«Мы часто говорим, что теория квантовой гравитации — это ультрафиолетовое завершение ОТО», — сказал Гуэррьери. «В нашей недавней статье мы исследовали первую поправку к предсказаниям ОТО в низкоэнергетическом пределе. Это то, что обозначает параметр альфа в нашей статье».

Теория струн — известная теория квантовой гравитации. Примечательно, что в теории струн параметр альфа, описанный исследователями, может принимать определенный набор значений.

«В теории струн альфа связана с натяжением основной струны (в единицах Планка)», — пояснил Виейра. «То, что мы намеревались исследовать в этой статье, заключалось в том, чтобы быть агностическими в отношении того, что такое теория квантовой гравитации, которая описывает реальный мир, и просто спросить, какие значения альфа могут дать любая такая теория».

Удивительно, но исследователи обнаружили, что альфа-значения, которые теория гравитации, описывающая реальный мир, могла иметь, согласно численным расчетам бутстрапа S-матрицы, были точно такими же значениями, которые дает теория струн.Хотя эти результаты могут иметь интересные последствия, их исследование имело несколько ограничений, которые могут повлиять на его достоверность.

«Первое предостережение в нашей работе состоит в том, что мы использовали численный метод; он использовал компьютерные кластеры для сканирования большого набора амплитуд рассеяния и экстраполяции на все пространство согласованных амплитуд рассеяния», — сказал Виейра. «Эта процедура экстраполяции имеет некоторую неопределенность. Итак, мы находим, что альфа> 0,13 ± 0,02 с оценочной полосой погрешности.Теория струн допускает любое значение альфа> 0,1389, что (в пределах шкалы ошибок) прекрасно соответствует нашей границе ».

В будущих исследованиях исследователи надеются уменьшить числовую ошибку, связанную с бутстрапом S-матрицы, который они использовали, чтобы определить, останутся ли результаты неизменными. Вторым ограничением их исследования является то, что в нем использовалась упрощенная установка, поскольку их исследование проводилось специально в 10 измерениях и при наличии суперсимметрии. Однако реальный мир четырехмерен, и суперсимметрия в нем еще не наблюдалась экспериментально.

«Тем не менее, мы думаем, что 10d с суперсимметрией — хорошая отправная точка для таких исследований», — сказал Герриери. «Одна из причин этого заключается в том, что теория суперструн 10d является наиболее простой и у нас есть четкие предсказания, с которыми мы можем сравнивать наши числа, а вторая причина заключается в том, что с помощью суперсимметрии мы можем связать гравитоны, которые являются сложными объектами, которые трудно приручить математически из-за их вращающейся природы, с более простые суперсимметричные партнеры, которые не вращаются ».

Главный исследовательский вопрос, который исследовали исследователи в их недавнем исследовании, заключался в том, является ли теория струн единственной непротиворечивой теорией квантовой гравитации.Хотя они не смогли однозначно ответить на этот вопрос, их результаты показывают, что бутстрап S-матрицы может помочь решить эту проблему. В будущем Гуэррьери, Пенедонес и Виейра хотели бы повторить свои вычисления без учета суперсимметрии и в более низких измерениях пространства-времени.

«До сих пор мы обнаружили, что значения альфа, разрешенные общими принципами, совпадают с теми, которые реализованы в теории струн», — сказал Виейра. «Это совместимо с положительным ответом на поставленный выше вопрос, но это слабое свидетельство.Однако, в принципе, мы можем изучать и другие параметры, назовем их бета, гамма и т. Д., Представляя дополнительные подведущие поправки к предсказаниям ОТО при низких энергиях. Теория струн предсказывает их бесконечное количество. Если мы сможем показать, что допустимый диапазон этих параметров из принципов S-matrix Bootstrap также совпадает с теорией струн, тогда доказательства будут сильными ».

Мигель Ф. Паулос и др., Бутстрап S-матрицы. Часть I: QFT в AdS, Journal of High Energy Physics (2017). DOI: 10.1007 / JHEP11 (2017) 133

Джоан Элиас Миро и др., Flux Tube S -Matrix Bootstrap, Physical Review Letters (2019). DOI: 10.1103 / PhysRevLett.123.221602

Андреа Л. Герриери и др., S-матричный бутстрап для эффективных теорий поля: безмассовые пионы, Journal of High Energy Physics (2021).DOI: 10.1007 / JHEP06 (2021) 088

© 2021 Сеть Science X

Ссылка : Исследователи используют бутстрап S-матрицы, чтобы проверить, является ли теория струн единственной последовательной теорией квантовой гравитации (2021, 9 сентября) получено 23 сентября 2021 г. с https: // физ.org / news / 2021-09-s-matrix-bootstrap-theory-Quantum-gravity.html

Этот документ защищен авторским правом. За исключением честных сделок с целью частного изучения или исследования, никакие часть может быть воспроизведена без письменного разрешения. Контент предоставляется только в информационных целях.

Лекция 14: Резонанс и S-матрица | Видео лекций | Квантовая физика I | Physics

Следующий контент предоставляется по лицензии Creative Commons.Ваша поддержка поможет MIT OpenCourseWare и дальше предлагать высококачественные образовательные ресурсы бесплатно. Чтобы сделать пожертвование или просмотреть дополнительные материалы с сотен курсов MIT, посетите MIT OpenCourseWare на ocw.mit.edu.

ПРОФЕССОР: Итак, сегодня мы собираемся прочитать нашу последнюю лекцию о рассеянии в одномерной квантовой механике, и мы собираемся представить некоторые важные идеи, в частности, фазовый сдвиг и S-матрицу, и они классные. Мы будем использовать их во благо. Прежде чем мы начнем, вопросы из прошлого раза?

АУДИТОРИЯ: Какую музыку играла?

ПРОФЕССОР: Только что? Это группа под названием Saint Germain.На самом деле это парень, но он называет себя группой Saint Germain. Во всяком случае, это из альбома, который, по-моему, называется «Traveler». Вопросы по физике? Кто угодно? Хорошо. Ну вообще-то плохо. Я бы предпочел, чтобы у вас были вопросы, но я приму это как знак знаний, компетентности и мастерства.

Итак, в прошлый раз мы говорили о рассеянии мимо барьера с некоторой высотой L и некоторой высотой V, которую, я думаю, мы назвали V0, и мы заметили кучу хороших вещей по этому поводу. Во-первых, мы вычислили вероятность прохождения через этот барьер как функцию энергии, и у него было множество хороших особенностей.Во-первых, он асимптотически приближается к 1 при высоких энергиях, что имеет смысл. Вещи не должны волновать, если у вас есть крошечный барьер.

Он перешел в 0 при 0 энергии. Я думаю, мы все должны найти это очевидным. Если у вас очень низкий уровень энергии, вы просто отскочите от этой очень твердой стены. Однако между ними есть некоторая структура. В частности, при определенных значениях энергии, соответствующих определенным значениям волнового числа в области барьера, при определенных значениях энергии мы видели, что передача была идеальной.Ой. Это должно было быть здесь. Извините. Переход был идеальным при определенных значениях энергии, и что отражение в этих точках было 0. Вы передали идеально.

Но тем временем отражение, равное 1 минус пропускание, достигает максимумов в особых точках, и эти особые точки оказываются полуцелыми, смещенными от особых точек для идеальной передачи. Так что в определенные моменты у нас идеальная передача. В определенные моменты у нас есть чрезвычайно эффективное отражение.Одна из наших целей сегодня — понять эту физику, физику резонанса при рассеянии потенциала.

Итак, асимптоты мы понимаем. Классически в этом есть смысл. Классически в этом есть смысл. Но в классическом понимании это действительно странная структура. И обратите внимание, что это тоже не то, что мы видели, когда смотрели на рассеяние от простого шага. Когда мы посмотрели на простой шаг, то мы получили что-то вроде 0, а затем это. Структуры не было.Это была просто красивая, простая кривая.

Значит, что-то происходит, когда у нас есть преграда, а не ступенька. Так что наша работа в некотором смысле будет заключаться в том, чтобы ответить, почему они такие разные. Прежде чем мы начнем, вопросы о ступенчатом барьере. Ага?

АУДИТОРИЯ: Эта маленькая линия, которую вы нарисовали поверх другого графика, масштабируется?

ПРОФЕССОР: Ой, извините. Вот этот?

АУДИТОРИЯ: Нет, маленькая линия, которую вы тут же нарисовали.

ПРОФЕССОР: Это? Извините, надо было нарисовать отдельно.Это была передача как функция энергии за один шаг, и это выглядело так.

АУДИТОРИЯ: Итак, если бы мы наложили это на наш резонансный …

ПРОФЕССОР: Совершенно верно.

АУДИТОРИЯ: Было бы [НЕРАЗБОРЧИВО]?

ПРОФЕССОР: Ой, извините. Так что я просто хотел сравнить их. Я просто хотел думать о них как о двух разных системах. В этой системе кривая передачи представляет собой красивую простую кривую. У него нет структуры. В случае ступенчатого барьера мы получаем ненулевое пропускание при низких энергиях вместо того, чтобы идти к 0, и мы получаем эту резонансную структуру.Так что это просто для контраста.

Прежде чем вдаваться в подробности, я хочу сделать одну небольшую вариацию этой задачи. Я не буду делать никаких вычислений. Я просто собираюсь рассказать вам, как получить ответ на основе уже вычисленных нами ответов. Итак, рассмотрите квадратный колодец. Вы, ребята, хорошо решили конечный квадрат на своих наборах задач. Рассмотрим снова конечный квадратный колодец шириной L и глубиной минус V0. То же самое и с V, переходящим в минус V. И снова я хочу рассмотреть состояния рассеяния.Итак, я хочу рассмотреть состояния с положительной энергией, с энергией выше асимптотического потенциала.

Теперь, к этому моменту, мы все знаем, как решить эту проблему. Мы пишем здесь простые волны, здесь простые волны и простые волны между ними. Мы решаем потенциал в каждой области, где он постоянный, а затем налагаем непрерывность волновой функции и непрерывность производной волновой функции в точках согласования. Итак, мы знаем, как решить эту проблему и вычислить коэффициенты отражения при передаче.Мы сделали это для этой задачи, и это точно такая же алгебра. Фактически, это такая же алгебра, что мы можем просто взять результаты из этой и взять V до минус V, и мы получим правильный ответ. Вы вроде как должны.

Итак, если мы это сделаем, то, что мы получим для вероятности перехода — а теперь это вероятность передачи для квадратной скважины — и снова, я собираюсь использовать те же безразмерные константы. g0 в квадрате равно 2 мл в квадрате h, умноженном на V0. Это на 1 больше энергии.Это энергия. Это безразмерно. И безразмерная энергия эпсилон равна E над V. Чтобы выразить мою вероятность передачи, жизнь лучше, когда она безразмерна.

Итак, T, вероятность передачи, опять же, одна из этих ужасных 1 оверов. 1 больше 1 плюс 1 больше 4 эпсилон, эпсилон плюс 1, синус в квадрате g0, квадратный корень из эпсилона плюс 1. Это снова то же самое. Вы можете увидеть, что у нас получилось в прошлый раз, снова вернув V к минус V. Это превращает эпсилон в минус эпсилон.Итак, мы получаем эпсилон, 1 минус эпсилон или эпсилон минус 1, взяв знак минус из этого эпсилона, и здесь мы получаем 1 минус эпсилон вместо 1 плюс эпсилон. Именно это мы получили в прошлый раз. Так что, если вы чувствуете себя возбужденным дома сегодня вечером, проверьте это. В каком-то смысле вы собираетесь воспроизвести его на основе набора задач.

