в блоки, блоки в файлы, файлы в каталоги (или папки), и каталоги в разделы (или тома).Пользователь обычно видит только файлы и выше.
Центральный процессор
Центральный процессор, или ЦП, является сердцем компьютера. ЦП считывает инструкцию из памяти (инструкции битовые узоры, как и все остальное.), выполняет и смотрит для следующей инструкции. В инструкции простые вещи вроде скопировать значение из памяти. ЦП имеет свои собственные ячейки памяти. называется регистрами. Специальное оборудование позволяет добавлять или вычесть регистры друг из друга.Чтобы сложить два числа, ЦП должен получить первое число и поместить его в регистр, получить другое число и поместите его в другой регистр, сложите два регистра, и занесите результат обратно в память. Каждая из этих операций требуется инструкция.
Часы
К счастью, ЦП может делать все это очень быстро. Целый работа контролируется схемой генератора, называемой системой часы, которые работают с миллионами герц (циклов в секунду). Это Было бы просто подумать, что один тактовый цикл означает одну инструкцию, но инструкции различаются по сложности и занимают от 4 до 20 циклов до завершения.Операции еще больше замедляются из-за память, которая не успевает за собой. Некоторые процессоры имеют супер высокоскоростная память, называемая кешем, где числа, которые необходимы партия может быть сохранена и извлечена быстрее.

Периферийные устройства
ЦП обменивается данными с памятью через адрес и данные автобус. Для связи с остальным миром используются другие автобусы. использовал. (Места, где можно подключить внешние устройства, иногда называемые портами.) Эти шины могут использоваться совместно или подключаться к одному устройство.Они могут быть последовательными или многопроволочными, называемыми параллельными. Устройства, подключенные к системе, называются периферийными устройствами; Это включает клавиатуры, мониторы, мыши, графические планшеты, принтеры, MIDI-системы и многое другое. У каждого свои данные и электрические характеристики, но соединение в порту должно быть достаточно стандартизировано, чтобы позволяют взаимозаменять аналогичные устройства. Ниже приведены виды увязок в различных системах.

Параллельный порт
Это старый стандарт, изначально предназначенный для принтеров, поэтому его часто называют портом принтера, хотя другие вещи могут подключаться здесь, а принтеры можно подключать другими способами.Что касается портов данных, то этот довольно медленный.
IDE / ATA
Это параллельная шина, предназначенная для устройств хранения больших объемов данных. Обычно это скрыто внутри коробки, так как используемые разъемы не очень сильны. В шине IDE есть провода, которые выбирают какое устройство активно, поэтому логическое расположение устройства (диск A, B и т. Д.) Зависит от того, к какому разъему он подключен.

SCSI
Это еще один тип параллельной шины для массового хранения. Это механически намного сильнее, чем IDE, поэтому его часто используют между коробки.SCSI — это развивающийся стандарт, который периодически адаптируется работать на более высоких скоростях. SCSI вмещает семь устройств на buss, и каждая из них должна иметь уникальный идентификационный номер на задней панели.

SVGA
Это тип видеоразъема. Это один из многих, но самый распространенный прямо сейчас.

Comm Port
Это тип последовательного порта, который существует уже несколько десятилетий. Другое название для этого — RS-232, что является названием технического документ, описывающий, как это должно работать.Это самый медленный порт из всех. Сюда подключаются только очень простые устройства.

Модем
Одна вещь, которую часто можно найти подключенной к последовательному порту, — это модем, который представляет собой поле, которое преобразует данные в тоны, которые могут быть переданы по телефону. Во многих случаях в компьютер встроен модем, поэтому модемное соединение идет прямо к телефонной линии.

Ethernet
Существует множество систем, предназначенных для подключения компьютеров к каждой Другие. Ethernet — один из самых популярных, потому что он очень быстро и относительно дешево в сборке.Компьютеры не подключаются напрямую друг к другу с помощью Ethernet — они проходят через коробку, называемую концентратор или коммутатор, который позволяет нескольким компьютерам разговаривать на вечеринке линия. Если их всего два, или использовать Ethernet для подключения компьютера к принтеру можно использовать специальный кабель без концентратора.

USB
USB — это новая высокоскоростная последовательная система. Он должен вместить до 128 устройств и позволяет подключать устройства без выключение питания. (Возня с IDE или SCSI с питанием может повредить вещи.)

Firewire
Firewire, также известный как IEEE 1394, является еще более быстрым последовательным система. Он также более надежен, чем USB, по ряду причин. Между FireWire и SCSI идет соревнование, чтобы узнать, какой быстрее. Firewire определенно удобнее.

MIDI
MIDI — это система связи, разработанная для музыкальных инструментов. Он используется для управления другими вещами, но главное — это музыка. MIDI подробно обсуждается в другом месте на этом сайте.

Digit Span — обзор

Расширение познавательной способности для обучения с помощью фрагментов и схем

Chunking открывает человеческий потенциал для превышения начальных пределов рабочей памяти (Chi, Glaser, & Rees, 1982; Miller, 1956; Newell, 1990; Newell & Саймон, 1972). Разделение на части — ключ к обучению и приобретению опыта. Миллер (1956) представил конкретный пример того, как разбиение на фрагменты может увеличить емкость рабочей памяти для цифр. Вызов последовательности из 18 двоичных цифр, такой как 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0, выходит за рамки типичного объема рабочей памяти.Практикуясь и перекодируя, человек может разбить 18 двоичных файлов на шесть более управляемых фрагментов. Сначала отдельные двоичные файлы сгруппированы в шесть восьмеричных цифр: 1 0 1, 0 0 0, 1 0 0, 1 1 1, 0 0 1, 1 1 0. Использование схемы перекодирования для перевода каждого восьмеричного триплета в десятичную цифру. имя (000 = 0, 001 = 1, 010 = 2, 011 = 3, 100 = 4, 101 = 5, 110 = 6, 111 = 7), 18 двоичных цифр перекодируются как шесть цифр (5 0 4 7 1 6). Миллер сообщил, что, используя аналогичную систему перекодирования, Сидни Смит смог вспомнить и повторить 40 двоичных цифр без ошибок.Природа подхода CyGaME естественным образом разбивает информацию на блоки. Игрок строит блоки структуры знаний посредством интегрированных транзакций игрового процесса.