Итак, он выглядит в основном так же, как и раньше. У нас есть функция синуса внизу, которая снова иногда будет равна 0. Синус иногда будет равен 0, если ее аргумент кратен пи.А когда эта синусоидальная функция равна 0, тогда вероятность передачи равна 1 на 1 плюс 0. Она также известна как 1. Передача идеальна. Итак, мы снова получаем резонансную структуру, и на самом деле это точно такой же сюжет, или почти точно такой же сюжет.

Я собираюсь построить график передачи — давайте продолжим и сделаем это — вероятность передачи как функцию, опять же, от безразмерной энергии. И снова мы получаем не очень хорошо прорисованные резонансы, когда передача идет на 1, благодаря моим прекрасным художественным способностям.Точки, в которых отражение достигает локального максимума.

Но мы знаем об этой системе еще одну вещь: помимо состояний рассеяния, вероятность перехода которых указана на этом графике, мы знаем, что для отрицательной энергии у нас также есть связанные состояния. В отличие от ступенчатого барьера, для ступенчатой ​​ямы также существуют связанные состояния. Итак, вот кривая передачи, но я просто хочу напомнить вам, что у нас есть энергии. При определенных значениях энергий также существуют связанные состояния.

И какие именно энергии зависят от структуры скважины и глубины, но если глубина скважины, скажем, равна V0, то есть это минус 1, мы знаем, что нижнее связанное состояние всегда больше энергии, чем дно скважины. колодец.Прохладный? Итак, запомните, что эпсилон — это E над V0, и в квадратной лунке глубиной V0 самое низкое связанное состояние не может иметь энергию ниже, чем дно лунки, поэтому его эпсилон должен иметь эпсилон больше, чем минус 1.

В любом случае, это просто, чтобы напомнить вам, что есть связанные состояния. Думайте об этом, как о пистолете, поставленном на стол в пьесе в первом акте. Это так драматично. Он появится снова. Он вернется и сыграет с нами хорошо.

Я хочу поговорить об этих резонансах.Давайте разберемся, зачем они там. Есть несколько способов понять, почему присутствуют эти резонансы, и позвольте мне дать вам пару. Сначала эвристическая картина, а затем я хочу дать вам очень точную вычислительную картину того, почему возникают эти резонансы. Итак, во-первых, представьте, что у нас есть состояние, в котором передача идеальна. Это говорит о том, что KL кратно пи.

Если это расстояние L до скважины, здесь волна имеет ровно один период, если ее KL равно кратному числу пи.Позвольте мне упростить себе жизнь и рассмотрим случай, когда KL равен 2 пи. Извините. 4 пи. Я поменял для вас обозначения. Я использовал в своей голове, скорее в своих заметках, ширину колодца 2L по причинам, которые вы увидите в заметках, если посмотрите на записи, но давайте проигнорируем это. Давайте сосредоточимся на этих парнях.

Итак, рассмотрим состояние, конфигурацию по энергии, так что в скважине у нас есть ровно один период волновой функции. Это означает, что значение волновой функции на обоих концах одинаково и наклон одинаков.Итак, какая бы энергия ни была здесь, если она плавно и непрерывно совпадает, а ее производная здесь непрерывна, она будет плавно и непрерывно совпадать и здесь с той же амплитудой и тем же периодом внутри и снаружи.

Амплитуда такая же, и фаза такая же. Это означает, что эта волна должна иметь одинаковую амплитуду и период. У него должен быть одинаковый период, потому что это та же энергия, но у него должна быть такая же амплитуда и такой же наклон в этой точке.А это значит, что эта волна имеет ту же амплитуду, что и эта волна. Квадрат нормы — это вероятность передачи, квадрат нормы, деленный на квадрат нормы этого. Это означает, что вероятность передачи должна быть 1.

Что бы произошло, если бы система вместо идеальной периодичности внутри колодца — на самом деле, позвольте мне оставить это. Давайте сделаем это так. Стрелять. Я даже неправильно понимаю свои качественные волновые функции. Попробуем еще раз. Начните сверху, спуститесь вниз, а затем глубже внутрь колодца, чтобы амплитуда здесь, разница в энергии между энергией и потенциалом была меньше, что означает, что период больше, а амплитуда больше.

Как я это нарисовал, он имеет особую ценность. В этой точке у него нулевая производная, так что она должна — вот и наша волновая функция. То же самое и здесь. Важно то, что амплитуда здесь должна быть такой же, как и здесь, потому что амплитуда, амплитуда и фаза были такими, как если бы не было промежуточной области. Все с этим согласны?

Напротив, если бы мы рассмотрели ситуацию, когда внутри скважины амплитуда не была одинаковой, поэтому, например, что-то вроде этого, мы получили бы некоторый наклон, который отличается, и значение, которое отличается, тогда это будет совпадать с чем-то с тем же периодом, но с другой амплитудой, чем здесь.Тот же период, потому что у него такая же энергия, но другая амплитуда, потому что она должна соответствовать значению и производной. Так что вы можете обдумать это и довольно быстро убедить себя в необходимости того, чтобы способность передачи была 1, если это точно периодично.

Опять же, если это ровно один период внутри, вы можете просто представить, что он исчез, и вы получите непрерывную волновую функцию, поэтому амплитуда и производная должны быть одинаковыми с обеих сторон, как если бы там не было барьера.Когда волновая функция не имеет ровно одного периода внутри скважины, вы не можете этого сделать, поэтому амплитуды не могут быть одинаковыми с обеих сторон. Но это не очень удовлетворительное объяснение. Это действительно объяснение решений дифференциального уравнения. Я просто рассказываю вам свойства дифференциальных уравнений второго порядка.

Давайте подумаем о более физическом, более квантовомеханическом объяснении. Почему мы получаем эти резонансы? Что ж, я хочу думать об этом так же, как мы думали о коробках в самой первой лекции.

Предположим, у нас есть квадратный колодец, и я знаю, что здесь есть некоторая амплитуда. У меня волновая функция. Здесь есть некоторая амплитуда. У него есть некоторый импульс, некоторый положительный импульс. И я хочу спросить, какова вероятность того, что я выйду за пределы потенциала, скажем, до этой точки, прямо здесь, по ту сторону потенциала? Какая вероятность, что я разбегусь?

Ну, вы говорите, мы сделали этот расчет. Мы знаем вероятность передачи через этот ступенчатый потенциал.Мы сделали это в прошлый раз. Итак, это шаг T. Мы знаем вероятность рассеяния по этой потенциальной ступеньке, и это передача вверх. Таким образом, вероятность того, что вы передаете отсюда сюда, — это вероятность того, что вы сначала передаете сюда, а затем вероятность того, что вы передаете сюда, произведение вероятностей. Звучит разумно?

Давайте проголосуем. Сколько людей думают, что это равно вероятности передачи через потенциальную яму? Есть голоса? Вы должны голосовать так или иначе.Нет это не так. Сколько человек голосуют? OK. Да, это так. OK. Нет, это не так уж удивительно, потому что, конечно, у них нет резонансной структуры, так откуда же это взялось, если это просто квадрат в квадрате? Так что, вероятно, этого не может быть, но вот большая проблема. Почему это неверный аргумент?

АУДИТОРИЯ: Потому что есть отражение.

ПРОФЕССОР: Да, именно так. Есть размышления, но это только один шаг к ответу или почему это неправильный ответ. Почему еще?

АУДИТОРИЯ: Ваши операторы передачи данных должны делать это далеко?

ПРОФЕССОР: Это правда, но мне нужна только вероятность, и если я попаду сюда с положительным импульсом, я в конечном итоге уйду в бесконечность, так что это такая же вероятность, потому что здесь просто буква E для ikx.Волновая функция равна E для ikx, поэтому вероятность будет такой же. Другие причины?

АУДИТОРИЯ: Ну, ширина колодца очень важна, но первый аргумент игнорирует это.

ПРОФЕССОР: Совершенно верно. Это тоже правда. Пока причин, по которым нам нужна ширина колодца, не видно. Это кажется неправильным. Во-вторых, возможно, вы могли подумать. На самом деле мы не реализовали это каким-либо изящным образом.

АУДИТОРИЯ: Есть и другие способы передачи путем двойного отражения.

ПРОФЕССОР: Совершенно верно. Есть и другие способы передачи, чтобы вы могли передавать, а затем отражать. Таким образом, мы могли передавать, затем отражать и снова отражать, а затем передавать. Мы могли передавать, отражать, отражать, передавать. Что еще? Добавляют ли вероятности квантовую механику? А когда у вас есть продукты событий, умножаются ли вероятности? Что добавляет квантовая механика?

АУДИТОРИЯ: [НЕДОСТАТОЧНО].

ПРОФЕССОР: Амплитуда. Волновая функция. Мы не берем произведение вероятностей.Что мы делаем, так это спрашиваем, какую амплитуду отсюда получить, и берем квадрат нормы амплитуды, чтобы получить вероятность. Итак, правильный вопрос: какова амплитуда отсюда сюда? Как изменяется волновая функция амплитуды при перемещении отсюда сюда?

А для этого вспомните эксперимент с двумя щелями или вернитесь к коробкам. Мы задали следующий вопрос. Амплитуда, которую вы должны передать через эту скважину, состоит из множества компонентов, представляет собой сумму множества терминов.Вы могли бы передать это хорошо. Здесь вы знаете, что ваша волновая функция — это e относительно простого числа i k L — или, кажется, я называю это k2 x.

И при перемещении через скважину ваша волновая функция изменяется на e до i k2 L, и затем вы снова можете передавать с некоторой амплитудой передачи. Таким образом, это будет время простоя передачи от e до i k2 L, умноженное на время передачи вверх. Как мы видели в прошлый раз, это то же самое, но я просто хочу разделить их, чтобы вы знали, о чем идет речь.

Это пожертвование.Это то, что может способствовать увеличению амплитуды. Это единственное, что может повлиять на амплитуду? Нет. Что еще может внести свой вклад? Отскок, верно?

Итак, чтобы добраться отсюда сюда, я мог бы передавать, развиваться, передавать. Я также мог передавать, развиваться, отражать, развиваться, отражать, развиваться, передавать. Так что есть еще термин t, e для ikL, r, e для минус ikL, r, e для iKL. Извините, e в плюс ikL, потому что мы увеличиваем эволюцию фазы. А затем передать, наконец, в конце.И все эти k равны k2, но я мог бы сделать это много раз.

Но заметьте, что каждый раз, что я собираюсь делать, я собираюсь передавать, отражать, отражать, передавать или передавать, отражать, отражать, отражать, отражать, передавать. Так что я всегда буду делать это несколько раз. Я делаю это один раз, я делаю это дважды, я делаю это трижды. Это дает мне геометрический ряд. Это t e к i k2 L t, умноженному на 1, плюс это количество плюс это количество в квадрате. Это геометрический ряд: 1 на 1 плюс это количество в квадрате.Извините, 1 минус, потому что это геометрическая сумма.

А что это за количество? Что ж, это r в квадрате, и помните, что r в обоих направлениях одинаковы, поэтому я просто собираюсь записать его как r в квадрате e для 2i. r в квадрате. Это реальное число, но я все равно буду указывать абсолютное значение. Это упростит мою жизнь. e на 2i k2 L. Итак, это наш прогноз по множественным отскокам.

Мы серьезно относимся к принципу суперпозиции, который гласит, что для любого процесса, в любом случае, когда этот процесс может произойти, вы суммируете амплитуды, а вероятность — это квадрат нормы.Если у нас есть источник, и у нас есть две щели, и я спрашиваю вас, какова вероятность того, что вы приземлитесь здесь, вероятность не является суммой вероятностей для каждого отдельного транзита. Вероятность — это квадрат амплитуды, где амплитуда — это сумма, верхняя амплитуда плюс нижняя амплитуда. Здесь много-много щелей. Это могло произойти разными способами. Вы можете размышлять несколько раз. Всем это нравится?