Теории решения человеческих проблем и познания Ньюэлла и Саймона (1972) (Newell, 1990), основанные на исследовании фрагментов Миллера и основополагающем открытии де Гроота (1946/1978), заключались в том, что превосходная способность опытных шахматистов восстанавливать конфигурации шахматной доски ограничивалась значимые конфигурации. В долговременной памяти люди разбивают информацию на значимые категории.Знания, связанные с категорией, можно назвать схемой (Chi et al., 1982). По мере расширения соответствующих знаний и опыта блоки информации объединяются в блоки более высокого уровня (например, для объяснения того, как это происходит при вербальном обучении, см. Ausubel, 1962, 1963). Когда аналогисты говорят о глубокой или глубокой структуре отношений, они имеют в виду, что область знания содержит сильно дифференцированную иерархическую структуру уровней и ветвей. Благодаря разбиению на части и иерархической структуре знаний, шахматный мастер может распознать точную игру, из которой произошел ключевой макет шахматной доски, инкапсулируя игровые стратегии и устройства.Исследования в различных областях знаний поддерживают разбиение на части и подчинение, связанные с решением проблем и обучением. Например, физики концептуализируют и подходят к физическим проблемам в соответствии с принципами более высокого порядка (Chi et al., 1982). Квалифицированные специалисты по электронике разбивают на части свои знания «взаимоотношений между целыми функциональными единицами» (Egan & Schwartz, 1979, стр. 156). По своей конструкции CyGaMEs естественным образом способствует включению блоков в блоки более высокого уровня и формированию схем.

Разделение на части с плотно иерархической реляционной структурой признано фундаментальным аспектом, отличающим эксперта от новичка (Bransford, Brown, & Cocking, 2000).Новички в предметной области склонны думать, рассуждать и проводить аналогии в соответствии с поверхностными системами знаний. Существует давний консенсус в отношении того, что основная роль обучения заключается в разработке среды обучения, которая направляет и укрепляет учащихся для построения жизнеспособных, интегрированных, последовательных и надежных структур знаний, хотя педагогические подходы могут расходиться (например, сравните Linn, Davis, & Bell, 2004; Sweller, Kirschner, & Clark, 2007).

Природа подхода CyGaME естественным образом разбивает информацию на блоки для построения схем знаний посредством транзакций игрового процесса.С учебной точки зрения CyGaMEs стремится избежать создания поверхностных знаний посредством интеграции знаний. Интеграция знаний — это вопрос вложения новых знаний в существующие когнитивные структуры. Ключевым аспектом аналогичных рассуждений, показанным на рис. 6.2, является повсеместный когнитивный процесс (Hummel & Holyoak, 1997), который позволяет обучаться и рассуждать более высокого порядка путем отображения реляционной структуры из исходной области, которая является конкретной или относительно знакомой целевой области, которая является абстрактным или относительно незнакомым (Holyoak, 2012; Holyoak & Thagard, 1997; Polya, 1954).Принцип систематичности (Gentner, 1983) объясняет, что люди предпочитают отображения глубокой реляционной структуры, когда у них есть достаточный опыт и предварительные знания. Действительно, именно глубокие реляционные сопоставления от исходных к целевым доменам поддерживают построение глубоко интегрированных когнитивных моделей. Однако дети и новички (например, неопытные шахматисты или техники по электронике) будут составлять карты на основе внешнего сходства, потому что им не хватает опыта и предварительных знаний.Поверхностные сопоставления могут использоваться для запоминания, но они не влекут за собой взаимопонимания, которое способствует или включает в себя растущий опыт, и они не точно поддерживают когнитивные действия более высокого порядка, такие как решение проблем. Обучающая среда CyGaME направляет и вознаграждает учащихся за создание соответствующих предварительных знаний, на основе которых можно строить новые концепции. Таким образом, CyGaMEs расширяет возможности новичков (и детей) по фрагментам и построению схем, содержащих систематичность.Принципы учебного дизайна поддерживают создание знаний посредством активации или получения подходящих предварительных знаний (Merrill, 2002). Среда обучения CyGaMEs подготавливает учащихся с жизнеспособными структурами знаний (предварительными знаниями), лежащими в основе глубоких знаний предметной области. Структуры знаний функционируют как блоки. Такие учебные мероприятия подготавливают учащихся к приобретению знаний; они готовят учащихся к будущему обучению (Reese, 2007).

Как показали исследования шахматных мастеров и цифровой памяти, схемы из долговременной памяти могут действовать как фрагменты в рабочей памяти.Они повышают работоспособность при одновременном снижении когнитивной нагрузки. Когда схемы изучаются до автоматизма, потребность в объеме рабочей памяти значительно снижается (Paas et al., 2003; Sweller et al., 1998) и «в значительной степени обходится» (Sweller et al., 1998, p. 256). Действительно,

из-за конструкции схемы, хотя есть ограничения на количество элементов, которые могут быть обработаны рабочей памятью, нет явных ограничений на количество информации, которая может быть обработана. Схема, состоящая из одного элемента в рабочей памяти, не имеет ограничений по своей информационной сложности.Таким образом, построение схемы выполняет две функции: хранение и организация информации в долговременной памяти и уменьшение нагрузки на рабочую память. Можно утверждать, что эти две функции должны составлять основную роль систем образования и обучения.

(Sweller et al., 1998, стр. 256, курсив добавлен)

Степень систематичности, которую Паас и их коллеги описывают как взаимодействие между соответствующими элементами (Paas et al., 2003), определяет внутреннюю нагрузку.В целом, повышение систематичности приобретаемых знаний и навыков увеличивает когнитивную нагрузку. Однако разбиение на части снижает внутреннюю нагрузку, поскольку сложность может быть уменьшена до одного подчиненного элемента. По замыслу, среда CyGaMEs направляет и укрепляет учащегося в построении жизнеспособных реляционных структур (схем). Повторяющийся характер такого игрового процесса, в котором каждый жест представляет собой новый запрос для решения проблемы, позволяет учащемуся включать целевые схемы с вариантом осуществления, который приближается к автоматизму, хотя такое знание может быть неявным (т.е., преконцептуальный, см. определение в Hatano & Inagaki, 1986; описание приложения в процессах CyGaMEs см. в Reese, 2007, 2012).

Компьютерная терминология — двоичная

Ваш персональный компьютер тип цифровой электронной вычислительной машины. Он называется цифровым, потому что вся информация внутри него представлена ​​и обрабатывается в виде чисел (исходное значение слова «цифра» — «палец», а поскольку люди часто считают пальцами, термин «цифра» также стал для применения к числам).Все числа в таблице, весь текст символы в документе Word, все изображения и звуки, хранящиеся на компьютере, ВСЕ представлены в виде чисел.

Используемая система счисления — основание. 10 (поскольку у людей 10 пальцев, это хорошо для них). Например, когда вы пишете число 1853, это означает:

Каждая цифра (0-9) в числе по основанию 10 умножается. степенью десяти, соответствующей его положению.Обратите внимание, что каждый разряды цифры в 10 раз превышают значение разряда справа от Это. Но вы, конечно, все это знали.

Двоичные числа

Но что за бедный компьютер, у которого нет пальцев к рассчитывать на? База 10 неудобна для использования без пальцевого компьютера. В компьютерах ДЕЙСТВИТЕЛЬНО есть электрические цепи: на или на . Всего два состояния для работы.Итак, натуральная система счисления для использования в электронный компьютер — это основание 2 (так называемое двоичное число система). В отличие от вас, у которого есть десять цифр для вычисления (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) компьютер имеет только две цифры (0 и 1), с которыми он должен делать все. Итак, в памяти компьютера крошечный транзистор то есть на (проводящий ток) может представлять 1, в то время как транзистор с выключен будет представлять а 0 (ноль).

Двоичное число 11100111101, например, означает:

А! Значит, их количество одинаковое!

1853 (основание 10) = 11100111101 (основание 2)

Обратите внимание, что каждая позиция двоичной цифры в числе с основанием 2 имеет 2 раз больше значения позиции двоичной цифры справа от него (поскольку это база 2; помните, как работала база 10).

Становится громоздко сказать «двоичный цифра »все время, поэтому был изобретен более короткий термин «бит».Немного one b inary dig it . Немного может удержать 1 или 0 (ноль). Строка битов может содержать большие числа (точно так же, как вы используете строки с основанием 10 цифр для представления чисел больше 9).

Двоичное представление чисел
База 10 База 2
0 00000000
1 00000001
2 00000010
3 00000011
4 00000100
5 00000101
65 01000001
66 01000010
67 01000011
254 11111110
255 11111111

Возникает фрагмент компьютерной памяти очень удобного размера. быть длиной 8 бит.Этот кусок памяти может использоваться для представления любое число от нуля (00000000) до 255 (11111111). Почему 11111111 (основание 2) равно 255 (основание 10)? Потому что это означает:

1 х 128 + 1 х 64 + 1 х 32 + 1 х 16 +
1 х 8 + 1 х 4 + 1 х 2 + 1 х 1 = 255

И почему это кусок памяти удобного размера? Потому что, если мы хотим представить все символы английского алфавита, 8 цифры — это первая степень двойки, которая дает вам достаточно возможностей для сделайте это (4-битный кусок может содержать только числа от нуля до 7…нет достаточно).

У нас есть специальное имя для блока памяти, равного 8 длиной в битах: это называется байтом. Это базовая единица, которую мы используем для измерения объема памяти компьютера. (Кусок памяти Длина в 4 бита называется «ниббл», но вам не нужно знать, что для теста.)

Текстовые символы представлены в память компьютера в виде чисел. Как? Нужна схема для приравнивания букв к числам. Используемая система называется кодом ASCII. (Американский стандартный код для обмена информацией).Заглавная буква A представлен номером 65 в код ASCII ( 65 — это 01000001 в двоичный). Первые 65 кодов ASCII (от 0 до 64) используются для ассортимента. управляющих символов и специальных символов, поэтому заглавная A закончилась до 65. Капитал B 66 ( 01000010 ) и так далее.

Представление символов в формате ASCII (просто образец)
Персонаж База 10 База 2
(возврат) 13 00001101
(пробел) 32 00100000
! 33 00100001
1 49 00110001
2 50 00110010
@ 64 01000000
А 65 01000001
B 66 01000010
С 67 01000011
97 01100001
б 98 01100010
c 99 01100011
(удалить) 127 01111111

Как компьютер узнает, что 01000001 в байт памяти — это число 65 или буква A ? Поскольку прикладная программа отслеживает, что она помещает в память, поэтому MS Word знает, что данный байт, в котором хранится текст, содержит числа, обозначающие буквы.

Для иностранных алфавитов, которые содержат намного больше букв, чем Английский (например, японский кандзи) — новое расширение схемы ASCII. называется Теперь используется Unicode (он использует два байта для хранения каждая буква; два байта дают 65 535 различных значений для представления символов).