Точно так же мы могли бы сделать то же самое для отражения, но давайте пока остановимся на передаче.Это то, что мы получаем для передачи, и опять же, амплитуды передачи на ступеньке, как мы видели в прошлый раз, одинаковы. Так что это, на самом деле, t в квадрате. И это дает нам результат для передачи вниз по потенциальной яме, и если мы используем амплитуды отражения и передачи для наших ступенчатых колодцев, ответ, который это дает, будет равен 1 по e на i k2 L минус 2i при передаче для шаг, умноженный на синус k2 L.

Итак, это не то же самое, что вероятность, которую мы здесь вывели, но это потому, что это не вероятность.Это была амплитуда. Мы только что вычислили полную амплитуду. Чтобы получить вероятность, мы должны взять квадрат нормы амплитуды. И когда мы возьмем квадрат нормы, то мы получим 1 к 1 плюс 1 по 4 эпсилон, эпсилон плюс 1, синус в квадрате от корня g0 эпсилон плюс 1. Мы получаем тот же ответ.

АУДИТОРИЯ: Это равенство?

ПРОФЕССОР: Это равенство. Ой, извини. Спасибо, Бартон. Мы добираемся до вероятности передачи, когда возьмем квадрат нормы амплитуды.Спасибо. То же самое, что и раньше. Спасибо. Да пожалуйста?

АУДИТОРИЯ: Скажите, почему kL равно пи не работает.

ПРОФЕССОР: kL равно пи не работает. Оно делает. Вы просто должны быть осторожны с тем, что kL—

АУДИТОРИЯ: На первом розыгрыше вы изменили свой kL [НЕРАЗБОРЧИВО].

ПРОФЕССОР: Потому что я идиот. Потому что я ошибся с множителем 2. Спасибо. Спасибо, Мэтт. Спасибо. Анализ ответов. Замечательная вещь.

Это действительно хорошо для нас.Почему мы получаем резонанс при особых значениях энергии? Что творится? Что ж, в этом квантово-механическом процессе множественных взаимодействий, множественных рассеяний есть много членов в амплитуде для передачи.

Есть термины, которые не включают отражения, есть термины, которые включают два отражения, есть термины, которые включают четыре отражения, и все они имеют фактическую величину и фазу. И когда фазы совпадают, они конструктивно складываются, а когда фазы не совпадают, они мешают.А когда фазы точно сбиты, они деструктивно мешают, и вот почему вы получаете резонанс. Несколько членов в вашей суперпозиции мешают друг другу, чего не бывает классически. Классически вероятности — это продукты. Квантово-механически, у нас есть суперпозиция, и вероятности — это квадраты амплитуды, и мы получаем интерференционные эффекты в вероятностях. Прохладный?

Для меня это прекрасная, великолепная версия эксперимента с двумя щелями, и мы собираемся снова столкнуться с ней позже, когда будем говорить о физике твердых тел в реальном мире.Есть вопросы? Ага?

АУДИТОРИЯ: Вопрос по тому, что вы сказали ранее. Чему k2 L равно [НЕРАЗБОРЧИВО]?

ПРОФЕССОР: А что в этом особенного? Что в этом особенного, так это то, что в этот момент, когда kL равно n пи, мы получаем идеальную передачу. Когда kL равно n плюс 1/2 пи, отражение настолько хорошее, насколько возможно. На самом деле он говорит, когда он является крупнейшим в местном масштабе? Это особые моменты, когда передача минимальна, что означает, что отражение, равное 1 минус вероятность передачи, максимально велико.И вы можете получить это снова из этих выражений. Другие вопросы?

Итак, я хочу еще немного подумать об этих квадратных барьерах. И, в частности, говоря о барьере с квадратной ямой, мы все время говорили о монохроматических волновых пакетах. Мы говорили о простых волнах, просто e для ikx, но вы не можете поместить отдельную частицу в состояние, которое является простой волной. Это невозможно нормализовать. В действительности, когда мы говорим об отдельных частицах, мы имеем в виду, что помещаем их в некоторый хорошо локализованный волновой пакет, который в момент времени 0, скажем, находится в позиции x0, которая в данном случае отрицательна, и которая имеет некоторый хорошо определенный средний импульс k0.Я скажу, что это математическое ожидание импульса в этом волновом пакете.

И вопрос, который мы действительно хотим задать, когда мы говорим о рассеянии, заключается в том, что происходит с этим зверем, когда оно ударяется о барьер, который я собираюсь поставить левую часть на 0, а правую часть на L и позвольте глубина снова будет минус v0. Что происходит, когда этот падающий волновой пакет ударяется о барьер, а затем рассеивается? Что ж, мы знаем, что произошло бы, если бы это была простая волна, но обычная волна не была бы локализована. Это вопрос, который я хочу задать, и я хочу использовать результаты, которые у нас уже есть.

А вот и главное. Рассмотрим для начала волновой пакет для свободной частицы с центром в точке x0 и импульсом k0, просто ищите свободную частицу. Мы умеем это писать. Мы можем представить систему, например, мы можем принять нашу волновую функцию в момент времени 0 как гауссову, некоторые времена нормализации e до минус x минус x0 в квадрате над 2a в квадрате. И мы хотим придать ему импульс k0, и вы знаете, как это сделать после последнего набора задач, e для i k0 x. Всем это нравится?

Итак, есть наша начальная волновая функция, и мы хотим знать, как она развивается со временем, и мы знаем, как это сделать.Чтобы развить его во времени, мы сначала расширяем его до собственных энергетических состояний. Итак, psi для x0 равно … ну, собственные состояния энергии в этом случае являются простыми волнами, dk e до ikx по корню 2 pi, умноженному на некоторые коэффициенты f of k, коэффициенты разложения. Но это всего лишь преобразование Фурье нашего исходного гауссовского волнового пакета, и мы знаем, какому равен f для k.

Ну, это гауссиан шириной 1 по альфа е до минус k минус k0, потому что он имеет импульс k0, поэтому он сосредоточен вокруг k0, возведен в квадрат более 2 раз в квадрате, и a идет наверх.И положение исходного волнового пакета закодировано в преобразовании Фурье, и я собираюсь ввести здесь нормализацию, о которой я не буду беспокоиться, с общей фазой e равной минус ik x0.

Таким же образом скажем, что добавление фазы e к i k0 x в волновой функции пространственного положения говорит вам, каково математическое ожидание импульса с привязкой к фазе — и мы можем получить это, просто Преобразование Фурье — привязка фазы e к ik x0 в преобразовании Фурье сообщает вам центральную точку, центральное положение волнового пакета.Итак, это вы сделали с набором задач, и это тривиальная версия того же самого в импульсном пространстве. Итак, вот наш волновой пакет, расширенный в простые волны, которые являются собственными состояниями энергии. И утверждение, что это собственные состояния энергии, эквивалентно утверждению, что при эволюции во времени они не делают ничего, кроме как вращаются по фазе.

Итак, если мы хотим знать, какова волновая функция как функция времени, psi от x и t равно интегралу dk моды Фурье f от k. Я выпишу.Собственно, я напишу это прямо. f от k 1 над корнем 2 pi e до ikx минус омега t, где омега, конечно, является функцией t. Это свободная частица, поэтому для нашей свободной частицы h bar в квадрате k в квадрате на 2m равняется h bar omega. Мы делали это раньше.

Но теперь я хочу взять точно такую ​​же систему и добавить в нулевой позиции колодец глубиной v0 и шириной L. Как изменится наша история? Что ж, мы хотим, чтобы наш начальный волновой пакет, который мы могли выбрать, мы хотим, чтобы наш начальный волновой пакет был таким же.Мы хотим начать с гауссианы вдали от барьера. Мы хотим, чтобы он был хорошо локализован по положению и хорошо локализован в импульсном пространстве, но, конечно, не идеально локализован. Это конечный гауссиан, удовлетворяющий принципу неопределенности, но он хорошо локализован.

Так как же эта история изменится? Что ж, это вообще не меняется. Это та же волновая функция. Однако, когда мы расширяемся по собственным энергетическим состояниям, собственные энергетические состояния больше не являются простыми простыми волнами. Собственные состояния энергии, как мы знаем о системе, принимают другую форму.Для квадратной ямы и состояний рассеяния с положительной энергией, простой волны или собственных состояний энергии, которые я обозначу k, просто потому, что я собираюсь называть e, равно h bar в квадрате k в квадрате на 2m — энергия равна константа, которая является k, асимптотически далеко от потенциала.

Волновая функция, которую я могу записать как 1 над корнем 2 pi, умноженным на e, в ikx, когда мы находимся слева, но нахождение слева эквивалентно умножению на тета-функцию минус x.Это функция, которая равна 0, когда ее аргумент отрицательный, и 1, когда ее аргумент положительный. Кроме того, у нас есть отраженный член с амплитудой r, которая снова является функцией k. Это амплитуда отражения, также известная как c на a. e на минус ikx — опять же, с левой стороны — тета минус x плюс амплитуда перехода, квадрат нормы которой равен вероятности передачи e в ikx, когда мы находимся справа, тета x.

Так что это просто немного другая запись, чем то, что мы обычно пишем с разделением слева и справа.Итак, что мы хотим сделать сейчас, мы хотим разложить нашу волновую функцию с точки зрения фактических собственных состояний энергии. То, как мы собираемся это сделать, и сделав это, расширив нашу волновую функцию в этом базисе, мы можем определить временную эволюцию следующим образом.

Сначала мы расширяем волновую функцию в момент времени 0 как интеграл dk, и я собираюсь извлечь корень 2 pi. И у нас есть некоторое преобразование Фурье, которое я сейчас назову f тильдой, потому что оно немного отличается от f, которое мы использовали раньше, но это то, что должны быть коэффициенты расширения, f тильда, умноженная на k, это зверь, phi из k.Позвольте мне взять этот продукт и описать его в трех терминах. Таким образом, эти три члена будут f от k, снова тильда, e к ikx, theta минус x, плюс f, тильда r e к минус ikx, theta от минус x плюс f, тильда t e к ikx, тета x. Давайте посмотрим на эти термины.

Наконец, мы хотим взглянуть на временную эволюцию, но мы начали как суперпозицию состояний с определенной энергией, обозначенную k, поэтому мы знаем, что временная эволюция равна e к ikx минус omega t, e к i минус ikx плюс омега т, значит минус омега т и кх минус омега т.Таким образом, мы можем сразу же, исходя из эволюции волновой функции, идентифицировать эти два члена как члены с центральным пиком, движущимся вправо, и этим, центральным пиком, движущимся влево, kx плюс омега t. Всем это нравится? Вопросов?

АУДИТОРИЯ: Не могли бы вы еще раз по-быстрому объяснить, как это [НЕРАЗБОРЧИВО]?

ПРОФЕССОР: Как это … извините, повторим еще раз.

АУДИТОРИЯ: Как верхнее уравнение [НЕРАЗБОРЧИВО].

ПРОФЕССОР: Как верхнее уравнение привело к этому или откуда оно взялось?

АУДИТОРИЯ: [НЕДОСТАТОЧНО].

ПРОФЕССОР: Хорошо. Это всего лишь условные обозначения. Обычно, когда я говорю, что phi sub k равно, слева, e для ikx с некоторой общей амплитудой. Скажем, 1 на 2 pi e к ikx плюс c над ae к минусу ikx слева, и поскольку это отраженная волна, я просто назову это R. ikx. Справа движется только волна, а коэффициент — это амплитуда передачи.

Это то, что мы обычно пишем, но тогда я использую так называемую тета-функцию.Тэта x определяется как 0, когда x меньше 0, и 1, когда x больше 0. Это функция 1. Использование тета-функции позволяет мне записывать эту вещь как единственную функцию без необходимости возиться с множеством терминов. . Это круто? Большой.

АУДИТОРИЯ: Мы думаем только об одном шаге здесь или о целом колодце, потому что всегда у нас должно быть что-то [НЕВНЯТНО].

ПРОФЕССОР: Потрясающе. Отлично, отлично. Большое спасибо. Я хочу думать о волновой функции.Это хорошее описание, когда частица находится далеко-далеко, и это хорошее описание, когда частица не находится в потенциале. Извините. Спасибо. Я полностью замалчил этот шаг. Я хочу представить это как потенциал, в котором все сопоставления реализованы при x, равном 0, поэтому, когда я пишу это таким образом.

Другой эквивалентный способ подумать об этом — это хорошее описание волновой функции, когда мы не в колодце. Итак, для целей остального анализа, который я собираюсь провести, это именно то, какова форма волновой функции, когда мы не внутри колодца, и тогда давайте просто не будем использовать это, чтобы задавать вопросы внутри. колодец.Когда я пишу это в этой тета-форме, или, если уж на то пошло, когда я пишу в этой форме, это не форма. То, что я имею в виду, находится слева от колодца и справа от колодца, а внутри — то есть от ikx — внутри он делает что-то еще, но мы не хотим задавать вопросы по этому поводу. Это просто упростит мне жизнь. Ага?

АУДИТОРИЯ: Строчная буква t — это просто квадратный корень из заглавной T?

ПРОФЕССОР: Это квадратный корень из заглавной буквы T, но вы должны быть осторожны, потому что может быть фаза.Помните, это амплитуда, и на самом деле это отражение B над A, а эти ребята — комплексные числа. Верно, что квадрат нормы B над A — это вероятность передачи, но B над A имеет фазу, и эту величину я назову t, и мы интерпретируем ее более подробно через несколько минут.

Значит, это такой формы. Я просто хочу взглянуть на каждый из этих трех терминов. В частности, я хочу сосредоточиться на них в момент времени 0. Итак, когда t равно 0, как это выглядит? Итак, этот первый член представляет собой интеграл dk от f от k e до ikx минус омега t, тета от минус x.Обратите внимание, что тета минус x не зависит от k. Он не зависит от интеграла, поэтому это просто функция, умноженная на тэту минус x.

И эта функция была построена, чтобы дать нам исходный гауссиан. И это было при t, равном 0. Итак, это просто наша гауссиана в позиции x0 с центром вокруг значения k0 в момент времени, равного 0, тета минус x. Извините, в позиции x0. Вся эта функция, это преобразование Фурье нашего Гаусса, и мы отменяем преобразование Фурье. Это просто возвращает нам нашу гауссову форму.И пока частица находится далеко от колодца — вот и колодец, и наш волновой пакет — эта тета-функция не имеет никакого значения, потому что гауссиан в любом случае делает ее 0 от центра гауссиана.

Итак, в качестве быстрого вопроса, если мы посмотрим на это как на функцию t, мы вернем минус омега t, поэтому, если мы вернем временную зависимость, это волна, которая движется вправо, а если быть более точным, что значит сказать, что это волна, движущаяся вправо? Что ж, это огибающая этого набора простых волн, и огибающая по конструкции была хорошо локализована вокруг позиции x, но она также была хорошо локализована по импульсу, и, в частности, преобразование Фурье хорошо локализовано вокруг импульса k0.

Итак, используя метод стационарной фазы или просто спрашивая, где фазовая постоянная стационарна, мы получаем, что центральный пик волновой функции удовлетворяет уравнению d d k0. Если вы не знакомы с стационарной фазой, сообщите об этом инструкторам по декламации, и они обсудят это за вас. Точки стационарной фазы этой суперпозиции этого волнового пакета лежат в позиции d dk величины kx минус омега kt, вычисленной на пике k0 распределения.

Но d dk kx минус омега t ​​для первого члена x, а для второго члена d dk омега.Что ж, мы знаем эту омегу, мы находимся в режиме свободных частиц. Омега, мы все знаем, что это такое. Это h bar k в квадрате на 2m. Возьмем производную по k. Мы получаем h bar k больше m. Двойки отменяются, поэтому x минус h bar k больше m t.

И место, где эта фаза равна 0, где фаза неподвижна, перемещается во времени, поскольку x равно h bar k по m t. Но h bar k больше m, это импульс. p над m, это классическая скорость. Итак, это v0 t, скорость, связанная с этим импульсом.Так что это хорошо. Мы сделали правильную работу по настройке нашего волнового пакета. Мы построили гауссиан, который был далеко, который двигался с фиксированной скоростью по направлению к барьеру, и теперь мы хотим знать, что происходит после того, как он столкнется с барьером. Прохладный?

Итак, мы действительно хотим спросить, как выглядит волновая функция в последнее время? Опять же, мы сосредотачиваемся на первом семестре. Положение этого волнового пакета в поздние моменты времени, положительное t, положительно, а когда оно положительное, эта тета-функция убивает свой вклад в общую волновую функцию.Эта тэта теперь является тэтой минус положительного числа, и этого гауссова нет.

Чем его заменить? Что ж, эти два члена не обязательно равны нулю. В частности, этот сдвигается влево. По мере того, как время идет вперед, x перемещается все дальше и дальше влево, и поэтому эта тета-функция начинает включаться. И аналогично, когда x становится положительным, эта тета-функция также начинает включаться. Давайте сосредоточимся на этом третьем термине, переданном термине.

Давайте сосредоточимся на этом третьем члене.В частности, этот член выглядит как интеграл dk по корню 2 pi, умноженный на амплитуду передачи, умноженную на e, на ikx минус omega t. И есть общий тэта x снаружи, но для поздних времен, когда центр волнового пакета, где переданный волновой пакет должен быть положительным, эта тета просто будет равна 1, поэтому мы можем спокойно игнорировать его. Это просто говорит о том, что мы далеко вправо.

А теперь я хочу сделать еще одно. Это был общий конверт. Это была наша амплитуда рассеяния, и я хочу записать ее в следующей форме.Я хочу записать его как root T e в минус i phi, где phi равно k. Итак, это означает, что действительно, как указывалось ранее, квадрат нормы этого коэффициента T является вероятностью передачи, но у него есть фаза. И я хочу знать, что означает эта фаза? Какая информация содержится на этом этапе? И вот что мы собираемся найти.

Итак, давайте вставим это. Здесь у нас есть корень T и минус фи, где омега и фи являются функциями k, потому что амплитуды передачи зависят от импульса или энергии.И теперь я снова хочу знать, как движется этот волновой пакет? Если я посмотрю на этот волновой пакет, как он движется в массовом порядке? Как группа волн движется? В частности, с какой скоростью?

Я снова приведу аргумент по стационарной фазе. Я смотрю на точку фазы, равную 0, и спрашиваю, как она движется с течением времени. И точка стационарной фазы снова определяется как d dk фазы kx минус омега kt минус phi k равно 0, вычисленное в k0, где наша огибающая резко достигает пика.Это выражение равно — это, опять же, x минус d omega dk. Это классическая скорость, v0 t — минус d phi dk.

Но, как примечание, d phi dk равно d omega dk, d phi d omega, но это равно — это просто цепное правило. d omega dk, это классическая скорость. d phi d omega, это d phi dE, умноженное на h bar. Я просто умножил на полоску h сверху и снизу. Таким образом, это равно x минус v0 t плюс h bar d phi dE.

Итак, прежде всего, давайте просто убедимся, что единицы имеют смысл.Это длина, это скорость, поэтому лучше иметь единицы времени. Время, хорошо. Таким образом, h бар умножается на фазу d над dE. Ну, фаза безразмерна, энергия — это единицы энергии, h — энергия, умноженная на время, так что это размерно работает. Итак, это 0. Итак, заявлено, что точка стационарной фазы имеет эту производную, равную 0, поэтому установка этого значения на 0 говорит нам, что пик волновой функции перемещается в соответствии с этим уравнением.

Так что это действительно приятно. Это должно быть действительно приятно по нескольким причинам.Во-первых, он сообщает вам, что пик переданного волнового пакета, а не просто волна, пик фактического волнового пакета, хорошо локализованный, движется с общей скоростью v0, постоянной скоростью, с которой мы начали, и это хорошо. Если бы он двигался с другой скоростью, мы бы как-то потеряли энергию. Это было бы не так разумно.

Итак, этот волновой пакет движется с общей скоростью v0. Однако он не движется так же, как пик исходного волнового пакета. Он движется, как будто сдвинутый во времени.Таким образом, фаза и, что более важно, градиент фазы по отношению к энергии, скорость изменения с энергией времени фазы h bar дает нам сдвиг во времени, в котором находится волновой пакет. Что это обозначает? Давайте уточним это.

Давайте интерпретируем это. Вот интерпретация, которую я хочу вам дать. Рассмотрим систему классически. Классически у нас есть объект с некоторой энергией, который катится и находит потенциальную яму, а что происходит, когда он попадает в потенциальную яму? Это ускоряется.потому что у него намного больше энергии по сравнению с потенциалом. Так что здесь он идет намного быстрее, затем переходит на другую сторону и снова замедляется.

Итак, если бы я взял частицу со скоростью — назовем эту позицию 0 и скажем, что она достигнет этой стены в момент времени 0, поэтому она движется с x, равным v0 t, если бы там не было барьера, тогда в последующие разы он вылезет сюда за время, превышающее v0, верно? Однако представьте, что этот колодец был необычайно глубоким. Если бы этот колодец был необычайно глубоким, что бы произошло? В общем, здесь его скорость сколь угодно велика, и он сразу же перепрыгнет через этот колодец.

Это было бы прекрасным описанием движения до того, как оно достигнет скважины, но после того, как оно покинет скважину, положение будет v0 t плюс — ну, а какой временной сдвиг? Временной сдвиг — это время, когда нам не нужно было преодолевать этот разрыв. И сколько бы это было времени? Ну, это расстояние, разделенное на скорость. Это время нам было не нужно. Итак, t плюс — он перемещается, как если бы он был в более позднее время — t плюс L над v0. Прохладный?

Итак, если бы у нас был действительно глубокий колодец и мы наблюдали бы за частицей, мы бы наблюдали, как она движется x0, x v0 t, v0 t, v0 t, v0 t плюс L по v, v0 t плюс L по v.Так что пришло время наверстать упущенное, побывав глубоко в колодце. Вот и классическая картина, потому что внутри она движется быстрее. Итак, сравнивая их, здесь мы провели расчет временного сдвига из-за квантовой механики квантовой частицы, проходящей через потенциальную яму.

Итак, давайте сравним их. Это говорит о том, что классическое предсказание — это время, которое потребовалось, delta t, classic равно L над v0, и вопрос в том, это то же самое? Можно сформулировать этот вопрос так: это то же самое, что и h bar d phi dE, оцениваемое при k0?

Из наших прошлых результатов для амплитуды c над a мы получаем, что phi равно — что просто минус аргумент или фаза c над a или амплитуда передачи little t — phi оказывается равным k2 L минус арктангенс k1 в квадрате плюс k2 в квадрате над 2 k1 k2, tan k2 L.Я смотрю на это, и это мне мало что говорит. Это немного сбивает с толку, так что давайте распаковываем это. Мы действительно хотим знать, насколько это близко к классическому результату?

Вот быстрый способ проверить. Мы знаем, что это выражение упростит около резонанса, где синус исчезает, поэтому давайте посмотрим, для простоты, около резонанса. А в частности, давайте посмотрим, что резонанс k2 L равен n pi. Тогда оказывается, что быстрый расчет дает вам, что h bar d phi dE при этом значении k, при этом значении энергии, идет как L через 2 v0, умноженное на 1, плюс энергия на глубине скважины, v0.