Изображения также представлены в компьютере в виде чисел. Если вы внимательно посмотрите на экран дисплея, вы увидите, что изображение на нем состоит из множества маленьких пятен, называемых элементами изображения (которые чаще всего сокращается до пикселя).Каждый пиксель изображения на экране компьютера может быть представлен тремя байтами; числа в байтах сообщают дисплею, сколько красного, синего и зеленого свет следует смешать, чтобы получить цвет пикселя (три байты могут представлять миллионы возможных цветов для каждого пикселя).

Программы, которые выполняет компьютер, также хранятся как числа. Каждое число в этом случае представляет собой инструкцию для микропроцессора (каждая операция, которую может выполнять процессор, например как «получить число в регистр» и «добавить содержимое двух резисторов вместе »представлены уникальными двоичными кодами).

Килобайт, Мегабайт, Гигабайт и т. Д.

Представление чисел в компьютерах

Наименьшая единица информации, которая может быть сохранена компьютером, — это двоичная цифра (обычно сокращается до «бит»). Его значение обычно хранится в памяти как электрический заряд, хранящийся в конденсаторе. Современные микросхемы памяти содержат миллионы этих крошечных конденсаторов, каждый из которых способен хранить ровно один бит информации.Один бит может иметь одно из двух значений в любой момент времени — одно или ноль . Как мы увидим, для представления числа больше единицы нам потребуется несколько битов.

Обзор

Вообще говоря, отдельные биты используются только для хранения логических значений (истина или ложь). В большинстве языков программирования истинно приравнивается к одному , а ложно приравнивается к нулю .Наименьшая единица данных, которая может быть адресована в памяти компьютера, — это байт . Определение байта менялось на протяжении многих лет, но теперь он обычно считается группой из восьми бит и может использоваться для представления буквенно-цифровых и непечатаемых символов, целых чисел без знака (целых чисел) от 0 до 255. или целые числа со знаком от -127 до +127.


Байт обычно состоит из восьми бит


В некоторых текстах группа из восьми битов называется октетом , чтобы избежать возможной двусмысленности.Поскольку шестнадцатеричная система счисления состоит из шестнадцати цифр, каждая из которых может быть указана с использованием всего четырех битов, иногда полезно рассматривать группы из четырех битов как единицу. Такую группу часто называют полубайтом (что, несомненно, доказывает, что у компьютерных ученых все-таки есть чувство юмора!).

Количество битов, которые могут быть обработаны ЦП за одну машинную операцию, зависит от количества битов, которые он может хранить во внутренних регистрах.На заре вычислений это было относительно небольшое число (четыре или восемь битов). Поэтому в какой-то момент размер регистра процессора совпадал с размером байта. Однако уже много лет этого не происходит. По мере развития архитектуры ЦП мы видели, что размер регистров удваивается и повторно удваивается. Большинство процессоров теперь имеют 32-битные или 64-битные регистры, которые могут содержать четыре или восемь байтов данных соответственно.


Современный процессор имеет 64-битную архитектуру.


Единица данных, которая может быть обработана за одну операцию с помощью инструкции машинного кода, называется словом .Слово можно рассматривать как 32-битное или 64-битное двоичное число. Диапазон значений, которые могут быть представлены словом, поэтому зависит от архитектуры микропроцессора и будет определять размер пространства памяти, которое может быть адресовано.

По состоянию на 2010 год практически все персональные компьютеры способны обрабатывать 64-битные данные, хотя они часто используются в 32-битном режиме для обеспечения поддержки существующего программного обеспечения. Однако имейте в виду, что во многих встроенных системах по-прежнему используются микроконтроллеры с восьми или шестнадцатиразрядными регистрами.

Целые числа

Целые числа — это целые числа. Диапазон значений, которые могут быть сохранены в виде целого числа, зависит от того, подписано ли число (т.е. положительное или отрицательное), и сколько памяти выделено для него в памяти. Языки программирования обычно могут представлять целые числа со знаком или без знака и разных размеров.

Один байт может представлять беззнаковые числа в диапазоне от 0 до 255 или целые со знаком в диапазоне от -128 до +127.Если используются два байта, могут быть сохранены числа без знака от 0 до 65 535 или числа со знаком от -32 768 до 32 767. Можно представить гораздо большие числа, если будет доступно больше байтов.

Для чисел со знаком один бит используется для хранения знака (+ или -) числа, поэтому абсолютное значение самого большого числа, которое может быть сохранено, составляет только половину от значения для чисел без знака. Количество битов, используемых для представления целочисленного значения, будет равно количеству байтов, умноженному на восемь.Целое число, представленное n битами, может представлять 2 n числа.

Таким образом, величина четырехбайтового целого числа может быть любой до 2 (4 × 8) или 2 32 , что означает, что оно может содержать беззнаковое значение до 4294967296 (чуть больше двух миллиардов). Отрицательные числа могут быть представлены несколькими различными способами в двоичных системах счисления, хотя наиболее часто используется метод с дополнением до двух (дополнение до двух рассматривается ниже).

Числа с фиксированной точкой

Число с фиксированной точкой используется для представления действительного числа (имеющего дробную часть) с использованием фиксированного количества цифр после точки счисления. Точка системы счисления называется десятичной точкой для вещественных чисел с основанием десять. В двоичных системах счисления это будет называться двоичной точкой .Числа с фиксированной запятой иногда используются там, где используемый процессор не имеет блока с плавающей запятой (FPU), что часто имеет место в недорогих микроконтроллерах.

Дробные числа с фиксированной запятой обычно представлены целыми числами, которые масштабируются соответствующим коэффициентом (показатель степени ). Например, действительное число 1,234 может быть представлено целым значением 1234 с коэффициентом масштабирования 1 / 1000 (или 10 -3 ), в то время как число 1,234,000 также может быть представлено целым значением 1234 но с коэффициентом масштабирования 1000 (10 3 ).