Теперь вспомните, что классическим приближением было L над v0. Просто мы сделали это очень быстро. Мы сделали это в предположении сколь угодно глубокого колодца. Таким образом, v0 произвольно больше по величине, чем E, поэтому этим членом можно пренебречь. Здесь мы должны сравнить этот очень простой, наивный классический результат: L over 2 v0. И мы видим, что квантово-механический результат дает сдвиг во времени, который уменьшается в 2 раза.

Итак, что происходит? Ну, видимо, внутри тормозит. Время, которое нам потребовалось для перехода, оказалось больше, чем можно было бы наивно предположить, сделав его сколь угодно глубоким.И мы можем сделать это немного более резким, построив график как функцию E по v0, фактический фазовый сдвиг.

Если сделать лучше, чем сказать, что он бесконечно глубокий, классический прогноз выглядит примерно так, и это для дельты t, сдвига во времени, классического. Когда вы смотрите на правильный квантово-механический результат, вы обнаруживаете вот что: разница составляет 2 раза: 1/2 высоты вниз и снова 1/2 высоты вниз. Итак, это коэффициент 2 внизу.

Итак, волновой пакет на самом деле движется немного быстрее, чем можно было бы предположить по классическому предсказанию, за исключением почти резонанса, и они находятся при резонансных значениях импульса.При резонансных значениях импульса переход занимает гораздо больше времени. Вместо того, чтобы идти немного быстрее, чем классический результат, он идет вдвое медленнее, чем классический результат.

Итак, теперь я задаю вам вопрос, почему он идет медленнее? Почему с точки зрения квантовой механики он проводит внутри колодца гораздо больше времени, чем классически? Почему частице требуется гораздо больше времени, чтобы пройти через яму вблизи резонанса?

АУДИТОРИЯ: Потому что она может отражаться и может продолжать движение, а классическая частица этого не сделает.

ПРОФЕССОР: Да, именно так. Итак, классическая частица просто проходит. Квантово-механическая частица имеет суперпозицию вкладов в ее амплитуду там, где она проходит — транзит, отскок, отскок, переход, транзит, отскок, отскок, отскок, отскок, прохождение. А теперь вы можете спросить, сколько времени потратила каждая из этих воображаемых частиц, мысленно перемещающихся по ней? И если вы будете осторожны с тем, как задать этот вопрос, вы можете восстановить коэффициент 2, что довольно красиво.

Но здесь важно то, что когда вы попадаете в резонанс, важны процессы множественного рассеяния. Они не отменяют. Они не случайны. Они не мешают друг другу деструктивно. Они конструктивно мешают, и вы получаете идеальную передачу именно из-за конструктивной интерференции бесконечного числа вкладов в квантово-механическую амплитуду. И снова мы видим то же самое в этом раздражающем замедлении.

Тем не менее, это говорит нам о другом, а именно о том, что фаза рассеяния, фаза в амплитуде передачи, содержит очень много физики системы. Это говорит нам о том, сколько времени требуется волновому пакету, чтобы эффективно пройти через потенциал. Ага?

АУДИТОРИЯ: Для чего используется вертикальная ось?

ПРОФЕССОР: Извините. Вертикальная ось здесь — это сдвиг во времени из-за того, что он прошел через этот колодец, а внутри прошел немного быстрее.Итак, эмпирически это означает, что когда вы выходите очень далеко, наблюдаете за движением волнового пакета и спрашиваете, сколько времени прошло с тех пор, как он достиг барьера, это заняло меньше времени, чем вы. мог бы догадаться, зная, что его скорость равна v0, а количество времени меньше — это столько же времени. Вот ответ на ваш вопрос? Хороший. Ага?

АУДИТОРИЯ: Почему каждая из амплитуд равна 1/2? Почему первый, а он дважды подпрыгивает.

ПРОФЕССОР: Когда мы сравниваем классическую амплитуду и предел, при котором v0 стремится к бесконечности? Сравнение всего лишь в 2 раза.Здесь все сложнее. В пределе большого v0 это ровно 1/2.

АУДИТОРИЯ: [НЕДОСТАТОЧНО].

ПРОФЕССОР: Резонансы приводят к этому дополнительному коэффициенту 1/2. Я должен сказать, что я точно не помню, если вы включаете подначальные члены 1 по v0, остается ли оно 1/2 или нет, но в пределе большого v0 он остается либо близко к 1/2 или точно 1/2, просто не помню точно. Важно то, что есть резкий провал.Транзит занимает гораздо больше времени, а значит, вы получаете как бы меньше бонусного времени. Квантово-механическая модель выиграла меньше времени, чем классическая. И когда вы проводите эксперимент, вы получаете квантовый результат. Это ключевой момент. Другие вопросы?

Итак, в фазе очень много физики. Итак, я хочу обобщить всю эту историю очень конкретным образом, этим способом реорганизации рассеяния в 1D. Сейчас мы изучаем проблемы рассеяния в одном измерении, но мы живем в трех измерениях.История будет более сложной в трех измерениях. В двух измерениях все будет сложнее, но основные идеи все те же. Просто детали будут другими.

И одна вещь, которая оказывается очень полезной при организации рассеяния, как в одном измерении, так и в трех измерениях, — это матрица рассеяния. Я собираюсь поговорить об этом сейчас. В трех измерениях это важно, но даже в одном измерении, где оно обычно не используется, это очень мощный способ систематизировать наши знания о системе, закодированные с помощью данных рассеяния.

Итак, вот основная идея. Как мы обсуждали ранее, в идеальном мире мы действительно хотим использовать некоторый неизвестный потенциал в некоторой ограниченной области, некоторой области, а за ее пределами, у нас есть постоянный потенциал. [НЕРАЗБОРЧИВО] мои плохие художественные способности. Так что потенциал здесь постоянен. И потенциал здесь может быть какой-то ужасной вещью, о которой мы случайно не знаем, и мы хотим узнать о процессе рассеяния, мы хотим иметь возможность сделать какие-то выводы о потенциале.

Так, например, мы можем вычислить энергию, глядя на положение барьеров, и мы можем разделить положение энергии, глубину и ширину, глядя на фазовый сдвиг, глядя на временную задержку.Таким образом, мы можем вывести все параметры нашего потенциала, глядя на точки резонанса и фазовый сдвиг. Я хочу сделать это в более общем плане для общего потенциала. И чтобы установить это, нам нужно быть немного более общими, чем раньше.

Итак, в общем, если мы решим этот потенциал, как мы говорили ранее, у нас есть A и B, e к ikx, e к минус ikx здесь, а здесь C e к ikx и D е в минус ikx. И я не буду спрашивать, что происходит внутри. Теперь мы можем провести, как уже говорилось, два вида экспериментов по рассеянию.Мы можем посылать вещи слева, и в этом случае A не равно нулю, и тогда вещи могут либо передавать, либо отражать, но из бесконечности ничего не будет приходить, поэтому D равно 0. Или мы можем сделать то же самое в обратном порядке. Отправляйте вещи отсюда, и это соответствует A = 0, ничего не приходит таким образом, кроме d0 и 0.

И в более общем плане мы можем задать следующий вопрос. Предположим, я отправляю какое-то количество материала слева, а какое-то количество справа, D. Тогда это скажет мне, сколько материала будет уходить вправо и сколько материала будет уходить в сторону. левый.Если вы скажете мне, сколько поступает, я скажу вам, сколько выходит, B, C.

Итак, если вы могли бы решить эту проблему, ответ — это просто паралинейные отношения между ними, и мы можем записать это как матрица, в которой я буду S11, S12, S21, S22. Эта матрица принимает амплитуду, которую вы посылаете слева направо, и сообщает вам амплитуду, исходящую слева или справа. Да?

АУДИТОРИЯ: Как мы узнаем, что эта зависимость линейна?

ПРОФЕССОР: Если вы удвоите количество входящего материала, вы должны удвоить количество выходящего материала, иначе вероятность не сохраняется.Также мы вывели эти отношения. Вы знаете, как устроены отношения. Отношения работают, удовлетворяя ряду линейных уравнений между различными коэффициентами, так что у вас есть непрерывность и дифференцируемость во всех точках совпадения. Но самое важное в линейности — это сохранение вероятности и линейная эволюция во времени. Другие вопросы?

Итак, это просто какая-то дурацкая матрица, и мы называем ее, что неудивительно, S-матрицей во всем ее величии. Основная идея такова. Что касается задач рассеяния, если кто-то скажет вам матрицу S, и, в частности, если кто-то скажет вам, как все коэффициенты матрицы S изменяются с энергией, то вы полностью решили любую проблему рассеяния.Вы мне скажите, что такое A и D. Большой. Я вам точно скажу, что такое B и C, режим за режимом, и я могу сделать это для наложения. Таким образом, это позволяет вам полностью решить любую проблему рассеяния в квантовой механике, если вы ее знаете. Итак, достаточно знать S, чтобы решить все задачи рассеяния.

Теперь я хочу уделить немного времени размышлениям о том, каким свойствам должна удовлетворять матрица S и ее компоненты. Каким свойствам должна удовлетворять S-матрица, чтобы хорошо согласовываться с остальными правилами квантовой механики? Я не собираюсь изучать какую-либо конкретную систему.Я просто хочу задать общие вопросы.

Итак, первое, что должно быть правдой, — это то, что вещи не исчезают. Disapparate, вероятно, подходит. Вещи не утекают из мира, поэтому все, что входит, должно выходить наружу. Это означает, что норма A в квадрате плюс норма D в квадрате, которая представляет собой входящую и исходящую плотность вероятности, должна быть равна B в квадрате плюс C в квадрате. Все с этим согласны?

АУДИТОРИЯ: Почему вещи не могут оставаться в потенциале?

ПРОФЕССОР: Почему вещи не могут оставаться в потенциале? Это хорошо.Итак, если мы смотрим на фиксированные собственные состояния энергии, мы знаем, что находимся в стационарном состоянии, поэтому какой бы ни была амплитуда, идущая в середину, она также должна выходить из середины. Есть другой способ сказать это: давайте подумаем об этом не в терминах индивидуальных энергетических состояний. Давайте подумаем об этом с точки зрения волновых пакетов. Итак, если мы возьмем волновой пакет с веществом и отправим этот волновой пакет, у него будет некоторый импульс, верно?

Это будет деликатно и технически. Позвольте мне просто придерживаться первого утверждения, которое заключается в том, что если что-то входит, то оно также должно выходить из-за того, что это собственное состояние энергии.Общее распределение вероятностей не меняется во времени. Если что-то вошло, а не вышло, это значило бы, что оно останется там. Это означало бы, что плотность вероятности меняется во времени. Это не то, что происходит в собственном энергетическом состоянии. Распределение вероятностей не зависит от времени. Всем это нравится?

Итак, давайте подумаем, что это такое. Я могу написать это следующим образом. Я могу записать это как комплексно сопряженное D комплексное сопряжение, AD. А с правой стороны это равно комплексно сопряженным B, комплексно сопряженным C, BC.Я ничего не сделал, кроме как записать это в некоторой предложенной форме.

Но B и C равны S-матрице, поэтому BC — это S-матрица, умноженная на A, и B комплексно сопряженная, C комплексно сопряженная, C является транспонированной комплексно сопряженной. Таким образом, это равно A комплексно сопряженным, D комплексно сопряженным, S транспонировать комплексно сопряженным, также известным как сопряженный, и это S на AD. Ага?

Но это должно быть равно этому для любых A и D. Итак, что должно быть верно для S кинжала S как матрицы? Это должно быть тождество как матрица, чтобы это было верно для всех A и D.Ах. Это круто. Вещи не исчезают. S — унитарная матрица. Итак, S — унитарная матрица. Его обратное — его сопряженное. Вы изучите это более подробно по набору задач. Вы изучили определение унитарного по последнему набору задач.

Итак, это первое, что касается S, и оно оказывается полностью общим. В любое время, будь вы в одном измерении, в двух или в трех измерениях, если вы отправляете материал, он не должен застревать. Должно получиться. И когда это действительно выходит, утверждение, что это происходит для собственных состояний энергии, является утверждением, что S является унитарной матрицей.Вопросы по этому поводу.

Итак, следствием этого является то, что собственные значения S являются фазами, чистыми фазами. Итак, я могу написать S — я напишу их так, как S1 равно e i для phi 1, а S2 равно i для phi 2. Таким образом, утверждение, что S является унитарной матрицей, приводит к ограничениям на коэффициенты , и вы собираетесь получить их на своем наборе задач. Я просто сейчас их перечислю.

Во-первых, величина S11 равна величине S22. Величина S12 равна величине S21.Что еще более важно, квадрат нормы S12 плюс квадрат S11 равен 1. И, наконец, комплексное сопряжение S11, S12 плюс комплексное сопряжение S21, S22 равно 0.

Итак, что это значит? О чем говорят нам эти условия? Они говорят нам, конечно, что они следствие консервативной вероятности, но они имеют другое значение. Чтобы понять другое значение, давайте посмотрим на определение амплитуд передачи. В частности, рассмотрим случай, когда мы отправляем материал слева, а ничего — справа.Это соответствует тому, что D равно 0.

Когда D равно 0, о чем это нам говорит? Он говорит нам, что B равно — и A равно 1 для нормализации. B равно … ну, D равно 0, поэтому это просто S11 A, поэтому B над A — это S11. Точно так же C над A — это S21. Но C над A — это то, что мы назвали амплитудой передачи, маленьким t, а это амплитуда отражения, маленьким r.

Итак, это амплитуда отражения, если мы посылаем материал, и он отражается, отражается влево, а это амплитуда передачи для передачи вправо.Всем это нравится? Это отражение слева, это передача справа. Точно так же это будет передача влево и отражение вправо.

Итак, теперь давайте посмотрим на эти условия. S11 — это отражение, и это будет отражение. Это говорит о том, что отражение слева равно отражению справа по величине. Раньше мы видели простой шаг: амплитуда отражения была одинаковой слева направо, не только величина, но и фактическое значение было одинаковым слева и справа.Это было немного обманом, потому что они были настоящими.

И мы увидели, что это было следствием просто шага. Больше мы об этом ничего не знали. Но теперь мы видим, что по общим соображениям, исходя из соображений сохранения вероятности, величина отражения влево и вправо для любого потенциала должна быть одинаковой. И аналогично, величина передачи слева и передачи справа должна быть одинаковой, при всем остальном — если вы отправляете слева, а затем отправляете налево, или отправляете справа и передача вправо.

А что это нам говорит? Что ж, S12 и S11, которые говорят нам, что маленький t в квадрате, который представляет собой полную вероятность передачи, плюс маленький r в квадрате — это полная вероятность отражения, равен 1, и мы видели это в прошлый раз. Это было раннее определение понятия «ничто не застревает». А этот вы изучите на своем наборе задач. Это немного более тонко. Вопросов? Ага?

АУДИТОРИЯ: Не могли бы вы еще раз объяснить, почему S унитарна? Как ты это получил?

ПРОФЕССОР: Итак, то, как мы получили S, было унитарным, это во-первых, это просто определение S.S — это матрица, которая для любой энергии связывает входящие амплитуды A и D с исходящими амплитудами B и C. Просто определение. Между тем, я утверждаю, что материал не уходит, ничего не застревает, ничего не исчезает, поэтому общая плотность вероятности поступления материала должна быть равна общей плотности вероятности выхода материала.

Вероятность поступления материала может быть выражена как умножение этого вектора-строки на этот вектор-столбец, а на выходе, умножение этого вектора-строки на этот вектор-столбец, а затем мы используем определение S-матрицы.Этот вектор-столбец равен S, умноженному на этот вектор-строку. BC равно S умноженному на AD. И когда мы берем транспонированное комплексное сопряжение, я получаю AD транспонированное комплексное сопряжение, S транспонированное комплексное сопряжение, но это S сопряженное. Но для того, чтобы это было правдой для любых векторов A и D, должно быть, что S кинжал S унитарен, это тождество, но это определение унитарной матрицы. Прохладный? Другие.

Вы собираетесь доказать множество вещей в наборе задач о матрице рассеяния и ее коэффициентах, но я хочу показать вам два ее свойства.Первый вариант достаточно сдержанный, и он сделает немного резче результат шага, который мы получили ранее, когда отражение в обоих направлениях от потенциала шага было фактически одинаковым.

Предположим, наша система инвариантна относительно обращения времени. Таким образом, если t становится минус t, ничего не меняется. Это было бы неверно, например, если бы в нашей системе были электрические токи, потому что, когда мы переводим t в минус t, ток меняется на противоположное. Итак, если ток проявляется в потенциале или если магнитное поле из-за тока проявляется в потенциальной энергии, тогда, когда мы меняем t на минус t, мы меняем направление тока, мы меняем направление магнитного поля. поле.

В простых системах, где у нас есть инвариантность относительно обращения времени, например, электростатика, но нет, например, магнитостатики, предположим, что у нас есть инвариантность обращения времени, тогда то, что вы показали в предыдущем наборе задач, — это то, что psi — это решение, тогда пси-звезда, пси-комплексное сопряжение также является решением. И используя их, вы увидите то, что вы можете показать — и я не буду вдаваться в подробности для этого — что ж, это легко. Если мы сделаем обращение времени, волновую функцию, посмотрев налево или направо, сравнивая этих ребят, что изменится? Под обращением времени мы получаем решение.Учитывая это решение, у нас есть другое решение: звезда e с минусом ikx, звезда e с плюсом ikx. Звездочка минус, звезда плюс.

Итак, мы можем запустить точно такую ​​же игру, но теперь с такой амплитудой. И когда вы складываете условия вместе, что вы будете делать с набором задач, другой способ сказать, что это то же самое решение с k на минус k, с заменой A и B их комплексными сопряженными числами, а C и D заменены на друг друга. комплексные конъюгаты. Тогда это означает, что должно быть правдой то, что A и D, которые теперь уходят, потому что мы перевернули время, равны S — и я напишу это явно — S11, S12, S21, S22, Звезда B и звезда C.

Итак, они вместе дают вам это. Следовательно, S комплексно сопряженный S равен 1. Если S комплексно сопряженный S равен 1, то S инверсный равен S транспонирован, просто поместив это справа. Таким образом, S транспонированный равен S, обратный равен S присоединенному, потому что S также унитарен. Таким образом, инвариантность к обращению времени подразумевает, например, что S кинжал равен S звезде или S равен S транспонированию.

Это то, что я хотел здесь написать. Дает нам, что S равно S транспонировать. В частности, это говорит нам о том, что S21 равно S12.Внедиагональные члены равны не только по величине, которая была застрахована унитарной системой, но и если, помимо того, что она является унитарной системой, что, конечно, должно быть, если, кроме того, это инвариант обращения времени, тогда мы видим, что внедиагональные члены равны не только по величине, но и по фазе.

А как известно, важна фаза. Фаза содержит физику. Он сообщает вам о временных задержках и сдвигах в процессе рассеяния. Итак, фазы такие же. Это утверждение нетривиально.Он содержит физику. Поэтому, когда система инвариантна относительно обращения времени, фазы и амплитуды одинаковы. И вы получите ряд связанных условий или следствий для S-матрицы из различных свойств системы, например, четности, если бы у вас мог быть симметричный потенциал.

Но теперь, в последние несколько минут, я просто хочу сказать вам действительно прекрасную вещь. Таким образом, на этом этапе должно быть довольно ясно, что вся информация о рассеянии содержится в S-матрице и ее зависимости от энергии.Если вы знаете, каковы падающие амплитуды, вы знаете, каковы исходящие амплитуды, и это круто, потому что вы можете их измерить.

Вы можете использовать потенциал, вы можете буквально просто послать пучок частиц и спросить, какова вероятность того, что они выберутся наружу. И что еще более важно, если я создаю волновой пакет, в среднем, какова временная задержка или ускорение переданного волнового пакета? Таким образом, я также могу измерить фазу. Я могу измерить как вероятности передачи, так и фазы, или, по крайней мере, градиент фазы с энергией.Вперед, продолжать.

АУДИТОРИЯ: Есть ли особые условия, при которых мы можем [? поза?], чтобы увидеть резонанс?

ПРОФЕССОР: Отличный вопрос. Задержитесь на секунду. В S-матрице содержится огромное количество физики рассеяния, и вы можете измерить S-матрицу, и вы можете измерить ее зависимость от энергии. Вы можете измерить коэффициенты S12 и S22, их фазы и их амплитуды как функцию энергии, и вы можете построить их график.

Вот в чем я хочу вас убедить.Если вы построите их график и посмотрите, как функции ведут себя как функции энергии, и спросите, как эти функции расширяются до отрицательной энергии, просто нарисовав линию, продолжая линии, вы также можете получить энергию любых связанных состояний в системе. . Знания о рассеянии достаточно, чтобы определить энергии связанных состояний системы, и позвольте мне показать вам это. И это одна из самых крутых вещей в квантовой механике.

Вот как это работает. Из определения матрицы S следует, что BC равна матрице S на AD, где волновая функция — позвольте мне просто вернуть это в исходную форму — это CD, AB, e для ikx, e к минусу ikx и e к плюсу ikx, e к минусу ikx.Итак, это определение матрицы S. Матрица S при заданной энергии e представляет собой матрицу соотношения коэффициентов между входящим и исходящим или, точнее говоря, A и D. Во всем этом я предположил, что энергия была положительной, что k1 и k2 положительны и действительны.

Но теперь давайте зададимся вопросом, что бы произошло, если бы во всем процессе я взял энергию меньше 0? Если бы энергия была меньше 0, вместо k, k было бы заменено на i alpha. Давайте подумаем, что это значит.Если k равно i альфа, это e, чтобы ik было минус альфа, а минус ik равно плюс альфа. Точно так же ik умноженное на i, это дает мне минус альфа, а это дает мне плюс альфа. Ага? То есть, что и уравнения, это те же уравнения с заменой k на i alpha.

А теперь что должно быть истинным, чтобы эти состояния можно было нормализовать? Что должно быть правдой, например, в отношении А? A должно быть 0, потому что при минус бесконечности есть расхождение. Не подлежит нормализации. Итак, чтобы быть в связанном состоянии, чтобы иметь физическое состояние, A должно быть 0.А что насчет D? Та же самая причина. На положительной бесконечности должно быть 0. Эти ребята сходятся, поэтому C и B могут быть ненулевыми.

Итак, вот мой вопрос. Мы знаем, что эти отношения должны быть истинными, потому что все эти отношения кодируют то, как решение здесь совпадает с решением здесь через потенциал между ними с непрерывностью производной и всем остальным, что истинно для этого потенциала внутри. Все, что S делает с этой точки зрения, говорит мне, как эти коэффициенты совпадают с этими коэффициентами.Да?

Что же тогда для связанного состояния — если у нас е меньше 0, что должно быть правдой? Должно быть верно, что AD равно 0 и, в частности, 00. Итак, что такое B и C? Ну, матрица, умноженная на 0, равна —

АУДИТОРИЯ: 0.

ПРОФЕССОР: Разве?

АУДИТОРИЯ: [НЕДОСТАТОЧНО].