Разница между представлением вещественных чисел с фиксированной и плавающей точкой заключается в том, что коэффициент масштабирования остается одинаковым для всех значений, представленных конкретным типом данных с фиксированной точкой. Используемый коэффициент масштабирования (обычно) представляет собой степень десяти для денар, (основание десять) чисел или степень двойки для двоичных чисел.

Максимальные и минимальные значения, которые могут быть представлены типом данных с фиксированной точкой, будут зависеть от максимального и минимального значений, которые могут быть представлены базовым целочисленным типом данных, и коэффициентом масштабирования.

Арифметические операции с числами с фиксированной запятой могут дать ответы, которые невозможно точно представить с использованием количества мест, доступных до или после точки счисления. В таких случаях ответ будет округлен или усечен. Возможные варианты: либо сохранить тот же числовой формат для ответа и согласиться с некоторой потерей точности, либо преобразовать результат в более подходящий тип данных для сохранения точности.

В первом подходе количество цифр до и после точки счисления остается неизменным для результата операции.Если в дробной части результата будут потеряны цифры, это будет связано с потерей точности, которая может быть приемлемой во многих случаях. Однако, если в целой части результата пропадают цифры, результат будет в корне неверным.

При написании программ для систем управления, которые будут реализованы на микропроцессорах, важно понимать ограничения используемого микропроцессора с точки зрения максимального размера целочисленных значений, которые он может хранить.Обычно это будет зависеть от размера его внутренних регистров.

Числа с плавающей запятой

С числами с плавающей запятой работать несколько сложнее, потому что точка счисления не занимает фиксированное положение (т.е. она может «плавать» влево или вправо в представлении действительного числа в зависимости от величины числа). В наиболее часто используемых кодировках значение с плавающей запятой хранится как три отдельных компонента — значение , показатель степени и знак .32-битное число с плавающей запятой обычно составляется следующим образом:

  • Significand — 23 бита
  • Показатель степени — 8 бит
  • Знак — 1 бит

Значение представляет значащие цифры самого числа, а показатель степени по существу представляет позицию, занимаемую в пределах этих цифр десятичной (или двоичной) точки.Когда значение с плавающей запятой хранится в памяти, оно сначала нормализуется . Это означает перемещение десятичной точки влево до тех пор, пока она не окажется сразу справа от самой значащей (самой левой) цифры. Число разрядов, на которое десятичная точка должна быть перемещена, чтобы добиться этого, является показателем степени.

В качестве примера возьмем действительное число 1234,56 (имеющее мантиссу 123456). Чтобы нормализовать число, нам нужно переместить точку счисления (в данном случае десятичную точку) на три позиции влево, что приведет к нормализованному значению 1.23456 и показатель степени 3. Поскольку мы смотрим на десятичное (основание десять) число, теперь мы можем записать это число как 1,23456 × 10 3 .

Точно так же можно поступить и с двоичными действительными числами, за исключением того, что показатель степени будет применяться к основанию числа два. Однако обратите внимание, что дробные значения, такие как 1 / 5 (0,2), которые могут быть представлены точно по основанию десять, не могут быть точно представлены с основанием два.

Из вышесказанного должно быть очевидно, что максимальное количество цифр, которое можно использовать для представления любого действительного числа в данном формате, будет фиксированным. Отсюда следует, что для любого данного числа точность его представления будет зависеть от количества цифр, необходимых для его точного представления. Если количество требуемых цифр меньше или равно количеству цифр, доступных в данном представлении, потери точности не будет.Если количество требуемых цифр больше доступного, неизбежно произойдет некоторая потеря точности.

Конечно, для значений, которые не имеют точного представления в данной числовой базе, точность в любом случае будет ограничена. Дробное значение 1 / 3 , например, не может быть точно представлено в десятичной системе счисления, независимо от того, сколько цифр используется после десятичной точки (хотя при добавлении большего количества цифр сохраненное значение будет более приближаться к фактическое значение).Число, которое не может быть точно представлено в числовой базе независимо от количества используемых цифр, называется без завершения .

Основное преимущество чисел с плавающей запятой перед числами с фиксированной запятой заключается в том, что они могут представлять гораздо больший диапазон значений. Если мы используем формат с фиксированной точкой с двумя значащими цифрами после десятичной точки, например, мантисса 1234567 может представлять значения 12 345,67, 1234.56, 123,45, 12,34 и так далее. Число с плавающей запятой с тем же значением может представлять такие значения, как 1,234567, 123,456,7, 0,00001234567, 1,234,567,000,000 и т. Д.

Обратной стороной является то, что формат с плавающей запятой требует большего количества битов для хранения экспоненциальной части числа, поэтому числа с плавающей запятой, которые занимают то же пространство, что и тип данных с фиксированной запятой, достигают большего диапазона за счет некоторой потери точность. Вообще говоря, чем больше диапазон значений, которые мы хотим представить, тем больше битов необходимо для хранения чисел в этом диапазоне.

Поскольку количество битов, доступных как для значащей, так и для экспоненты, будет фиксированным для данного типа данных действительного числа, языки программирования, как правило, предлагают типы данных с плавающей запятой разного размера (и, следовательно, точности), чтобы программист мог выбрать тип наиболее подходит для предполагаемого назначения переменной. Таким образом, память может использоваться более экономично, чем если бы существовал единый тип данных действительного числа «один размер подходит всем».Значения с плавающей запятой обычно представлены 32-битными ( одинарная точность ) или 64-битными ( двойная точность ).

Как мы уже говорили ранее, мантисса хранится как целое число, имеющее фиксированное количество цифр, с подразумеваемой точкой счисления сразу справа от самой значащей цифры. Чтобы получить сохраняемое действительное числовое значение, мантисса должна быть умножена на основание, возведенное в степень экспоненты.Это эффективно переместит точку счисления из предполагаемого положения на количество позиций, заданное показателем степени.