ПРОФЕССОР: Разве что сама матрица расходится, тогда надо быть внимательнее, но давайте пока будем наивными. Если A равно 00, то для того, чтобы B и C были ненулевыми, у S должен быть полюс.S должно идти как 1 больше 0. S должно расходиться при некотором особом значении энергии.

Что ж, это просто. Это говорит вам о том, что если вы посмотрите на любой конкретный коэффициент в S, любой из матричных элементов S, числитель может вам все, что угодно, какое-то конечное число, но знаменатель лучше?

АУДИТОРИЯ: 0.

ПРОФЕССОР: 0. Итак, давайте посмотрим на знаменатель. Если я вычислю S21 — на самом деле, позвольте мне сделать это здесь. Нет, все заполнено. Давай сделаем это здесь. Если я посмотрю на S21 как на потенциальную яму, рассеивая потенциальную яму, которую мы рассматривали в начале сегодняшней лекции, этот парень, а теперь я собираюсь взглянуть на S21, один из коэффициентов этого парня, также известного как амплитуда рассеяния t для ямы.Это равно — и это ужасное выражение — 2 k1 k2 e к i k2 L по 2 k1 k2 cos k простого L минус ik в квадрате плюс k1 в квадрате плюс k2 в квадрате, умноженном на синус k2 L. Это ужасно вещь.

Но теперь я спрашиваю условие, когда у этого есть полюс? Когда энергия продолжает оставаться отрицательной, для каких значений у этого есть полюс или в знаменателе 0? И ответ таков: если вы возьмете это и помассируете уравнение, оно немного равно 0, вы получите следующее выражение: k2 L при 2 тангенсе k2 L при 2 равно k1 L при 2.Это условие для энергии связанных состояний квадратной ямы, и мы вычислили его, зная только состояния рассеяния.

Если вы взяли частицы и квадратную яму, катили частицы через потенциал квадратной ямы и измеряли его как функцию энергии, амплитуды рассеяния, амплитуды пропускания и, в частности, S21, элемента S-матрицы, и вы построили его как функцию энергии, а затем аппроксимировали это функцией энергии, которая удовлетворяет основным свойствам унитарности, и вы обнаружите, что когда вы затем расширяете эту функцию в математике до минус определенного значения энергии, знаменатель расходится на этой энергии.Вы знаете, что будет связанное состояние. Итак, по рассеянию вы определили существование связанного состояния. Вот как мы находим огромное количество частиц, которые, как мы полагаем, должны существовать в реальном мире. Заберем в следующий раз.

[АПЛОДИСМЕНТЫ]

Поставщики средств беспроводной связи и ресурсы

О мире беспроводной связи RF

Веб-сайт RF Wireless World является домом для поставщиков и ресурсов радиочастотной и беспроводной связи. На сайте представлены статьи, руководства, поставщики, терминология, исходный код (VHDL, Verilog, MATLAB, Labview), тестирование и измерения, калькуляторы, новости, книги, загрузки и многое другое.

Сайт RF Wireless World охватывает ресурсы по различным темам, таким как RF, беспроводная связь, vsat, спутник, радар, волоконная оптика, микроволновая печь, wimax, wlan, zigbee, LTE, 5G NR, GSM, GPRS, GPS, WCDMA, UMTS, TDSCDMA, Bluetooth, Lightwave RF, z-wave, Интернет вещей (IoT), M2M, Ethernet и т. Д. Эти ресурсы основаны на стандартах IEEE и 3GPP. В нем также есть академический раздел, который охватывает колледжи и университеты по инженерным дисциплинам и MBA.

Статьи о системах на основе Интернета вещей

Система обнаружения падений для пожилых людей на основе Интернета вещей : В статье рассматривается архитектура системы обнаружения падений, используемой для пожилых людей.В нем упоминаются преимущества или преимущества системы обнаружения падений Интернета вещей. Читать дальше➤
Также обратитесь к другим статьям о системах на основе Интернета вещей следующим образом:
• Система очистки туалетов самолета. • Система измерения столкновений • Система отслеживания скоропортящихся продуктов и овощей • Система помощи водителю • Система умной торговли • Система мониторинга качества воды. • Система Smart Grid • Система умного освещения на базе Zigbee • Интеллектуальная система парковки на базе Zigbee. • Система умной парковки на основе LoRaWAN

RF Статьи о беспроводной связи

В этом разделе статей представлены статьи о физическом уровне (PHY), уровне MAC, стеке протоколов и сетевой архитектуре на основе WLAN, WiMAX, zigbee, GSM, GPRS, TD-SCDMA, LTE, 5G NR, VSAT, Gigabit Ethernet на основе IEEE / 3GPP и т. Д. .стандарты. Он также охватывает статьи, относящиеся к испытаниям и измерениям, по тестированию на соответствие, используемым для испытаний устройств на соответствие RF / PHY. УКАЗАТЕЛЬ СТАТЬИ ДЛЯ ССЫЛКИ >>.

Физический уровень 5G NR : Обработка физического уровня для канала 5G NR PDSCH и канала 5G NR PUSCH рассмотрена поэтапно. Это описание физического уровня 5G соответствует спецификациям физического уровня 3GPP. Читать дальше➤

Основы повторителей и типы повторителей : В нем объясняются функции различных типов ретрансляторов, используемых в беспроводных технологиях.Читать дальше➤

Основы и типы замирания : В этой статье рассматриваются мелкомасштабные замирания, крупномасштабные замирания, медленные, быстрые и т. Д., Используемые в беспроводной связи. Читать дальше➤

Архитектура сотового телефона 5G : В этой статье рассматривается блок-схема сотового телефона 5G с внутренними модулями 5G Архитектура сотового телефона. Читать дальше➤

Основы помех и типы помех: В этой статье рассматриваются помехи в соседнем канале, помехи в совмещенном канале, Электромагнитные помехи, ICI, ISI, световые помехи, звуковые помехи и т. Д.Читать дальше➤

5G NR Раздел

В этом разделе рассматриваются функции 5G NR (New Radio), нумерология, диапазоны, архитектура, развертывание, стек протоколов (PHY, MAC, RLC, PDCP, RRC) и т. Д. 5G NR Краткий указатель ссылок >>
• Мини-слот 5G NR • Часть полосы пропускания 5G NR • 5G NR CORESET • Форматы DCI 5G NR • 5G NR UCI • Форматы слотов 5G NR • IE 5G NR RRC • 5G NR SSB, SS, PBCH • 5G NR PRACH • 5G NR PDCCH • 5G NR PUCCH • Эталонные сигналы 5G NR • 5G NR m-последовательность • Золотая последовательность 5G NR • 5G NR Zadoff Chu Sequence • Физический уровень 5G NR • Уровень MAC 5G NR • Уровень 5G NR RLC • Уровень 5G NR PDCP

Учебные пособия по беспроводным технологиям

В этом разделе рассматриваются учебные пособия по радиочастотам и беспроводной связи.Он охватывает учебные пособия по таким темам, как сотовая связь, WLAN (11ac, 11ad), wimax, bluetooth, zigbee, zwave, LTE, DSP, GSM, GPRS, GPS, UMTS, CDMA, UWB, RFID, радар, VSAT, спутник, WLAN, волновод, антенна, фемтосота, тестирование и измерения, IoT и т. Д. См. УКАЗАТЕЛЬ >>

Учебное пособие по 5G — В этом учебном пособии по 5G также рассматриваются следующие подтемы по технологии 5G:
Учебное пособие по основам 5G Частотные диапазоны руководство по миллиметровым волнам Волновая рама 5G мм Зондирование волнового канала 5G мм 4G против 5G Испытательное оборудование 5G Сетевая архитектура 5G Сетевые интерфейсы 5G NR канальное зондирование Типы каналов 5G FDD против TDD Разделение сети 5G NR Что такое 5G NR Режимы развертывания 5G NR Что такое 5G TF

В этом учебном пособии GSM рассматриваются основы GSM, сетевая архитектура, сетевые элементы, системные спецификации, приложения, Типы пакетов GSM, структура или иерархия кадров GSM, логические каналы, физические каналы, Физический уровень GSM или обработка речи, вход в сеть мобильного телефона GSM, установка вызова или процедура включения питания, MO-вызов, MT-вызов, VAMOS, AMR, MSK, модуляция GMSK, физический уровень, стек протоколов, основы работы с мобильным телефоном, Планирование RF, нисходящая линия связи PS-вызовов и восходящая линия связи PS-вызовов.
➤Подробнее.

LTE Tutorial , охватывающий архитектуру системы LTE, охватывающий основы LTE EUTRAN и LTE Evolved Packet Core (EPC). Он обеспечивает связь с обзором системы LTE, радиоинтерфейсом LTE, терминологией LTE, категориями LTE UE, структурой кадра LTE, физическим уровнем LTE, Стек протоколов LTE, каналы LTE (логические, транспортные, физические), пропускная способность LTE, агрегация несущих LTE, передача голоса по LTE, расширенный LTE, Поставщики LTE и LTE vs LTE продвинутые.➤Подробнее.

RF Technology Stuff

Эта страница мира беспроводной радиосвязи описывает пошаговое проектирование преобразователя частоты RF на примере преобразователя RF UP от 70 МГц до диапазона C. для микрополосковой платы с использованием дискретных радиочастотных компонентов, а именно. Смесители, гетеродин, MMIC, синтезатор, опорный генератор OCXO, колодки аттенюатора. ➤Подробнее.
➤Проектирование и разработка радиочастотного трансивера ➤Конструкция RF-фильтра ➤Система VSAT ➤Типы и основы микрополосковой печати ➤ОсновыWaveguide

Секция испытаний и измерений

В этом разделе рассматриваются контрольно-измерительные ресурсы, испытательное и измерительное оборудование для тестирования DUT на основе Стандарты WLAN, WiMAX, Zigbee, Bluetooth, GSM, UMTS, LTE.УКАЗАТЕЛЬ испытаний и измерений >>
➤Система PXI для T&M. ➤ Генерация и анализ сигналов ➤Измерения слоя PHY ➤Тест на соответствие устройства WiMAX ➤ Тест на соответствие Zigbee ➤ Тест на соответствие LTE UE ➤Тест на соответствие TD-SCDMA

Волоконно-оптическая технология

Оптоволоконный компонент , основы, включая детектор, оптический соединитель, изолятор, циркулятор, переключатели, усилитель, фильтр, эквалайзер, мультиплексор, разъемы, демультиплексор и т. д.Эти компоненты используются в оптоволоконной связи. Оптические компоненты INDEX >>
➤Учебник по оптоволоконной связи ➤APS в SDH ➤SONET основы ➤SDH Каркасная конструкция ➤SONET против SDH

Поставщики, производители радиочастотных беспроводных устройств

Сайт RF Wireless World охватывает производителей и поставщиков различных радиочастотных компонентов, систем и подсистем для ярких приложений, см. ИНДЕКС поставщиков >>.