Если показатель степени положительный, точка системы счисления смещается вправо. Если показатель отрицательный, он смещается влево. В денарном примере число 12345,67 будет нормализовано до 1,234567. Чтобы восстановить исходное значение числа, нормализованное значение необходимо умножить на 10 4 . Обратите внимание, что компьютерное представление двоичных чисел с плавающей запятой стандартизировано в IEEE 754-2008 — стандарте IEEE для арифметики с плавающей запятой.

Дополнение к одному

Компьютер использует фиксированное количество бит для хранения каждого из общих типов данных. Например, байт (8 бит) обычно используется для представления буквенно-цифровых символов, целых чисел без знака от 0 до 255 или целых чисел со знаком от -127 до +127.

Для целочисленных типов данных со знаком диапазон значений, которые могут быть представлены, составляет только половину от диапазона значений для целочисленных типов данных без знака, поскольку старший бит используется для обозначения того, является ли число положительным (0) или отрицательным (1), оставляя на один бит меньше. доступно для представления абсолютного значения числа.

Диапазон 4-битных целых чисел со знаком, которые могут быть представлены с помощью этой системы (известный как знак и величина ), показан в таблице ниже и иллюстрирует, как работает система. Обратите внимание, что есть два возможных представления нуля (0000 2 = +0 10 и 1000 2 = -0 10 ).


903 Целые числа со знаком могут быть представлены с помощью ряда альтернативных систем, одна из которых называется дополнением до .Используя дополнение до одного, старший бит снова используется для обозначения знака (0 = положительный, 1 = отрицательный), а положительные числа представляются обычным способом (см. Выше).

Чтобы изменить знак на положительного числа (то есть на , чтобы отменить ) с использованием дополнения до одного, все биты инвертируются (или «переворачиваются»). Другими словами, все единицы заменяются нулями, а все нули заменяются единицами.Следующие двоичные числа являются 8-битным дополнительным представлением 12 10 и -12 10 соответственно:

12 10 = 0001100 2

-12 10 = 1110011 2

Для тех, кто знаком с булевой логикой, дополнение любого двоичного числа до единицы эквивалентно выполнению над ним побитовой операции НЕ, и должно быть довольно очевидно, что дополнение до единицы отрицательного числа дополнения до единицы является его положительным аналогом.

8-битное двоичное представление нуля с использованием дополнения до единицы может принимать одну из двух форм — 00000000 2 (+0 10 ) или 11111111 2 (-0 10 ), а также диапазон значений, которые могут быть представлен с использованием 8 битов от -127 10 до +127 10 . Одним из преимуществ использования дополнения является то, что и сложение, и вычитание могут быть выполнены с использованием двоичного сложения с сквозным переносом (это просто означает, что если есть перенос одного бита в битовую позицию слева от самый старший бит в результате сложения, бит добавляется обратно к младшему значащему биту).

Чтобы вычесть одно двоичное число x из другого двоичного числа y с использованием дополнения, просто добавьте y к дополнению до единицы x . Два приведенных ниже примера иллюстрируют принцип.

Пример 1:

118 10 -85 10 = 01110110 2 -01010101 2 = 33 10 = 00100001 2

01110110
+ 10101010 (дополнение к 01010101)
———
= 100100000 (результат стандартного двоичного сложения)

= 00100001 (бит переполнения добавляется обратно в LSB)

Пример 2:

106 10 + -79 10 (01101010 2 -10110000 2 ) = 27 10 (00011011 2 )

01101010
+ 10110000 (дополнение до 01001111)
———
= 100011010 (результат стандартного двоичного сложения)

= 00011011 (бит переполнения добавляется обратно в LSB)

Дополнение до двух

Из-за ограничений одного дополнения при выполнении арифметических операций, таких как умножение и деление, наиболее часто используемый способ представления целых чисел со знаком на компьютерах — это использование дополнения до двух , потому что это позволяет реализовать логику, которая обрабатывает арифметические функции. легко в аппаратной части.

Дополнение до двух двоичного числа — это значение, полученное вычитанием числа из большой степени двойки (в частности, из 2 n для числа n -бит). Как и в случае с дополнением, старший бит используется для обозначения знака (0 = положительный, 1 = отрицательный), и положительные числа представлены таким же образом. Чтобы инвертировать как положительное число, используется его дополнение до двух.

Если взять в качестве примера беззнаковое число 3 10 , это будет представлено как положительное 8-битное двоичное число с дополнением до двух как 00000011 2 .Значение 2 8 , выраженное в стандартном двоичном формате, равно 100000000. Следовательно, чтобы найти двойное дополнение +3, мы должны выполнить следующую арифметическую операцию:

100000000
— 00000011
———
= 11111101

Таким образом, отрицательные двоичные числа могут быть представлены с использованием двух дополнений их абсолютного значения.Абсолютное значение наибольшего отрицательного числа, которое может быть представлено заданным числом битов, всегда на единицу больше, чем абсолютное значение наибольшего положительного числа, которое может быть представлено с использованием того же числа битов. Таким образом, 8-битное двоичное число с дополнением до двух может представлять целые числа со знаком от -128 до +127 (обратите внимание, что дополнение до двух к -128 равно -128).

По схожим причинам ноль имеет только одно представление в двоичной системе с дополнительным двоичным дополнением, поскольку два дополнения нуля равны нулю.Стоит отметить, что двойное дополнение двоичного числа также может быть получено путем добавления и единицы к дополнению до единицы этого числа.

Проще говоря, вы можете получить двойное дополнение числа, просто инвертировав все биты (т.е. заменив единицы на нули, а нули на единицы), чтобы получить дополнение до единицы, и прибавив к результату один (любой результат перенос самого старшего бита игнорируется).Диапазон знаковых 4-битных целых чисел, которые могут быть представлены с помощью дополнения до двух, показан в таблице ниже.