Поставщики радиочастотных компонентов, включая радиочастотный изолятор, радиочастотный циркулятор, радиочастотный смеситель, радиочастотный усилитель, радиочастотный адаптер, радиочастотный разъем, радиочастотный модулятор, радиочастотный трансивер, PLL, VCO, синтезатор, антенну, генератор, делитель мощности, сумматор мощности, фильтр, аттенюатор, диплексор, дуплексер, микросхема резистора, микросхема конденсатора, индуктор микросхемы, ответвитель, оборудование ЭМС, программное обеспечение для проектирования радиочастот, диэлектрический материал, диод и т. д.Производители RF компонентов >>
➤Базовая станция LTE ➤RF Циркулятор ➤RF Изолятор ➤Кристаллический осциллятор

MATLAB, Labview, встроенные исходные коды

Раздел исходного кода RF Wireless World охватывает коды, связанные с языками программирования MATLAB, VHDL, VERILOG и LABVIEW. Эти коды полезны для новичков в этих языках. СПРАВОЧНЫЙ КОД ИСТОЧНИКА >>
➤3-8 декодер кода VHDL ➤Код MATLAB для дескремблера ➤32-битный код ALU Verilog ➤T, D, JK, SR триггеры labview коды

* Общая информация о здоровье населения *

Выполните эти пять простых действий, чтобы остановить коронавирус (COVID-19).
СДЕЛАЙТЕ ПЯТЬ
1. РУКИ: Часто мойте их
2. КОЛЕНО: Откашляйтесь.
3. ЛИЦО: Не трогай его
4. НОГИ: держитесь на расстоянии более 3 футов (1 м) друг от друга
5. ЧУВСТВОВАТЬ: Болен? Оставайся дома

Используйте технологию отслеживания контактов >>, соблюдайте >> рекомендации по социальному дистанцированию и установить систему видеонаблюдения >> чтобы спасти сотни жизней. Использование концепции телемедицины стало очень популярным в таким странам, как США и Китай, остановить распространение COVID-19, поскольку это заразное заболевание.

RF Беспроводные калькуляторы и преобразователи

Раздел «Калькуляторы и преобразователи» охватывает ВЧ-калькуляторы, беспроводные калькуляторы, а также преобразователи единиц. Сюда входят такие беспроводные технологии, как GSM, UMTS, LTE, 5G NR и т. Д. СПРАВОЧНЫЕ КАЛЬКУЛЯТОРЫ Указатель >>.
➤ Калькулятор пропускной способности 5G NR ➤5G NR ARFCN против преобразования частоты ➤Калькулятор скорости передачи данных LoRa ➤LTE EARFCN для преобразования частоты ➤Калькулятор антенн Яги ➤ Калькулятор времени выборки 5G NR

IoT-Интернет вещей Беспроводные технологии

Раздел IoT охватывает беспроводные технологии Интернета вещей, такие как WLAN, WiMAX, Zigbee, Z-wave, UMTS, LTE, GSM, GPRS, THREAD, EnOcean, LoRa, SIGFOX, WHDI, Ethernet, 6LoWPAN, RF4CE, Bluetooth, Bluetooth Low Power (BLE), NFC, RFID, INSTEON, X10, KNX, ANT +, Wavenis, Dash7, HomePlug и другие.Он также охватывает датчики Интернета вещей, компоненты Интернета вещей и компании Интернета вещей.
См. Главную страницу IoT >> и следующие ссылки.
➤ НИТЬ ➤EnOcean ➤Учебник по LoRa ➤Учебник по SIGFOX ➤WHDI ➤6LoWPAN ➤Zigbee RF4CE ➤NFC ➤Lonworks ➤CEBus ➤UPB

СВЯЗАННЫЕ ЗАПИСИ

Учебники по беспроводной связи RF

Различные типы датчиков

Поделиться страницей

Перевести страницу

Непертурбативная S-матрица — Стипендия Оксфорда

Страница из

НАПЕЧАТАНО ИЗ ОНЛАЙН-СТИПЕНДИИ ОКСФОРДА (Оксфорд.Universitypressscholarship.com). (c) Авторские права Oxford University Press, 2021. Все права защищены. Отдельный пользователь может распечатать одну главу монографии в формате PDF в OSO для личного использования. дата: 23 сентября 2021 г.

Глава:

(стр.121) 6 Непертурбативная S-матрица

Источник:

Введение в непертурбативные основы квантовой теории поля

Автор (ы):

Франко Строкки

Издатель:

Oxford University Press

DOI779 : 10.1093 / acprof: oso / 9780199671571.003.0006

Непертурбативное определение S-матрицы, предложенное Леманом – Симанзиком – Циммерманном, было помещено в строгие условия и показано, что оно выводится из аксиом Вайтмана, в случай массовой щели (теория рассеяния Хаага – Рюэля). Безмассовый случай успешно разобрался Бухгольцем. Необходимость непертурбативного определения S-матрицы является предпосылкой для обсуждения проблемы инфракрасного излучения в КЭД и проблемы удержания в КХД.

Ключевые слова: lsz и теория рассеяния Хаага – Рюэля, трактовка Бухгольца безмассового случая

Для получения доступа к полному тексту книг в рамках службы для получения стипендии

Oxford Online требуется подписка или покупка. Однако публичные пользователи могут свободно искать на сайте и просматривать аннотации и ключевые слова для каждой книги и главы.

Пожалуйста, подпишитесь или войдите для доступа к полному тексту.

Если вы считаете, что у вас должен быть доступ к этой книге, обратитесь к своему библиотекарю.

Для устранения неполадок, пожалуйста, проверьте наш FAQs , и если вы не можете найти там ответ, пожалуйста связаться с нами .

Бутстрап S-матрицы II: двумерные амплитуды

[1]

A.B. Замолодчиков, А. Замолодчиков, Релятивистская факторизованная S-матрица в двух измерениях, обладающая изотопической симметрией O (N) , Nucl.Phys. B 133 (1978) 525 [INSPIRE].

ADS MathSciNet Статья Google ученый

[2]

A.A. Белавин, А. Поляков, А. Замолодчиков, Бесконечная конформная симметрия в двумерной квантовой теории поля , Nucl. Phys. B 241 (1984) 333 [INSPIRE].

ADS MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

[3]

р.Раттацци, В. Рычков, Э. Тонни и А. Вичи, Размерности ограничивающего скалярного оператора в 4 D CFT , JHEP 12 (2008) 031 [arXiv: 0807.0004] [INSPIRE].

ADS MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

[4]

R.J. Eden et al., Аналитическая S-матрица , Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания (2002).

Google ученый

[5]

р.Дж. Иден, Столкновения элементарных частиц при высоких энергиях , Cambridge University Press, Cambridge U.K. (1967).

Google ученый

[6]

С. Карон-Хуот, З. Комаргодски, А. Север и А. Жибоедов, Струны из массивных высших спинов: асимптотическая уникальность амплитуды Венециано , JHEP 10 (2017) 026 [arXiv: 1607.04253] [ВДОХНОВЕНИЕ].

ADS MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

[7]

А.Север, А. Жибоедов, О тонкой структуре струн: универсальная поправка к амплитуде Венециано , arXiv: 1707.05270 [INSPIRE].

[8]

М. Паулос, Дж. Пенедонес, Дж. Толедо, Б. ван Рис и П. Виейра, S-matrix Bootstrap I: QFT в AdS , arXiv: 1607.06109 [INSPIRE].

[9]

S.R. Коулман и Х. Дж. Тун, О прозаическом происхождении двойных полюсов в S-матрице синус-Гордона , Commun. Математика. Phys. 61 (1978) 31 [INSPIRE].

ADS MathSciNet Статья Google ученый

[10]

Ф. Караччиоло и В.С. Рычков, Строгие ограничения силы взаимодействия в квантовой теории поля , Phys. Ред. D 81 (2010) 085037 [arXiv: 0912.2726] [INSPIRE].

ADS Google ученый

[11]

Ф. Кос, Д. Поланд и Д. Симмонс-Даффин, Загрузочные смешанные корреляторы в модели 3 D Ising , JHEP 11 (2014) 109 [arXiv: 1406.4858] [ВДОХНОВЕНИЕ].

ADS Статья Google ученый

[12]

A.B. Замолодчиков, Точная s-матрица квантовых солитонов синус-Гордона , Письма в ЖЭТФ. 25 (1977) 468 [INSPIRE].

ADS Google ученый

[13]

И. Арефьева, В. Корепин, Рассеяние в двумерной модели с лагранжианом L = (1 / γ) [(1/2) ( d _мкм u ) ² + м ² cos ( u −1)], Pisma Zh.Эксп. Теор. Физ. 20 (1974) 680 [INSPIRE].

Google ученый

[14]

Д. Ягольницер, Факторизация многочастичной матрицы в моделях двумерного пространства-времени , Phys. Ред. D 18 (1978) 1275 [INSPIRE].

ADS Google ученый

[15]

С. Дубовский, В. Горбенко и М. Мирбабайи, Естественная настройка: на пути к подтверждению концепции , JHEP 09 (2013) 045 [arXiv: 1305.6939] [ВДОХНОВЕНИЕ].

ADS MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

[16]

G. Delfino, Интегрируемая теория поля и критические явления: модель Изинга в магнитном поле , J. Phys. A 37 (2004) R45 [hep-th / 0312119] [INSPIRE].

ADS MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

[17]

A.B. Замолодчиков, Интегралы движения и S-матрица (масштабированного) T = T ( c ) Модель Изинга с магнитным полем , Int.J. Mod. Phys. A 4 (1989) 4235 [INSPIRE].

ADS MathSciNet Статья Google ученый

[18]

П. Фонсека и А. Замолодчиков, Теория поля Изинга в магнитном поле: Аналитические свойства свободной энергии , hep-th / 0112167 [INSPIRE].

[19]

П. Фонсека, А. Замолодчиков, Спектроскопия Изинга. I. Мезоны при T < T _c , hep-th / 0612304 [INSPIRE].

[20]

А. Замолодчиков, Спектроскопия Изинга II: частицы и полюсы при T > T _c , arXiv: 1310.4821 [INSPIRE].

[21]

Г. Дельфино, Г. Муссардо и П. Симонетти, Неинтегрируемые квантовые теории поля как возмущения некоторых интегрируемых моделей , Nucl. Phys. B 473 (1996) 469 [hep-th / 9603011] [INSPIRE].

ADS Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

[22]

G.Дельфино, П. Гринза и Г. Муссардо, Распад частиц выше порога в теории поля Изинга с магнитным полем , Nucl. Phys. B 737 (2006) 291 [hep-th / 0507133] [INSPIRE].

ADS Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

[23]

С. Эль-Шоук, М.Ф. Паулос, Д. Поланд, С. Рычков, Д. Симмонс-Даффин и А. Вичи, Решение модели Изинга 3 d с помощью конформного бутстрапа II.c-Минимизация и точные критические показатели , J. Stat. Phys. 157 (2014) 869 [arXiv: 1403.4545] [INSPIRE].

[24]

Р.Ф. Дашен, Б. Хасслахер и А. Невё, Спектр частиц в модельных теориях поля на основе методов полуклассического функционального интеграла , Phys. Ред. D 11 (1975) 3424 [INSPIRE].

ADS Google ученый

[25]

G.Муссардо и П. Саймон, Матрица бозонного типа S, нестабильность вакуума и неоднозначности CDD , Nucl. Phys. B 578 (2000) 527 [hep-th / 9

2] [INSPIRE].

ADS MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

[26]

Д. Симмонс-Даффин, Полуопределенный программный решатель для конформной начальной загрузки , JHEP 06 (2015) 174 [arXiv: 1502.02033] [INSPIRE].

ADS Статья Google ученый

[27]

S.Эль-Шоука и М.Ф. Паулос, Экстремальный бутстреппинг: плывите по потоку , arXiv: 1605.08087 [INSPIRE].

[28]

М.Ф. Paulos, JuliBootS: практическое руководство по конформному бутстрапу , arXiv: 1412.4127 [INSPIRE].

[29]

П. Дори, Матрицы Exact S , hep-th / 9810026 [INSPIRE].

[30]

C.J. Goebel, На S-матрице sine-Gordon , Prog. Теор. Phys. Дополнение 86 (1986) 261 [INSPIRE].

ADS Статья Google ученый

[31]

П. Дори, Точные s-матрицы аффинных теорий поля тоды , Ph.D. Диссертация, Даремский университет, Дарем, Великобритания (1990).

[32]

M.

No related posts.