4-битные двоичные целые числа со знаком
Десятичное Двоичное Десятичное Двоичное
+0 0000 -0 1000
3 +1 9 +2 0010 -2 1010
+3 0011 -3 1011
+4 0100 3 903 5 0101 -5 1101
+6 0110 -6 1110
+7
3
903

9902

Как и дополнение до одного, дополнение до двух позволяет использовать операцию сложения для выполнения как сложения, так и вычитания.Чтобы вычесть одно двоичное число x из другого двоичного числа y с использованием дополнения до двух, просто добавьте y к двоичному дополнению x (любой перенос после самого старшего бита просто игнорируется). Два приведенных ниже примера иллюстрируют принцип.

Пример 1:

118 10 -85 10 (01110110 2 -01010101 2 ) = 33 10 (00100001 2 )

01110110
+ 10101011 (дополнение до двух 01010101)
———
= 00100001 (результат стандартного двоичного сложения, без учета переполнения)

Пример 2:

106 10 + -79 10 (01101010 2 + 10110000 2 ) = 27 10 (00011011 2 )

01101010
+ 10110001 (дополнение до двух 01001111)
———
= 00011011 (результат стандартного двоичного сложения, без учета переполнения)

Обратите внимание, что хотя двоичная арифметика (сложение, вычитание, умножение и деление) упрощается за счет использования представления двоичных значений со знаком в дополнительном коде, проблема остается в том, что арифметическая операция с числами, имеющими фиксированное количество битов, вполне может дать результат, который требуется больше, чем количество предоставленных битов.

Например, сложение 8-битных целых чисел со знаком 117 10 и 96 10 даст результат 213 10 . Этот результат выходит за пределы диапазона значений, которые могут быть сохранены как 8-битное двоичное целое число со знаком, независимо от типа используемого представления (знак и величина , дополнение до единицы или дополнение до двух ). По этой причине компьютеры будут выполнять проверки, чтобы определить, приведет ли результат арифметической операции к переполнению, и в результате часто потребуется преобразовать значение из одного типа данных в другой (например,грамм. от целого до длинного целого ).

При преобразовании 8-битного числа с дополнением до двух в 16-битное число с дополнением до двух, происходит процесс расширения знака , в котором повторяется знаковый бит (старший значащий бит исходного 8-битного двоичного числа) в каждой битовой позиции слева от него в новой 16-битной версии. Следующие примеры иллюстрируют это:

Пример 1:

01010101 2 (+85 10 ) = 00000000 01010101 2 (как 16-битное число)

Пример 2:

00111011 2 (-59 10 ) = 11111111 10101011 2 (как 16-битное число)

Наконец, стоит отметить, что двоичное умножение также относительно просто в системе с дополнением до двух.Например, побитовое умножение 11110100 2 (-12 10 ) и 00001000 2 (+8 10 ) дает результат 11110100000 2 .

Поскольку мы имеем дело с 8-битными числами, мы можем отбросить три крайних левых бита, оставив 10100000 2 . Поскольку старший бит равен 1, мы знаем, что результат имеет отрицательное значение. Дополнение до двух 10100000 2 равно 01100000 2 или 96 10 , поэтому результат представляет -96 10 , что является правильным результатом умножения -12 10 и +8 10 .

Десятичное число с двоичным кодом

В электронных системах управления двоично-десятичный код (BCD) представляет собой метод представления десятичных чисел, в котором каждая десятичная цифра представлена ​​последовательностью двоичных цифр. Это упрощает для системы преобразование числового представления для печати или отображения и ускоряет десятичные вычисления.Основным недостатком является то, что такое представление десятичных чисел занимает больше места в памяти, чем использование более обычного двоичного представления.

Схема, необходимая для выполнения вычислений, также имеет тенденцию быть более сложной. Каждая десятичная цифра 0-9 представлена ​​четырьмя битами. Дополнительные битовые комбинации могут использоваться для представления знаковых значений (+ или -) или других значений (например, условий переполнения или ошибки). В таблице ниже показаны стандартные кодировки BCD для десятичных цифр 0–9.Обратите внимание, что значения больше 1001 (1010, 1011, 1100, 1101, 1110 или 1111) являются , а не допустимыми десятичными значениями BCD.

4-битные двоичные целые числа со знаком
Десятичное Двоичное Десятичное Двоичное
0 0000 -8 1000
3 1
0010 -2 1110
3 0011 -3 1101
4 0100
4 0100 3 1100 -5 1011
6 0110 -6 1010
7 0111 -7 1001
9036 100351 02 903 Таким образом, кодировка BCD для числа 123 будет:

0001 0010 0011

В отличие от обычного двоичного представления:

1111011

Компьютеры обычно хранят данные в блоках по 8 бит (так называемый байт ).Используются два основных метода хранения цифр BCD. В первом методе (называемом zoned BCD ) каждое 4-битное BCD-представление десятичной цифры сохраняется в крайних правых четырех битах байта. Все крайние левые четыре бита имеют нулевое значение или все равны единице в таких системах, как мэйнфреймы, которые используют расширенный двоично-десятичный код обмена (EBCDIC) или 0011 (в системах, использующих американский стандартный код ). для обмена информацией (ASCII).

Во второй форме представления две десятичные цифры в кодировке BCD хранятся в одном байте.Отображение числа в кодировке BCD относительно просто для оборудования, потому что каждый из числовых символов отображается в отдельный битовый шаблон, состоящий из четырех двоичных цифр. Таким образом, схема управления, необходимая для отображения каждого числа, относительно проста, поскольку арифметическое преобразование не требуется.

Другой вариант кодирования BCD, называемый , упакованный BCD , использует каждый байт многобайтового слова для хранения двух десятичных цифр в кодировке BCD, кроме самого младшего байта.В этом байте четыре старших бита используются для хранения десятичной цифры в кодировке BCD, но четыре младших бита используются для хранения значения знака (чаще всего 1100 для «+» и 1101 для «-»). Таким образом, 32-битное слово может содержать 7-значное десятичное число со знаком с использованием двоичного десятичного кодирования. Таким образом, число -1 234 567 можно представить следующим образом:

0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1101

Те же значения знака можно использовать с зонным BCD для представления чисел со знаком.Крайние левые четыре бита младшего байта используются для представления знака числа. Следовательно, для EBCDIC-представления -123 используется следующий двоичный шаблон:

1111 0001 1111 0010 1101 0011

BCD добавление

Распакованные числа BCD можно складывать так же, как и другие двоичные числа, с последующим преобразованием результата в соответствующий двоичный формат.Однако, если результат сложения двух чисел BCD больше 9 10 (1001), результат будет недействительным и его необходимо исправить, добавив 6 10 (0110). Возьмем пример сложения 7 и 8:

0000 0111
+ 0000 1000
———
= 0000 1111

Полученный ответ подходит для обычного двоичного сложения (1111 2 = 15 10 ), но приводит к недопустимому представлению BCD.Чтобы исправить это, нам нужно добавить к результату 6 (0110) следующим образом (обратите внимание, что добавляемое число также должно быть в распакованном формате):

0000 1111
+ 0000 0110
———
= 0001 0101

Теперь у нас есть два представленных значения BCD, 1 и 5. Это правильное представление BCD 15 (правильный результат сложения 7 и 8).Однако, чтобы правильно представить это число в распакованном формате BCD, нам нужно сдвинуть крайние левые четыре бита ответа в байт более высокого порядка, как показано ниже.

0000 0001 0000 0101 = 15 10

Сложить вместе группы значений BCD сложнее, но в основном это включает добавление каждого набора значений в кодировке BCD справа налево и перенос второй цифры в следующий байт наивысшего порядка (не забывая, конечно, исправить недопустимые результаты BCD, прежде чем делать это).Следующий пример, в котором мы добавим 97 к 48, иллюстрирует принцип (обратите внимание, что значения в кодировке BCD, которые появятся в окончательной кодировке, выделены на каждом этапе):

Добавьте первый набор значений:

0000 0111
+ 0000 1000
———
= 0000 1111

Результатом является недопустимое значение BCD, поэтому добавьте 0110:

0000 1111
+ 0000 0110
———
= 0001 0101

Добавьте второй набор значений (плюс 1, взятый из первого добавления):

0000 1001
+ 0000 0100
+ 0000 0001
———
= 0000 1110

Этот результат этого добавления также является недопустимым значением BCD, поэтому добавьте 0110:

0000 1110
+ 0000 0110
———
= 0001 0100

1 будет перенесен в следующий байт старшего порядка.Общий результат добавления показан ниже (обратите внимание, что тот же метод добавления может быть применен и к упакованному BCD — просто помните, что каждый байт содержит две десятичные цифры в кодировке BCD, а не одну).

0000 0001 0000 0100 0000 0101 = 145 10

BCD вычитание

Двоичное вычитание может выполняться как для упакованных, так и для неупакованных чисел в кодировке BCD так же, как и для чисел, использующих стандартное двоичное представление.Обратите внимание, что, как и в случае с сложением, вычитание может привести к неверному значению BCD. Он также может дать ошибочный ответ, если операция вычитания приводит к заимствованию (из следующего наивысшего значения в кодировке BCD).

Если возникает какая-либо из этих ситуаций, необходима корректировка для получения правильного результата. Для вычитания нам нужно вычесть 6 (0110) из недопустимого или ошибочного значения BCD. Некоторые примеры проиллюстрируют эту мысль (мы будем использовать упакованные значения BCD для целей этого упражнения).Во-первых, простой пример, который не требует исправлений, — это вычесть 12 из 37:

0011 0111
— 0001 0010
———
= 0010 0101

В следующем примере мы вычтем 19 из 65:

0110 0101
— 0001 1001
———
= 0100 1100

Поскольку крайнее правое значение BCD недопустимо, нам нужно вычесть 6 (0110):

0100 1100
— 0000 0110
———
= 0100 0110

Регулировка дает нам правильный ответ:

0100 0110 = 46 10

В последнем примере мы вычтем 18 из 41:

0100 0001
— 0001 1000
———
= 0010 1001

Поскольку при вычитании нам приходилось заимствовать из самого левого значения BCD, самое правое значение BCD в результате является ошибочным, и нам снова нужно вычесть 6 (0110):

0010 1001
— 0000 0110
———
= 0010 0011

И снова корректировка дает нам правильный ответ:

0010 0011 = 23 10


Представление BCD
Десятичное число Кодировка BCD
0 0000
1 0001
2 0010
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
Задача диапазона

цифр | Наука изменения поведения

Выявлено

Задача Digit Span Task — это простая мера рабочей памяти (Wechsler, 1997), которая является фактором, связанным с более широкой областью исполнительной функции, которая может способствовать большей саморегуляции (Hofmann, Schmeichel, & Baddeley, 2012).Имея данные о том, что более высокая рабочая память связана с определенным поведением, связанным со здоровьем (например, употреблением фруктов и овощей; Allom & Mullan, 2014), рабочая память может быть механизмом изменения поведения, заслуживающим исследования.

[+] PMCID, PUBMED ID или CITATION

Цитата по тексту : Аллом, В., & Маллан, Б. (2014). Индивидуальные различия в управляющих функциях предсказывают различное пищевое поведение. Аппетит, 80, 123-130.

Текстовое цитирование : Хофманн, В., Шмейхель, Б. Дж., И Баддели, А. Д. (2012). Исполнительные функции и саморегулирование. Тенденции в когнитивных науках, 16 (3), 174-180.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *